初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.2 圆的对称性
一、单选题
1．（2020·衢州模拟）如图，在⊙O中， ＝ ，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．40° C．50° D．70°
2．（2020·西湖模拟）如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（ ）
A．36° B．48° C．72° D．96°
3．（2020九下·南召月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
4．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等
C．这两条弦所对的弦心距相等 D．以上说法都不对
5．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（ ）
A．30°，60°，90° B．60°，120°，180°
C．50°，100°，150° D．80°，120°，160°
6．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（ ）
A．122° B．120° C．61° D．58°
7．（2020九上·长沙期中）与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．（2020九上·北京月考） 是四边形 的外接圆， 平分 ，则正确结论是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2020九上·宜兴期中）如图，在⊙O 中，弧AB=弧AC，∠A＝30°，则∠B＝ °.
10．（2020九上·常州月考）如图，在⊙O中， ，∠1=30°，则∠2= °.
11．（2019九上·孝义期中）如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝ ．
12．（2019九上·洮北月考）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于 度．
13．（2020九上·江苏月考）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有 个.
① ；② ；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
14．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论： ．(至少填写两个)
15．（2017九上·大石桥期中）如图，AB是半圆O的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，过点C作AB的垂线，交AB于E，与过点D的切线交于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是 （填序号）．
三、解答题
16．（2020九上·泗阳期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧CD的中点，连接AM，BM，求证：AM＝BM.
17．（2020九上·泗阳期中）如图： ，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD=CE.
18．（2020九上·江苏期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC.求证：AB＝CD.
19．（2019九上·思明期中）如图，点A，C，D，B在以O点为圆心，OA长为半径的圆弧上， AC=CD=DB，AB交OC于点E．求证：AE=CD．
20．（2019九上·诸暨月考）已知：如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BD平分∠ADC，且BC=CD. 求证: AB=CD.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝ （180°﹣∠A）＝ ×（180°﹣40°）＝70°.
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形的性质得∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，
∴弧BD的度数为144度，
∴∠A＝72°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半即可算出答案.
3．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴ 与 不一定相等，故本选项错误；
D.∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误。
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC，在同圆中，根据相等的圆周角所对的弦相等即可得出BC=CD.
4．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】选项A、B、C成立的前提都是在同圆或等圆中．故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得，A、B、C选项都不对，缺少了前提条件“在同圆或等圆中”。
5．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，
由题意得，2x+3x+4x=360°，
解得，x=40°，
则这三个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，
故答案为：D．
【分析】根据这三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，而这三个角组成一个周角，可列方程求解。
6．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由于在⊙O中,弧AB=弧AC,所以∠AOC=∠AOB=122°.
故选A．
7．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
∴与半径相等的弦所对的圆心角的度数为60°．
故答案为：C．
【分析】根据题意可得△OAB是等边三角形，即可求出与半径相等的弦所对的圆心角的度数为60°.
8．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 与 的大小关系不确定， 与 不一定相等，A不符合题意；
平分 ， ， ，B符合题意；
与 的大小关系不确定， 与 不一定相等，选项C不符合题意；
∵ 与 的大小关系不确定，选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．
9．【答案】75
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O 中，弧AB=弧AC，
∴AB＝AC，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴∠B＝∠C；
又∠A＝30°，
∴∠B＝（180°-30°）÷2＝75°（三角形内角和定理）.
故答案是：75.
【分析】根据等弧所对的弦相等求得 AB＝AC，从而判定△ABC 是等腰三角形； 然后根据等腰三角形的两个底角∠B＝∠C；最后由三角形的内角和定理求角B 的度数即可.
10．【答案】30
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ， ，
，
∠1=∠2，
∠1=30°，
∠2=30°；
故答案为:30.
【分析】由题意易证 ，再根据等弧所对的圆心角相等可进行求解.
11．【答案】68°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵∠AOE=78°，∴劣弧 的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧 的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE 102°=68°．
故答案为：68°．
【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧 的度数，得到劣弧 的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
12．【答案】40
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】△OAB中，OA＝OB，
∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴ ，
∴∠BOC＝ ∠BOA＝40°，
故答案为：40．
【分析】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。
13．【答案】4
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴ ，
∴ ，
∴BD=AC， ∠BOD＝∠AOC，
∴正确的有：①②③④；
故答案为：4.
【分析】根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等得出 ，根据等式的性质得出 ，进而根据同圆中相等的弧所对的弦相等、所对的弧相等即可得出BD=AC， ∠BOD＝∠AOC.
14．【答案】OE＝OF(∠AOB＝∠COD本题答案不唯一)
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF， ∠AOB=∠COD
【分析】本题答案不唯一。根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOB=∠COD；OE=OF；弧AB=弧CD等。
15．【答案】②③
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵在 中，AB是直径，点D是 上一点，点C是 的中点，
故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故②正确；
∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为 的中点,即
又∵C为 的中点，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP.
∵AB为 的直径，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故答案为：②③.
