高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.7定积分的简单应用

高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.7定积分的简单应用
一、单选题
1．（2020高二下·吉林期中）定积分 （　　）
A． B． C． D．
2．（2020高二下·吉林期中） （　　）
A． B． C． D．
3．（2019高二下·亳州月考）曲线 与直线 及 所围成的封闭图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二下·哈尔滨期末）函数 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2019高一下·黑龙江月考）已知积分 ，则实数k＝（　　）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
6．（2019高二下·濉溪月考）已知 ， ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高二下·吉林月考）设 ，则 （　　）．
A． B． C． D．不存在
8．（2020高二下·江西期中）如图，阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2020高二下·莆田期中）一物体在力 （单位:N）的作用下沿与力F相同的方向，从 处运动到 处（单位 ，则力 所做的功为（　　）
A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦
10．（2020高二下·莆田期中）一物体作变速直线运动，其 曲线如图所示，则该物体在 间的运动路程为（　　）m．
A．1 B． C． D．2
11．（2020高二下·六安月考）如图，两曲线 与 所围成的图形面积是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．3
12．（2020·南昌模拟）正项等比数列 中， 的等比中项为 ，令 ，则 （　　）
A．6 B．16 C．32 D．64
13．把函数的图像向左平移后，得到的图像，则与的图像所围成的图形的面积为(　　)
A．4 B． C． D．2
14．（2019高二下·佛山期末）一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度 （ 的单位： ， 的单位： ）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位： ）是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2020高二下·通辽期末）定积分 的值为　 　.
16．（2020·长春模拟）若 ，则 　 　.
17．（2020·江门模拟）　 　.
18．（2020高二下·新余期末）已知 是函数 的导函数，定义 为 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的拐点，经研究发现，所有的三次函数 都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 ，若点 是函数 的“拐点”也是函数 图像上的点，则 　 　.
三、解答题
19．（2019高三上·海淀月考）计算
20．（2019高二下·上饶月考）计算下列定积分
（1）
（2）
（3）
21．（2020高二上·黄陵期末）计算曲线 与直线 所围图形的面积．
22．（2018高二下·通许期末）已知函数 ，函数 ，
（1）当 时，求函数 的表达式；
（2）若 时，函数 在 上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线 与函数 的图象所围成图形的面积。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：由题意得： ,
故答案为：D.
【分析】由题设条件，求出被积函数的原函数，求出定积分的值即可.
2．【答案】D
【知识点】定积分
【解析】【解答】 由 ，
故答案为：D.
【分析】利用定积分的运算法则求出定积分的值。
3．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】曲线 与直线 及 所围成的封闭图形如图所示，
图形的面积为 ，
故答案为： .
【分析】作出平面区域，求出交点坐标，结合定积分的四则运算，即可求出封闭图形的面积.
4．【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由图可得阴影部分的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5．【答案】A
【知识点】定积分
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 k＋1＝k，
所以k＝2.
故答案为：A
【分析】利用定积分结合已知条件求出k的值。
6．【答案】B
【知识点】定积分
【解析】【解答】由题意得 ，所以 ， ， .
所以 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据定积分的运算得出a的值，再根据对数的性质得出m,n，从而判断出m,n,p的大小。
7．【答案】C
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】解：由已知可得 ．
故答案为： ．
【分析】根据分段函数将定积分分段求，再根据定积分原理求定积分.
8．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ，
，
，
故答案为：D.
【分析】利用定积分求面积的方法，从而求出阴影部分的面积。
9．【答案】C
【知识点】定积分；定积分的简单应用
【解析】【解答】由题意得：
．
故答案为：C．
【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是 ， ，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案.
10．【答案】C
【知识点】定积分；定积分的简单应用
【解析】【解答】由题中图象可得，
由变速直线运动的路程公式，可得：
．
所以物体在 间的运动路程是 ．
故答案为：C
【分析】由图象用分段函数表示 ，该物体在 间的运动路程可用定积分 表示，计算即得解.
11．【答案】B
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由 得 或
故两曲线所围成的阴影部分的面积
故选：B.
【分析】求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得.
12．【答案】D
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】因为 ，即 ，
又 ，所以 。
故答案为：D.
【分析】利用定积分求出 的等比中项，再利用等比中项公式结合等比数列的性质，从而得出，最后求出的值。
13．【答案】D
【知识点】定积分；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数的图像向左平移后，得到，得交点为，，则与的图像所围成的图形的面积为．选D.
14．【答案】B
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】当汽车停止时， ，解得： 或 （舍去负值），
所以 .
故答案为：B
【分析】先计算汽车停止的时间，再利用定积分计算路程.
15．【答案】1
【知识点】定积分
【解析】【解答】
故答案为：1
【分析】根据定积分求解.
