(共17张PPT)
数学 七年级下册 北师版
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第2课时 角边角(ASA)与角角边(AAS)
1．(4分)如图，AB＝AC，利用“ASA”判定△ABE≌△ACD，应添加的条件是_________________．(添加一个条件即可)
∠B＝∠C
2．(4分)如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．带①②去
C
3．(10分)(昆明中考)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2.试说明BC＝DE.
4．(4分)如图，AC和BD交于O点，若OA＝OD，利用“AAS”判定△AOB≌△DOC，可以添加( )
A.AB＝DC
B．OB＝OC
C．∠B＝∠C
D．∠A＝∠D
C
5．(4分)如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论中不正确的是( )
A．∠EAC＝∠FAB B．BE＝CF
C．△ACN≌△ABM D．CN＝FN
D
6．(4分)如图，AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE＝____．
125°
7．(10分)(宜宾中考)如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，试说明CB＝CD.
一、选择题(每小题6分，共18分)
8．如图，已知△ABC六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )
A.甲、乙 B．乙、丙 C．只有乙 D．只有丙
B
B
10．(南京中考)如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c B．b＋c
C．a－b＋c D．a＋b－c
D
二、解答题(共42分)
11．(12分)(焦作月考)如图，AD，BC分别平分∠CAB，∠DBA，且∠1＝∠2，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由.
12．(14分)(常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.
(1)试说明AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数．
【素养提升】
13．(16分)(注重类比探究)在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.
(1)若过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，如图①，试说明：MN＝AM＋BN；
(2)若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，如图②，则AM，BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
解：(1)因为AM⊥MN，BN⊥MN，所以∠AMC＝∠CNB＝90°，所以∠MAC＋∠ACM＝90°.因为∠ACB＝90°，所以∠NCB＋∠ACM＝90°，所以∠MAC＝∠NCB.在△AMC和△CNB中，因为∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，所以△AMC≌△CNB(AAS)，所以AM＝CN，MC＝NB.因为MN＝NC＋CM，所以MN＝AM＋BN
(2)MN＝BN－AM，理由如下：因为AM⊥MN，BN⊥MN，所以∠AMC＝∠CNB＝90°，所以∠MAC＋∠ACM＝90°.因为∠ACB＝90°，所以∠NCB＋∠ACM＝90°，所以∠MAC＝∠NCB.在△AMC和△CNB中，因为∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，所以△AMC≌△CNB(AAS)，所以AM＝CN，MC＝NB.因为MN＝CM－CN，所以MN＝BN－AM(共14张PPT)
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第四章 三角形
专题训练(四) 判定三角形全等的基本思路归纳
类型之一 已知两边对应相等
方法1：寻找第三边对应相等，用“SSS”
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE，且AF＝CE，试说明：∠B＝∠D.
2．如图所示，AC，BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB，试判断∠A与∠D的大小关系．
解：连接BC，在△ABC和△DCB中，因为AB＝CD，AC＝DB，BC＝BC，所以△ABC≌△DCB(SSS)，所以∠A＝∠D
方法2：寻找这两边的夹角对应相等，用“SAS”
3．(辽阳期中)如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，试说明：∠B＝∠ANM.
解：因为∠BAC＝∠DAM，所以∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠NAM，所以∠BAD＝∠NAM.在△BAD和△NAM中，因为AB＝AN，∠BAD＝∠NAM，AD＝AM，所以△BAD≌△NAM(SAS)，所以∠B＝∠ANM
4．如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′有何数量关系？为什么？
解：AA′＝BB′，理由如下：因为O是AB′，A′B的中点，所以OA＝OB′，OA′＝OB.在△A′OA与△BOB′中，因为OA＝OB′，∠A′OA＝∠B′OB，OA′＝OB，所以△A′OA≌△BOB′(SAS)，所以AA′＝BB′
类型之二 已知一边一角对应相等
方法1：已知一边和该边的邻角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”
5．(台安县期中)如图，已知AB，CD相交于点O，E，F分别为AO，BO的中点，若OA＝OB，∠A＝∠B，AC＝BD，试说明：△ACE≌△BDF.
解：因为OA＝OB，E，F分别为AO，BO的中点，所以AE＝BF.又因为∠A＝∠B，AC＝BD，所以△ACE≌△BDF(SAS)
6．(兰州中考)如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，试说明：AC∥DF.
解：因为BF＝EC，所以BF＋FC＝EC＋FC，所以BC＝EF.在△ABC和△DEF中，因为AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，所以△ABC≌△DEF(SAS)，所以∠ACB＝∠DFE，所以AC∥DF
方法2：已知一边和该边的邻角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”
7．(鞍山一模)如图，AE和BD相交于点C，若AB∥ED，AC＝EC.试说明：AB＝DE.
