初中数学华师大版九年级下学期 第27章测试卷

初中数学华师大版九年级下学期 第27章测试卷
一、单选题
1．（2020九上·镇海期中）已知M（1,2），N（3，-3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（　　）
A．（3,5） B．（-3,5） C．（1,2） D．（1,-2）
2．（2020九上·柯桥月考）如图，某大桥可以近似地看作半径为250m的圆中的一段圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）
A．60m B．50m C．45m D．40m
3．（2021九上·杭州期末）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径.若∠DBC＝33°，则∠A等于（　　）
A．33° B．57° C．67° D．66°
4．（2021九上·舞阳期末）如图， 是 的直径， 切 于点 ， 交 于点 ；连接 ，若 ，则 等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
5．（2021九上·商城期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2.则图中阴影部分的面积是（　　）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
6．（2021九上·南宁期末）如图，半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P，过O1作⊙O2的两条切线，切点分别为A，B，与⊙O1分别交于C，D，则 与 的弧长之和为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020九上·浙江期中）圆内接正六边形的边长与该边所对的劣弧的长的比是（　　）
A．1: B．1:π C．3:π D．6:π
二、填空题
8．（2021九上·南宁期末）一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的内切圆的半径为　 　cm.
9．（2021九上·淅川期末）如图，在半径为6的⊙O中，随意向圆内投掷一个小球，经过大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在 ，则 的长约为　 　.（结果保留π）
10．（2020九上·石家庄期中）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠BOE=54°，则∠C=　 　．
11．（2020九上·温州期末）如图， 内接于 ， 于点D， ，若 的半径 ，则 的长为　 　.
12．（2020九上·新昌期中）如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是　 　°.
三、解答题
13．（2020九上·民勤月考）⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离.
14．（2020九上·滨海月考）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OB，CD的延长线交⊙O于点E.若∠C＝19°，求∠BOE的度数.
15．（2021九上·紫阳期末）如图， 的半径 ， 于点C， .求 的长.
四、综合题
16．（2020九上·温州期末）如图， 中， ，P是斜边 上一个动点，以 为直径作 交 于点D，与 的另一个交点E，连接 .
（1）当 时，
①若 ，求 的度数；
②求证 ；
（2）当 ， 时，是否存在点P，使得 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 的长.
17．（2021九上·紫阳期末）如图，在 中，AB为直径，CD与 相切于点C，弦 于点E，连接AC.
（1）求证： ；
（2）当 时， ， ，求AD的长.
18．（2020·闵行模拟）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．
（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，
并写出x的取值范围；
（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；确定圆的条件
【解析】【解答】解：设直线MN的解析式为y=kx+b,
∴,
解得，
∴y=-x+，
当x=3时，y=-3≠5；当x=-3时，y=12；当x=13时，y=2≠-2；
∴点C在直线MN上，该三点不能构成圆.
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求出直线MN的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于（1,2）在直线MN上，可知答案.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设弧AB的圆心为点O，过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C，
∴AD=AB=×300=150，
∵OC=OA=250
在Rt△AOD中
;
∴这些钢索中最长的一根为CD=OC-DO=250-200=50.
故答案为：B.
【分析】设弧AB的圆心为点O，过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C，利用垂径定理求出AD的长，再利用勾股定理求出OD的长，由题意可知CD是这些钢索中最长的一根；然后求出CD的长。
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，
又∵∠A=∠D，
∴∠A=57°.
故答案为：B.
【分析】如图，连接DC，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BCD=90°，利用三角形内角和定理，可得∠D的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，从而求出结论.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】 切 于点 ，
故答案为：B.
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于过切点的半径”可得∠PAO=90°，结合已知根据直角三角形两锐角互余可求得∠POA的度数，再根据圆周角定理即可求解.
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC、OD、OB，
∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ACB＝70°，
∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°，
∴∠BCD＝30°，
则∠BOD＝2∠BCD＝60°，
又OD＝OB，
∴△BOD是等边三角形，
则图中阴影部分的面积是S扇形BOD﹣S△BOD
＝ ﹣ ×22
＝ π﹣ ，
故答案为：B.
【分析】如图所示，连接BC、OD、OB，先求证△BOD是等边三角形，再根据阴影部分的面积=S扇形BOD﹣S△BOD，利用扇形的面积公式计算即可.
6．【答案】A
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB
∵O1A和O1B与⊙O2相切
∴∠O1AO2=∠O1BO2=90°
∴∠AO1B＋∠AO2B=360°－（∠O1AO2＋∠O1BO2）=180°
∴ 与 的弧长之和为
=
=
=
故答案为：A.
