初中数学苏科版九年级下册 5.4 二次函数与一元二次方程 同步训练

初中数学苏科版九年级下册 5.4 二次函数与一元二次方程 同步训练
一、单选题
1．（2020九上·萧山期中）二次函数y=x2﹣2x﹣3图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C．（-3，0） D．（0，-3）
2．（2020九上·利辛期中）抛物线y＝－3x2+2x－1的图象与坐标轴的交点个数是 （　　）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2020九上·拱墅月考）已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示：
x … 0 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
则方程 的根是（　　）.
A．0或4 B． 或 C． 或 D．无实根
4．（2020九上·锦江月考）根据表格中的数据，估计一元二次方程 （ ， ， 为常数， ）一个解 的范围为（　　）
0.5 1 1.5 2 3
28 18 10 4 -2
A． B． C． D．
5．（2020·天台模拟）如图，抛物线 与直线 交于点 ， ，则不等式 的解集为（　　）
A． B． 或
C． D． 或
6．（2018九上·上杭期中）若函数 的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是
A． 且 B．
C． D．
7．（2020九上·嘉兴期中）某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候会出现赔本经营的状况。因此，公司规定，若无利润时该景点关闭。经跟踪测算，该景点一年中的月利润 （万元）与月份x满足 ，则该景点一年中处于关闭状态的时长为（　　）
A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月
8．（2020·安顺）已知二次函数 的图象经过 与 两点，关于x的方程 有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程 有两个整数根，这两个整数根是（　　）
A．-2或0 B．-4或2 C．-5或3 D．-6或4
9．（2020·富宁模拟）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（　　）
A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2
B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)
C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2
D．若 ≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝
10．（2020九上·慈溪期中）如图是抛物线 的部分图象，其对称轴为直线 ，与 轴的交点坐标为 ，下列结论：① ；② ；③方程 的两根分别是0和2；④方程 有一个实根大于2；⑤当 时， 随着 的增大而减小. 其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．（2020九上·温州月考）抛物线 与 轴交于两点，分别是 ， ，则 　 　.
12．（2020九上·杭州月考）已知关于 的一元二次方程 的一个根是 ，且二次函数 的对称轴是直线 ，则此方程 的另一个解为　 　.
13．（2020九上·鞍山月考）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则关于x的方程 的解为　 　.
14．（2020九上·台州月考）二次函数y=x2+（k+4）x+k的图象与x轴两个交点间的最短距离为　 　。
15．（2020九上·丰台期中）在关于的 二次函数中，自变量 可以取任意实数，下表是自变量 与函数 的几组对应值：
… 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… -1.78 -3.70 -4.42 -3.91 -2.20 4.88 10.27 …
根据以上信息，关于 的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于　 　（结果保留小数点后一位）．
16．（2020九上·杭州期中）如图，已知函数 与 的图象交于A(-4，1)、B(2，-2) 、C(1，-4)三点，根据图象可求得关于x的不等式 的解集为　 　.
17．（2020·江苏模拟）若二次函数 （ 为常数）的图象在 的部分与 轴有两个公共点，则 的取值范围是　 　.
18．（2020·南通模拟）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是　 　．
三、综合题
19．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．
20．（2020九上·蚌埠月考）已知关于x的二次函数 ．
（1）试判断该函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）当 时，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离．
21．（2020九上·多伦期中）已知二次函数 （m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
22．（2020九上·厦门期中）已知抛物线为： ．
（1）若该抛物线与y轴交于 ，与 轴仅有一个交点，求抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的开口向下， ， 是抛物线上的两点，当 时，直接写出 的取值范围．
23．（2019·中山模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PB的值最小时的点P的坐标．
24．（2020九上·滨海期中）已知二次函数 （ 为常数）．
（1）当 时，求二次函数的最值；
（2）当抛物线的顶点恰好落在 轴上时，求抛物线的顶点坐标；
（3）当 时，与其对应的函数值 的最大值为2，求二次函数的解析式．
25．（2020九上·宜春期中）已知：二次函数 ．
（1）如果二次函数图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB解析式．
26．（2020九上·镇海期中）如图，抛物线y＝－ x2＋ x＋2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
（1）求点A，点B，点C的坐标.
（2）求直线BD的表达式.
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形.
（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得：当x=0，y=02﹣2×0﹣3=-3，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，-3）.
故答案为：D.
