高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.5定积分的概念
一、单选题
1．（2020高二下·西安期中）定积分 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】定积分
【解析】【解答】 ，
故答案为：A.
【分析】根据定积分的计算可得选项.
2．（2020高二下·九台期中）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】定积分
【解析】【解答】在A中， ，
在B中，根据定积分的几何意义， ，
在C中， ，
根据定积分的运算法则与几何意义，易知 + = ，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的性质、几何意义、运算法则求解
3．（2020高二下·哈尔滨期末） （ ）
A．－1 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】∵ 为奇函数，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C
【分析】由 为奇函数，可知 ，从而易得结果.
4．（2020高二下·哈尔滨期末）函数 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由图可得阴影部分的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5．（2020高二下·洛阳期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】设 ，
所以 ，
，
所以 ，
解得 ，
即 .
故答案为：A
【分析】设 ，根据 ，由 求解.
6．（2020高二下·齐齐哈尔期末）曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】解：曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 ；
故答案为：C．
【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．
7．（2020高二下·吉林期中） （ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】设 ，则 ，其中 ， .
的几何意义为图中阴影面积，设 ，易知 ，
则 .
故答案为：D.
【分析】设 ，变换得到 的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案.
8．（2020高二下·吉林月考）设 ，则 （ ）．
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】解：由已知可得 ．
故答案为： ．
【分析】根据分段函数将定积分分段求，再根据定积分原理求定积分.
9．（2020高二下·江西期中）如图，阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ，
，
，
故答案为：D.
【分析】利用定积分求面积的方法，从而求出阴影部分的面积。
10．（2020高二下·呼和浩特月考）下列积分值等于1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】定积分的简单应用；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ；
令 ，则 ，因为 表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分
则
故答案为：D
【分析】根据牛顿莱布尼兹公式求解即可.
11．（2020·南昌模拟）正项等比数列 中， 的等比中项为 ，令 ，则 （ ）
A．6 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】因为 ，即 ，
又 ，所以 。
故答案为：D.
【分析】利用定积分求出 的等比中项，再利用等比中项公式结合等比数列的性质，从而得出，最后求出的值。
12．（2020高二下·莆田期中）一物体在力 （单位:N）的作用下沿与力F相同的方向，从 处运动到 处（单位 ，则力 所做的功为（ ）
A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦
【答案】C
【知识点】定积分；定积分的简单应用
【解析】【解答】由题意得：
．
故答案为：C．
【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是 ， ，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案.
二、填空题
13．（2020高二下·吉林月考） = .
【答案】
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】令
则
画出图像如下图:
所以定积分值为
【分析】根据定积分意义,画出几何图形,根据积分上限和下限即可求得其面积,即为积分值.
14．（2020高二下·九台期中） ，则k=
【答案】1
【知识点】定积分
【解析】【解答】由微积分基本定理可得： ，∴k＝1
故答案为1
【分析】先求出被积函数，然后利用微积分基本定理求解即可.
15．（2020高二下·哈尔滨期末）曲线 与x轴及直线 所围成的图形的面积为 ．
【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由题意知曲线 与x轴及直线 所围成的图形的面积为：
，
故答案为： .
【分析】直接根据定积分的几何意义求解即可.
16．（2020高二下·新余期末）已知 是函数 的导函数，定义 为 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的拐点，经研究发现，所有的三次函数 都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 ，若点 是函数 的“拐点”也是函数 图像上的点，则 .
【答案】
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 ，
， ，
由 ，
可得 ，解得 ，
因为点 是函数 的“拐点”，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
由 可得， ，
当 ， 时，对应圆中的部分面积为 ，
由定积分的意义可知， ，
，
，
故答案为：
【分析】根据新定义拐点可求出 ，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出 和 即可.
三、解答题
17．（2019高三上·海淀月考）计算
【答案】解： （2x ）dx
＝（x2+lnx）
＝e2+lne﹣1﹣ln1
＝e2
故答案为e2
【知识点】定积分
【解析】【分析】先求出被积函数2x 的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可．
18．（2020高二下·吉林月考）计算下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：由题得
（2）解：令 ，
因为 等于 轴和曲线 所围成的曲边梯形的面积，
如图扇形 ，
扇形 的面积为 ，
所以 .
【知识点】定积分；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）由题得 ，计算即得解；（2）如图，先求出扇形 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可.
19．（2018高二下·陆川月考）如图，求直线 与抛物线 所围成的图形的面积.
【答案】解： 或
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】通过求交点坐标确定积分上下限，利用微积分基本定理即可求出所围图形的面积.
20．（2020高二下·吉林期中）将由曲线 和直线 ， 所围成图形的面积写成定积分的形式．
【答案】解：曲线 和直线 ， 所围成图形如下图阴影部分所示：
则可表示为： .