解：因为AB∥ED，所以∠A＝∠E.在△ABC与△EDC中，因为∠A＝∠E，AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，
所以△ABC≌△EDC(ASA)，所以AB＝DE
8．如图，有A，B两个观测点，观测点B在观测点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C到观测点A的距离与海岛D到观测点B的距离相等吗？为什么？
解：相等，理由如下：因为∠CAD＝∠CBD，∠COA＝∠DOB，所以∠C＝∠D.在△CAB和△DBA中，因为∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，所以△CAB≌△DBA(AAS)，所以CA＝DB，所以海岛C到观测点A的距离与海岛D到观测点B的距离相等
方法3：已知一边和该边的对角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”
9．如图，CA＝CD，∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD.试说明：AB＝DE.
解：因为∠BCE＝∠ACD，所以∠ACB＝∠DCE.在△ABC与△DEC中，因为∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E，CA＝CD，所以△ABC≌△DEC(AAS)，所以AB＝DE
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E.试说明：AD＝BE.
解：因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠EBC.又因为CE⊥BD，∠A＝90°，所以∠CEB＝∠A＝90°.又因为BD＝BC，所以△ABD≌△ECB(AAS)，所以AD＝BE
类型之三 已知两角对应相等
方法1 寻找这两角的夹边对应相等，用“ASA”
11．如图，点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.试说明：AE＝DF.
解：因为DE∥AC，DF∥AB，所以∠DAE＝∠ADF，∠CAD＝∠ADE.在△AED与△DFA中，因为∠DAE＝∠ADF，AD＝DA，∠ADE＝∠CAD，所以△AED≌△DFA(ASA)，所以AE＝DF
方法2：寻找其中一组对应角的对边相等，用“AAS”
12．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
解：△AOF≌△DOC，理由如下：因为两三角形纸板完全相同，所以BC＝BF，AB＝BD，∠A＝∠D.所以AB－BF＝BD－BC，即AF＝DC.在△AOF和△DOC中，因为∠A＝∠D，∠AOF＝∠DOC，AF＝DC，所以△AOF≌△DOC(AAS)(共8张PPT)
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第四章 三角形
5 利用三角形全等测距离
1．(5分)(郑州期末)要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上(如图所示)，可以说明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是( )
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
B
2．(5分)(柳州中考)如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端点M，N之间的距离，若△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是( )
A．PO B．PQ C．MO D．MQ
B
3．(5分)如图，将两个相同的机器零件AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，又知道A′B′＝50 cm，则AB的长为( )
A．50 cm B．40 cm C．100 cm D．无法确定
A
4．(5分)如图，有两个滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等，测得BC＝2.5 米，则EF＝____．
2.5米
5．(5分)如图，两根旗杆间相距12 m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM.已知旗杆AC的高为3 m，该人的运动速度为1 m/s，则这个人运动到点M所用时间是____s.
3
6．(15分)小晶同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻的平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB＝18 m，请根据上述信息求标语CD的长度．
解：因为AB∥CD，所以∠ABO＝∠CDO.又因为OD⊥CD，所以∠CDO＝90°，所以∠ABO＝90°，即OB⊥AB.又因为相邻两平行线间的距离相等，所以OD＝OB.在△ABO与△CDO中，因为∠ABO＝∠CDO，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，所以△ABO≌△CDO(ASA)，所以CD＝AB＝18 m(共17张PPT)
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第四章 三角形
专题训练(五) 全等三角形的基本模型
模型一 平移模型
1．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.试说明∠A＝∠E.
解：因为BC∥DE，所以∠ABC＝∠D.在△ABC和△EDB中，因为AB＝DE，∠ABC＝∠D，BC＝DB，
所以△ABC≌△EDB(SAS)，所以∠A＝∠E
2．如图，点B，E，C，F四点在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE.
老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF.下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AC＝DF；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF.
(1)甲、乙、丙三个同学说法正确的是___________；
(2)请你从正确的说法中选择一种，给出你的说明．
解：(2)选择乙的说法，因为AB∥DE，所以∠B＝∠DEC.因为AC∥DF，所以∠F＝∠ACB.在△ABC和△DEF中，因为∠ACB＝∠F，∠B＝∠DEF，AB＝DE，
所以△ABC≌△DEF(AAS)
乙、丙
模型二 翻折模型
3．(衡阳中考)如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.
