【精品解析】 人教新课标A版 必修二 4.2直线、圆的位置关系

人教新课标A版 必修二 4.2直线、圆的位置关系
一、单选题
1．（2020高一下·扬州期中）圆 与圆 的公切线共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（2020高一下·扬州期中）过点A（1，2）作圆x2+（y﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（　　）
A．x＝1 B．y＝2 C．x＝2或y＝1 D．x＝1或y＝2
3．（2020·武汉模拟）圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二下·宜宾月考）圆 与圆 的位置关系为（　　）
A．相离 B．内切 C．外切 D．相交
5．（2020·长春模拟）已知直线 与圆 相切，则 （　　）
A． B． C． 或 D．
6．（2020高一上·那曲期末）直线 与圆 的位置关系为（　　）
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
7．（2019·广东模拟）直线 被圆 截得的弦长为（　　）
A． B．2 C． D．1
8．（2020·新课标Ⅰ·文）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2019高二上·四川期中）若圆 ： 与圆 ： 外切，则正数 的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．（2019高二上·雨城期中）已知 为直线 上的动点，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 面积的最小值是（　　）
A． B． C． D．
11．（2020·长春模拟）已知圆E的圆心在y轴上，且与圆 的公共弦所在直线的方程为 ，则圆E的方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2019高二上·长治月考）已知圆 ，由直线 上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．7
二、多选题
13．（2020高一下·南京期中）若圆 与圆 相切，则m的值可以是（　　）
A． B． C． D．
14．（2020高一下·昆山期中）在同一直角坐标系中，直线 与圆 的位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
15．（2020高一下·南京期中）已知圆 上存在两个点到点 的距离为 ，则m的可能的值为（　　）
A．1 B．-1 C．-3 D．-5
三、填空题
16．（2019高一下·吉林期末）已知直线 平分圆 的周长，则实数a=　 　．
17．（2020·乌鲁木齐模拟）已知圆 的圆心为C，点M在直线 上，则 |MC| 的最小值为　 　．
18．（2020·宝山模拟）已知直线 过点 且与直线 垂直，则圆 与直线 相交所得的弦长为　 　。
19．（2020·邵阳模拟）已知 为坐标原点，圆 ： ， 圆 ： ． 分别为圆 和圆 上的动点，则 的最大值为　 　．
四、解答题
20．（2020高一下·诸暨期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线 ，设圆C的半径为1，圆心在直线 上．
(Ⅰ)若圆C与直线 相交于M，N两点，且 ，求圆心C的横坐标a的值；
(Ⅱ)若圆心C也在直线 上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．
21．（2020高一上·黄陵期末）试就 的值，讨论直线 和圆 的位置关系.
22．（2019高二上·长治月考）已知直线 及圆 ．
（1）判断直线 与圆 的位置关系；
（2）求过点 的圆 的切线方程．
23．（2019高二上·长治月考）已知两圆 和 ．
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．
24．（2019高二上·雨城期中）已知圆 经过点 .
（1）若直线 与圆 相切，求 的值；
（2）若圆 与圆 无公共点，求 的取值范围.
25．（2019高一下·滁州期末）在平面直角坐标系xOy中,过点A（ , ）的圆的圆心C在x轴上,且与过原点倾斜角为30°的直线 相切。
（1）求圆C的标准方程；
（2）点P在直线m:y=2x上,过点P作圆C的切线PM、PN,切点分别为M、N,求经过P、M、N、C四点的圆所过的定点的坐标。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】 圆心坐标为（2，0）半径为2；
圆心坐标为 ，半径为1，
圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．
故本题选D.
【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线．
2．【答案】D
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】点A（1，2）在圆外，所以切线有两条，做出圆图象，
x2+（y﹣1）2＝1的圆心 ，半径为 ，
根据点A的位置关系，过点A的切线方程为x＝1或y＝2.
故答案为：D.
