初中数学苏科版九年级下册 5.2 二次函数的图象和性质 同步训练
一、单选题
1．（2020九上·二连浩特期中）抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，
∴ .
∵开口方向相反，
∴两个函数的二次项系数互为相反数，即 .
故答案为：D.
【分析】抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，说明两个函数二次项系数的绝对值相等，再由开口方向相反，可确定a的值.
2．已知二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：①∵a=﹣2＜0，∴图象的开口向下，故①正确；
②图象的对称轴为直线x=3，故其图象的对称轴为直线x=﹣3错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故其图象顶点坐标为（3，﹣1）错误；
④当x＜3时，y随x的增大而增大，故④正确；
综上所述，说法正确的有①④共2个．
故选B．
【分析】根据二次函数的性质得二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1的开口向上，对称轴为直线x=3，抛物线的顶点坐标为（3，1）；当x＜3时，y随x的增大而增大；当x＞3时，y随x的增大而减小，然后依次对各命题进行判断．
3．（2020九上·呼和浩特期中）已知二次函数 ，当 时，函数 的最小值为（ ）
A．3 B．2.4 C．1 D．19
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线 ，则有：
∵ ，
∴当x=2时，二次函数有最小值，即为： ；
故答案为：C．
【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线 ，进而可根据二次函数的性质进行求解即可．
4．（2021九上·仙居期末）将函数 的图象向右平移2个单位.再向下平移4个单位.所得图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是y＝﹣（x﹣2+4）2+1﹣4，
即y＝﹣（x+2）2﹣3.
所以对称轴为x＝﹣2，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
5．（2020九上·东莞期中）如图，在同一坐标系下，一次函数 与二次函数 的图像大致可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，x= ＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，x= ＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】可先由二次函数图象得到a，b的正负，再与一次函数y=ax+b图象相比较看是否一致，据此逐一分析即可.
6．（2020九上·嘉兴月考）已知 0≤x≤，那么函数 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：y=-（x-2）2+1
∵a=-1＜0
∴当x＜2时y随x的增大而增大，
∵0≤x≤
∴当x=时，y有最大值为.
故答案为：B.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可知当x＜2时y随x的增大而增大，再根据x的取值范围可知当x=时，y有最大值，然后代入计算可求出最值。
7．（2020九上·休宁月考）在函数①②③ 中，图象开口大小顺序用序号表示为（ ）
A．①>②>③ B．①>③>② C．②>③>① D．②>①>③
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数的二次项系数的绝对值越大，开口越小且∣ ∣﹤∣ ∣﹤∣4∣，
∴开口由大到小的顺序为②>③>①，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的二次项系数的绝对值越大，开口越小即可解答．
8．（2020九上·阜平期中）二次函数 有最小值 ，则 等于（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：在 中， ，则在顶点处取得最小值，
，
解得： ．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数求顶点的坐标公式，求出纵坐标，列等式求解即可。
9．（2020九上·长兴开学考）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知： ≤a≤3.
故答案为：A.
【分析】分别根据当抛物线经过（1，3）和（3，1）求出a的值，即求出抛物线最胖或最瘦时的a值，结合图象即可得出a的范围.
10．（2020九上·交城期中）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为（-1，0），与 轴交点为（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
① ；②当 时， 随 的增大而减小；③当 时， ；④关于 的方程 有两个相等的实数根
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当x=-1时，代入得 ，故①符合题意；
根据图象可得：当x＞1时， 随 的增大而减小，故②符合题意；
x=-1关于对称轴对称的点是x=3，当y＜0时，图象在x轴下方，则x＞3或x＜-1，故③不符合题意；
∵ ，∴ ，当y=3时，直线与图象有2个交点，故方程有2个不相等的实数根，故④不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质结合二次函数的图象即可得出结果．
二、填空题
11．（2020九上·多伦期中）抛物线 开口向上，则 的取值范围是 ．
【答案】m＞1
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由 题意可知：m-1＞0，
∴m＞1；
故答案为：m＞1
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
12．（2020九上·庆阳月考）二次函数 ，当自变量为 时，函数值y的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： ，
∴当 时函数有最小值3，
在自变量为 中，
当 时，函数有最大值，
最大值为： ，
∴函数值y的取值范围是： .
