人教A版（2019）数学必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．（2019高一上·吉林月考）若球的体积与表面积相等，则球的半径是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019高一下·通榆月考）已知正方体外接球的体积是 π，那么正方体的棱长等于（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．π B．2π C．6π D．12π
4．（2018高二上·吕梁月考）设正方体的表面积为24 ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2018高二上·黑龙江月考）长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018高一下·宜昌期末）当圆锥的侧面积和底面积的比值是 2 时，圆锥侧面展开图的圆心角等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2018高一下·鹤岗期末）用与球心距离为 的平面去截球所得的截面面积为 ，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·天津模拟）如图，长方体 的体积是36，点E在棱 上，且 ，则三棱锥E-BCD的体积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
9．（2020·淮南模拟）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．（2019高一下·淮安期末）一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为 .
11．（2020高三上·青浦期末）已知正四棱柱底面边长为 ，体积为32，则此四棱柱的表面积为
12．（2020·秦淮模拟）已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 ，则该棱锥的体积为 .
13．（2019高一上·吉林月考）已知各个顶点都在同一个球面上的正三棱柱的棱长为 ，则这个球的表面积为 .
14．（2020·山东模拟）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 .
三、解答题
15．（2018高二上·万州期中）如图所示，四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长均为4，求这个四棱锥的体积及表面积.
16．（2018高二上·万州月考）
（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为 ，面积为 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为 ，求该三棱柱的体积.
17．（2017高一下·扶余期末）如图，某几何体的下部分是长为8，宽为6，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
（1）该几何体的体积；
（2）该几何体的表面积．
18．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为 ，由题意可得 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】设球的半径为 ，利用球体的体积和表面积公式建立关于 的方程，解出即可.
2．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R，立方体的棱长为a
由球的体积公式得：
解得：R=2
又∵球的直径即为内接正方体的体对角线
∴
∴
故答案为：D
【分析】首先根据球的体积公式求出球的半径，球的直径就是正方体的体对角线，然后求出正方体的棱长即可。
3．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，则由l· =2πr，所以l=6r，S表=S底+S侧=πr2+πr·6r=14π，解得r2=2，所以S侧=6πr2=12π.
故答案为：D
【分析】由已知圆锥的侧面展开图的弧长为2πr列式，可得l=6r，利用S表=S底+S侧列式，解得r2=2，即可求出该圆锥的侧面积 .
4．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：
∵正方体的全面积为24cm2，
∴正方体的棱长为2cm，
又∵球内切于该正方体，
∴这个球的直径为2cm，
则这个球的半径为1m，
∴球的体积V= .
故答案为：A．
【分析】先由已知正方体的全面积求出棱长，得到球的半径，再利用球的体积公式，即可求出这个球的体积.
5．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设长方体的棱长分别为 ，则 ，
所以 ，于是 ，
设球的半径为 ，则 ，所以这个球面的表面积为 ．
故答案为：C.
【分析】首先根据三个面积求出长方体的三个棱长，根据球的表面积公式求解。
6．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则 2，
∴ =2，设母线长l为2，r=1，则展开图的弧长为 ，以母线长为半径的圆的周长为4 ，故此时圆锥侧面展开图的圆心角等于 .
故答案为：D．
【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由题意得l=2r，设母线长l为2，r=1，则展开图的弧长为 ，以母线长为半径的圆的周长为4 ，即可得到圆锥侧面展开图的圆心角 .
7．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】截面面积 球的半径 球的表面积 ，
故答案为：C.
【分析】根据球的截面的性质，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可得到答案。
8．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为长方体 的体积是36，点E在棱 上，且 ，
所以 ，
三棱锥E-BCD的体积是
故答案为：B.
【分析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为 ，结合长方体 的体积是36可得结果.
9．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设正方体上底面所在平面截球得小圆 ，
则圆心 为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为 ，根据题意得球心到上底面的距离等于 ，
而圆 的半径为4，由球的截面圆性质，得 ，
解得： ．
∴球的表面积为 ．
故答案为：B．
【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆 ，可得圆心 为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为 ，根据题意得球心到上底面的距离等于 ，而圆 的半径为4，由球的截面圆性质建立关于 的方程并解出 即可求出球的表面积．
10．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设长方体中同顶点的三条棱的长分别为
则可设： ，三式相乘可知
长方体的体积：
故答案为：
【分析】设出长方体的长宽高，根据三个面的面积，解方程组，求出长宽高，即可得到长方体的体积.
11．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设正四棱柱的高为 ，由底面边长为 ，体积为 ，
则 ，即 ；
所以此四棱柱的表面积为：
．
故答案为： ．
【分析】求出正四棱柱的高，再计算此四棱柱的表面积．
12．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由已知条件，得出正四棱锥侧面的高 ，从而得出正四棱锥的高为 ，再利用棱锥的体积公式，所以该正四棱锥的体积为 ，故答案为 .