【分析】函数图象与y轴的交点坐标，即求当x=0时，y的值，则可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：△=4－4×(－3)×(－1)=4－12=－8<0，
则抛物线与x轴没有交点，与y轴的交点坐标为(0，－1)，
即抛物线与坐标轴有一个交点．
故答案为：B．
【分析】根据根的判别式判断二次函数与坐标轴的交点个数即可。
3．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由图象可知，对称轴为直线 .
.
.
，
.
.
即 时，
由表可知 .
∵对称轴为 .
∵另一个解 .
的根是 .
故答案为：B.
【分析】根据抛物线经过点（0，0.37）可求得c＝0.37，由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（， 1），由于方程ax2＋bx＋1.37＝0变形为ax2＋bx＋0.37＝ 1，则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根则为函数值为 1所对应的自变量的值.
4．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由表格可知：
在 和 之间，对应的x在1.5和2之间，
所以 一个解的取值范围为 .
故答案为：C.
【分析】根据表格中的数据发现，x在0.5到3之间时， 随着x的增大而减小，而当x=1.5时， ，当x=2时， ，6在10和4之间，所以一元二次方程 其中一个解的范围是 .
5．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知： 不等式 的解集为： 或 .
故答案为：D.
【分析】求不等式 的解集，从形的角度看，就是求抛物线的图象在一次函数的图象的上方部分相应的自变量的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数 的图象与坐标轴有三个交点，
∴ 且
解得，b<1且b≠0.
故答案为：A.
【分析】二次函数与坐标轴有三个交点，所以，且 。
7．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵W=﹣x2+16x﹣48，
当W=0，则x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，
∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12，
∴该景点一年中处于关闭状态有5个月．
故答案为A．
【分析】求出当W=0时，建立关于x的方程，解方程求出x的值；根据题意可得到x的取值范围，即可求解。
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】二次函数 的图象经过 与 两点，即方程 的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位，得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程 的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围.
故答案为：B.
【分析】由题意可得方程 的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位，由此判断加m后的两个根，即可判断选项.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由已知可得，c＝2，b＝2a，
∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2，
A.当x＝﹣2时，y＝2，
∴方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2；故A正确，不符合题意；
B.若x1＝2，函数的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)，正确，不符合题意；
C.ax2＋2ax＋2＝4时，△＝4a2＋8a＝0，
∴a＝0或a＝﹣2，
∴a＝﹣2，正确，不符合题意；
D.若﹣ ≤x≤0时2≤y≤3；
在﹣ ≤x≤0时，当x＝﹣1时，y有最大值2﹣a，当x＝0时，有最最小值2；
∴3＝2﹣a，
∴a＝﹣1，
故D.错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据已知条件可将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y =a（x＋1）2﹣a＋2，把x=-2代入，可对A进行判断；利用对称性可对B进行判断；依据一元二次方程根的差别式可对C进行判断；根据抛物线的图象与性质可对D进行判断.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，
∴a＜0，b＞0，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）
∴c＞0
∴abc＜0，故①正确；
∵当x=-1时，a-b+c＜0
∵抛物线的对称轴为直线x=1
∴x=
∴b=-2a，
∴a-（-2a）+c＜0即3a+c＜0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1
∴点（0,3）关于直线x=1的对称点的坐标为（2,3）
∴方程ax2+bx+c=3的两个根分别为0和2，故③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（x1，0）
∴-1＜x1＜0
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x2，0）
∴2＜x2＜3
∴方程ax2+bx+c=0的一个根大于2，故④正确；
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故⑤正确；
正确的个数有4个.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，抛物线与y轴的交点位置，可确定出a，b，c的取值范围，由此可到abc的取值范围，可对①作出判断；当x=-1时，a-b+c＜0，利用对称轴可得到b=-2a，由此可推出3a+c的取值范围，可对②作出判断；利用二次函数的对称性可得到点（0,3）关于直线x=1的对称点的坐标为（2,3），由此可得到方程ax2+bx+c=3的两个根，可对③作出判断；抛物线与x轴的一个交点坐标为（x1，0），设抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x2，0），利用二次函数的对称性可得到x1，x2的取值范围，由此可对④作出判断；根据当x＞1时，y随x的增大而减小，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的个数。
11．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意得令 中y=0，
∴ ，其两根为 ，
∴ ，
故答案为：4.
【分析】与 轴交点即令 中y=0，再由韦达定理得到 即可.