16．【答案】2
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：若 ，则 ，
即 ，所以 ．
故答案为：2．
【分析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值．
17．【答案】
【知识点】定积分
【解析】【解答】因为
故答案为2π．
【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分．
18．【答案】
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 ，
， ，
由 ，
可得 ，解得 ，
因为点 是函数 的“拐点”，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
由 可得， ，
当 ， 时，对应圆中的部分面积为 ，
由定积分的意义可知， ，
，
，
故答案为：
【分析】根据新定义拐点可求出 ，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出 和 即可.
19．【答案】解： （2x ）dx
＝（x2+lnx）
＝e2+lne﹣1﹣ln1
＝e2
故答案为e2
【知识点】定积分
【解析】【分析】先求出被积函数2x 的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可．
20．【答案】（1）解：由微积分基本定理可得：
（2）解：由奇函数的性质可得： ，
由微积分基本定理可得：
，
则
（3）解：由定积分的几何意义可知， 表示如图所示的阴影部分的面积，
该图形可分解为一个扇形与两个三角形，
故： .
【知识点】定积分；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）根据微积分基本定理，求出定积分的值即可；
（2）根据奇函数的性质，结合微积分基本定理，求出相应的定积分值即可；
（3）根据定积分的几何意义，求出平面图形的面积，即可得到相应的定积分值.
21．【答案】解：由 解得 ．
从而所求图形的面积 ．
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数．
22．【答案】（1）解：∵ ，
∴当 时， ； 当 时，
∴当 时， ； 当 时， .
∴当 时，函数
（2）解：∵由⑴知当 时， ，
∴当 时， 当且仅当 时取等号.
∴函数 在 上的最小值是 ，∴依题意得 ∴
（3）解：由 解得
∴直线 与函数 的图象所围成图形的面积
= ln
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）对x进行分类讨论，得出分段函数，再对分段函数求导代入 y = g ( x ) 的表达式中，从而求出当 x ≠ 0 时，函数 y = g ( x ) 的表达式。
（2）利用均值不等式求出函数 y = g ( x )当a > 0 时，在 ( 0 ， + ∞ ) 上的最小值，再根据a > 0 时，函数 y = g ( x ) 在 ( 0 ， + ∞ ) 上的最小值是2，求出a的值。
（3）利用（2）问求出的a的值代入函数 y = g ( x )中，得出函数 y = g ( x )解析式，在联立直线和曲线 y = g ( x )方程得出二者的两个交点的坐标，再根据两个交点的横坐标，确定所求的定积分区间，再利用定积分求面积公式，求出直线与函数 y = g ( x ) 的图象所围成图形的面积.
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一、单选题
1．（2020高二下·吉林期中）定积分 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：由题意得： ,
故答案为：D.
【分析】由题设条件，求出被积函数的原函数，求出定积分的值即可.
2．（2020高二下·吉林期中） （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】定积分
【解析】【解答】 由 ，
故答案为：D.
【分析】利用定积分的运算法则求出定积分的值。
3．（2019高二下·亳州月考）曲线 与直线 及 所围成的封闭图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】曲线 与直线 及 所围成的封闭图形如图所示，
图形的面积为 ，
故答案为： .
【分析】作出平面区域，求出交点坐标，结合定积分的四则运算，即可求出封闭图形的面积.
4．（2020高二下·哈尔滨期末）函数 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由图可得阴影部分的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5．（2019高一下·黑龙江月考）已知积分 ，则实数k＝（　　）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】A
【知识点】定积分
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 k＋1＝k，
所以k＝2.
故答案为：A
【分析】利用定积分结合已知条件求出k的值。
6．（2019高二下·濉溪月考）已知 ， ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】定积分
【解析】【解答】由题意得 ，所以 ， ， .
所以 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据定积分的运算得出a的值，再根据对数的性质得出m,n，从而判断出m,n,p的大小。
7．（2020高二下·吉林月考）设 ，则 （　　）．
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】解：由已知可得 ．
故答案为： ．
【分析】根据分段函数将定积分分段求，再根据定积分原理求定积分.
8．（2020高二下·江西期中）如图，阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ，
，
，
故答案为：D.
【分析】利用定积分求面积的方法，从而求出阴影部分的面积。
9．（2020高二下·莆田期中）一物体在力 （单位:N）的作用下沿与力F相同的方向，从 处运动到 处（单位 ，则力 所做的功为（　　）
A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦
【答案】C
【知识点】定积分；定积分的简单应用
【解析】【解答】由题意得：
．
故答案为：C．
【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是 ， ，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案.
10．（2020高二下·莆田期中）一物体作变速直线运动，其 曲线如图所示，则该物体在 间的运动路程为（　　）m．
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】定积分；定积分的简单应用
【解析】【解答】由题中图象可得，
由变速直线运动的路程公式，可得：
．
所以物体在 间的运动路程是 ．
故答案为：C
【分析】由图象用分段函数表示 ，该物体在 间的运动路程可用定积分 表示，计算即得解.