故答案为： .
【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，然后再计算函数在自变量为中的最大值和最小值，即可得到答案.
13．（2020九上·新建期中）已知抛物线 ，将该抛物线沿 轴翻折后的新抛物线的解析式为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，其顶点坐标是（1，3），将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），抛物线开口方向与原抛物线方向相反，所以新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
即 .
故答案是： ．
【分析】图象沿x轴的翻折后，顶点为（2，5），a＝﹣2即可求解．
14．（2020九上·巩义月考）如图，把抛物线y=-x2+2向右平移1个单位长度，则曲线AB扫过的面积（图中阴影部分）是 .
【答案】2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：如图所示，连接AB，CD
∵抛物线y=-x2+2向右平移1个单位长度，则曲线AB扫过的面积即为图中平行四边形ABCD的面积.
∵y=-x2+2，
∴点A的坐标为（0，2），即平行四边形的高为2.
∵平移1个单位长度，即平行四边形的底为1.
∴1×2＝2.
故答案为：2.
【分析】如图连接AB，CD，由平移的性质可知曲线AB扫过的面积即为图中平行四边形ABCD的面积，根据S平行四边形=底×高即可求得平行四边形的面积即可求解.
15．（2020九下·吉林月考）已知y＝x2+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是 ．
【答案】a＜5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，
∴﹣ ＜ ，
解得a＜5．
故答案为：a＜5．
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式，求解即可．
16．（2019九上·呼和浩特期中）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
【答案】a1＞a2＞a3＞a4
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案是：a1＞a2＞a3＞a4.
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
17．（2019七上·土默特左旗期中）如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a（x+m）2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为 ．
【答案】8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：当点C横坐标最小值为﹣3时，抛物线顶点为A(1，4)，对称轴为直线x＝1，此时D点横坐标为5，则CD＝8；
当抛物线顶点为B(4，4)时，此时D点横坐标最大，抛物线对称轴为x＝4，且CD＝8，故C(0，0)，D(8，0)；
所以点D的横坐标最大值为8，
故答案为：8．
【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1，4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4，4)，再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．
18．（2018九上·鄞州期中）如图，点A是抛物线y=x2-4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为 ．
【答案】(2，-1)或（2，2）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-4x，
∴对称轴为：x=2，
∵A是抛物线对称轴上一点，
∴设A（2，m），
如图：作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2，
∴∠APO=∠AQO′=90°，
∴∠QAO′+∠AO′Q=90°，
∵∠QAO′+∠OAQ=90°，
∴∠AO′Q=∠OAQ，
又∵∠OAQ=∠AOP，
∴∠AO′Q=∠AOP，
在△AOP和△AO′Q中，
∵，
∴△AOP≌△AO′Q（AAS），
∴AP=AQ=2，PO=O′Q=m，
∴O′（2+m，m-2），
又∵O′在抛物线y=x2-4x上，
∴m-2=（2+m）2-4（2+m），
解得：m=2或m=-1，
∴A（2，2）或（2，-1）.
故答案为：（2，2）或（2，-1）.
【分析】根据抛物线解析式设A（2，m），作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2，由全等三角形判定AAS可得△AOP≌△AO′Q，再由全等三角形性质得AP=AQ=2，PO=O′Q=m，从而得O′（2+m，m-2），将O′点坐标代入抛物线解析式得m-2=（2+m）2-4（2+m），解之可得m值，从而得A点坐标.
三、综合题
19．（2020九上·右玉月考）已知函数 是二次函数．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）∵
∴
∵
∴m≠3
∴
（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为
∵a=-6＜0
∴开口方向向下
∴对称轴是直线 ，顶点坐标是（-2，-5）．
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m的值；（2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a的正负，对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题．
20．（2018九上·杭州期中）函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2(x-1)2+1的最大值和最小值．
（2）对于二次函数y=2(x-m)2+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．
【答案】（1）解：∵在函数y=2x+1中，k=20，∴函数y随x的增大而增大，∴y=2x+1的最大值为9，最小值为5； 中，k=20，∴函数y随x的增大而减小，则函数y=的最大值为1，最小值为 ；
y=2(x+1)2-1的最大值为19，最小值为3.