(1)试说明△ABE≌△DCE；
(2)当AB＝5时，求CD的长．
解：(1)在△AEB和△DEC中，因为AE＝DE，∠AEB＝∠DEC，BE＝EC，
所以△AEB≌△DEC(SAS)
(2)因为△AEB≌△DEC，所以AB＝CD.因为AB＝5，所以CD＝5
4．(孝感中考)如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.试说明BE＝CD.
解：因为BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，所以∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ADB和△AEC中，因为∠ADB＝∠AEC，AD＝AE，∠A＝∠A，
所以△ADB≌△AEC(ASA)，所以AB＝AC.又因为AD＝AE，所以AB－AE＝AC－AD，即BE＝CD
模型三 旋转模型
5．如图，∠DAB＝∠CAE，AD＝AB，AC＝AE.
(1)试说明△ABE≌△ADC；
(2)设BE与CD交于点O，∠DAB＝30°，求∠BOC的度数．
解：(1)因为∠DAB＝∠CAE，所以∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，所以∠DAC＝∠BAE，在△ABE和△ADC中，因为AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，AE＝AC，所以△ABE≌△ADC(SAS)
(2)因为△ABE≌△ADC，所以∠ABE＝∠ADC，由三角形内角和定理，得∠BOD＝∠DAB＝30°，所以∠BOC＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°
6．如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC.试判断线段EC与BF的关系并给出说明．
解：EC＝BF；EC⊥BF.
理由如下：因为AE⊥AB，AF⊥AC，所以∠BAE＝∠CAF＝90°.所以∠BAE＋∠BAC＝∠CAF＋∠BAC.即∠EAC＝∠BAF.在△AEC和△ABF中，因为AE＝AB，∠EAC＝∠BAF，AC＝AF，所以△AEC≌△ABF(SAS).所以EC＝BF，∠AEC＝∠ABF.因为AE⊥AB，所以∠BAE＝90°.所以∠AEC＋∠ADE＝90°，且∠ADE＝∠BDM，所以∠ABF＋∠BDM＝90°.在△BDM中，∠BMD＝180°－∠ABF－∠BDM＝180°－90°＝90°，所以EC⊥BF
7．如图，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.
(1)试说明BC＝DE；
(2)若∠A＝40°，求∠BCD的度数．
解：(1)因为AC∥DE，所以∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D.因为∠ACD＝∠B.所以∠D＝∠B.在△ABC和△CDE中，因为∠ACB＝∠E，∠B＝∠D，AC＝CE，
所以△ABC≌△CDE(AAS).所以CB＝DE
(2)因为△ABC≌△CDE，所以∠A＝∠DCE＝40°.所以∠BCD＝180°－∠DCE＝180°－40°＝140°
8．(注重类比探究)(1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E，试说明DE＝BD＋CE；
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
解：(1)因为BD⊥直线m，CE⊥直线m，所以∠BDA＝∠CEA＝90°.∠BAD＋∠ABD＝90°，因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAE＝90°.所以∠CAE＝∠ABD.在△ADB和△CEA中，因为∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，AB＝AC，所以△ADB≌△CEA(AAS)，所以AE＝BD，AD＝CE，所以DE＝AE＋AD＝BD＋CE
(2)DE＝BD＋CE仍成立．理由如下：因为∠BDA＝∠BAC＝α，所以∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，所以∠DBA＝∠CAE.在△ADB和△CEA中，∠BDA＝∠AEC，∠DBA＝∠EAC，AB＝CA，所以△ADB≌△CEA(AAS)，所以AE＝BD，AD＝CE，所以DE＝AE＋AD＝BD＋CE
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上，且BD＝AB.过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E.
(1)试说明△ABC≌△BDE；
(2)请找出线段AB，DE，CD之间的数量关系，并说明理由．
解：(1)因为BE⊥AC，所以∠A＋∠ABE＝90°.因为∠ABC＝90°，所以∠DBE＋∠ABE＝90°.所以∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，因为∠A＝∠DBE，AB＝BD，∠ABC＝∠BDE＝90°，所以△ABC≌△BDE(ASA)
(2)AB＝DE＋CD，理由：由(1)得△ABC≌△BDE，所以AB＝BD, BC＝DE.因为BD＝CD＋BC，所以AB＝CD＋DE(共18张PPT)
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第四章 三角形
本章考点整合训练四
考点一 三角形及内角和
1．如图，图中直角三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果∠A＝50°，那么∠1＋∠2的大小为( )
A．130° B．180° C．230° D．260°
C
3．(永州中考)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝________．
75°
考点二 三角形三边关系
4．(常德中考)已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( )
A．1 B．2 C．8 D．11
5．已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简|a－b＋c|－|a－b－c|得( )
A．2a－2b B．2a－2c
C．a－2b D．0
6．已知一个等腰三角形有两边的长分别为6 cm，10 cm，则该三角形的周长为( )
A．16 cm B．26 cm
C．22 cm D．26 cm或22 cm
C
A
D
7．(来宾中考)在长度为2，5，6，8的四条线段中，任取三条线段，可构成____个不同的三角形．
2
考点三 三角形的中线、角平分线和高线
8．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数是( )
A．118° B．119° C．120° D．121°
C
9．已知BM是△ABC中AC边上的中线，AB＝2 020 cm，BC＝2 019 cm，则△ABM与△BCM的周长之差为____cm.
