初中数学青岛版九年级上学期 第2章 2.1锐角三角比
一、单选题
1．（2020九下·镇江月考）Rt△ABC中，如果各边长度都扩大 倍，则锐角A的各个三角函数值（ ）
A．不变化 B．扩大2倍 C．缩小 D．不能确定
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如下图，设BC=a，AC=b，AB=c，
∴sinA=，cosA=，tanA=，
当各边长度都扩大2倍，即：BC=2a，AC=2b，AB=2c时，
sinA==，cosA==，tanA==，
∴锐角A的各个三角函数值不变化.
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数的定义得到sinA=，cosA=，tanA=，各边都扩大2倍后，得到sinA==，cosA==，tanA==，由此得出结论.
2．（沪科版九上数学23.1锐角的三角函数课时作业（2））如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴cosA=
故答案为：A．
【分析】根据同角的余角相等可得∠A=∠DCB，从而可得cosA=cos∠DCB，利用一个锐角的余弦=逐一判断即可.
3．（2020·哈尔滨模拟）如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树的坡面上的距离AB为（ ）米。
A．5cosα B． C．5sinα D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵=cosα
∴AB=.
故答案为：B
【分析】利用三角函数的定义即可求解。
4．（2020九下·长春模拟）如图，某停车场入口的栏杆 ，从水平位置绕点 旋转到 的位置，已知 的长为 米．若栏杆的旋转角 ，则栏杆 端升高的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点A'作A'D⊥AB，垂足为点D，
在Rt△A'OD中，sin∠A'OD＝ ，
∴A'D＝A'O sin∠A'OD＝3sinα，
故答案为：B．
【分析】过点A'作A'D⊥AB，利用直角三角形的三角函数解答即可．
5．已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（ ）
A．tanα＜tanβ B．sinα＜sinβ C．cosα＜cosβ D．cosα＞cosβ
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】解：根据题意，得α＞β．
根据锐角三角函数的变化规律，只有C正确．
故选C．
【分析】若甲坡比乙坡更陡些，则α＞β；
再根据锐角三角函数的变化规律解答：正弦和正切都是随着角的增大而增大，余弦和余切都是随着角的增大而减小．
6．（2020九上·龙岗期末）如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵OA=
∵sin α =.
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出线段OA的长，再利用锐角三角函数的定义求解即可。
7．（2020九上·渭滨期末）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠AOB（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连接AB，
∵，
∴AB2+OA2=OB2，AB=OA
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴tan∠AOB=tan45°=1.
故答案为：C.
【分析】连接AB，利用勾股定理分别求出AB2、OA2、OB2的值，再利用勾股定理的逆定理可证得△AOB是等腰直角三角形，然后利用特殊角的三角函数值，就可求出tan∠AOB的值。
8．（浙教版2019中考数学模拟试卷2）如图，在△ABC与△A′B′C中，AB＝AC＝A′B′＝A′C，∠B+∠B′＝90°，△ABC，△A′B′C′的面积分别为S1、S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．无法比较S1、S2的大小关系
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，BC＝2BD，B′C′＝2B′D′，
∴AD＝AB sinB，A′D′＝A′B′ sinB′，BC＝2BD＝2AB cosB，B′C′＝2B′D′＝2A′B′ cosB′，
∵∠B+∠B′＝90°，
∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB，
∵S1＝ ×BC×AD＝ AB sinB 2AB cosB＝AB2 sinB cosB，
S2＝ ×B′C′×A′D′＝ A′B′ sinB′ 2A′B′ cosB′＝AB′2 sinB′ cosB′，
∵AB＝A′B′，
∴S1＝S2，
故答案为：B．
【分析】根据题意：，；然后，根据三角函数定义分别用AB与来表示BC、AD与、；然后再根据面积公式表示出两个三角形面积比较其大小。
9．（2019·花都模拟）如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A．2 B．2+ C．1+ D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝BD＝2k，∠BAD＝∠BDA＝15°，BC＝ k，
∴∠CAD＝∠CAB+∠BAD＝75°，
在Rt△ACD中，CD＝CB+BD＝ k+2k，
则tan75°＝tan∠CAD＝ ＝ ＝2+ ，
故答案为：B．
【分析】先在Rt△ABC中利用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理分别表示出其三边长，然后利用等腰三角形的性质求得∠CAD=75°以及BD的长，从而得CD的长，最后在Rt△ACD中根据锐角三角函数的定义求得tan∠CAD（tan75°）的值。
10．（2020九下·汉中月考）如图， 在△ABC中，∠BAC=90°， AB=20， AC=15， △ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 在△ABC中
∵AD是高
∴
∴25AD=20×15
解之：AD=12.