12．【答案】x=0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设方程 的另一根为 ，
∵二次函数 的对称轴是直线
∴ ，即
解得
即另一根为x=0，
故答案为：x=0
【分析】根据抛物线的对称性，可知 的图象与x轴的两个交点关于直线 对称，两交点的横坐标即为方程 的两根，根据对称性建立关系式即可求解.
13．【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由二次函数图象可得，
抛物线 与x轴的一个交点为 ，对称轴是直线 ，
则抛物线与x轴的另一个交点为 ，
当 时，关于x的方程 的两个解为： ， .
故答案为： ， .
【分析】观察函数图象可直接写出方程的一个解 ，二次函数对称轴为直线 ，根据函数图象与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，得出方程另一个解的值.
14．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：设抛物线与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0）
∴a+b=-k-4，ab=k
∴
∴当k+2=0时，|a-b|有最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】设抛物线与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0），利用一元二次方程根与系数的关系可得到a+b和ab的值，再将|a-b|转化为，再利用二次函数的性质可得到此抛物线与x轴两个交点的最短距离。
15．【答案】5.8
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由表格可知，
当x=5时，y=-2.20＜0，当x=6时，y=0.75＞0，
则关于x的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8（5.6至5.9均可），
故答案为：5.8．
【分析】根据二次函数与一元二次方程近似根的关系，先找y的值，再判断即可。
16．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数 与 的图象交于A(-4，1)、B(2，-2) 、C(1，-4)三点，
由图像可知
当-4＜x＜0或1＜x＜2时，.
故答案为：-4＜x＜0或1＜x＜2.
【分析】观察两函数图象，由两函数图象的交点坐标A，B，C的横坐标，可得到当时的自变量x的取值范围。
17．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数关系式为 ，
∴抛物线的开口向上，且当x=0时，y=－1，图像经过定点（0，－1）.
∵图象在 的部分与 轴有两个公共点，
∴当x=－2时，y≥0；当x=5时，y≥0，
∴ ，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据已知函数关系式的特征能够判断抛物线的开口向上，并且图象经过定点（0，－1）从而只需满足当x=－2，以及当x=5时，函数值y≥0即可.
18．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】 解： ∵抛物线 的对称轴为直线x＝1
∴ ，解得：
∵抛物线经过点
∴ ，解得：
∴抛物线的解析式是
∵
∴当 时，
∵当 时，
当 时，
∴在抛物线 中，当 时，
∴令 ，要使 与 有交点，则
∵关于x的一元二次方程 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根
∴ 与 的图像在 中有交点
∴
故答案为：
【分析】先根据二次函数对称轴公式得出b的值，将 代入二次函数解析式得出 的值，再根据二次函数的性质得出在 中，y的取值范围，最后根据一元二次方程 有实数根得出 与 的图像在 中有交点即得．
19．【答案】解： ，不论 为何值时，都有 ，此时二次函数图象与 轴有两个不同交点．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】利用判别式的值得到 ，从而得到 ，然后根据判别式的意义得到结论．
20．【答案】（1）解： ，
， ，
二次函数 的图象与x轴有两个交点；
（2）解：当 时，二次函数为 ，令 ，
则 ，
解得 或 ， 与x轴交点为 ， ，
两交点间的距离为：
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用根的判别式判断二次函数与x轴的交点坐标即可求解；
（2）先求出二次函数与x轴的交点坐标，再求两点之间的距离即可。
21．【答案】（1）解：∵ ，
∴方程 没有实数解.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
（2）解：∵ ，
∴把函数 的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数 的图象，它的顶点坐标是（m，0）.
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把函数 的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案.（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
22．【答案】（1）解： 是抛物线的解析式，
，
将点 代入抛物线的解析式得： ，
抛物线 与 轴仅有一个交点，
关于x的方程 有两个相等的实数根，
其根的判别式 ，
解得 或 （舍去），
故抛物线的解析式为 ；
（2）解：抛物线 的对称轴为 ，
则点 关于对称轴的对称点的坐标为 ，
该抛物线的开口向下， ， 是抛物线上的两点， ，
．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先根据二次函数的定义可得 ，再将点 代入抛物线的解析式可得 ，然后根据二次函数与一元二次方程的联系可得关于x的方程 有两个相等的实数根，利用方程的根的判别式求出a的值即可得；（2）先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性可得点Q关于对称轴的对称点的坐标，然后根据二次函数的性质即可得．
23．【答案】（1）解：由二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，
得 ，
解得 ．
则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
则该抛物线与x轴的交点坐标是：A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）根据图象知，当﹣1＜x＜3时，y＜0；
（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴是直线x＝1．
当A、
B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）将
（﹣1，0）和（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，得到关于b、c的方程组，求出b、c的值即可. 当y=0时，即
x2﹣2x﹣3＝0，求出x值，即得抛物线与x轴的另一个交点是：B（3，0）.
