初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.5 确定圆的条件
一、单选题
1．（2018九上·下城期中）给定下列条件可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知直径 D．不在同一直线上三点
【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不能确定.因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定.因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
D.不在同一直线上三点可以确定一个圆.故符合题意；
故答案为：D.
【分析】确定一个圆需要两个条件：圆心和半径，其中圆心确定位置，半径确定大小。不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据确定圆的条件和性质即可判断求解。
2．（2020九下·西安月考）若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形．
3．（2020九上·景县期末）三角形的外心具有的性质是（ ）
A．到三边距离相等 B．到三个顶点距离相等
C．外心在三角形外 D．外心在三角形内
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点
∴外心到三角形的顶点的距离相等。
故答案为：B.
【分析】根据三角形外心的含义进行判断即可得到答案。
4．（2019九上·桥东月考）下列条件中，能确定圆的是（ ）
A．以已知点O为圆心 B．以1cm长为半径
C．经过已知点A，且半径为2cm D．以点O为圆心，1cm为半径
【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】∵圆心确定，半径确定后就可以确定圆，
∴D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
5．（2019九上·宜兴期中）如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（ ）
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由图可得：OA=OB=OC= ，
所以点O在△ABC的外心上，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理计算可知OA=OB=OC，根据到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上，从而即可得出答案.
6．（2018九上·东台期中）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100° B．130° C．50° D．65°
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内心是三条角平分线的交点可得，∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），然后可得∠BOC=180-（180-∠A）=900+∠A。
7．（2020九上·大兴期末）已知：不在同一直线上的三点A,B,C
求作：⊙O，使它经过点A,B,C
作法：如图，
⑴连接AB ,作线段AB的垂直平分线DE；
⑵连接BC ,作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O；
⑶以O为圆心，OB 长为半径作⊙O．
⊙O就是所求作的圆.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．连接AC, 则点O是△ABC的内心
B．
C．连接OA,OC，则OA, OC不是⊙O的半径
D．若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A:连接AC, 根据题意可知，点O是△ABC的外心，故 A不符合题意；
B: 根据题意无法证明 ，故 B不符合题意；
C: 连接OA,OC，则OA, OC是⊙O的半径，故 C不符合题意
D: 若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上，故 D符合题意
故答案为：D.
【分析】根据三角形的外心性质即可解题.
8．（2019九上·龙湾期中）现有如下4个命题：
①过两点可以作无数个圆．②三点可以确定一个圆．③任意一个三角形有且只有一个外接圆．④任意一个圆有且只有一个内接三角形．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①过两点可以作无数个圆，是真命题．
②不在同一直线上的三点可以确定一个圆，是假命题．
③任意一个三角形有且只有一个外接圆，是真命题．
④任意一个圆有无数个一个内接三角形，是假命题；
故选：
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案
二、填空题
9．（2020九上·兴化月考） 中，两条直角边的长分别是6cm和8cm，则 的外接圆的半径是 cm.
【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由勾股定理得： 的斜边长为 ，
直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，
的外接圆的半径为 ，
故答案为：5.
【分析】先利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形外接圆的的圆心为斜边的中点即可得.
10．（2019九上·海淀期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是 （填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．
【答案】钝角三角形
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，
∴△ABC是钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
【分析】锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，即可得出答案。
11．（2020九上·丰台期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标分别是 是 的外接圆，则圆心 的坐标为 ， 的半径为 ．
【答案】（3,3）；
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x，
∵直线x=3与直线y=x的交点为M点，
∴M点的坐标为（3，3），
∵ ，
∴⊙M的半径为 ．
故答案为（3，3）， ．
【分析】分别作出BC、AB的垂直平分线，求出圆心M的坐标，再利用勾股定理求半径。
12．（2020·北京模拟）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
连接OB，
∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
∵OC＝OD，∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝45°，
∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO＝15°，
∴∠BOC＝150°，
∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD＝OD＝2．
故答案为2．
【分析】连接OB，根据已知即可得到∠ACD的度数，进而求得∠BCD、∠BOC、∠DOB的度数，即可判断出△BOD为等边三角形，则不难求出BD的长.
13．已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径= ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵a+b2+|c-6|+28=4 +10b，
∴（a-1-4 +4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（ -2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴ 2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2，
解得，r= ，
故答案为： ．
【分析】将a、b、c满足的等式根据完全平方公式整理可得，根据平方和绝对值的非负性可求得a、b、c的值，即可求得三角形的三边长，作CD⊥AB于点D，用勾股定理列方程即可求解。
三、解答题
14．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
15．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.
【答案】解：如图所示：
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO＝60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴△ABC外接圆的半径为8.
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据三角形外接圆和等腰三角形的性质可知∠BAO＝60°，再由等腰三角形的性质知△ABO为等边三角形，从而得△ABC外接圆的半径.
