高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量基本定理
一、单选题
1．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；
②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③平面向量的基向量可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．
正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；
平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；
平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，
如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．
综上，正确的命题是②③．
故选：B．
【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可。
2．（2020高一下·太原期中）在△ABC中，D是AB的中点，H是CD的中点，若 =λ +μ （x，μ∈R），则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】∵D为AB中点，H为CD中点，
故答案为：B．
【分析】用 ， 表示出 ，由平面向量基本定义可得出λ，μ的值即可得出答案．
3．（2019高二上·宁波期中）有下列说法：
①若 ，则 与 ， 共面；②若 与 ， 共面，则 ；
③若 ，则 共面；④若 共面，
则 .其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：①若 ， 中有一个为 ，则 与 ， 共面；若 ， 均不为为 ，则根据平面向量基本定理可知， 与 ， 共面，所以①正确；②若 ， 则 不一定能用 ， 表示，所以②不正确；③与①等同，根据平面向量基本定理可知，③正确；④与②类似，当 三点共线时，点 不在此直线上，则 就不成立；
故答案为：C.
【分析】① ，则根据平面向量基本定理知 必与 ， 共面，③同①；②若 ， 则 不一定能用 ， 表示，④同②，则可判断结果.
4．（2020·海南模拟）在 中，设 ，点 为对角线 上靠近点 的一个五等分点， 的延长线交 于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图,
由题,则 ,
可得 ,所以 ,
所以 , ,
所以 ,
故选:B
【分析】由 且 为对角线 上靠近点 的一个五等分点可得 ,则 ,进而可得 , ,即可求解.
5．（2020·海南模拟）在 中， 的中点为 ， 的中点为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 .
故选：B
【分析】根据平面向量的运算法则即可求解.
6．（2019高二上·株洲月考）已知 和点 满足 ，若存在实数 使得 成立，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 ， ，
，因此， .
故答案为：C.
【分析】由 得出 ，再利用 、 、 表示向量 、 ，利用已知条件可求得实数 的值.
7．（2020高三上·通榆期中）如图，在正方形 中， 是线段 上的一动点， 交 于点 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】取向量 ， 作为一组基底，则有 ， .因为向量 与 共线，所以 ，即 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合共线定理和平面向量基本定理，从而求出的值。
8．（2021·淮北模拟）在 中，点D是线段 (不包括端点)上的动点，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】设 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
又 ， ，
故答案为：B.
【分析】因为在 中，点D是线段 (不包括端点)上的动点，所以设 ，再利用三角形法则推出 ，所以 ，再利用已知条件 ， 从而求出 ，所以 ， ，从而求出x+y的值和xy的正负，进而找出正确的选项。
9．（2020高一上·合肥期末）已知 是两个不共线向量，且 ， .若向量 与 共线，则实数 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】根据平面向量共线基本定理,若向量 与 共线
则满足
即
所以满足 ,解得
故答案为：A
【分析】根据平面向量共线基本定理,设 ,即可解方程组求得 的值.
二、多选题
10．下列命题中是假命题的为（ ）
A．若向量 ，则 与 ， 共面
B．若 与 ， 共面，则
C．若 ，则 ， ， ， 四点共面
D．若 ， ， ， 四点共面，则
【答案】B,D
【知识点】平面向量的基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】对于A：由平面向量基本定理得 与 ， 共面，A是真命题；
对于B：若 ， 共线， 不一定能用 ， 表示出来，B是假命题；
对于C：若 ，则 三个向量在同一个平面内， ， ， ， 四点共面，C是真命题；
对于D：若 ， ， 共线，点P不在此直线上，则 不成立，D是假命题；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件和向量共面的判断方法，再结合平面向量基本定理和三点共线的判断方法，进而得出假命题的选项。
11．（2020高三上·海口月考）如图，在梯形 中， ， ， 与 相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】A. ，所以A符合题意；
B. 正确，所以B符合题意；
C. ，所以 ，即 ，所以 ，所以C符合题意；
D. ，D不正确.
故答案为：ABC
【分析】由条件可知， ，所以 ，再根据向量加减法的法则，分别计算每个选项.
