初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.9 弧长及扇形的面积
一、单选题
1．（2020九上·南京期中）圆心角为60°，半径为1的弧长为（ ）
A．π B．π C． D．
2．（2020·温州模拟）如图，一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形，若大圆半径为2，小圆半径为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B． π C．3π D． π
3．（2020·启东模拟）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
4．（2020·无锡模拟）已知扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积是（ ）
A．36πcm2 B．12πcm2 C．9πcm2 D．6πcm2
5．（2020九上·嘉祥月考）用一个半径为3，面积为6π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ）
A．π B．2π C．2 D．1
6．（2020九上·广州期中）如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·丰南月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ABC=120°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B．4π C．5π D．6π
8．（2020九上·东台期中）如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（ ）
A．2π B．9 C．3π D．6π
9．（2020九上·镇海期中）已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则n等于（ ）
A．180 B．120 C．90 D．60
二、填空题
10．（2020九上·保山月考）在扇形OAB中，半径OA=2，S扇形OAB=π，则圆心角∠AOB= .
11．（2020九上·泰兴月考）圆心角为40°，半径为2的扇形的弧长为 （结果保留π）.
12．（2020·呼伦贝尔）若一个扇形的弧长是 ，面积是 ，则扇形的圆心角是 度．
13．（2020·哈尔滨）一个扇形的面积为 ，半径为6cm，则扇形的圆心角是 度．
14．（2020·昌吉模拟）圆锥的侧面展开图是一个弧长为6π的扇形，则这个圆锥底面半径是 .
三、解答题
15．（2019九上·西城期中）在附中中心花园的草坪上,有一些自动旋转喷泉水装置,它的喷灌区域是一个扇形,小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积,他测量岀了相关数据,并画出了示意图.如图,这种旋转喷水装置的旋转角度为240°,喷灌起终点A,B两点的距离为12米,求这种装置能够喷灌的草坪面积.
16．（2019·会宁模拟）如图，半圆O的直径AB＝6，弦CD＝3， 的长为 π，求 的长.
17．（2019九上·凤山期末）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE。若AE=6， ∠D =30°，求图中阴影部分的面积。
18．（2019九上·惠城期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝ ，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：圆心角为60°，半径为1的弧长= .
故答案为：D.
【分析】将半径r=1，圆心角n=60°代入弧长公式“”即可算出答案.
2．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=.
故答案为：B.
【分析】根据图形可知阴影部分的面积=大圆面积减去小圆面积差的一半，从而即可算出答案.
3．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长＝ ＝4π,
∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2.
故答案为：B.
【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长，即圆锥的底面周长,再根据圆的周长公式求出半径即可.
4．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：n=120°，R=6，故可得扇形的面积S= = =12πcm2．故答案为：B．
【分析】利用扇形面积公式计算即可.
5．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据扇形的面积公式可得，S=πrl，即可得到3πr=6π
∴r=2
故答案为：C.
【分析】根据扇形的面积，计算得到答案即可。
6．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴ = =4π．
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．
7．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°，
则劣弧AC的长为： ．
故答案为：B．
【分析】连接OA、OC，先求出∠ABC=120°，再利用弧长公式计算即可。
8．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3× ＝3π.
故答案为：C.
【分析】直接利用弧长公式计算即可.
9．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
解之：n=90°.
故答案为：C.
【分析】利用扇形的面积公式及圆的面积公式，建立方程，解方程求出n的值。
10．【答案】90°
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由扇形面积 代入数据：即 ，
解得： ，
故答案为：90°.
【分析】根据扇形面积 代入数据即可求解.
11．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据弧长公式 ，n为圆心角，据此解题即可.
12．【答案】60
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积= =6π，
解得：r=6，
又∵ =2π，
∴n=60．
故答案为：60．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
13．【答案】130
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式得：13π= ，
解得n=130．
故答案是：130°．
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
14．【答案】3
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设底面圆半径为r，
则 ，
解得
故答案为：3.