（2）观察可得x轴下方的抛物线的图象所对应的x范围即可.
（3）当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点．
24．【答案】（1）当 时，二次函数的解析式为 ，
∴当x=2时，二次函数取得最大值，最大值为 ．
（2）当抛物线的顶点恰好落在 轴上，
那么 ，
即 ， 解得 ．
当m=6时，二次函数的解析式为 ，
此时抛物线的顶点坐标为 ．
当m= 时，二次函数的解析式为 ，
此时抛物线的顶点坐标为 ．
∴抛物线的顶点坐标为 或 ．
（3）二次函数图象的对称轴为直线 ，
①当 时，即 时，
在自变量 的值满足 的情况下， 随 的增大而减小，
∴当x= 时，y= 为最大值，
∴ ，解得 ，此时二次函数的解析式为y= ．
②当 时，即 时，
当 时，二次函数的最大值为 =2，
∴ ，配方得， ，解得
∵ ，∴ 应舍去，取 ，
此时二次函数的解析式为 ．
③当 时，即m>10时，
在自变量 的值满足 的情况下， 随 的增大而增大，
∴当x=5时，y= 取得最大值，
∴ ，解得 ，
∵m>10，∴ 舍去．
综上所述：此时二次函数的解析式为y= 或 ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把 m=4 代入函数解析式，然后根据二次函数的性质进行求解即可；（2）当抛物线的顶点恰好落在 轴上，那么 ，进而求解m的值，然后分别代入求解即可；（3）由题意易得二次函数图象的对称轴为直线 ，进而分情况进行求解，即① 当 时，即 时，② 当 时，即 时，③当 时，即m>10时，最后根据二次函数的增减性进行求解即可．
25．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象与x轴有两个交点，
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴ ．
∴ ．
∴二次函数的解析式为 ．
令x=0，则y=3．
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为 ，
∴ ．
解得 ．
∴直线AB的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据 得出关于m的不等式即可得到结论；（2）将点A坐标代入抛物线表达式得出m的值，从而得到抛物线的解析式，然后将x=0代入抛物线的解析式可求得点B的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AB的解析式．
26．【答案】（1）解：令x=0,得y=2 ∴C（0,2）
令y=0，得－ x2＋ x＋2＝0
解得x1=-1，x2=4
∴A（-1,0），B（4,0）
（2）解：∵点D与点C关于x轴对称
∴D（0，-2）
设直线BD的解析式为y=kx-2
将（4,0）代入得：4k-2=0
∴k=
∴y= x-2
（3）解：如图所示
∵QM∥CD
∴ 当QM=CD时，四边形CQMD是平行四边形
设点Q的坐标（m，－ m2＋ m＋2）
则点M的坐标（m， m-2）
∴－ m2＋ m＋2-（ m-2）=4
解得m1=2，m2=0 （舍去）
∴ 当m=2时四边形CQMD是平行四边形
（4）解：存在
设Q（m，－ m2＋ m＋2）
∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形
∴①当∠QBD=90°时，
由勾股定理得：BQ2+BD2=DQ2
即（m-4）2+（－ m2＋ m＋2）2+20=m2+（－ m2＋ m＋2+2）2
解得m=3，m=4(舍去） ∴Q（3,2）
当∠QDB=90°时
由勾股定理的：BQ2=BD2+DQ2
即（m-4）2+（－ m2＋ m＋2）2=20+m2+（－ m2＋ m＋2+2）2
解得：m=8，m=1
∴Q（8，-18），（1,0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）令x=0，求得抛物线与y轴的交点，令y=0，可得抛物线与x轴的交点坐标；
（2）根据关于x轴对称点坐标特点可得点D的坐标，根据B、D两点坐标，利用待定系数法即可求出 直线BD的解析式；
（3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，把Q、M两点坐标分别用含m的代数式表示，则QM可表示，利用QM=4列方程求出m值即可；
（4）首先把Q点坐标用含m的代数式表示，分两种情况讨论，①当∠QBD=90°时，当∠QDB=90°时，分别利用勾股定理列式求出m值即可.