12．（2020高三上·重庆月考）设点 是 的外心，且 ，那么下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则四边形 的面积是5
D．若 且 ，则 的最大值是
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【解答】如图1，
A： ， ，
则点 ， ， 三点共线，
又直角三角形的外心在斜边上，故 ，正确；
B：若 ，则点 ， ， 三点共线，
故 中， ，此时 为 的中点，
则 ，不满足 ，错误；
选项： ，则点 在 外，
又 ，即 ， ，
所以 ，正确；
D： ，
即 ，
因为 ， ，
平方则有 ，
化简得 ，
即 （当 时取＝），
故有 或 （舍掉），故 ，正确，
故答案为：ACD．
【分析】利用向量的运算对选项进行逐一分析，结合重要不等式等可得答案.
三、填空题
13．（2020高二上·泉州月考）如图，在菱形 中， ， 分别是 的中点，若线段 有一点 满足 ，则 ， ．
【答案】；
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设 ，
在菱形 中， 分别是 的中点，所以
，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
因为在菱形 中， ，
所以 .
故答案为： ； .
【分析】利用平面向量基本定理得到 ，结合可求 的值；根据平面向量的数量积即可求出 .
14．（2020高二下·天津期末）已知 中，D为边 上的点，且 ，若 ，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图，过D做 ， ，
则可得出， ，
所以， ，
由四边形法则可得， ，
，
故答案为：
【分析】根据平行四边形法则和平面向量基本定理，对 进行分解，即可得出答案.
15．（2020高一下·天津月考）在梯形 中，已知 ， ， ，若 ，则 =
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】根据题意， ， ， ，画出梯形 如下图所示：
则
因为
所以
则
故答案为：
【分析】根据题意画出梯形 ，由平面向量的线性运算及平面向量基本定理，即可求得 的值，从而求得 的值.
16．（2020高三上·闵行期末）在 中，已知 ， ， 为 的重心，用向量 表示向量
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；三角形五心
【解析】【解答】由重心的性质可知 ，
所以 .
故答案为：
【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.
17．（2020高二上·永州期末）在长方体 中， 为 与 的交点，设 ， ， ，则向量 （用 ， ， 表示）.
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如下图所示，由于四边形 为矩形， 为 与 的交点，则 为 的中点，
由题可得 .
故答案为： .
【分析】由题意画出图形，再由向量加法的三角形法则和平行四边形法则求解即可。
四、解答题
18．（2020高二上·莆田月考）如图，平行四边形ABCD中， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 为 上一点，且 ．
（1）以 ， 为基底表示向量 与 ；
（2）若 ， ， 与 的夹角为 ，求 ．
【答案】（1）解：∵平行四边形 中， ， ， ， 是 ， 的中点， ，
∴ ，
（2）解：∵ ， ， 与 的夹角为 ，∴ ，
∴
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)由题可得： ，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到； (2)先求出 ，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.
19．（2020高一下·临渭月考）在 中，E、F分别是BC、DC的中点，G为交点，若 ， ，试以 为基底表示 .
【答案】解：根据图形得：
连接BD，由条件可知G为 的重心，设BD的中点为O
因此
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【分析】利用已知条件结合三角形法则和共线定理，再结合重心的性质结合中点的性质，再利用平面向量基本定理，进而以 为基底表示 。
20．（2020高一下·温州期中）如图，在 中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设 ， .
（1）用 表示向量 ， ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：因为点A是BC的中点，所以 ，所以 ，
又点D是靠近点B将OB分成2：1的个内分点，所以 ，
所以 .
（2）解：因为C，E，D三点共线，所以存在实数 ，使得 ，
又 ， ，所以 ,
又 不共线，则 ，解得 .
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】(1)根据平行四边形法则结合平面向量基本定理可得 表示 ;(2)根据向量关系的条件建立方程关系,可求出实数 的值.
