初中数学北师大版八年级上学期 第一章 1.2 一定是直角三角形吗
一、单选题
1．（2020八下·惠州期末）下列各线段的长，能构成直角三角形的是
A．2，3，4 B．5，12，13 C．4，6，9 D．5，11，13
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.22+32≠42，不能构成直角三角形；
B.52+122=132，可以构成直角三角形；
C.42+62≠92，不能构成直角三角形；
D.52+112≠132，不能构成直角三角形。
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，分别进行判断得到答案即可。
2．（2020八下·哈尔滨期中）下列说法不能得到直角三角形的（ ）
A．三个角度之比为 1：2：3 的三角形
B．三个边长之比为 3：4：5 的三角形
C．三个边长之比为 8：16：17 的三角形
D．三个角度之比为 1：1：2 的三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A.三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形；
B.三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足： ，是直角三角形；
C.三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
D.三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
故答案为：C
【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.
3．（2020八下·深圳期中）四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13.其中直角三角形是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①∵22+32≠42，∴2，3，4不能组成直角三角形，故①错误；
②∵32+42=52，∴3，4，5能组成直角三角形，故②正确；
③∵52+62≠72，∴5，6，7不能组成直角三角形，故③错误；
④∵52+122=132，∴5，12，13能组成直角三角形，故④正确。
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理的逆定理一一判断即可得出结论。
4．（2020八下·海原月考）将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】设原来的直角三角形的三边长为a，b，c，
∴ ，
直角三角形各边长都缩小或扩大k倍后得：ka，kb，kc（k≠0），
∴ ，
即以ka，kb，kc为边长的三角形是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】设原来的直角三角形的三边长为a，b，c，由勾股定理得 ，再根据条件和勾股定理的逆定理，即可得到结论.
5．（2020八上·淮阳期末） 的三边 ，且 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是等腰直角三角形且
B． 是直角三角形或等腰三角形
C． 是直角三角形，且
D． 是直角三角形，且
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ 是直角三角形，且
故答案为：D
【分析】将 进行化简后，根据勾股逆定理进行判断即可
6．（2019八上·绥化月考）三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】(a＋b)2－c2=2ab，即a2+b2+2ab－c2=2ab，所以a2+b2=c2，所以三角形为直角三角形．
故答案为：B．
【分析】由(a＋b)2－c2=2ab变形可得a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理判断即可.
7．（2019八上·宝鸡月考）有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，c是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确.
共2个正确.
故答案为：C.
【分析】要判断一个三角形是否是直角三角形，根据勾股定理的逆定理只需验证两较短边的平方是否等于最长边的平方即可判断求解.
8．（2019八下·阜阳期中）如果一个三角形的三条边分别是6，6和 ，则这个三角形的最大内角的度数是（ ）
A．150° B．120° C．100° D．90°
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵62+62=( )2，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的最大内角的度数是90°
故答案为：D
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可
二、填空题
9．（2020八下·横县期末）在△ABC中，三边满足关系式AC2 =AB2 +BC2，则△ABC的最大角是 .
【答案】∠B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，
∵AC2=AB2 +BC2
根据勾股定理的逆定理可知
△ABC为直角三角形
AC为斜边，AC边所对的角为最大角
即 ∠B最大，∠B=90°
【分析】根据勾股定理的逆定理可以得出，△ABC为直角三角形，AC为斜边，直角三角形斜边所对的角最大，即为∠B。
10．（2019八下·松北期末）若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为 ．
【答案】30
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积．
解：∵52+122=132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为 ×5×12=30
【分析】根据勾股定理的逆定理可得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式计算即可.
11．（2020·硚口模拟）如图，△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于E，EF⊥AC，交其延长线于F，则AF的最大值为 .
【答案】4
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
.
以AB为直径作 ，则点C、E在圆上，作BC的平行线切00于点E，过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，
如图所示.
， ，
.
点 为 的中点，
点 为 的中点，
.
切 为点 ，
，
，
四边形 为矩形，
，
.
故答案为：4.
【分析】由AB=5、AC=3、BC=4可得出∠ACB=90°，以AB为直径作 ，则点C、E在圆上，作BC的平行线切 于点E,过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，根据OE⊥EF、OE⊥EF、EF⊥AF可得出四边形OEFM为矩形，进而可得出MF的长度，再根据点O为AB的中点利用三角形中位线的性质可出AM的长度，由AF= AM+ MF可求出AF的最大值.