（2）解：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式，解得m= （舍去）或m=1∴m=1②当2≤m≤4时，m-2=1，∴m=3
③当m>4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式，无解．综上所述：m=1或m=3
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)在函数y=2x+1中，k=20，根据一次函数的性质可求解；在函数y=中，k=20，根据反比例函数的性质可求解；在函数y=2(x+1)2-1中，根据二次函数的性质即可求解；
（2）二次函数y=2(x-m)2+m-2的顶点坐标为（m，m-2），由二次函数的性质可得最值为m-2.
由题意分3种情况讨论：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式计算即可求解；
②当2≤m≤4时，由题意可得m-2=1，解方程即可求解；
③当m>4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式计算即可求解。
21．（2020九上·赵县期中）四边形ABCD的两条对角线AC， BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形的面积最大？
【答案】 解：设四边形ABCD的面积为y，AC的长为x，BD的长为（10-x）
∴根据题意可得，y==-x2+5x=-（x-5）2+12.5
根据题意可得，当x=5时，四边形的面积最大
此时AC=BD=5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】根据题意列出关于四边形面积的函数，根据其面积最大，即可得到答案。
22．（2019九上·河源月考）如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点, , ,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以 的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以 的速度向点D移动,设移动时间为 ,问：
（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离是10cm？
（2）当t为何值时，P、Q两点间距离最小？最小距离为多少？
（3）P、Q两点间距离能否是18cm？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设出发t秒后P、Q两点间的距离是10厘米． 则 , ,作QM⊥AB于M, 则 , , 解得： 或 ,
答：P、Q出发 和 秒时,P,Q间的距离是10厘米；
（2）解：∵PQ= ，
∴当 时,即 时,PQ最小,最小为6；
（3）解：∵AC= ＜18，
∴P、Q两点间距离不能是18cm．
【知识点】二次函数的最值；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意可设PQ之间的距离为10时所用的时间为t，根据题意在直角三角形中，根据勾股定理进行计算得到答案即可。
（2）根据题意，结合勾股定理即可表示PQ，根据PQ表达式中二次函数的性质，判断其最小值即可。
（3）根据勾股定理表示出AC的距离计算其范围，与18进行比较，即可得到答案。
23．（2017·宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）解：连接AP，过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴ AB CD= AB PM+ AC PN，
∴PM+PN=CD，
即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）解：设BP=x，则CP=2﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴BM= x，PM= x，CN= （2﹣x），PN= （2﹣x），
∴四边形AMPN的面积= ×（2﹣ x） x+ [2﹣ （2﹣x）] （2﹣x）=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣1）2+ ，
∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM= x，PM= x，CN= （2﹣x），PN= （2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．
24．（2020·陕西模拟）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)，P是直线BC上方的抛物线上一动点。
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的解析式。
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP'C．若四边形POP'C为菱形，请求出此时点P的坐标。
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积。
【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入函数解析式，
得，
解得，
二次函数的解析是为：y= x2+2x+3；
（2）解：如图，
若四边形POP'C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP'，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C(0,3)， ∴E(0,)，
∴点P的纵坐标，
当y=时，即 x2+2x+3=，
解得x1=，x2=（不合题意），
∴点P的坐标为(,)；
（3）解：
(3)如图，
P在抛物线上，设P(m, m2+2m+3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，
解得 ，
∴ 直线BC的解析为y= x+3，
设点Q的坐标为(m, m+3)，
PQ= m2+2m+3 ( m+3)= m2+3m．
当y=0时， x2+2x+3=0，
解得x1= 1，x2=3，
则OA=1，AB=3 ( 1)=4，
∴S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ =AB OC+PQ OF+PQ FB =×4×3+( m2+3m)×3 = (m )2+，
当m=时，四边形ABPC的面积最大． 当m=时， m2+2m+3=，
即P点的坐标为(,)．
当点P的坐标为(,)时，四边形ACPB的最大面积值为．
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
25．（2018九上·上虞月考）如图，点P为抛物线y= 上一动点