11．（2020高二下·六安月考）如图，两曲线 与 所围成的图形面积是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．3
【答案】B
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由 得 或
故两曲线所围成的阴影部分的面积
故选：B.
【分析】求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得.
12．（2020·南昌模拟）正项等比数列 中， 的等比中项为 ，令 ，则 （　　）
A．6 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】因为 ，即 ，
又 ，所以 。
故答案为：D.
【分析】利用定积分求出 的等比中项，再利用等比中项公式结合等比数列的性质，从而得出，最后求出的值。
13．把函数的图像向左平移后，得到的图像，则与的图像所围成的图形的面积为(　　)
A．4 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】定积分；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数的图像向左平移后，得到，得交点为，，则与的图像所围成的图形的面积为．选D.
14．（2019高二下·佛山期末）一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度 （ 的单位： ， 的单位： ）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位： ）是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】当汽车停止时， ，解得： 或 （舍去负值），
所以 .
故答案为：B
【分析】先计算汽车停止的时间，再利用定积分计算路程.
二、填空题
15．（2020高二下·通辽期末）定积分 的值为　 　.
【答案】1
【知识点】定积分
【解析】【解答】
故答案为：1
【分析】根据定积分求解.
16．（2020·长春模拟）若 ，则 　 　.
【答案】2
【知识点】定积分
【解析】【解答】解：若 ，则 ，
即 ，所以 ．
故答案为：2．
【分析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值．
17．（2020·江门模拟）　 　.
【答案】
【知识点】定积分
【解析】【解答】因为
故答案为2π．
【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分．
18．（2020高二下·新余期末）已知 是函数 的导函数，定义 为 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的拐点，经研究发现，所有的三次函数 都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 ，若点 是函数 的“拐点”也是函数 图像上的点，则 　 　.
【答案】
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 ，
， ，
由 ，
可得 ，解得 ，
因为点 是函数 的“拐点”，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
由 可得， ，
当 ， 时，对应圆中的部分面积为 ，
由定积分的意义可知， ，
，
，
故答案为：
【分析】根据新定义拐点可求出 ，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出 和 即可.
三、解答题
19．（2019高三上·海淀月考）计算
【答案】解： （2x ）dx
＝（x2+lnx）
＝e2+lne﹣1﹣ln1
＝e2
故答案为e2
【知识点】定积分
【解析】【分析】先求出被积函数2x 的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可．
20．（2019高二下·上饶月考）计算下列定积分
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：由微积分基本定理可得：
（2）解：由奇函数的性质可得： ，
由微积分基本定理可得：
，
则
（3）解：由定积分的几何意义可知， 表示如图所示的阴影部分的面积，
该图形可分解为一个扇形与两个三角形，
故： .
【知识点】定积分；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）根据微积分基本定理，求出定积分的值即可；
（2）根据奇函数的性质，结合微积分基本定理，求出相应的定积分值即可；
（3）根据定积分的几何意义，求出平面图形的面积，即可得到相应的定积分值.
21．（2020高二上·黄陵期末）计算曲线 与直线 所围图形的面积．
【答案】解：由 解得 ．
从而所求图形的面积 ．
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数．
22．（2018高二下·通许期末）已知函数 ，函数 ，
（1）当 时，求函数 的表达式；
（2）若 时，函数 在 上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线 与函数 的图象所围成图形的面积。
【答案】（1）解：∵ ，
∴当 时， ； 当 时，
∴当 时， ； 当 时， .
∴当 时，函数
（2）解：∵由⑴知当 时， ，
∴当 时， 当且仅当 时取等号.
∴函数 在 上的最小值是 ，∴依题意得 ∴
（3）解：由 解得
∴直线 与函数 的图象所围成图形的面积
= ln
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）对x进行分类讨论，得出分段函数，再对分段函数求导代入 y = g ( x ) 的表达式中，从而求出当 x ≠ 0 时，函数 y = g ( x ) 的表达式。
（2）利用均值不等式求出函数 y = g ( x )当a > 0 时，在 ( 0 ， + ∞ ) 上的最小值，再根据a > 0 时，函数 y = g ( x ) 在 ( 0 ， + ∞ ) 上的最小值是2，求出a的值。
（3）利用（2）问求出的a的值代入函数 y = g ( x )中，得出函数 y = g ( x )解析式，在联立直线和曲线 y = g ( x )方程得出二者的两个交点的坐标，再根据两个交点的横坐标，确定所求的定积分区间，再利用定积分求面积公式，求出直线与函数 y = g ( x ) 的图象所围成图形的面积.
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