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质，可得∠O1AO2=∠O1BO2=90°，利用四边形的内角和等于360°，可得∠AO1B＋∠AO2B=180°，利用弧长公式进行计算即得.
7．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：整理变形的中心角为 =60°，
设正六边形的半径为r，
则其边长为r，
边长所对的弧长为： ,
∴正六边形的边长和边长所对的弧长的比为：r： =3: .
故答案为：C.
【分析】设出正六边形的半径，然后用此半径分别表示出正六边形的边长和边长所对的弧长，作比即可.
8．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：因为直角三角形两条直角边长分别为6cm，8cm，所以该直角三角形的斜边长为10cm，
则这个三角形的内切圆的半径= =2（cm）.
故答案为：2.
【分析】先由勾股定理算出斜边的长，再由直角三角形内切圆半径r=(a，b为直角边，c为斜边）计算即可.
9．【答案】2π
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴面积为36π，
∵大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在 ，
∴扇形的面积为 ＝6π，
设扇形的弧长为l，则 l×3＝6π，
解得：l＝2π，
∴ 的长约为2π，
故答案为：2π.
【分析】根据阴影部分的概率可求得阴影部分的面积，再根据S扇形=lr可列关于l的方程求解.
10．【答案】18°
【知识点】三角形的外角性质；圆的认识
【解析】【解答】连接OD，
∵CD=OA=OD，
∴∠C=∠DOC，
∴∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=2∠C，
∴∠EOB=∠C+∠E=3∠C=54°，
∴∠C=18°，
故答案为：18°．
【分析】利用圆半径相等得到角相等，再利用三角形的外角求解即可。
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：延长AO交圆于E点，
∵△ADB为等腰直角三角形，
∴AB：AD=，
∵OA=2，∴AE=4，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠E和∠C所对的弧都为AB弧，
∴∠E=∠C，
∴AE：AC=AB：AD，
∴4：AC=，
∴AC=2.
故答案为： .
【分析】延长AO交圆于E点，根据直径所对的圆周角为90°构造两三角形相似，再结合等腰直角三角形的性质可得相似比，于是根据三角形的相似的性质即可求出AC的长.
12．【答案】54
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AD，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC=∠C=108°，
∴∠ABD=72°，
∴∠F=∠ABD=72°，
∴∠FAD=18°，
∴∠CDF=∠DAF=18°，
∴∠BDF=36°+18°=54°，
故答案为：54.
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据正五边形的性质得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论.
13．【答案】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】 过点O作OE⊥AB于E，交CD于F ，根据垂径定理可得点E、F分别为AB、CD的中点，根据勾股定理可得OE、OF的长度，再分类讨论弦AB、CD在圆心的同侧 EF＝ OE-OF或弦AB、CD在圆心的异侧 EF＝ OE+OF即可.
14．【答案】解：连接OD，
∵CD=OB=OD，∠C=19°，∴∠ODE=2∠C=38°，∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=38°，∴∠EOB=∠C+∠E=19°+38°=57°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【分析】连接OD，根据CD=OB=OD及外角的性质得出∠ODE的度数，最后根据∠EOB为△COE的外角得出答案.
15．【答案】解：∵OC⊥AB，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°.
∵OA=2，
∴ 的长为：=.
【知识点】垂径定理的应用；弧长的计算
【解析】【分析】首先由垂径定理结合已知条件可得∠AOB=120°，然后根据弧长公式：计算即可.
