初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.1 等腰三角形
一、单选题
1．（2020八上·安仁期中）在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和4cm，则它的周长为（ ）
A．10cm B．12 cm C．20 cm或16 cm D．20 cm
2．（2020八上·萧山月考）如果等腰三角形的一个外角为140°，那么底角为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．40°或70°
3．（2020八上·温州月考）下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合
B．等角对等边
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．等腰三角形两个底角相等
4．（2020八上·莘县期中）已知 是 的两边，且 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
5．（2020八上·哈尔滨月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，在x轴上确定点P，使 为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2020八上·长春月考）如图，在△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作EG∥BC分别交于点AB、AC于点E、G．若AB=9，BC=10，AC=11，则△AEG的周长为（ ）
A．15 B．20 C．21 D．19
7．（2020八上·柯桥月考）等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角（ ）
A．等于顶角 B．等于顶角的一半
C．等于顶角的2倍 D．等于底角的一半
8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC 交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF＝BE＋CF； ②∠BOC＝90°＋ ∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
9．（2020八上·安仁期中）如图，△ABC的周长为18，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为13，那么AD的长为 ．
10．（2020七下·上海月考）在△ABC
中，AB=AC，AD⊥BC，BC=10cm，
则 BD= cm．
11．如图，△ABC中.点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点.若∠CAE=16°，则∠B为 度.
12．（2020八上·奎文期中）如图，已知点P是射线 上一动点， 若 为等腰三角形，则 ．
13．（2020八下·上饶月考）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=4，Q为AB边的中点，P为CD边上的动点，且△AQP是腰长为5的等腰三角形，则CP的长为 ．
三、解答题
14．（2020八上·椒江期末）如图，已知AB∥CD，AC平分∠DAB.
求证：△ADC是等腰三角形.
15．（2020八上·富顺期中）已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求证：△ABC是等腰三角形．
16．（2020八上·北京期中）已知：如图， AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当腰是4，底边是8时，4+4=8，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4，腰长是8时，能构成三角形，则其周长=8+8+4=20．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系作答即可。
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵外角为140°，∴与它相邻的内角是180°﹣140°=40°；
①当40°是顶角时，底角是（180°﹣40°）÷2=70°；②当40°是底角时，底角是40°.
故答案为：D.
【分析】先求出与这个外角相邻的内角，再分①当40°是顶角时与②当40°是底角时两种情况求解即可.
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： A：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高三线重合，不符合题意；
B、 在同一三角形中等角对等边，不符合题意；
C、等腰三角形不一定是锐角三角形，如顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，不符合题意；
D、 等腰三角形两个底角相等，正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高三线重合；在同一三角形中等角对等边，不同的三角形中，等角不一定对等边；等腰三角形不一定是锐角三角形；等腰三角形两个底角一定相等。
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：因为： ，所以： ，
所以： ，所以三角形ABC是等腰三角形，
故答案为：A．
【分析】把 变形得到 可得三角形形状．
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣ ，0），P3（ ，0），
当AP2＝OP2时，P2（1，0），
当AO＝AP4时，P4（2，0），
故符合条件的点有4个．
故答案为：C．
【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EG∥BC，
∴∠EFB＝∠FBC，∠GFC＝∠FCB，
∵BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBF＝∠FBC，∠GCF＝∠FCB，
∴∠EBF＝∠EFB，∠GFC＝∠GCF，
∴EF＝EB，FG＝GC，
∴△AEG的周长＝AE+EF+FG+AG＝AE+EB+AG+GC＝AB+AC＝9+11=20
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBF＝∠EFB，∠GFC＝∠GCF，进而可得EF＝EB，FG＝GC，再根据三角形的周长和线段的和差解答即可．
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC，
∵CD⊥AB，
∠CBD=ABE，
∴∠BAE=∠BCD，
∴∠BCD=∠BAC.
故答案为：B.
【分析】过A作AE⊥BC，由等腰三角形的性质可知AE平分顶角，然后利用三角形内角和定理推出∠BAE=∠BCD，可得∠BCD=∠BAC，即等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半 .
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴，，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴，
∴，故②正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC ，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
如下图，过点O作OM⊥AB于点M，过点O作ON⊥BC于点N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，即：点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；
∴，故④错误.
故正确的是①②③.
故答案为：A.
【分析】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线定义和三角形内角和定理，即可推得，故②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形，得出EF=BE+CF，故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理及三角形面积，可求得，故④错误. 此题考查角平分线的定义与性质，等腰三角形的判断和性质，注意数形结合思想的运用.
9．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵AB+AC+BC=18，
即AB+BD+CD+AC=18，
∴AC+DC=9，
又∵AC+DC+AD=13，
∴AD ，
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的性质作答即可。
10．【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝ BC＝ ×10＝5cm．
故答案为：5．
【分析】根等腰三角形三线合一的性质可得BD＝ BC．
11．【答案】37
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为：37.