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】画出曲线 和直线 ， 所围成图形，表示成定积分．
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一、单选题
1．（2020高二下·西安期中）定积分 （ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2020高二下·九台期中）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020高二下·哈尔滨期末） （ ）
A．－1 B．1 C．2 D．4
4．（2020高二下·哈尔滨期末）函数 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020高二下·洛阳期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二下·齐齐哈尔期末）曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2020高二下·吉林期中） （ ）
A．4 B．1 C． D．
8．（2020高二下·吉林月考）设 ，则 （ ）．
A． B． C． D．不存在
9．（2020高二下·江西期中）如图，阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020高二下·呼和浩特月考）下列积分值等于1的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·南昌模拟）正项等比数列 中， 的等比中项为 ，令 ，则 （ ）
A．6 B．16 C．32 D．64
12．（2020高二下·莆田期中）一物体在力 （单位:N）的作用下沿与力F相同的方向，从 处运动到 处（单位 ，则力 所做的功为（ ）
A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦
二、填空题
13．（2020高二下·吉林月考） = .
14．（2020高二下·九台期中） ，则k=
15．（2020高二下·哈尔滨期末）曲线 与x轴及直线 所围成的图形的面积为 ．
16．（2020高二下·新余期末）已知 是函数 的导函数，定义 为 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的拐点，经研究发现，所有的三次函数 都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 ，若点 是函数 的“拐点”也是函数 图像上的点，则 .
三、解答题
17．（2019高三上·海淀月考）计算
18．（2020高二下·吉林月考）计算下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
19．（2018高二下·陆川月考）如图，求直线 与抛物线 所围成的图形的面积.
20．（2020高二下·吉林期中）将由曲线 和直线 ， 所围成图形的面积写成定积分的形式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】定积分
【解析】【解答】 ，
故答案为：A.
【分析】根据定积分的计算可得选项.
2．【答案】C
【知识点】定积分
【解析】【解答】在A中， ，
在B中，根据定积分的几何意义， ，
在C中， ，
根据定积分的运算法则与几何意义，易知 + = ，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的性质、几何意义、运算法则求解
3．【答案】C
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】∵ 为奇函数，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C
【分析】由 为奇函数，可知 ，从而易得结果.
4．【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由图可得阴影部分的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5．【答案】A
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】设 ，
所以 ，
，
所以 ，
解得 ，
即 .
故答案为：A
【分析】设 ，根据 ，由 求解.
6．【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】解：曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 ；
故答案为：C．
【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．
7．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】设 ，则 ，其中 ， .
的几何意义为图中阴影面积，设 ，易知 ，
则 .
故答案为：D.
【分析】设 ，变换得到 的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案.
8．【答案】C
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】解：由已知可得 ．
故答案为： ．
【分析】根据分段函数将定积分分段求，再根据定积分原理求定积分.
9．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ，
，
，
故答案为：D.
【分析】利用定积分求面积的方法，从而求出阴影部分的面积。
10．【答案】D
【知识点】定积分的简单应用；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ；
令 ，则 ，因为 表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分
则
故答案为：D
【分析】根据牛顿莱布尼兹公式求解即可.
11．【答案】D
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】因为 ，即 ，
又 ，所以 。
故答案为：D.
【分析】利用定积分求出 的等比中项，再利用等比中项公式结合等比数列的性质，从而得出，最后求出的值。
12．【答案】C
【知识点】定积分；定积分的简单应用
【解析】【解答】由题意得：
．
故答案为：C．
【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是 ， ，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】令
则
画出图像如下图:
所以定积分值为
【分析】根据定积分意义,画出几何图形,根据积分上限和下限即可求得其面积,即为积分值.
14．【答案】1
【知识点】定积分
【解析】【解答】由微积分基本定理可得： ，∴k＝1
故答案为1
【分析】先求出被积函数，然后利用微积分基本定理求解即可.
15．【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由题意知曲线 与x轴及直线 所围成的图形的面积为：
，
故答案为： .
【分析】直接根据定积分的几何意义求解即可.
16．【答案】
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 ，
， ，
由 ，
可得 ，解得 ，
因为点 是函数 的“拐点”，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
由 可得， ，
当 ， 时，对应圆中的部分面积为 ，
由定积分的意义可知， ，
，
，
故答案为：
【分析】根据新定义拐点可求出 ，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出 和 即可.
17．【答案】解： （2x ）dx
＝（x2+lnx）
＝e2+lne﹣1﹣ln1
＝e2
故答案为e2
【知识点】定积分
【解析】【分析】先求出被积函数2x 的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可．
18．【答案】（1）解：由题得
（2）解：令 ，
因为 等于 轴和曲线 所围成的曲边梯形的面积，
如图扇形 ，
扇形 的面积为 ，
所以 .
【知识点】定积分；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）由题得 ，计算即得解；（2）如图，先求出扇形 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可.
19．【答案】解： 或
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】通过求交点坐标确定积分上下限，利用微积分基本定理即可求出所围图形的面积.
20．【答案】解：曲线 和直线 ， 所围成图形如下图阴影部分所示：
则可表示为： .
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】画出曲线 和直线 ， 所围成图形，表示成定积分．
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