1
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E.若∠DAE＝14°，求∠C的度数．
考点四 三角形全等的性质与条件
11．(成都中考)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC
C．AC＝DB D．AB＝DC
C
12．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1＋∠2等于____．
180°
13．如图，在△ABC中，∠A＝55°，且∠B＝∠C，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，并且BD＝CE，BE＝CF.求∠DEF的度数．
解：易得△BED≌△CFE(SAS)，所以∠BED＝∠CFE，∠B＝∠C＝62.5°.因为∠C＋∠CFE＝∠FEB，∠BED＋∠DEF＝∠FEB，所以∠C＝∠DEF＝62.5°
14．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，试说明OB＝OC.
解：易说明△AOD≌△AOE(AAS)，所以OD＝OE，再说明△BOD≌△COE(ASA)，所以OB＝OC
考点五 三角形全等的应用
15．小红家有一个小口瓶(如图所示)，她很想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边直接测，于是她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，那么△OAB≌△ODC的理由是( )
A.边角边
B．角边角
C．边边边
D．角角边
A
16．如图，把一个三角尺(AB＝BC，∠ABC＝90°)放入一个“U”形槽中，使三角尺的三个顶点A，B，C分别在槽的两壁及底边上滑动．已知∠D＝∠E＝90°.在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论．
解：AD＝BE，AD⊥BE.理由如下：因为∠D＝90°，所以∠ABD＋∠BAD＝90°.又因为∠ABC＝90°，所以∠ABD＋∠EBC＝90°，所以∠BAD＝∠EBC.又因为AB＝BC，∠D＝∠E，所以△ABD≌△BCE(AAS)，所以AD＝BE.因为∠D＝90°，所以AD⊥DE，即AD⊥BE
【素养提升】
17．(铁岭月考)如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α(0<α<90°)，AD与BC交于点P.
(1)试说明：△AOD≌COB；
(2)求∠APC(用含α的式子表示)；
(3)过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M，N，请直接写出OM和ON的数量关系．
解：(1)因为∠AOC＝∠BOD，所以∠AOC＋∠COD＝∠BOD＋∠COD，即∠AOD＝∠COB，
在△AOD和△COB中，因为OA＝OC，∠AOD＝∠COB，OD＝OB，所以△AOD≌△COB(SAS)
(2)由(1)可知△AOD≌△COB，所以∠OAD＝∠OCB.令AD与OC交于点E，则∠AEO＝∠CEP，所以∠AOC＝∠APC.因为∠AOC＝α，所以∠APC＝α
(3)因为△AOD≌△COB，所以∠MAO＝∠NCO.
因为OM⊥AD，ON⊥BC，所以∠AMO＝∠CNO＝90°，
因为OA＝OC，所以△AOM≌△CON(AAS)，所以OM＝ON(共8张PPT)
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第四章 三角形
专题训练(六) 作辅助线构造三角形全等的常见技巧
类型之一 中点问题
方法1：倍长中线
1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)试说明：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
解：(1)延长AD至点E，使DE＝AD，则AE＝2AD，连接BE.因为D为BC中点，所以CD＝BD，又因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，所以△ADC≌△EDB(SAS)，所以BE＝AC，所以AB＋BE>AE，所以AB＋AC>2AD
(2)因为AB－BE
方法2：倍延过中点的线段
2．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.试说明：BE＋CF＞EF.
解：延长ED到点G，使DG＝ED，连接CG，FG.在△DCG与△DBE中，因为CD＝BD，∠CDG＝∠BDE，DG＝DE，所以△DCG≌△DBE(SAS)，所以CG＝BE.易得△DEF≌△DGF(SAS)，所以FG＝FE.在△CFG中，CG＋CF＞FG，则BE＋CF＞EF
方法3：作垂线
3．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E，F分别在BD，AD上，且DE＝CD，EF∥AB，试说明：EF＝AC.