1 / 1初中数学苏科版九年级下册 5.4 二次函数与一元二次方程 同步训练
一、单选题
1．（2020九上·萧山期中）二次函数y=x2﹣2x﹣3图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C．（-3，0） D．（0，-3）
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得：当x=0，y=02﹣2×0﹣3=-3，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，-3）.
故答案为：D.
【分析】函数图象与y轴的交点坐标，即求当x=0时，y的值，则可得出答案。
2．（2020九上·利辛期中）抛物线y＝－3x2+2x－1的图象与坐标轴的交点个数是 （　　）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：△=4－4×(－3)×(－1)=4－12=－8<0，
则抛物线与x轴没有交点，与y轴的交点坐标为(0，－1)，
即抛物线与坐标轴有一个交点．
故答案为：B．
【分析】根据根的判别式判断二次函数与坐标轴的交点个数即可。
3．（2020九上·拱墅月考）已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示：
x … 0 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
则方程 的根是（　　）.
A．0或4 B． 或 C． 或 D．无实根
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由图象可知，对称轴为直线 .
.
.
，
.
.
即 时，
由表可知 .
∵对称轴为 .
∵另一个解 .
的根是 .
故答案为：B.
【分析】根据抛物线经过点（0，0.37）可求得c＝0.37，由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（， 1），由于方程ax2＋bx＋1.37＝0变形为ax2＋bx＋0.37＝ 1，则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根则为函数值为 1所对应的自变量的值.
4．（2020九上·锦江月考）根据表格中的数据，估计一元二次方程 （ ， ， 为常数， ）一个解 的范围为（　　）
0.5 1 1.5 2 3
28 18 10 4 -2
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由表格可知：
在 和 之间，对应的x在1.5和2之间，
所以 一个解的取值范围为 .
故答案为：C.
【分析】根据表格中的数据发现，x在0.5到3之间时， 随着x的增大而减小，而当x=1.5时， ，当x=2时， ，6在10和4之间，所以一元二次方程 其中一个解的范围是 .
5．（2020·天台模拟）如图，抛物线 与直线 交于点 ， ，则不等式 的解集为（　　）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知： 不等式 的解集为： 或 .
故答案为：D.
【分析】求不等式 的解集，从形的角度看，就是求抛物线的图象在一次函数的图象的上方部分相应的自变量的取值范围.
6．（2018九上·上杭期中）若函数 的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是
A． 且 B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数 的图象与坐标轴有三个交点，
∴ 且
解得，b<1且b≠0.
故答案为：A.
【分析】二次函数与坐标轴有三个交点，所以，且 。
7．（2020九上·嘉兴期中）某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候会出现赔本经营的状况。因此，公司规定，若无利润时该景点关闭。经跟踪测算，该景点一年中的月利润 （万元）与月份x满足 ，则该景点一年中处于关闭状态的时长为（　　）
A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵W=﹣x2+16x﹣48，
当W=0，则x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，
∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12，
∴该景点一年中处于关闭状态有5个月．
故答案为A．
【分析】求出当W=0时，建立关于x的方程，解方程求出x的值；根据题意可得到x的取值范围，即可求解。
8．（2020·安顺）已知二次函数 的图象经过 与 两点，关于x的方程 有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程 有两个整数根，这两个整数根是（　　）
A．-2或0 B．-4或2 C．-5或3 D．-6或4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】二次函数 的图象经过 与 两点，即方程 的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位，得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程 的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围.
故答案为：B.
【分析】由题意可得方程 的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位，由此判断加m后的两个根，即可判断选项.
9．（2020·富宁模拟）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（　　）
A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2
B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)
C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2
D．若 ≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由已知可得，c＝2，b＝2a，
∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2，
A.当x＝﹣2时，y＝2，
∴方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2；故A正确，不符合题意；
B.若x1＝2，函数的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)，正确，不符合题意；
C.ax2＋2ax＋2＝4时，△＝4a2＋8a＝0，
∴a＝0或a＝﹣2，
∴a＝﹣2，正确，不符合题意；
D.若﹣ ≤x≤0时2≤y≤3；
在﹣ ≤x≤0时，当x＝﹣1时，y有最大值2﹣a，当x＝0时，有最最小值2；
∴3＝2﹣a，
∴a＝﹣1，
故D.错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据已知条件可将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y =a（x＋1）2﹣a＋2，把x=-2代入，可对A进行判断；利用对称性可对B进行判断；依据一元二次方程根的差别式可对C进行判断；根据抛物线的图象与性质可对D进行判断.