在Rt△ADC中，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠ECD
∴tan∠ACF=tan∠ECD
∴即
∴.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据直角三角形的两个面积公式就可求出AD的长，利用勾股定理求出DC的长，然后利用角平分线的定义，可得到tan∠ACF=tan∠ECD，然后利用锐角三角函数的定义，就可求出DE与AF的比值。
二、填空题
11．（2020·湘潭）计算： ．
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
12．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
13．（2020九上·兰考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，△ABC的周长为18，则S△ABC＝ .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，得
a=5x，b=12x.
由勾股定理，得
c= =13x.
由三角形的周长，得
5x+12x+13x=18，
解得x= ，
a=3，b= .
S△ABC= ab= ×3× = .
故答案为： .
【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得a、b的值，根据勾股定理，可得c根据周长公式，可得x的值，根据三角形的面积公式，可得答案.
14．（2019·长沙模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠A＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据等边对等角可得∠A=∠ACD，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
15．（2020九下·镇江月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是 .
【答案】2
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=，
∴，
即：，
∴BO=1，
∴BD=2BO=2.
故答案为：2.
【分析】根据菱形的性质，得到AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，再在Rt△AOB中，根据正切函数的定义，求出BO，进而求出BD的长.
16．（2018九上·定兴期中）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
∴CD=BD，
∵BE=9，BC=12，
∴CD=6，CE=9，
∴cosC= = = ，
故答案为：
【分析】由垂直平分线的定义和性质得CE=BE=9、BD=CD=6，由三角函数的定义得cosC=，据此代入数据解答即可.
17．（2020·绵阳模拟）为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位（ ）
【答案】17
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
CE=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米，
BC=（5-CE× ）× ≈1.98米，
BE=BC+CE≈5.04，
EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米，
（56-3.1-1.98）÷3.1+1
=50.92÷3.1+1
≈17（个）．
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．
故答案为：17．
【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解．
18．（2017·兴庆模拟）图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tanβ= ，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则点P到水面OA的距离是 m．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥OA于H，如图．
设PH=3x，
在Rt△OHP中，
∵tanα= = ，
∴OH=6x．
在Rt△AHP中，
∵tanβ= = ，
∴AH=2x，
∴OA=OH+AH=8x=4，
∴x= ，
∴OH=3，PH= ，
故答案为： ．
【分析】【过点P作PH⊥OA于H，设PH为3x，则AH=2x，OH=6x，然后依据OA=OH+HA列方程求得x的值，从而可得到PH的值.
三、解答题
19．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若 ，求cosA，sinB，cosB．
【答案】解：∵∠C=90°，sinA= ，
∴cosA= = ，
∵∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA= ，cosB=sinA=
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】先根据sin2α+cos2α=1计算出cosA= ，然后根据互余两角三角函数的关系求解．
20．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）已知tanα= ，α是锐角，求tan（9O°﹣α），sinα，cosα的值．
【答案】解：∵如图所示：
tanB=tanα= ，
∴设AC=2x，BC=5x，则AB= x，
∴tan（9O°﹣α）= = ，
sinα= = = ，
cosα= = = ．
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】根据题意表示出AC，BC，AB的长，再利用锐角三角函数定义得出即可．
21．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷A ）如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠DBC=90°，AD=6，CD=12，tanA= ，求sinC的值．
【答案】解：∵∠ADB=∠DBC=90°，AD=6，tanA= ，tanA= ，
∴BD=4.8．
∵CD=12，
∴sinC= ．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据正切函数的定义，由 tanA= ，列出方程，求解算出BD的长，进而根据正弦函数的定义，由 sinC= 即可求出答案。
22．（2019九上·无锡月考）在 中， ， ， ， 的对边分别为a，b，c， ， ，求c的值.
【答案】解：∵ ，且 ，
∴ .
故答案为：20
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据正弦函数的定义及 得出 ， 又a+b=28,整体代入即可算出c的长.
23．（2019·海曙模拟）如图，△ABC中，AB=AC=13，BD⊥AC于点D，sinA= ．
（1）求BD的长.