16．【答案】（1）解：①如图，连接PD，
∵PB为直径，
∴∠PDB=90°，
∠BPD=65°，
∴∠PBD=90°-∠BPD=25°，
∵ ，
∴，
∴，
∴∠C=∠BPE-∠PBD=65°-25°=40°；
② 证明：∵，
∴∠CBP=∠EBP，
∵∠ABE+∠A=∠C+∠A=90°，
∴∠C=∠ABE，
∴∠ABP=∠ABE+∠EBP，∠APB=∠C+∠CBP，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB；
（2）解：存在，
如图，连接PD，
由AB=15，BC= 20,
由勾股定理得: AC= = =25，
∵AB.BC=AC.BE ,
即×15×20=×25×BE，
∴ BE=12，
∵BP是直径，
∴∠PDB =90° ,
∵∠ABC =90° ,
∴PD∥AB ,
∴△DCP∽△BCA ,
∴,
∴，
△BDE是等腰角形，分三种情况:
当BD= BE时，BD=BE=12,
∴CD=BC-BD=20-12=8，
∴ CP=CD=x8=10，
当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，
∴CD=BC=10,
∴CP=CD=×10=，
当DE=BE时，作EH⊥BC, 则H是BD中点，EH//AB, 如图，
AE== =9，
:.CE=AC-AE=25-9=16， CH=BC-BH=20-BH ,
∵EH∥AB，
∴，
即，
解得: BH= ,
∴BD=2BH=，
∴CD= BC-BD=20-=，
∴CP=CD=，
综上所述，△BDE 是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）如图，连接PD，
① 根据直径所对的圆周角是直角，结合求得∠BPD的大小，则度数可求，从而求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠C的度数即可；
② 由弧相等得角相等，再由余角的性质得∠C=∠ABE，于是角的关系即可得出∠ABP=∠APB，从而证出AP=AB；
（2）由勾股定理得AC=25，由面积公式得出AB BC=AC BE，求出BE=12，连接DP，则PD∥AB，得出△DCP∽△BCA，求出CP==，CD，
△BDE是等腰三角形，分三种情况讨论，当BD=BE时，BD=BE=12，CD=BC-BD=8，
CP=2CD=10; 当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，得出CD=BC=10，CP=CD=，当DE=BE时，作EH⊥BC,则H是BD中点, EH∥AB ,求出AE==9, CE=AC-AE=16,CH=20-BH，由EH∥AB, 根据平行线分线段成比例求出BH=，BD=2BH=, CD=BC- BD= , 则CP=CD=7.
17．【答案】（1）证明：连接OC，
∵CD切 于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACD+∠ACO=90°.
∵CF⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACF+∠CAE=90°.
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAE，
∴∠ACD=∠ACF.
（2）解：由（1）可知，∠ACD=∠ACF.
∵CF⊥AB，CF=12，
∴CE=CF=6.
设 的半径为r，则OE=r-3.
在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即r2=(r-3)2+62，
解得r=，
∴AE=AB-BE=15-3=12.
∵∠ACD=∠ACF，AD⊥CD，CF⊥AB，
∴AD=AE=12（cm）.
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的性质；勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接CO，由∠OCD=90°，∠AEC=90°，由等腰三角形的性质可得∠ACO=∠CAE，然后根据同角的余角相等可得结论；
（2）首先求出CE的值，设 的半径为r，则OE=r-3，然后在Rt△OEC中，利用勾股定理可得r的值，进而不难求出AE的值，最后结合角平分线上的点到角两边距离相等解答即可.
18．【答案】（1）解：如图①，联结OQ． ∵正六边形ABCDEF，∴BC=DE，∠ABC=120°．
∴ ，∠EBC= ∠ABC=60°．
∵点Q是 的中点， ∴∴ ， 即 ． ∴∠BOQ=∠EOQ， 又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，
∴∠BOQ=∠EOQ=90°．
又∵BO=OQ，∴∠OBQ=∠BQO=45°， ∴∠CBG=60° 45°=15°．
（2）解：如图②，在BE上截取EM=HE，联结HM． ∵正六边形ABCDEF，直径BE=8， ∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，
∴∠FEB= ∠FED=60°．
∵EM=HE，EH=y，
∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°，
∴∠C=∠HMB=120°．
∵∠EBC=∠GBH=60°， ∴∠EBC ∠GBE=∠EBC ∠GBE， 即∠HBE=∠GBC． ∴△BCG∽△BMH，∴ ．
又∵CG= x，BE=8，BC=4，∴ ，
∴y与x的函数关系式为 （ ）
（3）解：如图③，当点G在边CD上时． 由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°， ① 当 ．∵AF=ED，∴FH=DG， 即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去． ② 当 ．即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去．
如图④，当点G在CD的延长线上时．
由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，
① 当 ．∵AF=ED，∴FH=DG， 即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去． ② 当 ．即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，且符合题意．
∴综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出正六边形的性质求出∠ABC=120°，再求出∠EBC和∠OBQ的度数，则利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ计算结果；
（2）在BE上截取EM=HE，联、连结HM，证出△BCG∽△BMH，可得，把x,y的值代入即可得出y与x的函数关系式；
（3）分两种情况解答：当点G在边CD上时和当点G在CD的延长线上时，在每种情况下，又根据∠EDG=∠AFH=60°，两角夹边成比例分两种情况列出比例式求解。
1 / 1初中数学华师大版九年级下学期 第27章测试卷
一、单选题
1．（2020九上·镇海期中）已知M（1,2），N（3，-3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（　　）
A．（3,5） B．（-3,5） C．（1,2） D．（1,-2）
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；确定圆的条件
【解析】【解答】解：设直线MN的解析式为y=kx+b,
∴,
解得，
∴y=-x+，
当x=3时，y=-3≠5；当x=-3时，y=12；当x=13时，y=2≠-2；
∴点C在直线MN上，该三点不能构成圆.