10．（2020九上·慈溪期中）如图是抛物线 的部分图象，其对称轴为直线 ，与 轴的交点坐标为 ，下列结论：① ；② ；③方程 的两根分别是0和2；④方程 有一个实根大于2；⑤当 时， 随着 的增大而减小. 其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，
∴a＜0，b＞0，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）
∴c＞0
∴abc＜0，故①正确；
∵当x=-1时，a-b+c＜0
∵抛物线的对称轴为直线x=1
∴x=
∴b=-2a，
∴a-（-2a）+c＜0即3a+c＜0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1
∴点（0,3）关于直线x=1的对称点的坐标为（2,3）
∴方程ax2+bx+c=3的两个根分别为0和2，故③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（x1，0）
∴-1＜x1＜0
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x2，0）
∴2＜x2＜3
∴方程ax2+bx+c=0的一个根大于2，故④正确；
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故⑤正确；
正确的个数有4个.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，抛物线与y轴的交点位置，可确定出a，b，c的取值范围，由此可到abc的取值范围，可对①作出判断；当x=-1时，a-b+c＜0，利用对称轴可得到b=-2a，由此可推出3a+c的取值范围，可对②作出判断；利用二次函数的对称性可得到点（0,3）关于直线x=1的对称点的坐标为（2,3），由此可得到方程ax2+bx+c=3的两个根，可对③作出判断；抛物线与x轴的一个交点坐标为（x1，0），设抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x2，0），利用二次函数的对称性可得到x1，x2的取值范围，由此可对④作出判断；根据当x＞1时，y随x的增大而减小，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的个数。
二、填空题
11．（2020九上·温州月考）抛物线 与 轴交于两点，分别是 ， ，则 　 　.
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意得令 中y=0，
∴ ，其两根为 ，
∴ ，
故答案为：4.
【分析】与 轴交点即令 中y=0，再由韦达定理得到 即可.
12．（2020九上·杭州月考）已知关于 的一元二次方程 的一个根是 ，且二次函数 的对称轴是直线 ，则此方程 的另一个解为　 　.
【答案】x=0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设方程 的另一根为 ，
∵二次函数 的对称轴是直线
∴ ，即
解得
即另一根为x=0，
故答案为：x=0
【分析】根据抛物线的对称性，可知 的图象与x轴的两个交点关于直线 对称，两交点的横坐标即为方程 的两根，根据对称性建立关系式即可求解.
13．（2020九上·鞍山月考）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则关于x的方程 的解为　 　.
【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由二次函数图象可得，
抛物线 与x轴的一个交点为 ，对称轴是直线 ，
则抛物线与x轴的另一个交点为 ，
当 时，关于x的方程 的两个解为： ， .
故答案为： ， .
【分析】观察函数图象可直接写出方程的一个解 ，二次函数对称轴为直线 ，根据函数图象与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，得出方程另一个解的值.
14．（2020九上·台州月考）二次函数y=x2+（k+4）x+k的图象与x轴两个交点间的最短距离为　 　。
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：设抛物线与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0）
∴a+b=-k-4，ab=k
∴
∴当k+2=0时，|a-b|有最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】设抛物线与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0），利用一元二次方程根与系数的关系可得到a+b和ab的值，再将|a-b|转化为，再利用二次函数的性质可得到此抛物线与x轴两个交点的最短距离。
15．（2020九上·丰台期中）在关于的 二次函数中，自变量 可以取任意实数，下表是自变量 与函数 的几组对应值：
… 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… -1.78 -3.70 -4.42 -3.91 -2.20 4.88 10.27 …
根据以上信息，关于 的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于　 　（结果保留小数点后一位）．
【答案】5.8
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由表格可知，
当x=5时，y=-2.20＜0，当x=6时，y=0.75＞0，
则关于x的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8（5.6至5.9均可），
故答案为：5.8．
【分析】根据二次函数与一元二次方程近似根的关系，先找y的值，再判断即可。
16．（2020九上·杭州期中）如图，已知函数 与 的图象交于A(-4，1)、B(2，-2) 、C(1，-4)三点，根据图象可求得关于x的不等式 的解集为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数 与 的图象交于A(-4，1)、B(2，-2) 、C(1，-4)三点，
由图像可知
当-4＜x＜0或1＜x＜2时，.