21．（2020高一上·吉林期末）如图，已知平行四边形 ， 是 与 的交点，设 ．
（Ⅰ）用 表示 和 ；
（Ⅱ）若 ， ，求 ．
【答案】解：（Ⅰ）依题意可知， 是 的中点，
,
（Ⅱ） , ，
．
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平行四边形法则和平面向量基本定理，从而用 表示出 和 。
（2）利用已知条件结合平行四边形法则和向量的数量积求向量的模的公式，再利用数量积的定义，从而求出 。
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量基本定理
一、单选题
1．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；
②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③平面向量的基向量可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．
正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020高一下·太原期中）在△ABC中，D是AB的中点，H是CD的中点，若 =λ +μ （x，μ∈R），则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高二上·宁波期中）有下列说法：
①若 ，则 与 ， 共面；②若 与 ， 共面，则 ；
③若 ，则 共面；④若 共面，
则 .其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
4．（2020·海南模拟）在 中，设 ，点 为对角线 上靠近点 的一个五等分点， 的延长线交 于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·海南模拟）在 中， 的中点为 ， 的中点为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2019高二上·株洲月考）已知 和点 满足 ，若存在实数 使得 成立，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2020高三上·通榆期中）如图，在正方形 中， 是线段 上的一动点， 交 于点 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
8．（2021·淮北模拟）在 中，点D是线段 (不包括端点)上的动点，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2020高一上·合肥期末）已知 是两个不共线向量，且 ， .若向量 与 共线，则实数 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C． D．
二、多选题
10．下列命题中是假命题的为（ ）
A．若向量 ，则 与 ， 共面
B．若 与 ， 共面，则
C．若 ，则 ， ， ， 四点共面
D．若 ， ， ， 四点共面，则
11．（2020高三上·海口月考）如图，在梯形 中， ， ， 与 相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020高三上·重庆月考）设点 是 的外心，且 ，那么下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则四边形 的面积是5
D．若 且 ，则 的最大值是
三、填空题
13．（2020高二上·泉州月考）如图，在菱形 中， ， 分别是 的中点，若线段 有一点 满足 ，则 ， ．
14．（2020高二下·天津期末）已知 中，D为边 上的点，且 ，若 ，则 .
15．（2020高一下·天津月考）在梯形 中，已知 ， ， ，若 ，则 =
16．（2020高三上·闵行期末）在 中，已知 ， ， 为 的重心，用向量 表示向量
17．（2020高二上·永州期末）在长方体 中， 为 与 的交点，设 ， ， ，则向量 （用 ， ， 表示）.
四、解答题
18．（2020高二上·莆田月考）如图，平行四边形ABCD中， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 为 上一点，且 ．
（1）以 ， 为基底表示向量 与 ；
（2）若 ， ， 与 的夹角为 ，求 ．
19．（2020高一下·临渭月考）在 中，E、F分别是BC、DC的中点，G为交点，若 ， ，试以 为基底表示 .
20．（2020高一下·温州期中）如图，在 中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设 ， .
（1）用 表示向量 ， ；
（2）若 ，求 的值.
21．（2020高一上·吉林期末）如图，已知平行四边形 ， 是 与 的交点，设 ．
（Ⅰ）用 表示 和 ；
（Ⅱ）若 ， ，求 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；
平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；
平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，
如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．
综上，正确的命题是②③．
故选：B．
【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可。
2．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】∵D为AB中点，H为CD中点，
故答案为：B．
【分析】用 ， 表示出 ，由平面向量基本定义可得出λ，μ的值即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：①若 ， 中有一个为 ，则 与 ， 共面；若 ， 均不为为 ，则根据平面向量基本定理可知， 与 ， 共面，所以①正确；②若 ， 则 不一定能用 ， 表示，所以②不正确；③与①等同，根据平面向量基本定理可知，③正确；④与②类似，当 三点共线时，点 不在此直线上，则 就不成立；
故答案为：C.
【分析】① ，则根据平面向量基本定理知 必与 ， 共面，③同①；②若 ， 则 不一定能用 ， 表示，④同②，则可判断结果.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图,
由题,则 ,
可得 ,所以 ,
所以 , ,
所以 ,
故选:B
【分析】由 且 为对角线 上靠近点 的一个五等分点可得 ,则 ,进而可得 , ,即可求解.
5．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 .
故选：B
【分析】根据平面向量的运算法则即可求解.
6．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 ， ，
，因此， .
故答案为：C.
【分析】由 得出 ，再利用 、 、 表示向量 、 ，利用已知条件可求得实数 的值.
7．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】取向量 ， 作为一组基底，则有 ， .因为向量 与 共线，所以 ，即 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合共线定理和平面向量基本定理，从而求出的值。
8．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】设 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
又 ， ，
故答案为：B.