【分析】根据已知圆的圆心 ，半径为1，做出图像，即可求出切线方程.
3．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】因为圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，
两式相减得 ，即公共弦所在的直线方程.
圆C1：x2+y2＝4，圆心到公共弦的距离为 ，
所以公共弦长为： .
故选：C
【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.
4．【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆 的圆心 ，半径 ；
圆 的圆心 ，半径 ．
， ．
两圆相交．
故选： ．
【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．
5．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆心到切线的距离等于半径，得
∴∴ 或
故选：C.
【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.
6．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】将 化为圆的标准方程得， ，
可看出圆的圆心为 ，半径 为 ，
圆心到直线 的距离
即 .
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
故答案为：C
【分析】将圆的一般式方程化为标准方程，再求出圆心到直线的距离，即可得直线与圆的位置关系.
7．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由 可知圆心为 ,半径为 ,
所以圆心到直线 的距离为 ,
由勾股定理可得弦长为 .
故答案为：B
【分析】先求出圆心到直线的距离,再根据勾股定理可求得弦长.
8．【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 .
故答案为：B.
【分析】根据直线和圆心与点 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
9．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题意，圆 ： 与圆 ： ，
可得圆心坐标分别为 ，半径分别为 ，
又由圆 和圆 相外切，可得 ，即 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】由圆 和圆 相外切，可得 ，列出方程，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】如下图所示，过点 引圆 的切线，切点为点 ， ，且 ，
由勾股定理得 .
点 是直线 上的动点，当 时，此时 取得最小值，则 取得最小值，则圆心 到直线 的距离为 .
则 的最小值为 ，所以 的面积等于 ，
因此， 面积的最小值为 ．
故答案为：A.
【分析】作出图形，根据勾股定理 ，可知当 与直线 垂直时， 取得最小值，此时 取得最小值，则 取得最小值，利用点到直线的距离公式计算出 的最小值，可得出 的最小值，由此可计算出 面积的最小值.
11．【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为 ，
又圆 的圆心为 ，半径为1，
故 ，解得 .故所求圆心为 .
直线 截得 所成弦长 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 截得所求圆的弦长 ，
解得 .
故圆心坐标为 ，半径为 ，
故答案为：C.
【分析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径.
12．【答案】B
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】如图，
切线长 ，当 最小时， 最小，
最小值为 到直线 的距离 ，
故 的最小值为 ，
故答案为：B.
【分析】如图利用几何性质求出最小的 ，再求出 的最小值．
13．【答案】A,C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题意，圆 可化简为 ，
所以，圆 的圆心坐标 ，半径 ，
圆 的圆心坐标 ，半径 ，
所以， ，
所以， 或 ，解得 或 .
故答案为：AC.
【分析】根据题意，求出圆 的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可.
14．【答案】A,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆 的圆心为 ，半径为
则圆心 到直线 的距离为
不妨令 ，可得 ，即 ，
当 时，恒成立，可知A符合题意，B不正确；
当 时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C 不正确，D符合题意，
故答案为：AD
【分析】利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可得到结果
15．【答案】A,C,D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题知，圆 与圆 相交，
所以， ，即 ，
解得 ，即 的值可以为： 或 或 .
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，圆 与圆 相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.
16．【答案】1
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题得圆心（1，a）在直线 上，
所以 .
故答案为：1.
【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.
17．【答案】4
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为圆方程为 ，故 ，
则圆心到直线的距离 ，则直线与圆相离.
故 得最小值为4 .
故答案为：4.
【分析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求.