12．（2019七上·杨浦月考）如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为 ．
【答案】S1+S2＝S3
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB=m2-n2，AC=2mn，BC=m2+n2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S1=c2，S2=b2，S3=a2，
∵△ABC是直角三角形，
∴b2+c2=a2，即S1+S2=S3．
故答案为：S1+S2=S3．
【分析】首先利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S1、S2、S3之间的数量关系．
三、作图题
13．（2019八上·吴兴期中）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，你能找到几个这样的C点？把它们都画出来。
【答案】解：如图所示：
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】分别以A、B、C为直角顶点，分类三种情况：当点C为直角顶点，AB为斜边；点A为直角顶点，BC为斜边；点B为直角顶点，AC为斜边；根据勾股定理分别构造直角三角形，如图共有9种情况，画出图形即可．
四、解答题
14．（2020八下·通榆期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝15，点D是AC边上的一点，且CD＝3，BD＝9，判断 △ABD的形状,并说明理由
【答案】解：∵AC=15, CD=3,∴AD=AC- CD=12
∵BD2+AD2=92+122=225,AB2=152=225.
∴ BD2+AD2= AB2.
∴△ABD是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先求出AD的长，证得BD2+AD2= AB2，根据勾股定理的逆定理得出 △ABD是直角三角形 .
15．（2020八下·蚌埠月考）某中学八（1）班小明在综合实践课上剪了一个四边形ABCD，如图，连接AC，经测量AB＝12，BC＝9，CD＝8，AD＝17，∠B＝90°．求证：△ACD是直角三角形．
【答案】证明：∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝9，
∴AC2＝AB2+BC2＝144+81＝225，
∴AC＝15，
又∵AC2+CD2＝225+64＝289，AD2＝289，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长，然后在△ACD中，由勾股定理的逆定理，即可证明△ACD为直角三角形．
16．在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，且a=n， (n是大于2的偶数)，求证: △ABC是直角三角形.
【答案】证明： 是直角三角形
理由如下：
是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】判断一组数是否为直角三角形的三条边，即根据勾股定理得逆定理两个小边的平方和是否等于长边的平方。
17．（2019八下·康巴什新期中）如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且 .请问FE与DE是否垂直 请说明.
【答案】DE⊥EF.
证明：设BF=a，则BE=EC=2a,
AF=3a，AB=4a,
∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.
连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2.
∴ DF2=EF2+DE2,
∴ FE⊥DE.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a，分别用a表示出EF、DE、DF的长，根据勾股定理逆定理即可证明.
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第一章 1.2 一定是直角三角形吗
一、单选题
1．（2020八下·惠州期末）下列各线段的长，能构成直角三角形的是
A．2，3，4 B．5，12，13 C．4，6，9 D．5，11，13
2．（2020八下·哈尔滨期中）下列说法不能得到直角三角形的（ ）
A．三个角度之比为 1：2：3 的三角形
B．三个边长之比为 3：4：5 的三角形
C．三个边长之比为 8：16：17 的三角形
D．三个角度之比为 1：1：2 的三角形
3．（2020八下·深圳期中）四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13.其中直角三角形是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．（2020八下·海原月考）将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
5．（2020八上·淮阳期末） 的三边 ，且 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是等腰直角三角形且
B． 是直角三角形或等腰三角形
C． 是直角三角形，且
D． 是直角三角形，且
6．（2019八上·绥化月考）三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．（2019八上·宝鸡月考）有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2019八下·阜阳期中）如果一个三角形的三条边分别是6，6和 ，则这个三角形的最大内角的度数是（ ）
A．150° B．120° C．100° D．90°
二、填空题
9．（2020八下·横县期末）在△ABC中，三边满足关系式AC2 =AB2 +BC2，则△ABC的最大角是 .
10．（2019八下·松北期末）若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为 ．
11．（2020·硚口模拟）如图，△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于E，EF⊥AC，交其延长线于F，则AF的最大值为 .
12．（2019七上·杨浦月考）如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为 ．
三、作图题
13．（2019八上·吴兴期中）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，你能找到几个这样的C点？把它们都画出来。
四、解答题
14．（2020八下·通榆期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝15，点D是AC边上的一点，且CD＝3，BD＝9，判断 △ABD的形状,并说明理由
15．（2020八下·蚌埠月考）某中学八（1）班小明在综合实践课上剪了一个四边形ABCD，如图，连接AC，经测量AB＝12，BC＝9，CD＝8，AD＝17，∠B＝90°．求证：△ACD是直角三角形．
16．在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，且a=n， (n是大于2的偶数)，求证: △ABC是直角三角形.