（1）若抛物线y= 是由抛物线y= 通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，-1），过点P作PM⊥l于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线y= 的顶点为（-2，-1）
∴抛物线y= 的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y= 的图象
（2）解：①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a， a2）∴PM=PF= a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）
②由①，PM=PF，QP+PF的最小值为QP+PM的最小值，当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．
∴QP+PF的最小值为6
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】（1）因为抛物线y= (x+2)2-1的顶点为（-2，-1），所以根据平移规律“左加右减、上加下减”可得抛物线y= x2是由抛物线y=(x+2)2-1 的图象向上平移1个单位，再向右2个单位所得；
（2）①假定这样的点F存在，根据PM=PF，在Rt△PBF中用勾股定理可求解；
②由①可知PM=PF，则QP+PF的最小值即为QP+PM的最小值，根据，两点之间线段最短可得，当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．
26．（2017·岳阳）如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣ x﹣ 交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c得， ，
∴
∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣2
（2）解：设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），
∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2=﹣ m2+ m+ =﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m= 时，PM+PN的最大值是
（3）解：能，
理由：∵y=﹣ x﹣ 交y轴于点E，
∴E（0，﹣ ），
∴CE= ，
设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，
①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，
∴F（m，﹣ m﹣ ），
∴﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2= ，
∴m=1，m=0（舍去），
②以CE为对角线，连接PF交CE于G，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，﹣ ），
设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（﹣m， m﹣ ），
∴ ×（ m2﹣ m﹣2+ m﹣ ）=﹣ ，
∵△＜0，
∴此方程无实数根，
综上所述，当m=1时，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标与图形性质；二次函数的最值；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1.）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c解方程组即可得到结论；（2.）设P（m， m2﹣ m﹣2），得到N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），根据二次函数的性质即可得到结论；
（3.）求得E（0，﹣ ），得到CE= ，设P（m， m2﹣ m﹣2），①以CE为边，根据CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，﹣ ），设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（﹣m， m﹣ ），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．
1 / 1初中数学苏科版九年级下册 5.2 二次函数的图象和性质 同步训练
一、单选题
1．（2020九上·二连浩特期中）抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
2．已知二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020九上·呼和浩特期中）已知二次函数 ，当 时，函数 的最小值为（ ）
A．3 B．2.4 C．1 D．19
4．（2021九上·仙居期末）将函数 的图象向右平移2个单位.再向下平移4个单位.所得图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·东莞期中）如图，在同一坐标系下，一次函数 与二次函数 的图像大致可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020九上·嘉兴月考）已知 0≤x≤，那么函数 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．（2020九上·休宁月考）在函数①②③ 中，图象开口大小顺序用序号表示为（ ）
A．①>②>③ B．①>③>② C．②>③>① D．②>①>③
8．（2020九上·阜平期中）二次函数 有最小值 ，则 等于（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．
9．（2020九上·长兴开学考）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
10．（2020九上·交城期中）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为（-1，0），与 轴交点为（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
① ；②当 时， 随 的增大而减小；③当 时， ；④关于 的方程 有两个相等的实数根
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②④
二、填空题
11．（2020九上·多伦期中）抛物线 开口向上，则 的取值范围是 ．
12．（2020九上·庆阳月考）二次函数 ，当自变量为 时，函数值y的取值范围是 .
13．（2020九上·新建期中）已知抛物线 ，将该抛物线沿 轴翻折后的新抛物线的解析式为 .
14．（2020九上·巩义月考）如图，把抛物线y=-x2+2向右平移1个单位长度，则曲线AB扫过的面积（图中阴影部分）是 .