（2）求tanC的值．
【答案】（1）解：∵BD⊥AC
∴sinA=
∴BD= ×13=12
（2）解：∵BD⊥AC
∴AD= =5
∵ AC=13
∴CD=AC-AD=13-5=8
∵BD⊥AC
∴tanC= =
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义，结合已知，就可求出BD的长。
（2）利用勾股定理求出AD的长，再求出CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义就可求出tanC的值。
24．（2019九上·宜阳期末）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【答案】（1）
（2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC= AB，
∴AC= = = AB，
∴ctan30°= = ．
故答案为： ；
【分析】（1）根据含30度直角三角形的边之间的关系得出BC= AB，然后根据勾股定理算出AC的长，然后根据余切函数的定义即可算出ctan30°的值；
（2）根据正切函数的定义，由 tanA= ， 设BC=3，AC=4， 然后再根据余切函数的定义算出 ctanA的值 。
25．（2020九上·平度期末）太阳能光伏建筑是太阳能光伏系统与现代绿色环保住宅的完美结合，老刘准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°.求改建后南屋面边沿增加部分AD的长，(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin18°≈031，cos18°≈0.95，tan18v≈0.32，sin36°≈0.59)
【答案】解：∵∠BDC=90°，BC=10， ，
∴ = ，
∵在Rt△BCD中，
∴ ，
∴在Rt△ACD中， ，
∴ = （米）．
答：改建后南屋面边沿增加部分 的长约为1.9米。
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的性质计算得到CD的长度，在直角三角形ACD中，根据锐角三角形函数的性质，即可得到AD的长度。
26．（2019·大邑模拟）一艘货轮以34海里/时的速度在海面上向正南方向航行，当它行驶至B处时，某观察者发现在货轮的北偏东75°方向有一灯塔C；货轮继续向南航行1.5小时后到达A处，某观察者再次发现灯塔C在货轮的东北方向．求此时货轮与灯塔C的距离．（结果保留到个位）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.29，tan75°≈3.73，
【答案】解：过B作BT⊥AC于T，
AB＝1.5×34＝51，
在Rt△ABT中，∠BAT＝45°，
∴AT＝BT＝ ，
∠C＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△CBT中，tanC＝ ，
∴CT＝ ，
∴AC＝AT+CT＝ ，
答：此时货轮与灯塔C的距离约为98海里．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过B作BT⊥AC于T，根据正切的定义求出AT、BT，再根据正切的定义求出CT，结合图形计算，得到答案．
1 / 1初中数学青岛版九年级上学期 第2章 2.1锐角三角比
一、单选题
1．（2020九下·镇江月考）Rt△ABC中，如果各边长度都扩大 倍，则锐角A的各个三角函数值（ ）
A．不变化 B．扩大2倍 C．缩小 D．不能确定
2．（沪科版九上数学23.1锐角的三角函数课时作业（2））如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·哈尔滨模拟）如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树的坡面上的距离AB为（ ）米。
A．5cosα B． C．5sinα D．
4．（2020九下·长春模拟）如图，某停车场入口的栏杆 ，从水平位置绕点 旋转到 的位置，已知 的长为 米．若栏杆的旋转角 ，则栏杆 端升高的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（ ）
A．tanα＜tanβ B．sinα＜sinβ C．cosα＜cosβ D．cosα＞cosβ
6．（2020九上·龙岗期末）如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2020九上·渭滨期末）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠AOB（ ）
A． B． C．1 D．
8．（浙教版2019中考数学模拟试卷2）如图，在△ABC与△A′B′C中，AB＝AC＝A′B′＝A′C，∠B+∠B′＝90°，△ABC，△A′B′C′的面积分别为S1、S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．无法比较S1、S2的大小关系
9．（2019·花都模拟）如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A．2 B．2+ C．1+ D．
10．（2020九下·汉中月考）如图， 在△ABC中，∠BAC=90°， AB=20， AC=15， △ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020·湘潭）计算： ．
12．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是 ．
13．（2020九上·兰考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，△ABC的周长为18，则S△ABC＝ .
14．（2019·长沙模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为 ．
15．（2020九下·镇江月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是 .
16．（2018九上·定兴期中）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．
17．（2020·绵阳模拟）为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位（ ）
18．（2017·兴庆模拟）图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tanβ= ，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则点P到水面OA的距离是 m．
三、解答题
19．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若 ，求cosA，sinB，cosB．
20．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）已知tanα= ，α是锐角，求tan（9O°﹣α），sinα，cosα的值．
21．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷A ）如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠DBC=90°，AD=6，CD=12，tanA= ，求sinC的值．
22．（2019九上·无锡月考）在 中， ， ， ， 的对边分别为a，b，c， ， ，求c的值.
23．（2019·海曙模拟）如图，△ABC中，AB=AC=13，BD⊥AC于点D，sinA= ．
（1）求BD的长.
