初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.4 角平分线
一、单选题
1．（2020八下·惠东期中）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020·石家庄模拟）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
3．（2019八上·惠山期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=8，BD=10，则点D到BC的距离是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2020八上·无锡期中）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.下列结论；①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PA：PB；③PB垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
5．（2020八上·周口期中）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以C，D为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点F，作射线OF，点P为OF上一点，PE⊥OB，垂足为点E，若PE＝5，则点P到OA的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
6．（2020八上·安阳月考）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
7．（2020八下·邵阳期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2020六下·高新期中）若射线OC在∠AOB内部，则下列①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOB=∠AOC+∠BOC；④∠BOC= ∠AOB；能判定射线OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2020·成都模拟）如图：在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD＝2，AC＝6，则△ACD的面积为 ．
10．（2020八上·安陆期末）如图，在 中， 是边 上的高， 平分 ，交 于点 ， ， ，则 的面积为 .
11．（2019·长春模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．
12．（2019七下·海港开学考）如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC=60°，则∠BOD= .
13．（2020七下·龙岗期末）如图所示，已知△ABC的周长是30，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ．
14．（2020八下·太原期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，BD平分∠ABC交AC边于点D，若CD＝3．则AD的长为 ．
三、解答题
15．（2019八上·泰州月考）如图,在△ABC中,∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线。若CD=3，
求 的面积.
16．（2019八上·柳江期中）已知，如图， ， 是 上一点， 、 分别平分 、 .求证： 是 的中点.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：油库到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质可得，油库应建在这三条公路交角的平分线上，如图，符合条件的油库所在位置有4处，三角形内部1处，是三角形三个内角角平分线的角点，三角形的外部3处，分别是三角形的两个外角和其不相邻的内角的角平分线的交点，
故答案为D．
【分析】根据角平分线的性质，画出各个角的平分线，它们的交点，即为油库的位置．
2．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作射线AM，由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，∴AM平分∠BAC，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的判定定理结合已知条件即可解答.
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】D作DE⊥BC于点E，如图所示，
在Rt△ABD中， ，
∵BD平分∠ABC，由角平分线的性质可得DE=AD=6，
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理可求AD，再过D作DE⊥BC于点E，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=AD.
4．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∠ACB=∠CBE-∠CAB=2∠PBE－2∠PAB=2（∠PBE－∠PAB）=2∠APB，故正确；②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC:S△PAB=AC:AB，但不定等于PA：PB，故错误；③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴PB垂直平分CE(三线合一)，故正确；④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠PCF，
又∵PG∥AD，
∴∠CPF=∠DCP，
∴∠PCF＝∠CPF，故正确.
故①③④都正确.
故答案为：D.
【分析】①分别用外角减去内角表示∠ACB和∠APB，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点P作PT⊥OA于T.
由作图可知，OF平分∠AOB，
∵PT⊥OA，PE⊥OB，
∴PT＝PE＝5，
故答案为：A.
【分析】过点P作PT⊥OA于T，利用角平分线的性质定理证明PT＝PE即可.
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°
∴AC⊥CD
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB
∴DE=CD
∵BC=9，BE=3
∴△BDE的周长是：BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12
故答案为：B
【分析】根据角平分线的性质得DE=CD，继而可求得△BDE的周长是：BE+BC，则可求得答案
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OD是∠AOB的角平分线，
由“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知，
D到OB边的距离等于DE长，即为4，
又由点到直线的距离垂线段最短可知，
DF≥4，
故答案为：A．
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可知，D到OB边的距离等于DE的长，再由点到直线的距离垂线段最短即可求解．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的角平分线，正确；
②∵∠AOC=∠AOB
∴∠AOB=2∠AOC=∠AOC+∠BOC
∴∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的平分线。
③∵∠AOC+∠BOC=∠AOB
∴假设∠AOC=30°，∠BOC=40°，∠AOB=70°，但是OC不是∠AOB的平分线；④∵∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC
∴∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的角平分线，正确；
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的判定和性质，分别进行判断得到答案即可。
9．【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，作DQ⊥AC于Q．
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=2，
∴DB=DQ=2，
∵AC=6，
∴S△ACD AC DQ ×6×2=6．
故答案为：6．
【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=2，再根据三角形的面积公式计算可得．
10．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE= BC EF= ×5×2=5.