【分析】因为在 中，点D是线段 (不包括端点)上的动点，所以设 ，再利用三角形法则推出 ，所以 ，再利用已知条件 ， 从而求出 ，所以 ， ，从而求出x+y的值和xy的正负，进而找出正确的选项。
9．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】根据平面向量共线基本定理,若向量 与 共线
则满足
即
所以满足 ,解得
故答案为：A
【分析】根据平面向量共线基本定理,设 ,即可解方程组求得 的值.
10．【答案】B,D
【知识点】平面向量的基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】对于A：由平面向量基本定理得 与 ， 共面，A是真命题；
对于B：若 ， 共线， 不一定能用 ， 表示出来，B是假命题；
对于C：若 ，则 三个向量在同一个平面内， ， ， ， 四点共面，C是真命题；
对于D：若 ， ， 共线，点P不在此直线上，则 不成立，D是假命题；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件和向量共面的判断方法，再结合平面向量基本定理和三点共线的判断方法，进而得出假命题的选项。
11．【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】A. ，所以A符合题意；
B. 正确，所以B符合题意；
C. ，所以 ，即 ，所以 ，所以C符合题意；
D. ，D不正确.
故答案为：ABC
【分析】由条件可知， ，所以 ，再根据向量加减法的法则，分别计算每个选项.
12．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【解答】如图1，
A： ， ，
则点 ， ， 三点共线，
又直角三角形的外心在斜边上，故 ，正确；
B：若 ，则点 ， ， 三点共线，
故 中， ，此时 为 的中点，
则 ，不满足 ，错误；
选项： ，则点 在 外，
又 ，即 ， ，
所以 ，正确；
D： ，
即 ，
因为 ， ，
平方则有 ，
化简得 ，
即 （当 时取＝），
故有 或 （舍掉），故 ，正确，
故答案为：ACD．
【分析】利用向量的运算对选项进行逐一分析，结合重要不等式等可得答案.
13．【答案】；
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设 ，
在菱形 中， 分别是 的中点，所以
，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
因为在菱形 中， ，
所以 .
故答案为： ； .
【分析】利用平面向量基本定理得到 ，结合可求 的值；根据平面向量的数量积即可求出 .
14．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图，过D做 ， ，
则可得出， ，
所以， ，
由四边形法则可得， ，
，
故答案为：
【分析】根据平行四边形法则和平面向量基本定理，对 进行分解，即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】根据题意， ， ， ，画出梯形 如下图所示：
则
因为
所以
则
故答案为：
【分析】根据题意画出梯形 ，由平面向量的线性运算及平面向量基本定理，即可求得 的值，从而求得 的值.
16．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；三角形五心
【解析】【解答】由重心的性质可知 ，
所以 .
故答案为：
【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.
17．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如下图所示，由于四边形 为矩形， 为 与 的交点，则 为 的中点，
由题可得 .
故答案为： .
【分析】由题意画出图形，再由向量加法的三角形法则和平行四边形法则求解即可。
18．【答案】（1）解：∵平行四边形 中， ， ， ， 是 ， 的中点， ，
∴ ，
（2）解：∵ ， ， 与 的夹角为 ，∴ ，
∴
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)由题可得： ，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到； (2)先求出 ，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.
19．【答案】解：根据图形得：
连接BD，由条件可知G为 的重心，设BD的中点为O
因此
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【分析】利用已知条件结合三角形法则和共线定理，再结合重心的性质结合中点的性质，再利用平面向量基本定理，进而以 为基底表示 。
20．【答案】（1）解：因为点A是BC的中点，所以 ，所以 ，
又点D是靠近点B将OB分成2：1的个内分点，所以 ，
所以 .
（2）解：因为C，E，D三点共线，所以存在实数 ，使得 ，
又 ， ，所以 ,
又 不共线，则 ，解得 .
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】(1)根据平行四边形法则结合平面向量基本定理可得 表示 ;(2)根据向量关系的条件建立方程关系,可求出实数 的值.
21．【答案】解：（Ⅰ）依题意可知， 是 的中点，
,
（Ⅱ） , ，
．
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平行四边形法则和平面向量基本定理，从而用 表示出 和 。
（2）利用已知条件结合平行四边形法则和向量的数量积求向量的模的公式，再利用数量积的定义，从而求出 。
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