【分析】先判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论.
12．【答案】50°、80°或65
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在P运动的过程中有三种情况，分别求解．
第一种情况，当AO为等腰三角形底边时，得AP=PO，
∴∠A=∠AON=50°；
第二种情况，当PO为等腰三角形底边时，得AP=AO，
∴∠APO=∠AON=50°
∴∠A=80°；
第三种情况，当AP为等腰三角形底边时，得PO=AO，
∴∠A= ．
故答案为：50°、80°或65°．
【分析】此题没有明确底边和腰，要分情况求解．
13．【答案】2、7或8．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=10，点Q是BA的中点，
∴AQ=BQ= BA= ×10=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=10，∠B=∠C=∠D=90°，
①如图1，PQ=AQ=5时，过点P作PE⊥BA于E，
根据勾股定理，QE= ，
∴BE=BQ+QE=5+3=8，
∴CP=BE=8；
②如图2，AP=AQ=5时，
根据勾股定理，DP= ，
∴CP=10-3=7；
③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时，过点P作PE⊥BA于E，
根据勾股定理：QE= ，
∵BE=QB-EQ=5-3=2，
∴CP=BE=2，
综上所述，CP的长为2或7或8．
故答案为：2、7或8．
【分析】首先计算出QB的长，再分三种情况：①如图1，PQ=AQ=5时；②如图2，AP=AQ=5时；③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时分别计算出CP的长即可．
14．【答案】证明:∵AB//CD:.∠DCA=∠CAB
∵AC平分∠DAB.:.∠DAC=∠CAB
:.∠DCA=∠DAC
:.AD=CD即△ADC是等腰三角形。
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出∠DCA=∠CAB，再根据角平分线定义，得出∠DAC=∠CAB，等量代换得到∠DCA=∠DAC，进而得到AD=CD即△ADC是等腰三角形.
15．【答案】证明：过O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
∵∠1=∠2， ∴OB=OC，
∵AO平分∠BAC， ∴OD=OE，
∴RTΔODB≌RTΔOEC（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∴∠ABO+∠1=∠ACO+∠2，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC， ∴ΔABC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题意，想证明三角形为等腰三角形，证明∠ABC=∠ACB即可，只要∠5=∠6，三角形全等即可。
16．【答案】证明：作AF⊥BC于F，
∵AB=AC（已知），
∴BF=CF（三线合一），
又∵AD=AE（已知），
∴DF=EF（三线合一），
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE（等式的性质）．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】此题可以用证明全等三角形的方法解决；也可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.1 等腰三角形
一、单选题
1．（2020八上·安仁期中）在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和4cm，则它的周长为（ ）
A．10cm B．12 cm C．20 cm或16 cm D．20 cm
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当腰是4，底边是8时，4+4=8，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4，腰长是8时，能构成三角形，则其周长=8+8+4=20．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系作答即可。
2．（2020八上·萧山月考）如果等腰三角形的一个外角为140°，那么底角为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．40°或70°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵外角为140°，∴与它相邻的内角是180°﹣140°=40°；
①当40°是顶角时，底角是（180°﹣40°）÷2=70°；②当40°是底角时，底角是40°.
故答案为：D.
【分析】先求出与这个外角相邻的内角，再分①当40°是顶角时与②当40°是底角时两种情况求解即可.
3．（2020八上·温州月考）下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合
B．等角对等边
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．等腰三角形两个底角相等
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： A：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高三线重合，不符合题意；
B、 在同一三角形中等角对等边，不符合题意；
C、等腰三角形不一定是锐角三角形，如顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，不符合题意；
D、 等腰三角形两个底角相等，正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高三线重合；在同一三角形中等角对等边，不同的三角形中，等角不一定对等边；等腰三角形不一定是锐角三角形；等腰三角形两个底角一定相等。
4．（2020八上·莘县期中）已知 是 的两边，且 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：因为： ，所以： ，
所以： ，所以三角形ABC是等腰三角形，
故答案为：A．
【分析】把 变形得到 可得三角形形状．
5．（2020八上·哈尔滨月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，在x轴上确定点P，使 为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣ ，0），P3（ ，0），
当AP2＝OP2时，P2（1，0），
当AO＝AP4时，P4（2，0），
故符合条件的点有4个．
故答案为：C．
【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．
6．（2020八上·长春月考）如图，在△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作EG∥BC分别交于点AB、AC于点E、G．若AB=9，BC=10，AC=11，则△AEG的周长为（ ）
A．15 B．20 C．21 D．19
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EG∥BC，
∴∠EFB＝∠FBC，∠GFC＝∠FCB，
∵BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBF＝∠FBC，∠GCF＝∠FCB，
∴∠EBF＝∠EFB，∠GFC＝∠GCF，
∴EF＝EB，FG＝GC，
∴△AEG的周长＝AE+EF+FG+AG＝AE+EB+AG+GC＝AB+AC＝9+11=20
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBF＝∠EFB，∠GFC＝∠GCF，进而可得EF＝EB，FG＝GC，再根据三角形的周长和线段的和差解答即可．
7．（2020八上·柯桥月考）等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角（ ）
A．等于顶角 B．等于顶角的一半
C．等于顶角的2倍 D．等于底角的一半
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC，
∵CD⊥AB，
∠CBD=ABE，
∴∠BAE=∠BCD，
∴∠BCD=∠BAC.