15．（2020九下·吉林月考）已知y＝x2+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是 ．
16．（2019九上·呼和浩特期中）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
17．（2019七上·土默特左旗期中）如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a（x+m）2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为 ．
18．（2018九上·鄞州期中）如图，点A是抛物线y=x2-4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为 ．
三、综合题
19．（2020九上·右玉月考）已知函数 是二次函数．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
20．（2018九上·杭州期中）函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2(x-1)2+1的最大值和最小值．
（2）对于二次函数y=2(x-m)2+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．
21．（2020九上·赵县期中）四边形ABCD的两条对角线AC， BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形的面积最大？
22．（2019九上·河源月考）如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点, , ,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以 的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以 的速度向点D移动,设移动时间为 ,问：
（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离是10cm？
（2）当t为何值时，P、Q两点间距离最小？最小距离为多少？
（3）P、Q两点间距离能否是18cm？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
23．（2017·宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
24．（2020·陕西模拟）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)，P是直线BC上方的抛物线上一动点。
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的解析式。
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP'C．若四边形POP'C为菱形，请求出此时点P的坐标。
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积。
25．（2018九上·上虞月考）如图，点P为抛物线y= 上一动点
（1）若抛物线y= 是由抛物线y= 通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，-1），过点P作PM⊥l于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．
26．（2017·岳阳）如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣ x﹣ 交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，
∴ .
∵开口方向相反，
∴两个函数的二次项系数互为相反数，即 .
故答案为：D.
【分析】抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，说明两个函数二次项系数的绝对值相等，再由开口方向相反，可确定a的值.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：①∵a=﹣2＜0，∴图象的开口向下，故①正确；
②图象的对称轴为直线x=3，故其图象的对称轴为直线x=﹣3错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故其图象顶点坐标为（3，﹣1）错误；
④当x＜3时，y随x的增大而增大，故④正确；
综上所述，说法正确的有①④共2个．
故选B．
【分析】根据二次函数的性质得二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1的开口向上，对称轴为直线x=3，抛物线的顶点坐标为（3，1）；当x＜3时，y随x的增大而增大；当x＞3时，y随x的增大而减小，然后依次对各命题进行判断．
3．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线 ，则有：
∵ ，
∴当x=2时，二次函数有最小值，即为： ；
故答案为：C．
【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线 ，进而可根据二次函数的性质进行求解即可．
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是y＝﹣（x﹣2+4）2+1﹣4，
即y＝﹣（x+2）2﹣3.
所以对称轴为x＝﹣2，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，x= ＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，x= ＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】可先由二次函数图象得到a，b的正负，再与一次函数y=ax+b图象相比较看是否一致，据此逐一分析即可.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：y=-（x-2）2+1
∵a=-1＜0
∴当x＜2时y随x的增大而增大，
∵0≤x≤
∴当x=时，y有最大值为.
故答案为：B.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可知当x＜2时y随x的增大而增大，再根据x的取值范围可知当x=时，y有最大值，然后代入计算可求出最值。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数的二次项系数的绝对值越大，开口越小且∣ ∣﹤∣ ∣﹤∣4∣，
∴开口由大到小的顺序为②>③>①，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的二次项系数的绝对值越大，开口越小即可解答．
8．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：在 中， ，则在顶点处取得最小值，
，
解得： ．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数求顶点的坐标公式，求出纵坐标，列等式求解即可。
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知： ≤a≤3.
故答案为：A.
【分析】分别根据当抛物线经过（1，3）和（3，1）求出a的值，即求出抛物线最胖或最瘦时的a值，结合图象即可得出a的范围.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当x=-1时，代入得 ，故①符合题意；
根据图象可得：当x＞1时， 随 的增大而减小，故②符合题意；
x=-1关于对称轴对称的点是x=3，当y＜0时，图象在x轴下方，则x＞3或x＜-1，故③不符合题意；
∵ ，∴ ，当y=3时，直线与图象有2个交点，故方程有2个不相等的实数根，故④不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质结合二次函数的图象即可得出结果．
11．【答案】m＞1
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由 题意可知：m-1＞0，
∴m＞1；
故答案为：m＞1
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
12．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： ，
∴当 时函数有最小值3，
在自变量为 中，
当 时，函数有最大值，
最大值为： ，
∴函数值y的取值范围是： .
故答案为： .
【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，然后再计算函数在自变量为中的最大值和最小值，即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，其顶点坐标是（1，3），将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），抛物线开口方向与原抛物线方向相反，所以新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
即 .
故答案是： ．
【分析】图象沿x轴的翻折后，顶点为（2，5），a＝﹣2即可求解．
14．【答案】2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：如图所示，连接AB，CD
∵抛物线y=-x2+2向右平移1个单位长度，则曲线AB扫过的面积即为图中平行四边形ABCD的面积.