解：作EM⊥AD，CN⊥AD，垂足分别为M，N，则∠EMD＝∠CND.在△EDM和△CDN中，∠EMD＝∠CND，∠EDM＝∠CDN，DE＝DC，所以△EDM≌△CDN(AAS).所以EM＝CN.因为EF∥AB，所以∠EFD＝∠BAD.又因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，所以∠EFD＝∠CAD.在△EFM和△CAN中，∠EFD＝∠CAD，∠EMF＝∠CNA，EM＝CN，所以△EFM≌△CAN(AAS)，所以EF＝AC
类型之二 半角问题(截长补短)
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于点O.
(1)求∠AOC的度数；
(2)试说明：AC＝AE＋CD.
5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5 cm，DE＝1.7 cm，则BE的长( )
A.0.8 cm
B．0.7 cm
C．0.6 cm
D．0.5 cm
A(共11张PPT)
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第四章 三角形
1 认识三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线
1．(5分)(贵阳中考)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是( )
A.线段DE
B．线段BE
C．线段EF
D．线段FG
B
2．(5分)如图，AD是△ABC的BC边上的中线，则S△ABD____S△ACD.(填“>”“<”或“＝”)
＝
3．(5分)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是_____．
点D
D
5．(5分)如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的角平分线，且∠BAC＝60°，则∠EAC＝____．
45°
6．(5分)(长春中考)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为( )
A．44° B．40° C．39° D．38°
C
7．(5分)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为____
64°
8．(5分)如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝5 cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，则AC的长度为____cm.
3
【素养提升】
9．(10分)如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，求阴影部分的面积．(共18张PPT)
数学 七年级下册 北师版
第四章 三角形
1 认识三角形
第1课时 三角形的内角和
1．(6分)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD上一点．
(1)以AC为边的三角形共有____个．它们是______________________________；
(2)∠BCE是△________和△________的内角；
(3)在△ACE中，∠CAE的对边是____．
3
△ACE，△ACD，△ACB
BCE
DCE
CE
2．(3分)(南宁中考)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于( )
A．100° B．80° C．60° D．40°
B
3．(3分)(大庆中考)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为( )
A．120° B．80° C．60° D．40°
C
4．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，求∠DBC的度数．
5．(4分)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．以上都不对
6．(4分)若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上都不对
A
A
7．(4分)在一个直角三角形中，一个锐角等于54°，则另一个锐角的度数是( )
A．26° B．36° C．45° D．56°
B
8．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
C
9．(4分)如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A等于_________．
52°
一、选择题(每小题4分，共8分)
10．(长春中考)如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为( )
A．54° B．62° C．64° D．74°
C
11．(绵阳中考)如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝( )
A．118° B．119° C．120° D．121°
C
二、填空题(每小题4分，共8分)
12．一个三角形中最多有____个内角是钝角，最多可有____个角是锐角．
1
3
13．(焦作月考)如图，在△ABC中，∠B＝66°，∠C＝54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于点E，则∠BDE＝____．
132°
三、解答题(共44分)
14．(10分)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别是AC，AB边上的高，H是BD，CE的交点，求∠BHC的度数．
解：因为BD，CE分别是AC，AB上的高，所以∠ADB＝∠BEH＝90°，所以∠ABD＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，∠BHE＝90°－∠ABD＝60°，所以∠BHC＝180°－∠BHE＝120°
15．(10分)一个零件的形状如图所示，按规定∠A应该等于90°，∠B，∠D应分别为20°和30°，李叔叔量得∠BCD＝143°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的理由吗？
解：理由：延长BC交AD于点E，∠DEC＝180°－∠AEB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝∠A＋∠B＝110°，同理∠DCB＝∠D＋∠DEC＝140°≠143°，所以这个零件不合格
16．(12分)如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，求∠BPC的度数．
解：因为∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，所以∠ACB＝∠ABC＝70°.又因为∠1＝∠2，所以∠BCP＝∠ABP，所以∠2＋∠BCP＝70°，所以∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝110°
【素养提升】
17．(12分)如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落到点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系．
解：因为∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE，所以∠1＋∠2＝2[180°－(∠CEF＋∠CFE)]＝2∠C，即∠1＋∠2＝2∠C(共16张PPT)
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第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第1课时 边边边(SSS)
1．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可判定( )
A．△ABC≌△ACD B．△ABE≌△ACE
C．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对
B
2．(4分)如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，利用“SSS”判定△ACE≌△BDF时，需添加一个条件是( )
A．AB＝BC B．DC＝BC
C．AB＝CD D．以上都不对
C
3．(6分)如图，点B是AC的中点，BE＝CF，AE＝BF，那么△ABE≌__________，根据是________，∠A＝__________.
△BCF
SSS
∠FBC
4．(8分)完成下面的说理过程．
已知：如图，OA＝OB，AC＝BC.
