初中数学华师大版七年级下学期 第9章 9.3 用正多边形铺设地面
一、单选题
1．（2020八上·松山期中）分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（ ）
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①②③④都可以
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：①、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；②、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；③、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；④、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
正确的为①②④．
故答案为：C．
【分析】一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，进行判断即可。
2．（2020八上·中山期中）某市对人行道路翻新，准备选用—种正多边形铺设地面，下列地砖中，不能在平面镶嵌中铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺．
故答案为：C．
【分析】几图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起正好组成一个周角。
3．（2020七下·江阴期中）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： + + =360，两边都除以180得：1﹣ +1﹣ +1﹣ =2，两边都除以2得： + + = .
故答案为：C.
【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案.
4．（2019七下·唐河期末）如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则 等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正n边形的一个内角=（360°-90°）÷2=135°，则135°n=（n-2）180°，
解得n=8，故本题选B.
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值.
5．（2019七下·洛江期末）商店出售下列形状的地砖：
①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．
若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：①长方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有①②④．
故答案为：C．
【分析】根据镶嵌的定义，可知：多边形的内角度数能够整除360°，即可镶嵌地面，进而即可得到答案.
6．（2019七下·长春期中）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是
A．正三角形，正方形 B．正方形，正六边形
C．正五边形，正六边形 D．正六边形，正八边形
【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°
又∵60°×3+90°×2=360°
∴能够组合是正三角形，正方形
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案.
7．（2019·广阳模拟）将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个正五边形
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2） 180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故答案为：B．
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
8．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数是（ ）
A．102个 B．114个 C．126个 D．138个
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形．
第2层包括18个正三角形．
此后，每层都比前一层多12个．
依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个．
故答案为：B．
【分析】观察三角形的规律，发现：三角形依次是6+12×（1-1），6+12×（2-1），…，6+12×（n-1）块，然后把n=10代入计算可得.
二、填空题
9．（2020八下·佛山期中）如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是 ．
【答案】10．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：360° 108° 108°＝144°，
180° 144°＝36°，
360°÷36°＝10．
故答案为10．
【分析】先根据周角的定义求出正多边形③的每一个内角都是144°，由多边形的每一个内角都是144°先求得它的每一个外角是36°，然后根据正多边形的每个内角的度数×边数＝360°求解即可．
10．（2019七下·内乡期末）一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个正六边形和正十二边形，则第三个多边形的边数是 .
【答案】4
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由于正六边形和正十二边形内角分别为120°、150°，
∵360 （150＋120）＝90，
又∵正方形内角为90°，
∴第三个正多边形的边数是4.
故答案为：4.
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°.若能，则说明能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌.
11．（2019七下·南安期末）用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，则m+n＝ ．
【答案】3
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由题意，有135n+90m＝360，
m＝4﹣ ，
因为m、n为整数，
∴n＝2，m＝1，
m+n═3，
故答案为3．
【分析】用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
12．如图的图案是由正方形、正三角形和 密铺而成的．
【答案】正六边形
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：围绕一点观察图形可知如图的图案是由正方形、正三角形和 正六边形密铺而成的．
故答案为：正六边形．
【分析】结合镶嵌的条件围绕一点观察图形即可作出判断.几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
13．如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分，（其中有4×3个“基本单位”），其间存有若干个小正方形空隙，以及图案的4个角处有更小的三角形空隙，若密铺5×4个“基本单位”的图案，并填满空隙，则需要 个小正方形， 小三角形．（不含图案的4个角）
【答案】12；14
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：小正方形4×3=12；小三角形的个数为4×2+3×2=14，
故答案为：12，14．
【分析】观察图形即可得出图中需要的小正方形和小三角形的个数.判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
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一、单选题
1．（2020八上·松山期中）分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（ ）
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①②③④都可以
2．（2020八上·中山期中）某市对人行道路翻新，准备选用—种正多边形铺设地面，下列地砖中，不能在平面镶嵌中铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．（2020七下·江阴期中）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2019七下·唐河期末）如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则 等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
5．（2019七下·洛江期末）商店出售下列形状的地砖：
①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．
若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．（2019七下·长春期中）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是
A．正三角形，正方形 B．正方形，正六边形
C．正五边形，正六边形 D．正六边形，正八边形
7．（2019·广阳模拟）将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个正五边形
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数是（ ）
A．102个 B．114个 C．126个 D．138个
二、填空题
9．（2020八下·佛山期中）如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是 ．
10．（2019七下·内乡期末）一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个正六边形和正十二边形，则第三个多边形的边数是 .
11．（2019七下·南安期末）用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，则m+n＝ ．
12．如图的图案是由正方形、正三角形和 密铺而成的．
13．如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分，（其中有4×3个“基本单位”），其间存有若干个小正方形空隙，以及图案的4个角处有更小的三角形空隙，若密铺5×4个“基本单位”的图案，并填满空隙，则需要 个小正方形， 小三角形．（不含图案的4个角）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：①、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；②、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；③、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；④、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
正确的为①②④．
故答案为：C．
【分析】一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，进行判断即可。
2．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺．
故答案为：C．
【分析】几图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起正好组成一个周角。
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： + + =360，两边都除以180得：1﹣ +1﹣ +1﹣ =2，两边都除以2得： + + = .
故答案为：C.
【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正n边形的一个内角=（360°-90°）÷2=135°，则135°n=（n-2）180°，
解得n=8，故本题选B.
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值.
5．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：①长方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有①②④．
故答案为：C．
【分析】根据镶嵌的定义，可知：多边形的内角度数能够整除360°，即可镶嵌地面，进而即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°
又∵60°×3+90°×2=360°
∴能够组合是正三角形，正方形
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2） 180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故答案为：B．
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
8．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形．
第2层包括18个正三角形．
此后，每层都比前一层多12个．
依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个．
故答案为：B．
【分析】观察三角形的规律，发现：三角形依次是6+12×（1-1），6+12×（2-1），…，6+12×（n-1）块，然后把n=10代入计算可得.
9．【答案】10．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：360° 108° 108°＝144°，
180° 144°＝36°，
360°÷36°＝10．
故答案为10．
【分析】先根据周角的定义求出正多边形③的每一个内角都是144°，由多边形的每一个内角都是144°先求得它的每一个外角是36°，然后根据正多边形的每个内角的度数×边数＝360°求解即可．
10．【答案】4
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由于正六边形和正十二边形内角分别为120°、150°，
∵360 （150＋120）＝90，
又∵正方形内角为90°，
∴第三个正多边形的边数是4.
故答案为：4.
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°.若能，则说明能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌.
11．【答案】3
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由题意，有135n+90m＝360，
m＝4﹣ ，
因为m、n为整数，
∴n＝2，m＝1，
m+n═3，
故答案为3．
【分析】用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
12．【答案】正六边形
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：围绕一点观察图形可知如图的图案是由正方形、正三角形和 正六边形密铺而成的．
故答案为：正六边形．
【分析】结合镶嵌的条件围绕一点观察图形即可作出判断.几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
13．【答案】12；14
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：小正方形4×3=12；小三角形的个数为4×2+3×2=14，
故答案为：12，14．
【分析】观察图形即可得出图中需要的小正方形和小三角形的个数.判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
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