∵y=-x2+2，
∴点A的坐标为（0，2），即平行四边形的高为2.
∵平移1个单位长度，即平行四边形的底为1.
∴1×2＝2.
故答案为：2.
【分析】如图连接AB，CD，由平移的性质可知曲线AB扫过的面积即为图中平行四边形ABCD的面积，根据S平行四边形=底×高即可求得平行四边形的面积即可求解.
15．【答案】a＜5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，
∴﹣ ＜ ，
解得a＜5．
故答案为：a＜5．
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式，求解即可．
16．【答案】a1＞a2＞a3＞a4
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案是：a1＞a2＞a3＞a4.
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
17．【答案】8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：当点C横坐标最小值为﹣3时，抛物线顶点为A(1，4)，对称轴为直线x＝1，此时D点横坐标为5，则CD＝8；
当抛物线顶点为B(4，4)时，此时D点横坐标最大，抛物线对称轴为x＝4，且CD＝8，故C(0，0)，D(8，0)；
所以点D的横坐标最大值为8，
故答案为：8．
【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1，4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4，4)，再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．
18．【答案】(2，-1)或（2，2）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-4x，
∴对称轴为：x=2，
∵A是抛物线对称轴上一点，
∴设A（2，m），
如图：作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2，
∴∠APO=∠AQO′=90°，
∴∠QAO′+∠AO′Q=90°，
∵∠QAO′+∠OAQ=90°，
∴∠AO′Q=∠OAQ，
又∵∠OAQ=∠AOP，
∴∠AO′Q=∠AOP，
在△AOP和△AO′Q中，
∵，
∴△AOP≌△AO′Q（AAS），
∴AP=AQ=2，PO=O′Q=m，
∴O′（2+m，m-2），
又∵O′在抛物线y=x2-4x上，
∴m-2=（2+m）2-4（2+m），
解得：m=2或m=-1，
∴A（2，2）或（2，-1）.
故答案为：（2，2）或（2，-1）.
【分析】根据抛物线解析式设A（2，m），作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2，由全等三角形判定AAS可得△AOP≌△AO′Q，再由全等三角形性质得AP=AQ=2，PO=O′Q=m，从而得O′（2+m，m-2），将O′点坐标代入抛物线解析式得m-2=（2+m）2-4（2+m），解之可得m值，从而得A点坐标.
19．【答案】（1）∵
∴
∵
∴m≠3
∴
（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为
∵a=-6＜0
∴开口方向向下
∴对称轴是直线 ，顶点坐标是（-2，-5）．
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m的值；（2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a的正负，对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题．
20．【答案】（1）解：∵在函数y=2x+1中，k=20，∴函数y随x的增大而增大，∴y=2x+1的最大值为9，最小值为5； 中，k=20，∴函数y随x的增大而减小，则函数y=的最大值为1，最小值为 ；
y=2(x+1)2-1的最大值为19，最小值为3.
（2）解：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式，解得m= （舍去）或m=1∴m=1②当2≤m≤4时，m-2=1，∴m=3
③当m>4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式，无解．综上所述：m=1或m=3
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)在函数y=2x+1中，k=20，根据一次函数的性质可求解；在函数y=中，k=20，根据反比例函数的性质可求解；在函数y=2(x+1)2-1中，根据二次函数的性质即可求解；
（2）二次函数y=2(x-m)2+m-2的顶点坐标为（m，m-2），由二次函数的性质可得最值为m-2.