试说明：∠AOC＝∠BOC.
解：在△AOC和△BOC中，
因为OA＝____，AC＝____，OC＝____，所以 __________≌__________(SSS)，所以∠AOC＝___________(_______________________________).
OB
BC
OC
△AOC
△BOC
∠BOC
全等三角形的对应角相等
5．(10分)(泸州中考)如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.试说明∠F＝∠C.
6．(4分)下列图形具有稳定性的是( )
A
7．(4分)如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用几何原理是( )
A.三角形的稳定性
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
A
一、选择题(每小题5分，共10分)
8．(宝丰月考)如图，AB＝DC，AE＝DF，CE＝BF，∠B＝55°，则∠C等于( )
A．45° B．55° C．35° D．65°
B
9．如图，AB＝CD，BC＝DA，E，F是AC上两点，且AE＝CF，DF＝BE，那么图中共有全等三角形( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
C
二、填空题(每小题5分，共10分)
10．如图所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝FC，AC＝DF，则线段AC与DF的位置关系为_____________．
AC∥DF
11．如图所示，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝____．
66°
三、解答题(共40分)
12．(12分)(铜仁中考)已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，试说明AE∥BF.
13．(14分)如图，已知AB＝DC，DB＝AC.
(1)试说明∠B＝∠C；(注：说明过程要求给出每一步结论成立的依据)
(2)在(1)的说明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
【素养提升】
14．(14分)八(1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图所示)，设计了如下方案：
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P放在射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与OA，OB相交，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行？请说明理由．(共9张PPT)
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第四章 三角形
4 用尺规作三角形
1．(5分)用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是( )
A．作一个角等于已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段
D．作角的平分线
C
2．(5分)如图，小强做《四清导航》中的习题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，他想在一张白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，他作图的依据是( )
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
C
3．(5分)若给定三个条件画一个三角形，图形唯一，则所给条件不可能是( )
A．两边一夹角 B．两角一夹边
C．三边 D．两边及其中一边对角
D
SSS
5．(5分)如图所示，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
B
6．(5分)已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使BC＝a，CA＝b，∠ACB＝∠α，则作法的合理顺序为_______________.(填序号)
①在射线CM上截取CA＝b；②作一条线段BC＝a；③以点C为顶点，以CB为一边，作∠BCM＝∠α；④连接AB，△ABC就是所要求作的三角形.
②③①④
7．(10分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，c，∠β(如图)．求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠β.
解：如图，先作∠MBN＝∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC＝a，AB＝c，连接AC即可(共15张PPT)
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第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第3课时 边角边(SAS)
1．(4分)如下图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下图中与△ABC一定全等的三角形是( )
B
2．(4分)(项城月考)如图所示，已知AB＝CD且∠ABD＝∠BDC，要说明∠A＝∠C，需判定△ABD≌△CDB，则判定全等的方法是( )
A.AAS
B．SAS
C．ASA
D．SSS
B
3．(4分)如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的( )
A．AB＝CD B．EC＝BF
C．∠A＝∠D D．AB＝BC
A
4．(5分)如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝____．
6
5．(12分)(广州中考)如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE.试说明∠A＝∠C.
6．(5分)(安顺中考)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．BD＝CE D．BE＝CD
D
7．(6分)如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF.
(1)若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为______________________；
(2)若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为______________________；
(3)若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为_______________________.
BC＝EF或BE＝CF
∠A＝∠D
∠ACB＝∠F
一、选择题(每小题6分，共12分)
8．(丽水中考)如图，OA＝OC，OB＝OD，OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD＝AB；③∠CDA＝∠ABC.其中正确的结论是( )
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
B
9．(泰州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等的三角形的对数有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
D
二、解答题(共48分)
10．(10分)如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一个小石凳E，F，M，且BE＝CF，M是BC的中点，试说明三个石凳E，F，M恰好在一条直线上．
解：连接ME，MF，因为AB∥CD，所以∠B＝∠C.在△BEM和△CFM中，因为BE＝CF，∠B＝∠C，BM＝CM，所以△BEM≌△CFM(SAS)，所以∠BME＝∠CMF，所以∠EMF＝∠BME＋∠BMF＝∠CMF＋∠BMF＝∠BMC＝180°，所以三个石凳E，M，F恰好在一条直线上
11．(12分)(鲁山期末)如图，AD＝AE，BD＝CE，AF⊥BC，且F是BC的中点，试说明∠D＝∠E.
12．(12分)如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2.