18．【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题意可得， 的方程为 ，
可化为 ，圆心 ，半径 ，
圆心 到 的距离 ，
．
故答案为： ．
【分析】先求出直线 的方程，再求出圆心 与半径 ，计算圆心到直线 的距离 ，由垂径定理求弦长 ．
19．【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】如图所示，以 为直径作圆，延长 交新圆于 点， 交新圆于 点，
连接 ， ，则 与 垂直，
又 ，所以 为 中点，
由对称性可知 ，
∵ ，
所以 ，
因此当 最大值时， 最大，
故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形 的面积最大值，
圆内接三角形的面积 ，由正弦定理得 ， ，
∴
由于 ， 时为上凸函数，
可得
即 ，当且仅当 时等号成立，
进而可得 的最大值为 ，故答案为
【分析】如图所示，以 为直径作圆，延长 交新圆于 点， 交新圆于 点，首先证得 ，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果.
20．【答案】解：（Ⅰ）设圆心 ，
圆心C到直线 的距离 ，
得： 或2.
（Ⅱ）联立： ，得圆心为：C(3，2)．
设切线为： ，
,得： 或 ．
故所求切线为： 或 ．
【知识点】圆的切线方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）设圆心 ，由题意结合点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程可得 或2. （Ⅱ）由题意可得圆心为C(3，2)，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得直线的斜率 或 ．则所求切线为： 或 ．
21．【答案】解：联立 得 ，
所以 ，
当 时， ，此时该方程有唯一解，即直线与圆相切；
当 时， ，此时该方程总有两解，即直线与圆相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】联立直线与圆的方程，消元，得到 ，求出判别式 ，分别讨论 和 两种情况，即可得出结果.
22．【答案】（1）解：因为 ，
消去 ，整理得 ，其中 ，
直线 与圆 相交.
（2）解：当切线斜率存在时，设切线斜率为 ，则可设切线的方程为
，即
由 得
此时，切线方程为
当切线斜率存在时，结合点与圆的图像知，此时切线方程为
综上，圆的切线方程为 和 .
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用代数法，联立直线方程与圆的方程，化为关于 的一元二次方程，再由判别式大于0判断直线与圆相交；（2）当切线斜率存在时，设切线斜率为 ，写出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得 ，则直线方程可求；当切线斜率不存在时，直接写出切线方程，则答案可求．
23．【答案】（1）解：联立方程 ，
消去 ，整理得 ①，其中，
所以，两圆相交.
（2）解：两圆作差得
由①得 ， 代入上式得 ， ，
所以交点坐标为： ，
由两点间距离公式得：
所以所求弦长为 .
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）联立两圆的方程，消去 ，根据方程根的个数，即可判断两圆的位置关系；（2）两圆作差，求出公共弦的方程，再联立第一问的方程①，求出两个交点坐标，算出弦长．
24．【答案】（1）解：因为直线 与圆 相切，所以圆心 到直线 的距离等于圆的半径，
即 ，
整理得 ，
解得 或 .
（2）解：圆 的圆心为 ，则 ,
由题意可得圆 与圆 内含或外离，
所以 或 ，
解得 或 .
所以 的取值范围为 .
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】由题意可得圆的方程为 。（1）由圆心到直线的距离等于半径可得 ，解得 或 ，即为所求。（2）由圆 与圆 无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围。
25．【答案】（1）解：由题意知,直线 的方程为 ,整理为一般方程可得 ,
由圆C的圆心在 轴上,可设圆C的方程为 ,
由题意有 ,解得:a=2,r=1,
故圆C的标准方程为
（2）解：由圆的几何性质知,PM MC,PN NC,取线段PC的中点D,由直角三角形的性质可知PD=DC=DM=DN,故经过P、M、N、C四点的圆是以线段PC为直径的圆,
设点P的坐标为（t,2t),则点D的坐标为
有
则以PC为直径的圆的方程为: ,整理为 ,可得 ,
令 ,解得 或 ,
故经过P、M、N、C四点的圆所过定点的坐标为(2,0)、
【知识点】相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1） 由题意知,写出直线 x 的方程，又由圆C的圆心在 轴上，可设圆C的方程为 , 由题意有 列出方程组，解出a，r，进而求出设圆C的方程；
（2） 由圆的几何性质，直角三角形的性质可知经过P、M、N、C四点的圆是以线段PC为直径的圆，可得出圆的方程，两圆相减可得公共弦的方程，此方程可看作是关于的一元一次方程，求出此方程经过的定点即可.