17．（2019八下·康巴什新期中）如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且 .请问FE与DE是否垂直 请说明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.22+32≠42，不能构成直角三角形；
B.52+122=132，可以构成直角三角形；
C.42+62≠92，不能构成直角三角形；
D.52+112≠132，不能构成直角三角形。
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，分别进行判断得到答案即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A.三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形；
B.三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足： ，是直角三角形；
C.三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
D.三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
故答案为：C
【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①∵22+32≠42，∴2，3，4不能组成直角三角形，故①错误；
②∵32+42=52，∴3，4，5能组成直角三角形，故②正确；
③∵52+62≠72，∴5，6，7不能组成直角三角形，故③错误；
④∵52+122=132，∴5，12，13能组成直角三角形，故④正确。
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理的逆定理一一判断即可得出结论。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】设原来的直角三角形的三边长为a，b，c，
∴ ，
直角三角形各边长都缩小或扩大k倍后得：ka，kb，kc（k≠0），
∴ ，
即以ka，kb，kc为边长的三角形是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】设原来的直角三角形的三边长为a，b，c，由勾股定理得 ，再根据条件和勾股定理的逆定理，即可得到结论.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ 是直角三角形，且
故答案为：D
【分析】将 进行化简后，根据勾股逆定理进行判断即可
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】(a＋b)2－c2=2ab，即a2+b2+2ab－c2=2ab，所以a2+b2=c2，所以三角形为直角三角形．
故答案为：B．
【分析】由(a＋b)2－c2=2ab变形可得a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理判断即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，c是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确.
共2个正确.
故答案为：C.
【分析】要判断一个三角形是否是直角三角形，根据勾股定理的逆定理只需验证两较短边的平方是否等于最长边的平方即可判断求解.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵62+62=( )2，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的最大内角的度数是90°
故答案为：D
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可
9．【答案】∠B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，
∵AC2=AB2 +BC2
根据勾股定理的逆定理可知
△ABC为直角三角形
AC为斜边，AC边所对的角为最大角
即 ∠B最大，∠B=90°
【分析】根据勾股定理的逆定理可以得出，△ABC为直角三角形，AC为斜边，直角三角形斜边所对的角最大，即为∠B。
10．【答案】30
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积．
解：∵52+122=132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为 ×5×12=30
【分析】根据勾股定理的逆定理可得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式计算即可.
11．【答案】4
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
.
以AB为直径作 ，则点C、E在圆上，作BC的平行线切00于点E，过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，
如图所示.
， ，
.
点 为 的中点，
点 为 的中点，
.
切 为点 ，
，
，
四边形 为矩形，
，
.
故答案为：4.
【分析】由AB=5、AC=3、BC=4可得出∠ACB=90°，以AB为直径作 ，则点C、E在圆上，作BC的平行线切 于点E,过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，根据OE⊥EF、OE⊥EF、EF⊥AF可得出四边形OEFM为矩形，进而可得出MF的长度，再根据点O为AB的中点利用三角形中位线的性质可出AM的长度，由AF= AM+ MF可求出AF的最大值.
12．【答案】S1+S2＝S3
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB=m2-n2，AC=2mn，BC=m2+n2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S1=c2，S2=b2，S3=a2，
∵△ABC是直角三角形，
∴b2+c2=a2，即S1+S2=S3．
故答案为：S1+S2=S3．
【分析】首先利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S1、S2、S3之间的数量关系．
13．【答案】解：如图所示：
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】分别以A、B、C为直角顶点，分类三种情况：当点C为直角顶点，AB为斜边；点A为直角顶点，BC为斜边；点B为直角顶点，AC为斜边；根据勾股定理分别构造直角三角形，如图共有9种情况，画出图形即可．
14．【答案】解：∵AC=15, CD=3,∴AD=AC- CD=12
∵BD2+AD2=92+122=225,AB2=152=225.
∴ BD2+AD2= AB2.
∴△ABD是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先求出AD的长，证得BD2+AD2= AB2，根据勾股定理的逆定理得出 △ABD是直角三角形 .
15．【答案】证明：∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝9，
∴AC2＝AB2+BC2＝144+81＝225，
∴AC＝15，
又∵AC2+CD2＝225+64＝289，AD2＝289，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长，然后在△ACD中，由勾股定理的逆定理，即可证明△ACD为直角三角形．
16．【答案】证明： 是直角三角形
理由如下：
是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】判断一组数是否为直角三角形的三条边，即根据勾股定理得逆定理两个小边的平方和是否等于长边的平方。
17．【答案】DE⊥EF.
证明：设BF=a，则BE=EC=2a,
AF=3a，AB=4a,
∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.
连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2.
∴ DF2=EF2+DE2,
∴ FE⊥DE.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a，分别用a表示出EF、DE、DF的长，根据勾股定理逆定理即可证明.
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