【分析】利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算.
15．【答案】解：过点O作OC⊥AB于C点.
∵OC⊥AB,AB=12,
∴AC= AB=6.
∵OA=OB,∠AOB=360°-240°=120°,
∴∠AOC= ∠AOB=60°
在Rt△OAC中,OA2=OC2+AC2,
又∵OC= OA,
∴r=OA=4 ，
∴S= =32 (m2).
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】求得OA的长后用扇形的计算公式计算即可.
16．【答案】解：连接OD、OC，
∵CD＝OC＝OD＝3，
∴△CDO是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴ 的长＝ ，
又∵半圆弧的长度为： ，
∴ ＝ .
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】 连接OD、OC， 利用三边相等可证△CDO是等边三角形，可得∠COD＝60°，利用弧长公式求出 的长及半圆弧的长度，由的长=半圆弧的长度- 的长- 的长即可求出结论.
17．【答案】证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E=90°∴OC⊥CD，∵在Rt△AED中，∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△AED中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=2OB，∴DB=OB=OC= AD=4，DO=8，∴CD= ，∴ ，∴∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°∴∵ S阴影=S△COD-S扇形OBC∴∴阴影部分的面积为 …
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】 连接OC，根据等腰三角形性质和角平分线可知∠OCA=∠CAE，由平行线判定和性质可得 OC⊥CD，在Rt△AED、Rt△OCD中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，求得AD=12，DB=OB=OC=4，DO=8，根据勾股定理求得CD长，再由三角形面积公式求得 ，由扇形面积公式求得，由S阴影=S△COD-S扇形OBC即可求得答案.
18．【答案】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝ （垂径定理），
故S△OCE＝S△ODE，
∴S阴＝S扇形OBD，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°（圆周角定理），
∴OC＝2，
故S扇形OBD＝ ＝ ，
即阴影部分的面积为 ．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】根据圆的轴对称性可将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，因此计算出扇形OBD面积即为所求。
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一、单选题
1．（2020九上·南京期中）圆心角为60°，半径为1的弧长为（ ）
A．π B．π C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：圆心角为60°，半径为1的弧长= .
故答案为：D.
【分析】将半径r=1，圆心角n=60°代入弧长公式“”即可算出答案.
2．（2020·温州模拟）如图，一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形，若大圆半径为2，小圆半径为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B． π C．3π D． π
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=.
故答案为：B.
【分析】根据图形可知阴影部分的面积=大圆面积减去小圆面积差的一半，从而即可算出答案.
3．（2020·启东模拟）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长＝ ＝4π,
∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2.
故答案为：B.
【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长，即圆锥的底面周长,再根据圆的周长公式求出半径即可.
4．（2020·无锡模拟）已知扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积是（ ）
A．36πcm2 B．12πcm2 C．9πcm2 D．6πcm2
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：n=120°，R=6，故可得扇形的面积S= = =12πcm2．故答案为：B．
【分析】利用扇形面积公式计算即可.
5．（2020九上·嘉祥月考）用一个半径为3，面积为6π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ）
A．π B．2π C．2 D．1
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据扇形的面积公式可得，S=πrl，即可得到3πr=6π
∴r=2
故答案为：C.
【分析】根据扇形的面积，计算得到答案即可。
6．（2020九上·广州期中）如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴ = =4π．
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．
7．（2020九上·丰南月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ABC=120°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B．4π C．5π D．6π
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°，
则劣弧AC的长为： ．
故答案为：B．
【分析】连接OA、OC，先求出∠ABC=120°，再利用弧长公式计算即可。
8．（2020九上·东台期中）如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（ ）
A．2π B．9 C．3π D．6π
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3× ＝3π.
故答案为：C.
【分析】直接利用弧长公式计算即可.
9．（2020九上·镇海期中）已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则n等于（ ）
A．180 B．120 C．90 D．60
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
解之：n=90°.