故答案为：5.
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可.
11．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于DC＝2，
∴PD的最小值为2．
故答案为：2．
【分析】根据题目可知该作法是∠BAC的角平分线的作法，所以AD平分∠BAC。P是AB上的动点，只有当PD⊥AB时，PD的值最短，则题目转化为求D到AB的距离。根据角平分线的点到角两边距离相等这一性质可推出PD最小值就是CD的值。
12．【答案】120
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC= ∠AOB= ×90°=45°，
∵∠EOC=60°，
∴∠AOE=∠EOC-∠AOC=60°-45°=15°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠AOE=2×15°=30°．
∴∠BOD=30°+90°=120°.
即答案为120°.
【分析】先根据∠AOB=90°，OC平分∠AOB求出∠AOC的度数，再根据∠EOC=60°求出∠AOE的度数，根据OE平分∠AOD即可得出结论．
13．【答案】45
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是30，OD⊥BC于D，且OD＝3，
∴S△ABC＝ ×AB×OE＋ ×BC×OD＋ ×AC×OF＝ ×（AB＋BC＋AC）×3
＝ ×30×3＝45，
故答案为：45．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DG⊥AB于G，
∵BD平分∠ABC，∠ACB＝90°，
∴CD＝DG＝3，
∵∠A＝45°，∠AGD＝90°，
∴AG＝DG＝3，
∴AD＝ ，
故答案为： ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD＝3，再证明△ADG是等腰直角三角形可得结论．
15．【答案】解：作DE⊥AB于E.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为 ×3×10=15.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】 作DE⊥AB于E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 DE=CD=3 ，进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案.
16．【答案】解：过点 作 于点
∵
∴
又∵ 平分
∴
∵ 平分
∴
∴
∴ 是 的中点
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】通过作 ，利用角平分线的性质可知 ， ，则 ，则可证 是 的中点
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.4 角平分线
一、单选题
1．（2020八下·惠东期中）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：油库到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质可得，油库应建在这三条公路交角的平分线上，如图，符合条件的油库所在位置有4处，三角形内部1处，是三角形三个内角角平分线的角点，三角形的外部3处，分别是三角形的两个外角和其不相邻的内角的角平分线的交点，
故答案为D．
【分析】根据角平分线的性质，画出各个角的平分线，它们的交点，即为油库的位置．
2．（2020·石家庄模拟）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作射线AM，由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，∴AM平分∠BAC，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的判定定理结合已知条件即可解答.
3．（2019八上·惠山期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=8，BD=10，则点D到BC的距离是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】D作DE⊥BC于点E，如图所示，
在Rt△ABD中， ，
∵BD平分∠ABC，由角平分线的性质可得DE=AD=6，
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理可求AD，再过D作DE⊥BC于点E，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=AD.
4．（2020八上·无锡期中）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.下列结论；①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PA：PB；③PB垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∠ACB=∠CBE-∠CAB=2∠PBE－2∠PAB=2（∠PBE－∠PAB）=2∠APB，故正确；②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC:S△PAB=AC:AB，但不定等于PA：PB，故错误；③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴PB垂直平分CE(三线合一)，故正确；④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠PCF，
又∵PG∥AD，
∴∠CPF=∠DCP，
∴∠PCF＝∠CPF，故正确.
故①③④都正确.
故答案为：D.
【分析】①分别用外角减去内角表示∠ACB和∠APB，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果.
5．（2020八上·周口期中）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以C，D为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点F，作射线OF，点P为OF上一点，PE⊥OB，垂足为点E，若PE＝5，则点P到OA的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点P作PT⊥OA于T.
由作图可知，OF平分∠AOB，
∵PT⊥OA，PE⊥OB，
∴PT＝PE＝5，
故答案为：A.
【分析】过点P作PT⊥OA于T，利用角平分线的性质定理证明PT＝PE即可.