(1)试说明：∠B＝∠C；
(2)若∠1＝110°，∠BAC＝98°，求∠CAD的度数．
解：(1)因为BE＝CD，所以BD＝CE.在△ABD和△ACE中，BD＝CE，∠1＝∠2，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)，所以∠B＝∠C
(2)因为∠BAC＝98°，∠B＝∠C，所以∠C＝(180°－98°)÷2＝41°.因为∠1＝110°，所以∠ADC＝180°－∠1＝70°，所以∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－41°＝69°
【素养提升】
13．(14分)已知△ABC是等边三角形，M是射线BC上任意一点，N是射线CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于点Q.就下面给出的三种情况(如图①②③)，先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度，并利用图③说明你的结论是正确的．
解：∠BQM＝60°.理由如下：因为AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠BCA＝60°，BM＝CN，所以BM－BC＝CN－AC，即CM＝AN，又因为∠BAN＝180°－60°＝∠ACM，所以△BAN≌△ACM(SAS)，所以∠CAM＝∠ABN.所以∠BQM＝180°－∠BAQ－∠ABN＝∠BAM－∠CAM＝∠BAC＝60°(共10张PPT)
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第四章 三角形
1 认识三角形
第4课时 三角形的高线
1．(4分)(长沙中考)如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )
A
2．(4分)有两条高在三角形外部的三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不确定
B
3．(4分)如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，∠B＝40°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为( )
A．20° B．30° C．50° D．60°
B
4．(8分)观察上图后填空：
(1)在△ABC中，BC边上的高是线段____；
(2)在△AEC中，AE边上的高是线段____；
(3)在△FEC中，EC边上的高是线段____；
(4)若AB＝CD＝4 cm，AE＝5 cm，则S△AEC＝________，CE＝________．
AB
CD
EF
10cm2
5cm
5．(5分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )
A.75°
B．80°
C．85°
D．90°
A
6．(5分)(易错题)已知AD是△ABC的一条高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为__________________．
50°或90°
7．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC＝12，AC＝8，AD＝6，BE的长为多少？
【素养提升】
8．(12分)(平顶山期末)如图，∠B＝∠BAC，AE平分∠BAC，AD是△ABC的高，∠AED＝60°，求∠B和∠CAD的度数．(共18张PPT)
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第四章 三角形
2 图形的全等
1．(3分)(武陟县月考)下列各选项中的两个图形属于全等图形的是( )
A
2．(3分)对于A，B两个图形，给出以下条件：
①这两个图形形状相同；②这两个图形形状不同，但大小相同；③这两个图形形状大小均相同；④这两个图形叠在一起能完全重合. 其中不能推出这两个图形全等的条件是____．(填序号)
①②
3．(3分)如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD＝0.5 cm，BC＝1 cm，则AF＝____.
6cm
4．(6分)已知△ABC与△EDF全等，其中点A与点E，点B与点D，点C与点F是对应顶点，则对应边为________________________________，对应角为
_________________________________________，△ABC≌____________．
AB与ED，AC与EF，BC与DF
∠A与∠E，∠B与∠D，∠C与∠F
△EDF
5．(6分)如图，已知△ABE与△ACD全等，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出全等三角形中的对应边和另外一组对应角．
解：对应边：AB与AC，AE与AD，BE与CD；对应角：∠BAE与∠CAD
6．(3分)如图，△ABC≌△ADE，AC＝5 cm，AB＝8 cm，BC＝7 cm，则AD的长是( )
A．7 cm B．5 cm C．8 cm D．6 cm
C
7．(3分)如图，△ABC≌△ADE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，则∠BAD等于( )
A．75° B．57° C．55° D．77°
D
8．(3分)如图，已知△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是( )
A．∠1＝∠2 B．AB＝CD
C．∠D＝∠B D．AC＝BC
D
9．(10分)(教材P95习题4.5T3变式)如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2.
(1)求AC的长；
(2)试说明：CE∥BF.
解：(1)因为△ACE≌△DBF，
所以AC＝BD，所以AB＝DC.又因为AD＝8，BC＝2，所以2AB＋2＝8，解得AB＝3，所以AC＝AB＋BC＝3＋2＝5
(2)因为△ACE≌△DBF，所以∠ECA＝∠FBD，所以CE∥BF
一、选择题(每小题5分，共10分)
10．(开封月考)如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
11．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在CB边上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝( )
A．40° B. 30° C．20° D．10°
D
二、填空题(每小题5分，共5分)
12．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB边上的点，若△ACD≌△AED，△ACD≌△BED，则∠B的度数为___________ .