故答案为：-4＜x＜0或1＜x＜2.
【分析】观察两函数图象，由两函数图象的交点坐标A，B，C的横坐标，可得到当时的自变量x的取值范围。
17．（2020·江苏模拟）若二次函数 （ 为常数）的图象在 的部分与 轴有两个公共点，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数关系式为 ，
∴抛物线的开口向上，且当x=0时，y=－1，图像经过定点（0，－1）.
∵图象在 的部分与 轴有两个公共点，
∴当x=－2时，y≥0；当x=5时，y≥0，
∴ ，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据已知函数关系式的特征能够判断抛物线的开口向上，并且图象经过定点（0，－1）从而只需满足当x=－2，以及当x=5时，函数值y≥0即可.
18．（2020·南通模拟）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】 解： ∵抛物线 的对称轴为直线x＝1
∴ ，解得：
∵抛物线经过点
∴ ，解得：
∴抛物线的解析式是
∵
∴当 时，
∵当 时，
当 时，
∴在抛物线 中，当 时，
∴令 ，要使 与 有交点，则
∵关于x的一元二次方程 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根
∴ 与 的图像在 中有交点
∴
故答案为：
【分析】先根据二次函数对称轴公式得出b的值，将 代入二次函数解析式得出 的值，再根据二次函数的性质得出在 中，y的取值范围，最后根据一元二次方程 有实数根得出 与 的图像在 中有交点即得．
三、综合题
19．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．
【答案】解： ，不论 为何值时，都有 ，此时二次函数图象与 轴有两个不同交点．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】利用判别式的值得到 ，从而得到 ，然后根据判别式的意义得到结论．
20．（2020九上·蚌埠月考）已知关于x的二次函数 ．
（1）试判断该函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）当 时，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离．
【答案】（1）解： ，
， ，
二次函数 的图象与x轴有两个交点；
（2）解：当 时，二次函数为 ，令 ，
则 ，
解得 或 ， 与x轴交点为 ， ，
两交点间的距离为：
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用根的判别式判断二次函数与x轴的交点坐标即可求解；
（2）先求出二次函数与x轴的交点坐标，再求两点之间的距离即可。
21．（2020九上·多伦期中）已知二次函数 （m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【答案】（1）解：∵ ，
∴方程 没有实数解.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
（2）解：∵ ，
∴把函数 的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数 的图象，它的顶点坐标是（m，0）.
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把函数 的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案.（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
22．（2020九上·厦门期中）已知抛物线为： ．
（1）若该抛物线与y轴交于 ，与 轴仅有一个交点，求抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的开口向下， ， 是抛物线上的两点，当 时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）解： 是抛物线的解析式，
，
将点 代入抛物线的解析式得： ，
抛物线 与 轴仅有一个交点，
关于x的方程 有两个相等的实数根，
其根的判别式 ，
解得 或 （舍去），
故抛物线的解析式为 ；
（2）解：抛物线 的对称轴为 ，
则点 关于对称轴的对称点的坐标为 ，
该抛物线的开口向下， ， 是抛物线上的两点， ，
．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先根据二次函数的定义可得 ，再将点 代入抛物线的解析式可得 ，然后根据二次函数与一元二次方程的联系可得关于x的方程 有两个相等的实数根，利用方程的根的判别式求出a的值即可得；（2）先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性可得点Q关于对称轴的对称点的坐标，然后根据二次函数的性质即可得．
23．（2019·中山模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PB的值最小时的点P的坐标．
【答案】（1）解：由二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，
得 ，
解得 ．
则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
则该抛物线与x轴的交点坐标是：A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）根据图象知，当﹣1＜x＜3时，y＜0；
（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴是直线x＝1．
当A、
B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）将
（﹣1，0）和（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，得到关于b、c的方程组，求出b、c的值即可. 当y=0时，即
x2﹣2x﹣3＝0，求出x值，即得抛物线与x轴的另一个交点是：B（3，0）.
（2）观察可得x轴下方的抛物线的图象所对应的x范围即可.