故答案为：B.
【分析】过A作AE⊥BC，由等腰三角形的性质可知AE平分顶角，然后利用三角形内角和定理推出∠BAE=∠BCD，可得∠BCD=∠BAC，即等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半 .
8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC 交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF＝BE＋CF； ②∠BOC＝90°＋ ∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴，，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴，
∴，故②正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC ，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
如下图，过点O作OM⊥AB于点M，过点O作ON⊥BC于点N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，即：点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；
∴，故④错误.
故正确的是①②③.
故答案为：A.
【分析】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线定义和三角形内角和定理，即可推得，故②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形，得出EF=BE+CF，故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理及三角形面积，可求得，故④错误. 此题考查角平分线的定义与性质，等腰三角形的判断和性质，注意数形结合思想的运用.
二、填空题
9．（2020八上·安仁期中）如图，△ABC的周长为18，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为13，那么AD的长为 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵AB+AC+BC=18，
即AB+BD+CD+AC=18，
∴AC+DC=9，
又∵AC+DC+AD=13，
∴AD ，
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的性质作答即可。
10．（2020七下·上海月考）在△ABC
中，AB=AC，AD⊥BC，BC=10cm，
则 BD= cm．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝ BC＝ ×10＝5cm．
故答案为：5．
【分析】根等腰三角形三线合一的性质可得BD＝ BC．
11．如图，△ABC中.点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点.若∠CAE=16°，则∠B为 度.
【答案】37
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为：37.
【分析】先判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论.
12．（2020八上·奎文期中）如图，已知点P是射线 上一动点， 若 为等腰三角形，则 ．
【答案】50°、80°或65
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在P运动的过程中有三种情况，分别求解．
第一种情况，当AO为等腰三角形底边时，得AP=PO，
∴∠A=∠AON=50°；
第二种情况，当PO为等腰三角形底边时，得AP=AO，
∴∠APO=∠AON=50°
∴∠A=80°；
第三种情况，当AP为等腰三角形底边时，得PO=AO，
∴∠A= ．
故答案为：50°、80°或65°．
【分析】此题没有明确底边和腰，要分情况求解．
13．（2020八下·上饶月考）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=4，Q为AB边的中点，P为CD边上的动点，且△AQP是腰长为5的等腰三角形，则CP的长为 ．
【答案】2、7或8．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=10，点Q是BA的中点，
∴AQ=BQ= BA= ×10=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=10，∠B=∠C=∠D=90°，
①如图1，PQ=AQ=5时，过点P作PE⊥BA于E，
根据勾股定理，QE= ，
∴BE=BQ+QE=5+3=8，
∴CP=BE=8；
②如图2，AP=AQ=5时，
根据勾股定理，DP= ，
∴CP=10-3=7；
③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时，过点P作PE⊥BA于E，
根据勾股定理：QE= ，
∵BE=QB-EQ=5-3=2，
∴CP=BE=2，
综上所述，CP的长为2或7或8．
故答案为：2、7或8．
【分析】首先计算出QB的长，再分三种情况：①如图1，PQ=AQ=5时；②如图2，AP=AQ=5时；③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时分别计算出CP的长即可．
三、解答题
14．（2020八上·椒江期末）如图，已知AB∥CD，AC平分∠DAB.
求证：△ADC是等腰三角形.
【答案】证明:∵AB//CD:.∠DCA=∠CAB
∵AC平分∠DAB.:.∠DAC=∠CAB
:.∠DCA=∠DAC
:.AD=CD即△ADC是等腰三角形。
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出∠DCA=∠CAB，再根据角平分线定义，得出∠DAC=∠CAB，等量代换得到∠DCA=∠DAC，进而得到AD=CD即△ADC是等腰三角形.
15．（2020八上·富顺期中）已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明：过O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
∵∠1=∠2， ∴OB=OC，
∵AO平分∠BAC， ∴OD=OE，
∴RTΔODB≌RTΔOEC（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∴∠ABO+∠1=∠ACO+∠2，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC， ∴ΔABC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题意，想证明三角形为等腰三角形，证明∠ABC=∠ACB即可，只要∠5=∠6，三角形全等即可。
16．（2020八上·北京期中）已知：如图， AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
【答案】证明：作AF⊥BC于F，
∵AB=AC（已知），
∴BF=CF（三线合一），
又∵AD=AE（已知），
∴DF=EF（三线合一），
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE（等式的性质）．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】此题可以用证明全等三角形的方法解决；也可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
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