30°
三、解答题(共45分)
13．(8分)试在下列图中，沿正方形的网格线(虚线)把这两个图形分别割成两个全等的图形．
14．(12分)如图，△ABF≌△CDE，∠B和∠D是对应角，AF和CE是对应边．
(1)写出△ABF和△CDE的其他对应角和对应边；
(2)若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
(3)若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
解：(1)∠BAF＝∠DCE，∠AFB＝∠CED，AB＝CD，BF＝DE
(2)∠EFC＝70°
(3)BF＝6
15．(12分)(教材P96习题4.5T6变式)如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2 cm，BC＝3 cm.
(1)DE的长为____cm；
(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
(3)判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．
解：(2)BD与AC垂直，理由：因为△ABD≌△EBC，所以∠ABD＝∠EBC.又因为点A，B，C在同一条直线上，所以∠ABD＋∠EBC＝180°，所以∠EBC＝90°，所以BD与AC垂直
(3)直线AD与直线CE垂直．理由：如图，延长CE交AD于点F，因为△ABD≌△EBC，所以∠D＝∠C.因为在Rt△ABD中，∠A＋∠D＝90°，所以∠A＋∠C＝90°，所以∠AFC＝90°，即CE⊥AD
1
【素养提升】
16．(13分)如图，已知A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)试说明：BD＝DE＋CE；
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE.
解：(1)因为△BAD≌△ACE，所以BD＝AE，AD＝CE.又因为AE＝AD＋DE，所以BD＝AE＝CE＋DE
(2)当∠ADB＝90°时，BD∥CE，理由如下：因为△BAD≌△ACE，所以∠E＝∠ADB.要使BD∥CE，则∠BDE＝∠E，所以∠ADB＝∠BDE，即∠BDE＝∠ADB＝90°(共13张PPT)
数学 七年级下册 北师版
第四章 三角形
1 认识三角形
第2课时 三角形的三边关系
1．(3分)三角形按边可分为( )
A．等腰三角形，直角三角形，锐角三角形
B．直角三角形，不等边三角形
C．等腰三角形，不等边三角形
D．等腰三角形，等边三角形
2．(3分)下列说法正确的是( )
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
C
D
3．(3分)(福建中考)下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )
A．1，1，2 B．1，2，4
C．2，3，4 D．2，3，5
4．(3分)(毕节中考)已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
C
C
5．(4分)若三角形的两边长分别为6，7，则第三边长a的取值范围是__________．
6．(4分)(泰州中考)已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为整数，则第三边的长为____．
15
7．(10分)某木材市场上木棒规格和价格如下表：
规格(m),1,2,3,4,5,6价格(元/根),10,15,20,25,30,35小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度为3 m和5 m的木棒，还需要到木材市场上购买一根，问：
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2)选择哪一种规格的木棒最省钱？
解：(1)有4种规格的木棒可供选择，即3 m，4 m，5 m，6 m
(2)选择3 m的木棒最省钱
8．(10分)一个三角形的两边长分别为b＝4，c＝7，试确定第三边长a的取值范围，当各边长均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的各边长是多少？
解：3一、选择题(每小题5分，共15分)
9．下列说法正确的个数有( )
①三角形包括：不等边三角形，等腰三角形，等边三角形；②等边三角形包含等腰三角形；③三角形任意两边之和一定大于第三边；④三角形三边的长度不可能是3，3，2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
10．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
11．已知a，b，c是△ABC的三条边，且(a＋b＋c)(a－b)＝0，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．以上答案都不对
C
A
二、填空题(每小题5分，共10分)
12．(陇南中考)已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝____．
13．三角形两边长分别是4和11，第三边长为3－6m，则m的取值范围是
__________________．
7
三、解答题(共35分)
14．(10分)已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：|a＋b－c|＋|b－c－a|－|c－a－b|.
解：由三角形的三边关系知：a＋b－c>0，b－c－a＝b－(c＋a)<0，c－a－b＝c－(a＋b)<0.所以原式＝a＋b－c＋a＋c－b－a－b＋c＝a－b＋c
15．(11分)如图，湖边上有A，B两个村庄，从A村到B村有两条路可走，即A→P→B和A→Q→B.试判断哪条路更短，并说明理由．
解：路线A→Q→B更短，理由如下：延长AQ交BP于点E，
在△APE中，AP＋PE＞AQ＋QE①，
在△BEQ中，QE＋BE＞BQ②，
由①＋②，得AP＋PE＋QE＋BE＞AQ＋QE＋BQ，所以AP＋PB＞AQ＋BQ
【素养提升】
16．(14分)用一条长为35 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边长为7 cm的等腰三角形吗？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm，由3x＋3x＋x＝35，得x＝5，所以等腰三角形的各边长分别为5 cm，15 cm，15 cm