（3）当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点．
24．（2020九上·滨海期中）已知二次函数 （ 为常数）．
（1）当 时，求二次函数的最值；
（2）当抛物线的顶点恰好落在 轴上时，求抛物线的顶点坐标；
（3）当 时，与其对应的函数值 的最大值为2，求二次函数的解析式．
【答案】（1）当 时，二次函数的解析式为 ，
∴当x=2时，二次函数取得最大值，最大值为 ．
（2）当抛物线的顶点恰好落在 轴上，
那么 ，
即 ， 解得 ．
当m=6时，二次函数的解析式为 ，
此时抛物线的顶点坐标为 ．
当m= 时，二次函数的解析式为 ，
此时抛物线的顶点坐标为 ．
∴抛物线的顶点坐标为 或 ．
（3）二次函数图象的对称轴为直线 ，
①当 时，即 时，
在自变量 的值满足 的情况下， 随 的增大而减小，
∴当x= 时，y= 为最大值，
∴ ，解得 ，此时二次函数的解析式为y= ．
②当 时，即 时，
当 时，二次函数的最大值为 =2，
∴ ，配方得， ，解得
∵ ，∴ 应舍去，取 ，
此时二次函数的解析式为 ．
③当 时，即m>10时，
在自变量 的值满足 的情况下， 随 的增大而增大，
∴当x=5时，y= 取得最大值，
∴ ，解得 ，
∵m>10，∴ 舍去．
综上所述：此时二次函数的解析式为y= 或 ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把 m=4 代入函数解析式，然后根据二次函数的性质进行求解即可；（2）当抛物线的顶点恰好落在 轴上，那么 ，进而求解m的值，然后分别代入求解即可；（3）由题意易得二次函数图象的对称轴为直线 ，进而分情况进行求解，即① 当 时，即 时，② 当 时，即 时，③当 时，即m>10时，最后根据二次函数的增减性进行求解即可．
25．（2020九上·宜春期中）已知：二次函数 ．
（1）如果二次函数图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB解析式．
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象与x轴有两个交点，
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴ ．
∴ ．
∴二次函数的解析式为 ．
令x=0，则y=3．
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为 ，
∴ ．
解得 ．
∴直线AB的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据 得出关于m的不等式即可得到结论；（2）将点A坐标代入抛物线表达式得出m的值，从而得到抛物线的解析式，然后将x=0代入抛物线的解析式可求得点B的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AB的解析式．
26．（2020九上·镇海期中）如图，抛物线y＝－ x2＋ x＋2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
（1）求点A，点B，点C的坐标.
（2）求直线BD的表达式.
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形.
（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令x=0,得y=2 ∴C（0,2）
令y=0，得－ x2＋ x＋2＝0
解得x1=-1，x2=4
∴A（-1,0），B（4,0）
（2）解：∵点D与点C关于x轴对称
∴D（0，-2）
设直线BD的解析式为y=kx-2
将（4,0）代入得：4k-2=0
∴k=
∴y= x-2
（3）解：如图所示
∵QM∥CD
∴ 当QM=CD时，四边形CQMD是平行四边形
设点Q的坐标（m，－ m2＋ m＋2）
则点M的坐标（m， m-2）
∴－ m2＋ m＋2-（ m-2）=4
解得m1=2，m2=0 （舍去）
∴ 当m=2时四边形CQMD是平行四边形
（4）解：存在
设Q（m，－ m2＋ m＋2）
∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形
∴①当∠QBD=90°时，
由勾股定理得：BQ2+BD2=DQ2
即（m-4）2+（－ m2＋ m＋2）2+20=m2+（－ m2＋ m＋2+2）2
解得m=3，m=4(舍去） ∴Q（3,2）
当∠QDB=90°时
由勾股定理的：BQ2=BD2+DQ2
即（m-4）2+（－ m2＋ m＋2）2=20+m2+（－ m2＋ m＋2+2）2
解得：m=8，m=1
∴Q（8，-18），（1,0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）令x=0，求得抛物线与y轴的交点，令y=0，可得抛物线与x轴的交点坐标；
（2）根据关于x轴对称点坐标特点可得点D的坐标，根据B、D两点坐标，利用待定系数法即可求出 直线BD的解析式；
（3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，把Q、M两点坐标分别用含m的代数式表示，则QM可表示，利用QM=4列方程求出m值即可；
（4）首先把Q点坐标用含m的代数式表示，分两种情况讨论，①当∠QBD=90°时，当∠QDB=90°时，分别利用勾股定理列式求出m值即可.
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