16．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
17．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=，求阴影部分的面积．
【答案】解：（1）证明：如图1所示：∵O是等边△ABC的外心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AD=CD，∵四边形OADC为平行四边形，∴四边形OADC为菱形，∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，而∠1=∠5，∴OA=OC，∠2=∠3，∴OB=OC，∴点O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，∵四边形OADC为平行四边形，∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，∴AD=OB，在△BOC和△CDA中，，∴△BOC≌△CDA（SAS）；（2）解：作OH⊥AB于H，如图2所示，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°，∵OH⊥AB，∴BH=AH=AB=，OH=BH=1，OB=2OH=2，∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣××1=π﹣．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=，得出OH= BH=1，OB=2OH=2，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可．
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.5 确定圆的条件
一、单选题
1．（2018九上·下城期中）给定下列条件可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知直径 D．不在同一直线上三点
2．（2020九下·西安月考）若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．（2020九上·景县期末）三角形的外心具有的性质是（ ）
A．到三边距离相等 B．到三个顶点距离相等
C．外心在三角形外 D．外心在三角形内
4．（2019九上·桥东月考）下列条件中，能确定圆的是（ ）
A．以已知点O为圆心 B．以1cm长为半径
C．经过已知点A，且半径为2cm D．以点O为圆心，1cm为半径
5．（2019九上·宜兴期中）如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（ ）
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
6．（2018九上·东台期中）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100° B．130° C．50° D．65°
7．（2020九上·大兴期末）已知：不在同一直线上的三点A,B,C
求作：⊙O，使它经过点A,B,C
作法：如图，
⑴连接AB ,作线段AB的垂直平分线DE；
⑵连接BC ,作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O；
⑶以O为圆心，OB 长为半径作⊙O．
⊙O就是所求作的圆.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．连接AC, 则点O是△ABC的内心
B．
C．连接OA,OC，则OA, OC不是⊙O的半径
D．若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上
8．（2019九上·龙湾期中）现有如下4个命题：
①过两点可以作无数个圆．②三点可以确定一个圆．③任意一个三角形有且只有一个外接圆．④任意一个圆有且只有一个内接三角形．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2020九上·兴化月考） 中，两条直角边的长分别是6cm和8cm，则 的外接圆的半径是 cm.
10．（2019九上·海淀期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是 （填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．
11．（2020九上·丰台期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标分别是 是 的外接圆，则圆心 的坐标为 ， 的半径为 ．
12．（2020·北京模拟）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为 ．
13．已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径= ．
三、解答题
14．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
15．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.
16．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
17．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不能确定.因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定.因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
D.不在同一直线上三点可以确定一个圆.故符合题意；
故答案为：D.
【分析】确定一个圆需要两个条件：圆心和半径，其中圆心确定位置，半径确定大小。不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据确定圆的条件和性质即可判断求解。
2．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形．
3．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点
∴外心到三角形的顶点的距离相等。
故答案为：B.
【分析】根据三角形外心的含义进行判断即可得到答案。
4．【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】∵圆心确定，半径确定后就可以确定圆，
∴D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
5．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由图可得：OA=OB=OC= ，
所以点O在△ABC的外心上，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理计算可知OA=OB=OC，根据到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上，从而即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内心是三条角平分线的交点可得，∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），然后可得∠BOC=180-（180-∠A）=900+∠A。
7．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A:连接AC, 根据题意可知，点O是△ABC的外心，故 A不符合题意；
B: 根据题意无法证明 ，故 B不符合题意；
C: 连接OA,OC，则OA, OC是⊙O的半径，故 C不符合题意
D: 若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上，故 D符合题意
故答案为：D.
【分析】根据三角形的外心性质即可解题.
8．【答案】B
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①过两点可以作无数个圆，是真命题．
②不在同一直线上的三点可以确定一个圆，是假命题．
③任意一个三角形有且只有一个外接圆，是真命题．
④任意一个圆有无数个一个内接三角形，是假命题；
故选：
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案
9．【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由勾股定理得： 的斜边长为 ，
直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，
的外接圆的半径为 ，
故答案为：5.
【分析】先利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形外接圆的的圆心为斜边的中点即可得.
10．【答案】钝角三角形
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，
∴△ABC是钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
【分析】锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，即可得出答案。
11．【答案】（3,3）；
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x，
∵直线x=3与直线y=x的交点为M点，
∴M点的坐标为（3，3），
∵ ，
∴⊙M的半径为 ．
故答案为（3，3）， ．
【分析】分别作出BC、AB的垂直平分线，求出圆心M的坐标，再利用勾股定理求半径。
12．【答案】2
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
连接OB，
∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
∵OC＝OD，∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝45°，
∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO＝15°，
∴∠BOC＝150°，
∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD＝OD＝2．
故答案为2．
【分析】连接OB，根据已知即可得到∠ACD的度数，进而求得∠BCD、∠BOC、∠DOB的度数，即可判断出△BOD为等边三角形，则不难求出BD的长.
13．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵a+b2+|c-6|+28=4 +10b，
∴（a-1-4 +4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（ -2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴ 2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2，
解得，r= ，
故答案为： ．
【分析】将a、b、c满足的等式根据完全平方公式整理可得，根据平方和绝对值的非负性可求得a、b、c的值，即可求得三角形的三边长，作CD⊥AB于点D，用勾股定理列方程即可求解。
14．【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
15．【答案】解：如图所示：
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO＝60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴△ABC外接圆的半径为8.
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据三角形外接圆和等腰三角形的性质可知∠BAO＝60°，再由等腰三角形的性质知△ABO为等边三角形，从而得△ABC外接圆的半径.
16．【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
17．【答案】解：（1）证明：如图1所示：∵O是等边△ABC的外心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AD=CD，∵四边形OADC为平行四边形，∴四边形OADC为菱形，∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，而∠1=∠5，∴OA=OC，∠2=∠3，∴OB=OC，∴点O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，∵四边形OADC为平行四边形，∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，∴AD=OB，在△BOC和△CDA中，，∴△BOC≌△CDA（SAS）；（2）解：作OH⊥AB于H，如图2所示，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°，∵OH⊥AB，∴BH=AH=AB=，OH=BH=1，OB=2OH=2，∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣××1=π﹣．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=，得出OH= BH=1，OB=2OH=2，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可．
1 / 1