由题意分3种情况讨论：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式计算即可求解；
②当2≤m≤4时，由题意可得m-2=1，解方程即可求解；
③当m>4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式计算即可求解。
21．【答案】 解：设四边形ABCD的面积为y，AC的长为x，BD的长为（10-x）
∴根据题意可得，y==-x2+5x=-（x-5）2+12.5
根据题意可得，当x=5时，四边形的面积最大
此时AC=BD=5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】根据题意列出关于四边形面积的函数，根据其面积最大，即可得到答案。
22．【答案】（1）解：设出发t秒后P、Q两点间的距离是10厘米． 则 , ,作QM⊥AB于M, 则 , , 解得： 或 ,
答：P、Q出发 和 秒时,P,Q间的距离是10厘米；
（2）解：∵PQ= ，
∴当 时,即 时,PQ最小,最小为6；
（3）解：∵AC= ＜18，
∴P、Q两点间距离不能是18cm．
【知识点】二次函数的最值；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意可设PQ之间的距离为10时所用的时间为t，根据题意在直角三角形中，根据勾股定理进行计算得到答案即可。
（2）根据题意，结合勾股定理即可表示PQ，根据PQ表达式中二次函数的性质，判断其最小值即可。
（3）根据勾股定理表示出AC的距离计算其范围，与18进行比较，即可得到答案。
23．【答案】（1）解：连接AP，过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴ AB CD= AB PM+ AC PN，
∴PM+PN=CD，
即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）解：设BP=x，则CP=2﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴BM= x，PM= x，CN= （2﹣x），PN= （2﹣x），
∴四边形AMPN的面积= ×（2﹣ x） x+ [2﹣ （2﹣x）] （2﹣x）=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣1）2+ ，
∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM= x，PM= x，CN= （2﹣x），PN= （2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．
24．【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入函数解析式，
得，
解得，
二次函数的解析是为：y= x2+2x+3；
（2）解：如图，
若四边形POP'C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP'，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C(0,3)， ∴E(0,)，
∴点P的纵坐标，
当y=时，即 x2+2x+3=，
解得x1=，x2=（不合题意），
∴点P的坐标为(,)；
（3）解：
(3)如图，
P在抛物线上，设P(m, m2+2m+3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，
解得 ，
∴ 直线BC的解析为y= x+3，
设点Q的坐标为(m, m+3)，
PQ= m2+2m+3 ( m+3)= m2+3m．
当y=0时， x2+2x+3=0，
解得x1= 1，x2=3，
则OA=1，AB=3 ( 1)=4，
∴S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ =AB OC+PQ OF+PQ FB =×4×3+( m2+3m)×3 = (m )2+，
当m=时，四边形ABPC的面积最大． 当m=时， m2+2m+3=，
即P点的坐标为(,)．
当点P的坐标为(,)时，四边形ACPB的最大面积值为．
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
25．【答案】（1）解：∵抛物线y= 的顶点为（-2，-1）
∴抛物线y= 的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y= 的图象
（2）解：①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a， a2）∴PM=PF= a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）
②由①，PM=PF，QP+PF的最小值为QP+PM的最小值，当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．
∴QP+PF的最小值为6
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】（1）因为抛物线y= (x+2)2-1的顶点为（-2，-1），所以根据平移规律“左加右减、上加下减”可得抛物线y= x2是由抛物线y=(x+2)2-1 的图象向上平移1个单位，再向右2个单位所得；
（2）①假定这样的点F存在，根据PM=PF，在Rt△PBF中用勾股定理可求解；
②由①可知PM=PF，则QP+PF的最小值即为QP+PM的最小值，根据，两点之间线段最短可得，当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．
26．【答案】（1）解：把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c得， ，
∴
∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣2
（2）解：设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），
∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2=﹣ m2+ m+ =﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m= 时，PM+PN的最大值是
（3）解：能，
理由：∵y=﹣ x﹣ 交y轴于点E，
∴E（0，﹣ ），
∴CE= ，
设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，
①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，
∴F（m，﹣ m﹣ ），
∴﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2= ，
∴m=1，m=0（舍去），
②以CE为对角线，连接PF交CE于G，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，﹣ ），
设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（﹣m， m﹣ ），
∴ ×（ m2﹣ m﹣2+ m﹣ ）=﹣ ，
∵△＜0，
∴此方程无实数根，
综上所述，当m=1时，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标与图形性质；二次函数的最值；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1.）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c解方程组即可得到结论；（2.）设P（m， m2﹣ m﹣2），得到N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），根据二次函数的性质即可得到结论；
（3.）求得E（0，﹣ ），得到CE= ，设P（m， m2﹣ m﹣2），①以CE为边，根据CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，﹣ ），设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（﹣m， m﹣ ），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．
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