初中数学苏科版八年级上册2.4.2 角的轴对称性 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·武汉月考）在△ABC 内一点 P 到三边的距离相等，则点 P 一定是△ABC 的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条内角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
2．（2020·陕西模拟）如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
3．（2019八下·港南期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则ΔDBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9 cm
4．（2020七上·武城期末）已知∠AOB=80°，∠BOC=30°，OM平分∠ AOB， ON平分∠AOC则∠MON的度数为（ ）
A．15° B．15°或55° C．30°或110° D．30°或55°
5．（2019八上·海安月考）如图， 中， ， 平分 ， 于点 ， 于点 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2019八上·苍南期中）如图， 是 的角平分线， ， ， ， 分别是垂足，若 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．（2019八上·恩施期中）如图，AD是 ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7 ，DE=2，AB=4，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2019八下·慈溪期末）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．（2019八上·湛江期中）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A．PQ>5 B．PQ<5 C．PQ≥5 D．PQ≤5
10．（2019·裕华模拟）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2018八上·沁阳期末）如图，已知 的周长是18，OB，OC分别平分 和 ， 于D，且 ，则 的面积是 .
12．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是 ．
13．（2018八上·连城期中）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交A
B、AC于点M，N．若AB＝8，AC＝10，则△AMN的周长是 ．
14．（2019七下·普宁期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为 ．
15．（2019七上·大庆期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，PM⊥AC于点M.若PM＝6cm，则点P到AB的距离为 cm．
16．（2019八上·安顺期末）如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N，若PM=1，则PN= ．
17．如图，钝角三角形ABC的面积为30，最长边AB=20，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ．
18．（2020八上·鄞州期末）如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S△BFP=15，则AB的长度为 。
三、解答题
19．（2018八上·湖北月考）尺规作图：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到 ∠AOB两边的距离相等（不要求写出作法，但要保留作图痕迹，写出结论）
20．（2018八上·前郭期中）如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝3，求△ABC的面积．
21．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求△BCE的面积．
22．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC内一点P到三边的距离相等，∴点P一定是△ABC内角平分线的交点.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知点P一定是△ABC内角平分线的交点.
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AC于E，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，
∴OB＝OE＝OD，
∵BD＝4，
∴OB＝OE＝OD＝2，
∴点O到边AC的距离是2，
故答案为：C.
【分析】过O作OE⊥AC于E，根据角平分线的性质即可得到结论.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE.
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE.
又∵AC=BC，
∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=6
故答案为：A
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，然后用HL定理可证Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，结合题意可得△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB可求解。
4．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：当∠BOC在∠AOB以外时，
∠MON=∠AON-∠AOM=55°-40°=15°；
当∠BOC在∠AOB以内时，
∠MON=∠AOM-∠AON=40°-25°=15°。
故答案为：A.
【分析】根据∠BOC位置的不同进行分类讨论，由角平分线的性质即可得到最后的答案。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过D作DG⊥AC于G,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴DG=DE=2,
∵AB=6,AC=4,
∴ =
∴
∴BF=5
故答案为：C
【分析】过D作DG⊥AC于G,根据角平分线的性质得到DG=DE=2,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
又∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴
即AC= ．
故选：A．
【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，又由 ，△ABD的面积是△ACD的2倍，所以可得 ，即可求得答案．
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF=DE=2.
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，
∴7= ×4×2+ ×AC×2，
∴AC=3.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=2，根据三角形的面积计算方法，由S△ABC=S△ABD+S△ACD建立方程，求解即可算出AC的长.
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，
∠DEM=180°-∠BED=180°-140°=40°，
∵BP平分∠ABC，
∴DM=DN，
又∵DE=DF，
∴Rt△DME≌△DNF（HL），
∴∠BFD=∠MED=40°；
故答案为：A.
【分析】作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N， 构造三角形全等；由角平分线性质定理得DM=DN，结合DE=DF，利用斜边直角边定理证明Rt△DME≌△DNF，从而对应角相等，∠BFD=∠MED=40°。
9．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5
∴点P到OB的距离为5（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5（垂线段最短）．
故答案为：C.
【分析】先利用角平分线上的点到角两边的距离相等得点P到OB的距离，再利用垂线段最短即可求解。
10．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝ ∠CAB，∠PBE＝ ∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①符合题意；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（ AC PN）：（ AB PM）＝AC：AB；故②符合题意；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③符合题意；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解
11．【答案】18
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 于E， 于F，连接OA，
∵OB平分∠ABC， ， ，
∴ OE=OD=2，
同理，OF=OD=2，
∴
=18.
故答案为：18.
【分析】作 于E， 于F，连接OA，根据角平分线的性质分别求出OE，OF，根据三角形的面积公式计算.
12．【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE=6，又BD：CD=3：2，
∴BD=9，
∴BC=BD+DC=15，
故答案为：15．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD=DE=6，又BD：CD=3：2，根据比例式即可算出BD的长，进而根据BC=BD+DC算出答案。
13．【答案】18
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC.
又∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC.
∴∠ABO＝∠MOB.
∴MO＝MB.
同理可得：NO＝NC.