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求出直线MN的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于（1,2）在直线MN上，可知答案.
2．（2020九上·柯桥月考）如图，某大桥可以近似地看作半径为250m的圆中的一段圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）
A．60m B．50m C．45m D．40m
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设弧AB的圆心为点O，过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C，
∴AD=AB=×300=150，
∵OC=OA=250
在Rt△AOD中
;
∴这些钢索中最长的一根为CD=OC-DO=250-200=50.
故答案为：B.
【分析】设弧AB的圆心为点O，过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C，利用垂径定理求出AD的长，再利用勾股定理求出OD的长，由题意可知CD是这些钢索中最长的一根；然后求出CD的长。
3．（2021九上·杭州期末）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径.若∠DBC＝33°，则∠A等于（　　）
A．33° B．57° C．67° D．66°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，
又∵∠A=∠D，
∴∠A=57°.
故答案为：B.
【分析】如图，连接DC，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BCD=90°，利用三角形内角和定理，可得∠D的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，从而求出结论.
4．（2021九上·舞阳期末）如图， 是 的直径， 切 于点 ， 交 于点 ；连接 ，若 ，则 等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】 切 于点 ，
故答案为：B.
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于过切点的半径”可得∠PAO=90°，结合已知根据直角三角形两锐角互余可求得∠POA的度数，再根据圆周角定理即可求解.
5．（2021九上·商城期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2.则图中阴影部分的面积是（　　）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC、OD、OB，
∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ACB＝70°，
∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°，
∴∠BCD＝30°，
则∠BOD＝2∠BCD＝60°，
又OD＝OB，
∴△BOD是等边三角形，
则图中阴影部分的面积是S扇形BOD﹣S△BOD
＝ ﹣ ×22
＝ π﹣ ，
故答案为：B.
【分析】如图所示，连接BC、OD、OB，先求证△BOD是等边三角形，再根据阴影部分的面积=S扇形BOD﹣S△BOD，利用扇形的面积公式计算即可.
6．（2021九上·南宁期末）如图，半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P，过O1作⊙O2的两条切线，切点分别为A，B，与⊙O1分别交于C，D，则 与 的弧长之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB
∵O1A和O1B与⊙O2相切
∴∠O1AO2=∠O1BO2=90°
∴∠AO1B＋∠AO2B=360°－（∠O1AO2＋∠O1BO2）=180°
∴ 与 的弧长之和为
=
=
=
故答案为：A.
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质，可得∠O1AO2=∠O1BO2=90°，利用四边形的内角和等于360°，可得∠AO1B＋∠AO2B=180°，利用弧长公式进行计算即得.
7．（2020九上·浙江期中）圆内接正六边形的边长与该边所对的劣弧的长的比是（　　）
A．1: B．1:π C．3:π D．6:π
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：整理变形的中心角为 =60°，
设正六边形的半径为r，
则其边长为r，
边长所对的弧长为： ,
∴正六边形的边长和边长所对的弧长的比为：r： =3: .
故答案为：C.
【分析】设出正六边形的半径，然后用此半径分别表示出正六边形的边长和边长所对的弧长，作比即可.
二、填空题
8．（2021九上·南宁期末）一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的内切圆的半径为　 　cm.
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：因为直角三角形两条直角边长分别为6cm，8cm，所以该直角三角形的斜边长为10cm，
则这个三角形的内切圆的半径= =2（cm）.
故答案为：2.
【分析】先由勾股定理算出斜边的长，再由直角三角形内切圆半径r=(a，b为直角边，c为斜边）计算即可.
9．（2021九上·淅川期末）如图，在半径为6的⊙O中，随意向圆内投掷一个小球，经过大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在 ，则 的长约为　 　.（结果保留π）
【答案】2π
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴面积为36π，
∵大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在 ，
∴扇形的面积为 ＝6π，
设扇形的弧长为l，则 l×3＝6π，
解得：l＝2π，
∴ 的长约为2π，
故答案为：2π.