（2）求tanC的值．
24．（2019九上·宜阳期末）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
25．（2020九上·平度期末）太阳能光伏建筑是太阳能光伏系统与现代绿色环保住宅的完美结合，老刘准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°.求改建后南屋面边沿增加部分AD的长，(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin18°≈031，cos18°≈0.95，tan18v≈0.32，sin36°≈0.59)
26．（2019·大邑模拟）一艘货轮以34海里/时的速度在海面上向正南方向航行，当它行驶至B处时，某观察者发现在货轮的北偏东75°方向有一灯塔C；货轮继续向南航行1.5小时后到达A处，某观察者再次发现灯塔C在货轮的东北方向．求此时货轮与灯塔C的距离．（结果保留到个位）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.29，tan75°≈3.73，
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如下图，设BC=a，AC=b，AB=c，
∴sinA=，cosA=，tanA=，
当各边长度都扩大2倍，即：BC=2a，AC=2b，AB=2c时，
sinA==，cosA==，tanA==，
∴锐角A的各个三角函数值不变化.
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数的定义得到sinA=，cosA=，tanA=，各边都扩大2倍后，得到sinA==，cosA==，tanA==，由此得出结论.
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴cosA=
故答案为：A．
【分析】根据同角的余角相等可得∠A=∠DCB，从而可得cosA=cos∠DCB，利用一个锐角的余弦=逐一判断即可.
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵=cosα
∴AB=.
故答案为：B
【分析】利用三角函数的定义即可求解。
4．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点A'作A'D⊥AB，垂足为点D，
在Rt△A'OD中，sin∠A'OD＝ ，
∴A'D＝A'O sin∠A'OD＝3sinα，
故答案为：B．
【分析】过点A'作A'D⊥AB，利用直角三角形的三角函数解答即可．
5．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】解：根据题意，得α＞β．
根据锐角三角函数的变化规律，只有C正确．
故选C．
【分析】若甲坡比乙坡更陡些，则α＞β；
再根据锐角三角函数的变化规律解答：正弦和正切都是随着角的增大而增大，余弦和余切都是随着角的增大而减小．
6．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵OA=
∵sin α =.
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出线段OA的长，再利用锐角三角函数的定义求解即可。
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连接AB，
∵，
∴AB2+OA2=OB2，AB=OA
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴tan∠AOB=tan45°=1.
故答案为：C.
【分析】连接AB，利用勾股定理分别求出AB2、OA2、OB2的值，再利用勾股定理的逆定理可证得△AOB是等腰直角三角形，然后利用特殊角的三角函数值，就可求出tan∠AOB的值。
8．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，BC＝2BD，B′C′＝2B′D′，
∴AD＝AB sinB，A′D′＝A′B′ sinB′，BC＝2BD＝2AB cosB，B′C′＝2B′D′＝2A′B′ cosB′，
∵∠B+∠B′＝90°，
∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB，
∵S1＝ ×BC×AD＝ AB sinB 2AB cosB＝AB2 sinB cosB，
S2＝ ×B′C′×A′D′＝ A′B′ sinB′ 2A′B′ cosB′＝AB′2 sinB′ cosB′，
∵AB＝A′B′，
∴S1＝S2，
故答案为：B．
【分析】根据题意：，；然后，根据三角函数定义分别用AB与来表示BC、AD与、；然后再根据面积公式表示出两个三角形面积比较其大小。
9．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝BD＝2k，∠BAD＝∠BDA＝15°，BC＝ k，
∴∠CAD＝∠CAB+∠BAD＝75°，
在Rt△ACD中，CD＝CB+BD＝ k+2k，
则tan75°＝tan∠CAD＝ ＝ ＝2+ ，
故答案为：B．
【分析】先在Rt△ABC中利用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理分别表示出其三边长，然后利用等腰三角形的性质求得∠CAD=75°以及BD的长，从而得CD的长，最后在Rt△ACD中根据锐角三角函数的定义求得tan∠CAD（tan75°）的值。
10．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 在△ABC中
∵AD是高
∴
∴25AD=20×15
解之：AD=12.
在Rt△ADC中，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠ECD
∴tan∠ACF=tan∠ECD
∴即
∴.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据直角三角形的两个面积公式就可求出AD的长，利用勾股定理求出DC的长，然后利用角平分线的定义，可得到tan∠ACF=tan∠ECD，然后利用锐角三角函数的定义，就可求出DE与AF的比值。
11．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
13．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，得
a=5x，b=12x.