1 / 1人教新课标A版 必修二 4.2直线、圆的位置关系
一、单选题
1．（2020高一下·扬州期中）圆 与圆 的公切线共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】 圆心坐标为（2，0）半径为2；
圆心坐标为 ，半径为1，
圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．
故本题选D.
【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线．
2．（2020高一下·扬州期中）过点A（1，2）作圆x2+（y﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（　　）
A．x＝1 B．y＝2 C．x＝2或y＝1 D．x＝1或y＝2
【答案】D
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】点A（1，2）在圆外，所以切线有两条，做出圆图象，
x2+（y﹣1）2＝1的圆心 ，半径为 ，
根据点A的位置关系，过点A的切线方程为x＝1或y＝2.
故答案为：D.
【分析】根据已知圆的圆心 ，半径为1，做出图像，即可求出切线方程.
3．（2020·武汉模拟）圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】因为圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，
两式相减得 ，即公共弦所在的直线方程.
圆C1：x2+y2＝4，圆心到公共弦的距离为 ，
所以公共弦长为： .
故选：C
【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.
4．（2020高二下·宜宾月考）圆 与圆 的位置关系为（　　）
A．相离 B．内切 C．外切 D．相交
【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆 的圆心 ，半径 ；
圆 的圆心 ，半径 ．
， ．
两圆相交．
故选： ．
【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．
5．（2020·长春模拟）已知直线 与圆 相切，则 （　　）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆心到切线的距离等于半径，得
∴∴ 或
故选：C.
【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.
6．（2020高一上·那曲期末）直线 与圆 的位置关系为（　　）
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】将 化为圆的标准方程得， ，
可看出圆的圆心为 ，半径 为 ，
圆心到直线 的距离
即 .
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
故答案为：C
【分析】将圆的一般式方程化为标准方程，再求出圆心到直线的距离，即可得直线与圆的位置关系.
7．（2019·广东模拟）直线 被圆 截得的弦长为（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由 可知圆心为 ,半径为 ,
所以圆心到直线 的距离为 ,
由勾股定理可得弦长为 .
故答案为：B
【分析】先求出圆心到直线的距离,再根据勾股定理可求得弦长.
8．（2020·新课标Ⅰ·文）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 .
故答案为：B.
【分析】根据直线和圆心与点 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
9．（2019高二上·四川期中）若圆 ： 与圆 ： 外切，则正数 的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题意，圆 ： 与圆 ： ，
可得圆心坐标分别为 ，半径分别为 ，
又由圆 和圆 相外切，可得 ，即 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】由圆 和圆 相外切，可得 ，列出方程，即可求解.
10．（2019高二上·雨城期中）已知 为直线 上的动点，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 面积的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】如下图所示，过点 引圆 的切线，切点为点 ， ，且 ，
由勾股定理得 .
点 是直线 上的动点，当 时，此时 取得最小值，则 取得最小值，则圆心 到直线 的距离为 .
则 的最小值为 ，所以 的面积等于 ，
因此， 面积的最小值为 ．
故答案为：A.
【分析】作出图形，根据勾股定理 ，可知当 与直线 垂直时， 取得最小值，此时 取得最小值，则 取得最小值，利用点到直线的距离公式计算出 的最小值，可得出 的最小值，由此可计算出 面积的最小值.
11．（2020·长春模拟）已知圆E的圆心在y轴上，且与圆 的公共弦所在直线的方程为 ，则圆E的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为 ，
又圆 的圆心为 ，半径为1，
故 ，解得 .故所求圆心为 .
直线 截得 所成弦长 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 截得所求圆的弦长 ，
解得 .
故圆心坐标为 ，半径为 ，
故答案为：C.