6．（2020八上·安阳月考）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°
∴AC⊥CD
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB
∴DE=CD
∵BC=9，BE=3
∴△BDE的周长是：BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12
故答案为：B
【分析】根据角平分线的性质得DE=CD，继而可求得△BDE的周长是：BE+BC，则可求得答案
7．（2020八下·邵阳期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OD是∠AOB的角平分线，
由“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知，
D到OB边的距离等于DE长，即为4，
又由点到直线的距离垂线段最短可知，
DF≥4，
故答案为：A．
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可知，D到OB边的距离等于DE的长，再由点到直线的距离垂线段最短即可求解．
8．（2020六下·高新期中）若射线OC在∠AOB内部，则下列①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOB=∠AOC+∠BOC；④∠BOC= ∠AOB；能判定射线OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的角平分线，正确；
②∵∠AOC=∠AOB
∴∠AOB=2∠AOC=∠AOC+∠BOC
∴∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的平分线。
③∵∠AOC+∠BOC=∠AOB
∴假设∠AOC=30°，∠BOC=40°，∠AOB=70°，但是OC不是∠AOB的平分线；④∵∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC
∴∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的角平分线，正确；
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的判定和性质，分别进行判断得到答案即可。
二、填空题
9．（2020·成都模拟）如图：在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD＝2，AC＝6，则△ACD的面积为 ．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，作DQ⊥AC于Q．
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=2，
∴DB=DQ=2，
∵AC=6，
∴S△ACD AC DQ ×6×2=6．
故答案为：6．
【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=2，再根据三角形的面积公式计算可得．
10．（2020八上·安陆期末）如图，在 中， 是边 上的高， 平分 ，交 于点 ， ， ，则 的面积为 .
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE= BC EF= ×5×2=5.
故答案为：5.
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可.
11．（2019·长春模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于DC＝2，
∴PD的最小值为2．
故答案为：2．
【分析】根据题目可知该作法是∠BAC的角平分线的作法，所以AD平分∠BAC。P是AB上的动点，只有当PD⊥AB时，PD的值最短，则题目转化为求D到AB的距离。根据角平分线的点到角两边距离相等这一性质可推出PD最小值就是CD的值。
12．（2019七下·海港开学考）如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC=60°，则∠BOD= .
【答案】120
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC= ∠AOB= ×90°=45°，
∵∠EOC=60°，
∴∠AOE=∠EOC-∠AOC=60°-45°=15°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠AOE=2×15°=30°．
∴∠BOD=30°+90°=120°.
即答案为120°.
【分析】先根据∠AOB=90°，OC平分∠AOB求出∠AOC的度数，再根据∠EOC=60°求出∠AOE的度数，根据OE平分∠AOD即可得出结论．
13．（2020七下·龙岗期末）如图所示，已知△ABC的周长是30，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ．
【答案】45
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是30，OD⊥BC于D，且OD＝3，
∴S△ABC＝ ×AB×OE＋ ×BC×OD＋ ×AC×OF＝ ×（AB＋BC＋AC）×3
＝ ×30×3＝45，
故答案为：45．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
14．（2020八下·太原期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，BD平分∠ABC交AC边于点D，若CD＝3．则AD的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DG⊥AB于G，
∵BD平分∠ABC，∠ACB＝90°，
∴CD＝DG＝3，
∵∠A＝45°，∠AGD＝90°，
∴AG＝DG＝3，
∴AD＝ ，
故答案为： ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD＝3，再证明△ADG是等腰直角三角形可得结论．
三、解答题
15．（2019八上·泰州月考）如图,在△ABC中,∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线。若CD=3，
求 的面积.
【答案】解：作DE⊥AB于E.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为 ×3×10=15.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】 作DE⊥AB于E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 DE=CD=3 ，进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案.
16．（2019八上·柳江期中）已知，如图， ， 是 上一点， 、 分别平分 、 .求证： 是 的中点.
【答案】解：过点 作 于点
∵
∴
又∵ 平分
∴
∵ 平分
∴
∴
∴ 是 的中点
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】通过作 ，利用角平分线的性质可知 ， ，则 ，则可证 是 的中点
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