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合已知条件，从而求出正四棱锥的高，再利用正四棱锥的体积公式，从而求出该正四棱锥的体积。
13．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设正三棱柱底面三角形的外接圆半径为 ，正三棱柱底面三角形的高为 ，
由题意可得 ，
由于该正三棱柱的高为 ，所以，外接球的半径 ，
因此，该球的表面积为 .
故答案为： .
【分析】设正三棱柱底面三角形的外接圆半径为 ，利用重心的性质求出 的值，然后利用公式 （ 为正三棱柱的高），计算出球的半径 ，最后利用球体的表面积公式可计算出该正三棱柱外接球的表面积.
14．【答案】 .
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：
设圆柱的底面圆半径为 ，则 ，所以轴截面的面积为 ，解得 ，
因此，该圆柱的外接球的半径 ，
所以球的表面积为 .
故答案为
【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.
15．【答案】解：连结 交于点 ,连结 ,
∵四棱锥 的底面为边长等于2的正方形，顶点 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长4，∴ ，∴
∴这个四棱锥的体积：
∴该四棱锥的表面积：
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】根据题意连结 交于点 ,连结 ，结合已知条件得出 ， ，根据四棱锥的体积公式以及表面积公式得出结果。
16．【答案】（1）解：设圆锥的底面半径、母线长分别为 ，
则 ，解得
所以圆锥的高为 ，得表面积是 ，体积是
（2）解：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，
设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝ ，又易得AM＝ ，
由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，
所以该三棱柱的体积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）分别计算出母线和半径的长， 利用勾股定理，得出高，计算表面积和体积，即可得出答案。（2）结合勾股定理，构造三角形，计算高h，利用体积计算公式，即可得出答案。
17．【答案】（1）解：
所以该几何体的体积为192
（2）解：设PO为四棱锥 的高，
E为 的中点，F为 的中点，
PO=3，OF=3，OE=4，
所以PE=5，
所以该几何体的表面积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】(1)由棱锥和长方体的体积公式求解；
(2)几何体的表面由棱锥的侧面和长方体的五个面组成.
18．【答案】解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，而V半球＝ × πr3＝ × π×43，V圆锥＝ Sh＝ πr2h = π×42×h，则有 π×42×h≥ × π×43，解得h≥8．
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝ ，所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【分析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，进而求出h应满足的范围.
1 / 1人教A版（2019）数学必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．（2019高一上·吉林月考）若球的体积与表面积相等，则球的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为 ，由题意可得 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】设球的半径为 ，利用球体的体积和表面积公式建立关于 的方程，解出即可.
2．（2019高一下·通榆月考）已知正方体外接球的体积是 π，那么正方体的棱长等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R，立方体的棱长为a
由球的体积公式得：
解得：R=2
又∵球的直径即为内接正方体的体对角线
∴
∴
故答案为：D
【分析】首先根据球的体积公式求出球的半径，球的直径就是正方体的体对角线，然后求出正方体的棱长即可。
3．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．π B．2π C．6π D．12π
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，则由l· =2πr，所以l=6r，S表=S底+S侧=πr2+πr·6r=14π，解得r2=2，所以S侧=6πr2=12π.
故答案为：D
【分析】由已知圆锥的侧面展开图的弧长为2πr列式，可得l=6r，利用S表=S底+S侧列式，解得r2=2，即可求出该圆锥的侧面积 .
4．（2018高二上·吕梁月考）设正方体的表面积为24 ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：
∵正方体的全面积为24cm2，
∴正方体的棱长为2cm，
又∵球内切于该正方体，
∴这个球的直径为2cm，
则这个球的半径为1m，
∴球的体积V= .
故答案为：A．
【分析】先由已知正方体的全面积求出棱长，得到球的半径，再利用球的体积公式，即可求出这个球的体积.
5．（2018高二上·黑龙江月考）长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设长方体的棱长分别为 ，则 ，
所以 ，于是 ，
设球的半径为 ，则 ，所以这个球面的表面积为 ．
故答案为：C.
【分析】首先根据三个面积求出长方体的三个棱长，根据球的表面积公式求解。
6．（2018高一下·宜昌期末）当圆锥的侧面积和底面积的比值是 2 时，圆锥侧面展开图的圆心角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则 2，
∴ =2，设母线长l为2，r=1，则展开图的弧长为 ，以母线长为半径的圆的周长为4 ，故此时圆锥侧面展开图的圆心角等于 .
故答案为：D．
【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由题意得l=2r，设母线长l为2，r=1，则展开图的弧长为 ，以母线长为半径的圆的周长为4 ，即可得到圆锥侧面展开图的圆心角 .