【分析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径.
12．（2019高二上·长治月考）已知圆 ，由直线 上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．7
【答案】B
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】如图，
切线长 ，当 最小时， 最小，
最小值为 到直线 的距离 ，
故 的最小值为 ，
故答案为：B.
【分析】如图利用几何性质求出最小的 ，再求出 的最小值．
二、多选题
13．（2020高一下·南京期中）若圆 与圆 相切，则m的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题意，圆 可化简为 ，
所以，圆 的圆心坐标 ，半径 ，
圆 的圆心坐标 ，半径 ，
所以， ，
所以， 或 ，解得 或 .
故答案为：AC.
【分析】根据题意，求出圆 的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可.
14．（2020高一下·昆山期中）在同一直角坐标系中，直线 与圆 的位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆 的圆心为 ，半径为
则圆心 到直线 的距离为
不妨令 ，可得 ，即 ，
当 时，恒成立，可知A符合题意，B不正确；
当 时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C 不正确，D符合题意，
故答案为：AD
【分析】利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可得到结果
15．（2020高一下·南京期中）已知圆 上存在两个点到点 的距离为 ，则m的可能的值为（　　）
A．1 B．-1 C．-3 D．-5
【答案】A,C,D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题知，圆 与圆 相交，
所以， ，即 ，
解得 ，即 的值可以为： 或 或 .
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，圆 与圆 相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.
三、填空题
16．（2019高一下·吉林期末）已知直线 平分圆 的周长，则实数a=　 　．
【答案】1
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题得圆心（1，a）在直线 上，
所以 .
故答案为：1.
【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.
17．（2020·乌鲁木齐模拟）已知圆 的圆心为C，点M在直线 上，则 |MC| 的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为圆方程为 ，故 ，
则圆心到直线的距离 ，则直线与圆相离.
故 得最小值为4 .
故答案为：4.
【分析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求.
18．（2020·宝山模拟）已知直线 过点 且与直线 垂直，则圆 与直线 相交所得的弦长为　 　。
【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题意可得， 的方程为 ，
可化为 ，圆心 ，半径 ，
圆心 到 的距离 ，
．
故答案为： ．
【分析】先求出直线 的方程，再求出圆心 与半径 ，计算圆心到直线 的距离 ，由垂径定理求弦长 ．
19．（2020·邵阳模拟）已知 为坐标原点，圆 ： ， 圆 ： ． 分别为圆 和圆 上的动点，则 的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】如图所示，以 为直径作圆，延长 交新圆于 点， 交新圆于 点，
连接 ， ，则 与 垂直，
又 ，所以 为 中点，
由对称性可知 ，
∵ ，
所以 ，
因此当 最大值时， 最大，
故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形 的面积最大值，
圆内接三角形的面积 ，由正弦定理得 ， ，
∴
由于 ， 时为上凸函数，
可得
即 ，当且仅当 时等号成立，
进而可得 的最大值为 ，故答案为
【分析】如图所示，以 为直径作圆，延长 交新圆于 点， 交新圆于 点，首先证得 ，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果.
四、解答题
20．（2020高一下·诸暨期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线 ，设圆C的半径为1，圆心在直线 上．
(Ⅰ)若圆C与直线 相交于M，N两点，且 ，求圆心C的横坐标a的值；
(Ⅱ)若圆心C也在直线 上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．
【答案】解：（Ⅰ）设圆心 ，
圆心C到直线 的距离 ，
得： 或2.
（Ⅱ）联立： ，得圆心为：C(3，2)．
设切线为： ，
,得： 或 ．
故所求切线为： 或 ．
【知识点】圆的切线方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）设圆心 ，由题意结合点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程可得 或2. （Ⅱ）由题意可得圆心为C(3，2)，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得直线的斜率 或 ．则所求切线为： 或 ．
21．（2020高一上·黄陵期末）试就 的值，讨论直线 和圆 的位置关系.
