初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.6 直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2021九上·舞阳期末）已知 的半径是 ，圆心 到同一平面内直线 的距离为 ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
2．（2020九上·无锡期中）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线a相切，则t为（ ）
A．2s B． s或2s C．2s或 s D． s或 s
3．（2020九上·洛宁期末）如图所示，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3 的圆与PB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切、相离或相交
4．（2020九上·洛宁期末）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
A．（-3，0） B．（-2，0）
C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
5．（2020·绍兴模拟）如图，已知 O的半径为5，直线EF经过 O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与 O相切的是（ ）
A．OP=5 B．OE=OF
C．点O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
6．（2019九上·随县期中）已知圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是6cm，那么直线和圆的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2019·赤峰模拟）圆最长弦为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（ ）
A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d≥6cm D．d＞12cm
8．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
二、填空题
9．（2020九上·金昌期中）在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心，2.5为半径作圆，那么直线AB与这个圆的位置关系分别是 .
10．（2020·上海模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为 .
11．（2018九上·巴南月考）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠ABP＝35°，则∠P＝ .
12．（2020·河池模拟）如图， 是 的半径， 与 相切， 交 于点 .若 ，则 度.
13．（2020·安徽模拟）已知Rt△ABC中， ， ， ，如果以点 为圆心的圆与斜边 有唯一的公共点，那么 的半径 的取值范围为 .
三、解答题
14．（2020九上·古蔺期中）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
15．（2019九上·福州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.
16．（2019九上·西城期中）已知直线MN过⊙O上点A，B、C是⊙O上两点，∠ACB＝∠NAB．求证：直线MN是⊙O的切线．
17．（2019九上·西城期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，AC平分∠BAE，CM⊥AE于点
D．求证：CM是⊙O的切线．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意可知：4＞3，
∴直线与圆相交；
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆的位置关系“直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相离、直线与圆相切。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”并结合题意即可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆与直线b交于A、B两点，
当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1，
当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切，
当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切.
故答案为：D.
【分析】 设圆与直线b交于A、B两点，当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH＋OH，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过O作OC⊥PB于C，
∵∠APB＝30°，OP＝6，
∴OC＝ OP＝3＜3 ，
∴半径为3 的圆与PB的位置关系是相交，
故答案为：C.
【分析】过O作OC⊥PB于C，根据直角三角形的性质得到OC＝3，根据直线与圆的位置关系即可得到结论.
4．【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接AQ，AP.
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）.
故答案为：A.
【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解.
5．【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：∵直线EF经过圆O上一点P
当直线EF与圆O相切时
则OP⊥EF.
故答案为：D.
【分析】利用切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，即可作出判断。
6．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆心与直线的距离是6cm，圆的半径是5cm，6>5，所以直线与圆相离，所以直线与圆没有公共点.
故答案为：A.
【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系可判断直线和圆的位置关系，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得
圆的直径为12，那么圆的半径为6．
则当直线与圆相交时，直线与圆心的距离d＜6cm．
故答案为：A
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．圆最长弦为12，则可知圆的直径为12，那么圆的半径为6．至此可确定直线与圆相交时，d的取值范围
8．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 =8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10.
故答案为：A.
【分析】由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8，；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10.
9．【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 如图， 作 于点 .
∵ 的两条直角边 ， ，
斜边 .
，即
，
.
半径是 ，
直线与圆C相交 .
故答案为：相交.
【分析】 作 于点 ,利用勾股定理求出AB=5，由，求出CD的长，然后与半径相比，根据直线与圆的位置关系进行判断即可.
10．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设切点为D，连接CD，如图所示
∵∠C=90 ，AC=3，BC=4，
∴
又∵⊙C与斜边AB相切，
∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径
∴
∴
故答案为 .
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD
11．【答案】20°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠ABP=35°，
∴∠AOP=70°，
∴∠P=90°-70°=20°.
故答案为：20.
【分析】连接OA，由圆的切线的性质可得∠OAP=90°，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AOP=2∠ABP，于是用三角形内角和定理可求得∠P的度数。
12．【答案】60
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】∵AB与 相切
∴∠OAB=90°
又∠BAC=30°
∴∠OAC=60°
又OC=OA
∴△OCA为等边三角形
∴∠AOC=60°
故答案为60.
【分析】利用切线的性质可证得∠OAB=90°，再证明△COA是等边三角形，利用等边三角形的性质，可求出∠AOC的度数。
13．【答案】 或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据勾股定理求得BC= =6，
当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于 ；
当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6＜r≤8，
故半径r的取值范围是r=4.8或6＜r≤8，
故答案为：r=4.8或6＜r≤8．
【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
14．【答案】解：连接OE，DE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠AED=∠CED=90°，
∵G是AD的中点，
∴EG= AD=DG，
∴∠1=∠2；
∵OE=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠OEG=∠ODG=90°，
故GE是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】根据切线的判定定理作答即可。
15．【答案】证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD=DF，
∴AC与⊙D相切．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线．
16．【答案】解：如图，连接OA，延长AO交圆O于D，连接BD，
∴∠D＝∠ACB，∠ABD＝90°，
∴∠D+∠DAB＝90°，
∵∠ACB＝∠NAB，
∴∠DAB+∠BAN＝90°，
∴∠DAN＝90°，
∴直线MN是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OA，延长AO交圆O于D，连接BD，由圆周角定理可得∠D=∠ACB，∠ABD=90°，可推出∠DAB+∠BAN＝90°，得到∠DAN=90°，即可得证.