由勾股定理，得
c= =13x.
由三角形的周长，得
5x+12x+13x=18，
解得x= ，
a=3，b= .
S△ABC= ab= ×3× = .
故答案为： .
【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得a、b的值，根据勾股定理，可得c根据周长公式，可得x的值，根据三角形的面积公式，可得答案.
14．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠A＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据等边对等角可得∠A=∠ACD，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
15．【答案】2
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=，
∴，
即：，
∴BO=1，
∴BD=2BO=2.
故答案为：2.
【分析】根据菱形的性质，得到AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，再在Rt△AOB中，根据正切函数的定义，求出BO，进而求出BD的长.
16．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
∴CD=BD，
∵BE=9，BC=12，
∴CD=6，CE=9，
∴cosC= = = ，
故答案为：
【分析】由垂直平分线的定义和性质得CE=BE=9、BD=CD=6，由三角函数的定义得cosC=，据此代入数据解答即可.
17．【答案】17
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
CE=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米，
BC=（5-CE× ）× ≈1.98米，
BE=BC+CE≈5.04，
EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米，
（56-3.1-1.98）÷3.1+1
=50.92÷3.1+1
≈17（个）．
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．
故答案为：17．
【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解．
18．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥OA于H，如图．
设PH=3x，
在Rt△OHP中，
∵tanα= = ，
∴OH=6x．
在Rt△AHP中，
∵tanβ= = ，
∴AH=2x，
∴OA=OH+AH=8x=4，
∴x= ，
∴OH=3，PH= ，
故答案为： ．
【分析】【过点P作PH⊥OA于H，设PH为3x，则AH=2x，OH=6x，然后依据OA=OH+HA列方程求得x的值，从而可得到PH的值.
19．【答案】解：∵∠C=90°，sinA= ，
∴cosA= = ，
∵∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA= ，cosB=sinA=
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】先根据sin2α+cos2α=1计算出cosA= ，然后根据互余两角三角函数的关系求解．
20．【答案】解：∵如图所示：
tanB=tanα= ，
∴设AC=2x，BC=5x，则AB= x，
∴tan（9O°﹣α）= = ，
sinα= = = ，
cosα= = = ．
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】根据题意表示出AC，BC，AB的长，再利用锐角三角函数定义得出即可．
21．【答案】解：∵∠ADB=∠DBC=90°，AD=6，tanA= ，tanA= ，
∴BD=4.8．
∵CD=12，
∴sinC= ．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据正切函数的定义，由 tanA= ，列出方程，求解算出BD的长，进而根据正弦函数的定义，由 sinC= 即可求出答案。
22．【答案】解：∵ ，且 ，
∴ .
故答案为：20
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据正弦函数的定义及 得出 ， 又a+b=28,整体代入即可算出c的长.
23．【答案】（1）解：∵BD⊥AC
∴sinA=
∴BD= ×13=12
（2）解：∵BD⊥AC
∴AD= =5
∵ AC=13
∴CD=AC-AD=13-5=8
∵BD⊥AC
∴tanC= =
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义，结合已知，就可求出BD的长。
（2）利用勾股定理求出AD的长，再求出CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义就可求出tanC的值。
24．【答案】（1）
（2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC= AB，
∴AC= = = AB，
∴ctan30°= = ．
故答案为： ；
【分析】（1）根据含30度直角三角形的边之间的关系得出BC= AB，然后根据勾股定理算出AC的长，然后根据余切函数的定义即可算出ctan30°的值；
（2）根据正切函数的定义，由 tanA= ， 设BC=3，AC=4， 然后再根据余切函数的定义算出 ctanA的值 。
25．【答案】解：∵∠BDC=90°，BC=10， ，
∴ = ，
∵在Rt△BCD中，
∴ ，
∴在Rt△ACD中， ，
∴ = （米）．
答：改建后南屋面边沿增加部分 的长约为1.9米。
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的性质计算得到CD的长度，在直角三角形ACD中，根据锐角三角形函数的性质，即可得到AD的长度。
26．【答案】解：过B作BT⊥AC于T，
AB＝1.5×34＝51，
在Rt△ABT中，∠BAT＝45°，
∴AT＝BT＝ ，
∠C＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△CBT中，tanC＝ ，
∴CT＝ ，
∴AC＝AT+CT＝ ，
答：此时货轮与灯塔C的距离约为98海里．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过B作BT⊥AC于T，根据正切的定义求出AT、BT，再根据正切的定义求出CT，结合图形计算，得到答案．
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