【分析】根据阴影部分的概率可求得阴影部分的面积，再根据S扇形=lr可列关于l的方程求解.
10．（2020九上·石家庄期中）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠BOE=54°，则∠C=　 　．
【答案】18°
【知识点】三角形的外角性质；圆的认识
【解析】【解答】连接OD，
∵CD=OA=OD，
∴∠C=∠DOC，
∴∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=2∠C，
∴∠EOB=∠C+∠E=3∠C=54°，
∴∠C=18°，
故答案为：18°．
【分析】利用圆半径相等得到角相等，再利用三角形的外角求解即可。
11．（2020九上·温州期末）如图， 内接于 ， 于点D， ，若 的半径 ，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：延长AO交圆于E点，
∵△ADB为等腰直角三角形，
∴AB：AD=，
∵OA=2，∴AE=4，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠E和∠C所对的弧都为AB弧，
∴∠E=∠C，
∴AE：AC=AB：AD，
∴4：AC=，
∴AC=2.
故答案为： .
【分析】延长AO交圆于E点，根据直径所对的圆周角为90°构造两三角形相似，再结合等腰直角三角形的性质可得相似比，于是根据三角形的相似的性质即可求出AC的长.
12．（2020九上·新昌期中）如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是　 　°.
【答案】54
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AD，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC=∠C=108°，
∴∠ABD=72°，
∴∠F=∠ABD=72°，
∴∠FAD=18°，
∴∠CDF=∠DAF=18°，
∴∠BDF=36°+18°=54°，
故答案为：54.
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据正五边形的性质得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论.
三、解答题
13．（2020九上·民勤月考）⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离.
【答案】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】 过点O作OE⊥AB于E，交CD于F ，根据垂径定理可得点E、F分别为AB、CD的中点，根据勾股定理可得OE、OF的长度，再分类讨论弦AB、CD在圆心的同侧 EF＝ OE-OF或弦AB、CD在圆心的异侧 EF＝ OE+OF即可.
14．（2020九上·滨海月考）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OB，CD的延长线交⊙O于点E.若∠C＝19°，求∠BOE的度数.
【答案】解：连接OD，
∵CD=OB=OD，∠C=19°，∴∠ODE=2∠C=38°，∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=38°，∴∠EOB=∠C+∠E=19°+38°=57°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【分析】连接OD，根据CD=OB=OD及外角的性质得出∠ODE的度数，最后根据∠EOB为△COE的外角得出答案.
15．（2021九上·紫阳期末）如图， 的半径 ， 于点C， .求 的长.
【答案】解：∵OC⊥AB，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°.
∵OA=2，
∴ 的长为：=.
【知识点】垂径定理的应用；弧长的计算
【解析】【分析】首先由垂径定理结合已知条件可得∠AOB=120°，然后根据弧长公式：计算即可.
四、综合题
16．（2020九上·温州期末）如图， 中， ，P是斜边 上一个动点，以 为直径作 交 于点D，与 的另一个交点E，连接 .
（1）当 时，
①若 ，求 的度数；
②求证 ；
（2）当 ， 时，是否存在点P，使得 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 的长.
【答案】（1）解：①如图，连接PD，
∵PB为直径，
∴∠PDB=90°，
∠BPD=65°，
∴∠PBD=90°-∠BPD=25°，
∵ ，
∴，
∴，
∴∠C=∠BPE-∠PBD=65°-25°=40°；
② 证明：∵，
∴∠CBP=∠EBP，
∵∠ABE+∠A=∠C+∠A=90°，
∴∠C=∠ABE，
∴∠ABP=∠ABE+∠EBP，∠APB=∠C+∠CBP，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB；
（2）解：存在，
如图，连接PD，
由AB=15，BC= 20,
由勾股定理得: AC= = =25，
∵AB.BC=AC.BE ,
即×15×20=×25×BE，
∴ BE=12，
∵BP是直径，
∴∠PDB =90° ,
∵∠ABC =90° ,
∴PD∥AB ,
∴△DCP∽△BCA ,
∴,
∴，
△BDE是等腰角形，分三种情况:
当BD= BE时，BD=BE=12,
∴CD=BC-BD=20-12=8，
∴ CP=CD=x8=10，
当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，
∴CD=BC=10,
∴CP=CD=×10=，
当DE=BE时，作EH⊥BC, 则H是BD中点，EH//AB, 如图，
AE== =9，
:.CE=AC-AE=25-9=16， CH=BC-BH=20-BH ,
∵EH∥AB，
∴，
即，
解得: BH= ,
∴BD=2BH=，
∴CD= BC-BD=20-=，
∴CP=CD=，
综上所述，△BDE 是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）如图，连接PD，
① 根据直径所对的圆周角是直角，结合求得∠BPD的大小，则度数可求，从而求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠C的度数即可；
② 由弧相等得角相等，再由余角的性质得∠C=∠ABE，于是角的关系即可得出∠ABP=∠APB，从而证出AP=AB；
（2）由勾股定理得AC=25，由面积公式得出AB BC=AC BE，求出BE=12，连接DP，则PD∥AB，得出△DCP∽△BCA，求出CP==，CD，
△BDE是等腰三角形，分三种情况讨论，当BD=BE时，BD=BE=12，CD=BC-BD=8，
CP=2CD=10; 当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，得出CD=BC=10，CP=CD=，当DE=BE时，作EH⊥BC,则H是BD中点, EH∥AB ,求出AE==9, CE=AC-AE=16,CH=20-BH，由EH∥AB, 根据平行线分线段成比例求出BH=，BD=2BH=, CD=BC- BD= , 则CP=CD=7.