∴△AMN的周长为：AM＋MN＋AN＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC＝8＋10＝18cm，
故答案为：18.
【分析】根据角平分线的性质以及平行的性质即可得到MO=MB，根据三角形的周长公式进行计算即可得到答案。
14．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝ EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为：5．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到PF=PH，根据点到直线的距离公式求出答案即可。
15．【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PN⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别为点N、Q，
∵PB、PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴PN=PM，PQ=PN，
∴PQ=PM，
∵PM=6cm，
∴PQ=6cm，
即点P到AB的距离为6cm．
故答案为：6．
【分析】过点P作PN⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别为点N、Q，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PN=PM，PQ=PN，从而得到PQ=PM，代入数据即可得解．
16．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过P作PF⊥AO于F，
∵PN∥OB，
∴∠FNP=∠AOB=30°，
∵OP平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PF⊥OA于F，
∴PF=PM=1．
∴在Rt△PMF中，PN=2PF=2，
故答案为2．
【分析】先利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，求出PF的长度，然后根据勾股定理求出PN的长度即可。
17．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为15，AB=10，
∴ ×10×CE=15，
∴CE=3．
即CM+MN的最小值为3．
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的性质作出角的两边的垂线，然后根据三角形的面积计算可得CE，从而可得线段和的最小值.
18．【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，
∵P为CE中点，
设S△EFP=S△CFP=y，
∵BD是AC边上的中线，
设S△CDF=S△AFD=z，
∵S△BFP=15，
∴S△BCD=15+y+z，
∴S△ABC=2S△BCD=30+2y+2z，
∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，
∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴EG=CE=2CP=4，
∴S△ABE=ABEG=30，
∴AB=15.
故答案为：15.
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30. 再根据角平分线的性质得出EG=CE=2CP=4，进而得出答案.
19．【答案】解：如图所示
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】由题意及角平分线性质得点P应在 ∠AOB的角平分线上，才会到 ∠AOB两边的距离相等，所以该题就是让做出 ∠AOB的角平分线。
20．【答案】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，∴OE=OD，OF=OD，即OE=OF=OD=3，∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO= AB OE+ BC OD+ AC OF= ×3×（AB+BC+AC）= ×3×20=30．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出OE=OD，OF=OD，故OE=OF=OD=3，然后根据S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO使用乘法分配律的逆用及整体代入即可算出答案。
21．【答案】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积= ×BC×EF=5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出EF，根据三角形的面积公式计算即可．
22．【答案】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，
∴ ×6×DE+ ×8×DF=28，
∴DE=DF=4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
23．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE=DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE=CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE=AF，故AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
1 / 1初中数学苏科版八年级上册2.4.2 角的轴对称性 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·武汉月考）在△ABC 内一点 P 到三边的距离相等，则点 P 一定是△ABC 的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条内角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC内一点P到三边的距离相等，∴点P一定是△ABC内角平分线的交点.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知点P一定是△ABC内角平分线的交点.
2．（2020·陕西模拟）如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AC于E，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，
∴OB＝OE＝OD，
∵BD＝4，
∴OB＝OE＝OD＝2，
∴点O到边AC的距离是2，
故答案为：C.
【分析】过O作OE⊥AC于E，根据角平分线的性质即可得到结论.
3．（2019八下·港南期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则ΔDBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9 cm
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE.
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE.
又∵AC=BC，
∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=6
故答案为：A
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，然后用HL定理可证Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，结合题意可得△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB可求解。
4．（2020七上·武城期末）已知∠AOB=80°，∠BOC=30°，OM平分∠ AOB， ON平分∠AOC则∠MON的度数为（ ）
A．15° B．15°或55° C．30°或110° D．30°或55°
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：当∠BOC在∠AOB以外时，
∠MON=∠AON-∠AOM=55°-40°=15°；
当∠BOC在∠AOB以内时，
∠MON=∠AOM-∠AON=40°-25°=15°。
故答案为：A.
【分析】根据∠BOC位置的不同进行分类讨论，由角平分线的性质即可得到最后的答案。
5．（2019八上·海安月考）如图， 中， ， 平分 ， 于点 ， 于点 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过D作DG⊥AC于G,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴DG=DE=2,
∵AB=6,AC=4,
∴ =
∴
∴BF=5
故答案为：C
【分析】过D作DG⊥AC于G,根据角平分线的性质得到DG=DE=2,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.
6．（2019八上·苍南期中）如图， 是 的角平分线， ， ， ， 分别是垂足，若 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
又∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴
即AC= ．
故选：A．
【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，又由 ，△ABD的面积是△ACD的2倍，所以可得 ，即可求得答案．
7．（2019八上·恩施期中）如图，AD是 ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7 ，DE=2，AB=4，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF=DE=2.
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，
∴7= ×4×2+ ×AC×2，
∴AC=3.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=2，根据三角形的面积计算方法，由S△ABC=S△ABD+S△ACD建立方程，求解即可算出AC的长.
8．（2019八下·慈溪期末）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，
∠DEM=180°-∠BED=180°-140°=40°，
∵BP平分∠ABC，
∴DM=DN，
又∵DE=DF，
∴Rt△DME≌△DNF（HL），
∴∠BFD=∠MED=40°；
故答案为：A.