7．（2018高一下·鹤岗期末）用与球心距离为 的平面去截球所得的截面面积为 ，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】截面面积 球的半径 球的表面积 ，
故答案为：C.
【分析】根据球的截面的性质，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可得到答案。
8．（2020·天津模拟）如图，长方体 的体积是36，点E在棱 上，且 ，则三棱锥E-BCD的体积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为长方体 的体积是36，点E在棱 上，且 ，
所以 ，
三棱锥E-BCD的体积是
故答案为：B.
【分析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为 ，结合长方体 的体积是36可得结果.
9．（2020·淮南模拟）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设正方体上底面所在平面截球得小圆 ，
则圆心 为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为 ，根据题意得球心到上底面的距离等于 ，
而圆 的半径为4，由球的截面圆性质，得 ，
解得： ．
∴球的表面积为 ．
故答案为：B．
【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆 ，可得圆心 为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为 ，根据题意得球心到上底面的距离等于 ，而圆 的半径为4，由球的截面圆性质建立关于 的方程并解出 即可求出球的表面积．
二、填空题
10．（2019高一下·淮安期末）一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设长方体中同顶点的三条棱的长分别为
则可设： ，三式相乘可知
长方体的体积：
故答案为：
【分析】设出长方体的长宽高，根据三个面的面积，解方程组，求出长宽高，即可得到长方体的体积.
11．（2020高三上·青浦期末）已知正四棱柱底面边长为 ，体积为32，则此四棱柱的表面积为
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设正四棱柱的高为 ，由底面边长为 ，体积为 ，
则 ，即 ；
所以此四棱柱的表面积为：
．
故答案为： ．
【分析】求出正四棱柱的高，再计算此四棱柱的表面积．
12．（2020·秦淮模拟）已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 ，则该棱锥的体积为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由已知条件，得出正四棱锥侧面的高 ，从而得出正四棱锥的高为 ，再利用棱锥的体积公式，所以该正四棱锥的体积为 ，故答案为 .
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合已知条件，从而求出正四棱锥的高，再利用正四棱锥的体积公式，从而求出该正四棱锥的体积。
13．（2019高一上·吉林月考）已知各个顶点都在同一个球面上的正三棱柱的棱长为 ，则这个球的表面积为 .
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设正三棱柱底面三角形的外接圆半径为 ，正三棱柱底面三角形的高为 ，
由题意可得 ，
由于该正三棱柱的高为 ，所以，外接球的半径 ，
因此，该球的表面积为 .
故答案为： .
【分析】设正三棱柱底面三角形的外接圆半径为 ，利用重心的性质求出 的值，然后利用公式 （ 为正三棱柱的高），计算出球的半径 ，最后利用球体的表面积公式可计算出该正三棱柱外接球的表面积.
14．（2020·山东模拟）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 .
【答案】 .
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：
设圆柱的底面圆半径为 ，则 ，所以轴截面的面积为 ，解得 ，
因此，该圆柱的外接球的半径 ，
所以球的表面积为 .
故答案为
【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.
三、解答题
15．（2018高二上·万州期中）如图所示，四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长均为4，求这个四棱锥的体积及表面积.
【答案】解：连结 交于点 ,连结 ,
∵四棱锥 的底面为边长等于2的正方形，顶点 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长4，∴ ，∴
∴这个四棱锥的体积：
∴该四棱锥的表面积：
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】根据题意连结 交于点 ,连结 ，结合已知条件得出 ， ，根据四棱锥的体积公式以及表面积公式得出结果。
16．（2018高二上·万州月考）
（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为 ，面积为 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为 ，求该三棱柱的体积.
【答案】（1）解：设圆锥的底面半径、母线长分别为 ，
则 ，解得
所以圆锥的高为 ，得表面积是 ，体积是
（2）解：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，
设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝ ，又易得AM＝ ，
由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，
所以该三棱柱的体积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）分别计算出母线和半径的长， 利用勾股定理，得出高，计算表面积和体积，即可得出答案。（2）结合勾股定理，构造三角形，计算高h，利用体积计算公式，即可得出答案。
17．（2017高一下·扶余期末）如图，某几何体的下部分是长为8，宽为6，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
（1）该几何体的体积；
（2）该几何体的表面积．
【答案】（1）解：
所以该几何体的体积为192
（2）解：设PO为四棱锥 的高，
E为 的中点，F为 的中点，
PO=3，OF=3，OE=4，
所以PE=5，
所以该几何体的表面积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】(1)由棱锥和长方体的体积公式求解；
(2)几何体的表面由棱锥的侧面和长方体的五个面组成.
18．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
【答案】解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，而V半球＝ × πr3＝ × π×43，V圆锥＝ Sh＝ πr2h = π×42×h，则有 π×42×h≥ × π×43，解得h≥8．
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝ ，所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【分析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，进而求出h应满足的范围.
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