17．（2021九上·紫阳期末）如图，在 中，AB为直径，CD与 相切于点C，弦 于点E，连接AC.
（1）求证： ；
（2）当 时， ， ，求AD的长.
【答案】（1）证明：连接OC，
∵CD切 于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACD+∠ACO=90°.
∵CF⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACF+∠CAE=90°.
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAE，
∴∠ACD=∠ACF.
（2）解：由（1）可知，∠ACD=∠ACF.
∵CF⊥AB，CF=12，
∴CE=CF=6.
设 的半径为r，则OE=r-3.
在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即r2=(r-3)2+62，
解得r=，
∴AE=AB-BE=15-3=12.
∵∠ACD=∠ACF，AD⊥CD，CF⊥AB，
∴AD=AE=12（cm）.
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的性质；勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接CO，由∠OCD=90°，∠AEC=90°，由等腰三角形的性质可得∠ACO=∠CAE，然后根据同角的余角相等可得结论；
（2）首先求出CE的值，设 的半径为r，则OE=r-3，然后在Rt△OEC中，利用勾股定理可得r的值，进而不难求出AE的值，最后结合角平分线上的点到角两边距离相等解答即可.
18．（2020·闵行模拟）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．
（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，
并写出x的取值范围；
（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．
【答案】（1）解：如图①，联结OQ． ∵正六边形ABCDEF，∴BC=DE，∠ABC=120°．
∴ ，∠EBC= ∠ABC=60°．
∵点Q是 的中点， ∴∴ ， 即 ． ∴∠BOQ=∠EOQ， 又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，
∴∠BOQ=∠EOQ=90°．
又∵BO=OQ，∴∠OBQ=∠BQO=45°， ∴∠CBG=60° 45°=15°．
（2）解：如图②，在BE上截取EM=HE，联结HM． ∵正六边形ABCDEF，直径BE=8， ∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，
∴∠FEB= ∠FED=60°．
∵EM=HE，EH=y，
∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°，
∴∠C=∠HMB=120°．
∵∠EBC=∠GBH=60°， ∴∠EBC ∠GBE=∠EBC ∠GBE， 即∠HBE=∠GBC． ∴△BCG∽△BMH，∴ ．
又∵CG= x，BE=8，BC=4，∴ ，
∴y与x的函数关系式为 （ ）
（3）解：如图③，当点G在边CD上时． 由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°， ① 当 ．∵AF=ED，∴FH=DG， 即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去． ② 当 ．即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去．
如图④，当点G在CD的延长线上时．
由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，
① 当 ．∵AF=ED，∴FH=DG， 即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，但不符合题意舍去． ② 当 ．即： ，解分式方程得 ． 经检验 是原方程的解，且符合题意．
∴综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出正六边形的性质求出∠ABC=120°，再求出∠EBC和∠OBQ的度数，则利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ计算结果；
（2）在BE上截取EM=HE，联、连结HM，证出△BCG∽△BMH，可得，把x,y的值代入即可得出y与x的函数关系式；
（3）分两种情况解答：当点G在边CD上时和当点G在CD的延长线上时，在每种情况下，又根据∠EDG=∠AFH=60°，两角夹边成比例分两种情况列出比例式求解。
1 / 1