【分析】作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N， 构造三角形全等；由角平分线性质定理得DM=DN，结合DE=DF，利用斜边直角边定理证明Rt△DME≌△DNF，从而对应角相等，∠BFD=∠MED=40°。
9．（2019八上·湛江期中）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A．PQ>5 B．PQ<5 C．PQ≥5 D．PQ≤5
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5
∴点P到OB的距离为5（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5（垂线段最短）．
故答案为：C.
【分析】先利用角平分线上的点到角两边的距离相等得点P到OB的距离，再利用垂线段最短即可求解。
10．（2019·裕华模拟）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝ ∠CAB，∠PBE＝ ∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①符合题意；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（ AC PN）：（ AB PM）＝AC：AB；故②符合题意；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③符合题意；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解
二、填空题
11．（2018八上·沁阳期末）如图，已知 的周长是18，OB，OC分别平分 和 ， 于D，且 ，则 的面积是 .
【答案】18
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 于E， 于F，连接OA，
∵OB平分∠ABC， ， ，
∴ OE=OD=2，
同理，OF=OD=2，
∴
=18.
故答案为：18.
【分析】作 于E， 于F，连接OA，根据角平分线的性质分别求出OE，OF，根据三角形的面积公式计算.
12．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是 ．
【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE=6，又BD：CD=3：2，
∴BD=9，
∴BC=BD+DC=15，
故答案为：15．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD=DE=6，又BD：CD=3：2，根据比例式即可算出BD的长，进而根据BC=BD+DC算出答案。
13．（2018八上·连城期中）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交A
B、AC于点M，N．若AB＝8，AC＝10，则△AMN的周长是 ．
【答案】18
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC.
又∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC.
∴∠ABO＝∠MOB.
∴MO＝MB.
同理可得：NO＝NC.
∴△AMN的周长为：AM＋MN＋AN＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC＝8＋10＝18cm，
故答案为：18.
【分析】根据角平分线的性质以及平行的性质即可得到MO=MB，根据三角形的周长公式进行计算即可得到答案。
14．（2019七下·普宁期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为 ．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝ EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为：5．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到PF=PH，根据点到直线的距离公式求出答案即可。
15．（2019七上·大庆期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，PM⊥AC于点M.若PM＝6cm，则点P到AB的距离为 cm．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PN⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别为点N、Q，
∵PB、PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴PN=PM，PQ=PN，
∴PQ=PM，
∵PM=6cm，
∴PQ=6cm，
即点P到AB的距离为6cm．
故答案为：6．
【分析】过点P作PN⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别为点N、Q，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PN=PM，PQ=PN，从而得到PQ=PM，代入数据即可得解．
16．（2019八上·安顺期末）如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N，若PM=1，则PN= ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过P作PF⊥AO于F，
∵PN∥OB，
∴∠FNP=∠AOB=30°，
∵OP平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PF⊥OA于F，
∴PF=PM=1．
∴在Rt△PMF中，PN=2PF=2，
故答案为2．
【分析】先利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，求出PF的长度，然后根据勾股定理求出PN的长度即可。
17．如图，钝角三角形ABC的面积为30，最长边AB=20，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为15，AB=10，
∴ ×10×CE=15，
∴CE=3．
即CM+MN的最小值为3．
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的性质作出角的两边的垂线，然后根据三角形的面积计算可得CE，从而可得线段和的最小值.
18．（2020八上·鄞州期末）如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S△BFP=15，则AB的长度为 。
【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，
∵P为CE中点，
设S△EFP=S△CFP=y，
∵BD是AC边上的中线，
设S△CDF=S△AFD=z，
∵S△BFP=15，
∴S△BCD=15+y+z，
∴S△ABC=2S△BCD=30+2y+2z，
∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，
∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴EG=CE=2CP=4，
∴S△ABE=ABEG=30，
∴AB=15.
故答案为：15.
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30. 再根据角平分线的性质得出EG=CE=2CP=4，进而得出答案.
三、解答题
19．（2018八上·湖北月考）尺规作图：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到 ∠AOB两边的距离相等（不要求写出作法，但要保留作图痕迹，写出结论）
【答案】解：如图所示
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】由题意及角平分线性质得点P应在 ∠AOB的角平分线上，才会到 ∠AOB两边的距离相等，所以该题就是让做出 ∠AOB的角平分线。
20．（2018八上·前郭期中）如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝3，求△ABC的面积．
【答案】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，∴OE=OD，OF=OD，即OE=OF=OD=3，∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO= AB OE+ BC OD+ AC OF= ×3×（AB+BC+AC）= ×3×20=30．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出OE=OD，OF=OD，故OE=OF=OD=3，然后根据S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO使用乘法分配律的逆用及整体代入即可算出答案。
21．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求△BCE的面积．
【答案】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积= ×BC×EF=5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出EF，根据三角形的面积公式计算即可．
22．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
【答案】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，
∴ ×6×DE+ ×8×DF=28，
∴DE=DF=4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE=DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE=CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE=AF，故AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
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