17．【答案】解：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAE，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠2＝3，
∴∠1＝∠3，
∴AD∥OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
又∵OC是圆O的半径，
∴CM是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】通过角平分线和有两半径为边的三角形是等腰三角形可得到OC∥AD，再证明OC⊥CD即可．
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.6 直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2021九上·舞阳期末）已知 的半径是 ，圆心 到同一平面内直线 的距离为 ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意可知：4＞3，
∴直线与圆相交；
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆的位置关系“直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相离、直线与圆相切。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”并结合题意即可判断求解.
2．（2020九上·无锡期中）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线a相切，则t为（ ）
A．2s B． s或2s C．2s或 s D． s或 s
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆与直线b交于A、B两点，
当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1，
当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切，
当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切.
故答案为：D.
【分析】 设圆与直线b交于A、B两点，当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH＋OH，即可求解.
3．（2020九上·洛宁期末）如图所示，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3 的圆与PB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切、相离或相交
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过O作OC⊥PB于C，
∵∠APB＝30°，OP＝6，
∴OC＝ OP＝3＜3 ，
∴半径为3 的圆与PB的位置关系是相交，
故答案为：C.
【分析】过O作OC⊥PB于C，根据直角三角形的性质得到OC＝3，根据直线与圆的位置关系即可得到结论.
4．（2020九上·洛宁期末）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
A．（-3，0） B．（-2，0）
C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接AQ，AP.
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）.
故答案为：A.
【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解.
5．（2020·绍兴模拟）如图，已知 O的半径为5，直线EF经过 O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与 O相切的是（ ）
A．OP=5 B．OE=OF
C．点O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：∵直线EF经过圆O上一点P
当直线EF与圆O相切时
则OP⊥EF.
故答案为：D.
【分析】利用切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，即可作出判断。
6．（2019九上·随县期中）已知圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是6cm，那么直线和圆的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆心与直线的距离是6cm，圆的半径是5cm，6>5，所以直线与圆相离，所以直线与圆没有公共点.
故答案为：A.
【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系可判断直线和圆的位置关系，即可得出答案.
7．（2019·赤峰模拟）圆最长弦为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（ ）
A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d≥6cm D．d＞12cm
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得
圆的直径为12，那么圆的半径为6．
则当直线与圆相交时，直线与圆心的距离d＜6cm．
故答案为：A
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．圆最长弦为12，则可知圆的直径为12，那么圆的半径为6．至此可确定直线与圆相交时，d的取值范围
8．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 =8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10.
故答案为：A.
【分析】由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8，；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10.
二、填空题
9．（2020九上·金昌期中）在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心，2.5为半径作圆，那么直线AB与这个圆的位置关系分别是 .
【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 如图， 作 于点 .
∵ 的两条直角边 ， ，
斜边 .
，即
，
.
半径是 ，
直线与圆C相交 .
故答案为：相交.
【分析】 作 于点 ,利用勾股定理求出AB=5，由，求出CD的长，然后与半径相比，根据直线与圆的位置关系进行判断即可.
10．（2020·上海模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设切点为D，连接CD，如图所示
∵∠C=90 ，AC=3，BC=4，
∴
又∵⊙C与斜边AB相切，
∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径
∴
∴
故答案为 .
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD
11．（2018九上·巴南月考）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠ABP＝35°，则∠P＝ .
【答案】20°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠ABP=35°，
∴∠AOP=70°，
∴∠P=90°-70°=20°.
故答案为：20.
【分析】连接OA，由圆的切线的性质可得∠OAP=90°，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AOP=2∠ABP，于是用三角形内角和定理可求得∠P的度数。
12．（2020·河池模拟）如图， 是 的半径， 与 相切， 交 于点 .若 ，则 度.
【答案】60
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】∵AB与 相切
∴∠OAB=90°
又∠BAC=30°
∴∠OAC=60°
又OC=OA
∴△OCA为等边三角形
∴∠AOC=60°
故答案为60.
【分析】利用切线的性质可证得∠OAB=90°，再证明△COA是等边三角形，利用等边三角形的性质，可求出∠AOC的度数。
13．（2020·安徽模拟）已知Rt△ABC中， ， ， ，如果以点 为圆心的圆与斜边 有唯一的公共点，那么 的半径 的取值范围为 .
【答案】 或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据勾股定理求得BC= =6，
当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于 ；
当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6＜r≤8，
故半径r的取值范围是r=4.8或6＜r≤8，
故答案为：r=4.8或6＜r≤8．
【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
三、解答题
14．（2020九上·古蔺期中）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
【答案】解：连接OE，DE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠AED=∠CED=90°，
∵G是AD的中点，
∴EG= AD=DG，
∴∠1=∠2；
∵OE=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠OEG=∠ODG=90°，
故GE是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】根据切线的判定定理作答即可。
15．（2019九上·福州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.
【答案】证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD=DF，
∴AC与⊙D相切．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线．
16．（2019九上·西城期中）已知直线MN过⊙O上点A，B、C是⊙O上两点，∠ACB＝∠NAB．求证：直线MN是⊙O的切线．
【答案】解：如图，连接OA，延长AO交圆O于D，连接BD，
∴∠D＝∠ACB，∠ABD＝90°，
∴∠D+∠DAB＝90°，
∵∠ACB＝∠NAB，
∴∠DAB+∠BAN＝90°，
∴∠DAN＝90°，
∴直线MN是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OA，延长AO交圆O于D，连接BD，由圆周角定理可得∠D=∠ACB，∠ABD=90°，可推出∠DAB+∠BAN＝90°，得到∠DAN=90°，即可得证.
17．（2019九上·西城期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，AC平分∠BAE，CM⊥AE于点
D．求证：CM是⊙O的切线．
【答案】解：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAE，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠2＝3，
∴∠1＝∠3，
∴AD∥OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
又∵OC是圆O的半径，
∴CM是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】通过角平分线和有两半径为边的三角形是等腰三角形可得到OC∥AD，再证明OC⊥CD即可．
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