【答案】解：联立 得 ，
所以 ，
当 时， ，此时该方程有唯一解，即直线与圆相切；
当 时， ，此时该方程总有两解，即直线与圆相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】联立直线与圆的方程，消元，得到 ，求出判别式 ，分别讨论 和 两种情况，即可得出结果.
22．（2019高二上·长治月考）已知直线 及圆 ．
（1）判断直线 与圆 的位置关系；
（2）求过点 的圆 的切线方程．
【答案】（1）解：因为 ，
消去 ，整理得 ，其中 ，
直线 与圆 相交.
（2）解：当切线斜率存在时，设切线斜率为 ，则可设切线的方程为
，即
由 得
此时，切线方程为
当切线斜率存在时，结合点与圆的图像知，此时切线方程为
综上，圆的切线方程为 和 .
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用代数法，联立直线方程与圆的方程，化为关于 的一元二次方程，再由判别式大于0判断直线与圆相交；（2）当切线斜率存在时，设切线斜率为 ，写出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得 ，则直线方程可求；当切线斜率不存在时，直接写出切线方程，则答案可求．
23．（2019高二上·长治月考）已知两圆 和 ．
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．
【答案】（1）解：联立方程 ，
消去 ，整理得 ①，其中，
所以，两圆相交.
（2）解：两圆作差得
由①得 ， 代入上式得 ， ，
所以交点坐标为： ，
由两点间距离公式得：
所以所求弦长为 .
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）联立两圆的方程，消去 ，根据方程根的个数，即可判断两圆的位置关系；（2）两圆作差，求出公共弦的方程，再联立第一问的方程①，求出两个交点坐标，算出弦长．
24．（2019高二上·雨城期中）已知圆 经过点 .
（1）若直线 与圆 相切，求 的值；
（2）若圆 与圆 无公共点，求 的取值范围.
【答案】（1）解：因为直线 与圆 相切，所以圆心 到直线 的距离等于圆的半径，
即 ，
整理得 ，
解得 或 .
（2）解：圆 的圆心为 ，则 ,
由题意可得圆 与圆 内含或外离，
所以 或 ，
解得 或 .
所以 的取值范围为 .
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】由题意可得圆的方程为 。（1）由圆心到直线的距离等于半径可得 ，解得 或 ，即为所求。（2）由圆 与圆 无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围。
25．（2019高一下·滁州期末）在平面直角坐标系xOy中,过点A（ , ）的圆的圆心C在x轴上,且与过原点倾斜角为30°的直线 相切。
（1）求圆C的标准方程；
（2）点P在直线m:y=2x上,过点P作圆C的切线PM、PN,切点分别为M、N,求经过P、M、N、C四点的圆所过的定点的坐标。
【答案】（1）解：由题意知,直线 的方程为 ,整理为一般方程可得 ,
由圆C的圆心在 轴上,可设圆C的方程为 ,
由题意有 ,解得:a=2,r=1,
故圆C的标准方程为
（2）解：由圆的几何性质知,PM MC,PN NC,取线段PC的中点D,由直角三角形的性质可知PD=DC=DM=DN,故经过P、M、N、C四点的圆是以线段PC为直径的圆,
设点P的坐标为（t,2t),则点D的坐标为
有
则以PC为直径的圆的方程为: ,整理为 ,可得 ,
令 ,解得 或 ,
故经过P、M、N、C四点的圆所过定点的坐标为(2,0)、
【知识点】相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1） 由题意知,写出直线 x 的方程，又由圆C的圆心在 轴上，可设圆C的方程为 , 由题意有 列出方程组，解出a，r，进而求出设圆C的方程；
（2） 由圆的几何性质，直角三角形的性质可知经过P、M、N、C四点的圆是以线段PC为直径的圆，可得出圆的方程，两圆相减可得公共弦的方程，此方程可看作是关于的一元一次方程，求出此方程经过的定点即可.
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