故答案为：C.
【分析】利用扇形的面积公式及圆的面积公式，建立方程，解方程求出n的值。
二、填空题
10．（2020九上·保山月考）在扇形OAB中，半径OA=2，S扇形OAB=π，则圆心角∠AOB= .
【答案】90°
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由扇形面积 代入数据：即 ，
解得： ，
故答案为：90°.
【分析】根据扇形面积 代入数据即可求解.
11．（2020九上·泰兴月考）圆心角为40°，半径为2的扇形的弧长为 （结果保留π）.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据弧长公式 ，n为圆心角，据此解题即可.
12．（2020·呼伦贝尔）若一个扇形的弧长是 ，面积是 ，则扇形的圆心角是 度．
【答案】60
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积= =6π，
解得：r=6，
又∵ =2π，
∴n=60．
故答案为：60．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
13．（2020·哈尔滨）一个扇形的面积为 ，半径为6cm，则扇形的圆心角是 度．
【答案】130
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式得：13π= ，
解得n=130．
故答案是：130°．
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
14．（2020·昌吉模拟）圆锥的侧面展开图是一个弧长为6π的扇形，则这个圆锥底面半径是 .
【答案】3
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设底面圆半径为r，
则 ，
解得
故答案为：3.
【分析】利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算.
三、解答题
15．（2019九上·西城期中）在附中中心花园的草坪上,有一些自动旋转喷泉水装置,它的喷灌区域是一个扇形,小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积,他测量岀了相关数据,并画出了示意图.如图,这种旋转喷水装置的旋转角度为240°,喷灌起终点A,B两点的距离为12米,求这种装置能够喷灌的草坪面积.
【答案】解：过点O作OC⊥AB于C点.
∵OC⊥AB,AB=12,
∴AC= AB=6.
∵OA=OB,∠AOB=360°-240°=120°,
∴∠AOC= ∠AOB=60°
在Rt△OAC中,OA2=OC2+AC2,
又∵OC= OA,
∴r=OA=4 ，
∴S= =32 (m2).
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】求得OA的长后用扇形的计算公式计算即可.
16．（2019·会宁模拟）如图，半圆O的直径AB＝6，弦CD＝3， 的长为 π，求 的长.
【答案】解：连接OD、OC，
∵CD＝OC＝OD＝3，
∴△CDO是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴ 的长＝ ，
又∵半圆弧的长度为： ，
∴ ＝ .
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】 连接OD、OC， 利用三边相等可证△CDO是等边三角形，可得∠COD＝60°，利用弧长公式求出 的长及半圆弧的长度，由的长=半圆弧的长度- 的长- 的长即可求出结论.
17．（2019九上·凤山期末）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE。若AE=6， ∠D =30°，求图中阴影部分的面积。
【答案】证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E=90°∴OC⊥CD，∵在Rt△AED中，∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△AED中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=2OB，∴DB=OB=OC= AD=4，DO=8，∴CD= ，∴ ，∴∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°∴∵ S阴影=S△COD-S扇形OBC∴∴阴影部分的面积为 …
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】 连接OC，根据等腰三角形性质和角平分线可知∠OCA=∠CAE，由平行线判定和性质可得 OC⊥CD，在Rt△AED、Rt△OCD中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，求得AD=12，DB=OB=OC=4，DO=8，根据勾股定理求得CD长，再由三角形面积公式求得 ，由扇形面积公式求得，由S阴影=S△COD-S扇形OBC即可求得答案.
18．（2019九上·惠城期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝ ，求阴影部分的面积．
【答案】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝ （垂径定理），
故S△OCE＝S△ODE，
∴S阴＝S扇形OBD，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°（圆周角定理），
∴OC＝2，
故S扇形OBD＝ ＝ ，
即阴影部分的面积为 ．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】根据圆的轴对称性可将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，因此计算出扇形OBD面积即为所求。
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