【分析】①由等弧所对圆周角相等可得两角相等，但弧BD与弧CD不一定相等，故①错误；②连接OD，结合切线的定义及GE⊥AB即可利用等角的余角相等证得∠GPD=∠GDP，再利用等角对等边即可得证 GP=GD ；③证P为Rt△ACQ的外心即证点P到三角形三个顶点的距离相等，又因为∠ACB是直径AB所对的圆周角，故∠ACB=90° ，即三角形ACQ为直角三角形，故只需证点P为其斜边AQ的中点即可.
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴弧AD=弧BC，
∵M为弧CD中点，
∴弧MD=弧MC，
∴弧AM=弧BM，
∴AM＝BM.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据正方形的性质得出AD=BC，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 弧AD=弧BC， 进而根据等式的性质得出 弧AM=弧BM， 最后根据等弧所对的弦相等即可得出答案.
17．【答案】证明： ，
，
CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∠CDO=∠CEO=90°，
在△ODC和△OEC中，
，
△ODC≌△OEC（AAS），
CD=CE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由等弧所对的圆心角相等得 ，由用CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，得 ∠CDO=∠CEO=90°，从而利用AAS可证△ODC≌△OEC，利用全等三角形的对应边相等得CD=CE.
18．【答案】证明：∵BD＝AC，
∴ ，
∴ = ，
即 ，
∴AB＝CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，先由等弦所对的弧相等得到 ，于是两边都减去 得到 ，进而再根据等弧所对的弦相等得出AB=CD.
19．【答案】证明：方法一：连接OC，OD，
∵AC=CD=DB， ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
，
，
，
，
，
， ．
方法二：连接OC，OD，
∵AC=CD=DB， ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵∠CAO=∠CAE+∠EAO，∠AEC=∠AOC+∠EAO，
∴∠CAO=∠AEC，
在 中，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠ACO=∠AEC， ，
， .
方法三：连接AD，OC，OD，
∵AC=DB， ,
∴∠ADC=∠DAB，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠DCO，
∵AC=CD，AO=DO，
∴CO⊥AD，
∴∠ACO=∠DCO，
∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，
∵AC=CD，∴AE=CD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OC，OD，根据弦相等，得出它们所对的弧相等，得到 ,再得到它们所对的圆心角相等，证明 得到 又因为 即可证明.
20．【答案】解：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴，
又∵BC=CD，
∴，
∴，
∴AB=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由BD平分∠ADC，得，由BC=CD，得，从而，在同圆或等圆中，等弧对等弦，则AB=CD.
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.2 圆的对称性
一、单选题
1．（2020·衢州模拟）如图，在⊙O中， ＝ ，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．40° C．50° D．70°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝ （180°﹣∠A）＝ ×（180°﹣40°）＝70°.
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形的性质得∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数.
2．（2020·西湖模拟）如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（ ）
A．36° B．48° C．72° D．96°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，
∴弧BD的度数为144度，
∴∠A＝72°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半即可算出答案.
3．（2020九下·南召月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴ 与 不一定相等，故本选项错误；
D.∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误。
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC，在同圆中，根据相等的圆周角所对的弦相等即可得出BC=CD.
4．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等
C．这两条弦所对的弦心距相等 D．以上说法都不对
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】选项A、B、C成立的前提都是在同圆或等圆中．故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得，A、B、C选项都不对，缺少了前提条件“在同圆或等圆中”。
5．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（ ）
A．30°，60°，90° B．60°，120°，180°
C．50°，100°，150° D．80°，120°，160°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，
由题意得，2x+3x+4x=360°，
解得，x=40°，
则这三个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，
故答案为：D．
【分析】根据这三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，而这三个角组成一个周角，可列方程求解。
6．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（ ）
A．122° B．120° C．61° D．58°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由于在⊙O中,弧AB=弧AC,所以∠AOC=∠AOB=122°.
故选A．
7．（2020九上·长沙期中）与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
∴与半径相等的弦所对的圆心角的度数为60°．
故答案为：C．
【分析】根据题意可得△OAB是等边三角形，即可求出与半径相等的弦所对的圆心角的度数为60°.
8．（2020九上·北京月考） 是四边形 的外接圆， 平分 ，则正确结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 与 的大小关系不确定， 与 不一定相等，A不符合题意；
平分 ， ， ，B符合题意；
与 的大小关系不确定， 与 不一定相等，选项C不符合题意；
∵ 与 的大小关系不确定，选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．
二、填空题
9．（2020九上·宜兴期中）如图，在⊙O 中，弧AB=弧AC，∠A＝30°，则∠B＝ °.
【答案】75
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O 中，弧AB=弧AC，
∴AB＝AC，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴∠B＝∠C；
又∠A＝30°，
∴∠B＝（180°-30°）÷2＝75°（三角形内角和定理）.
故答案是：75.
【分析】根据等弧所对的弦相等求得 AB＝AC，从而判定△ABC 是等腰三角形； 然后根据等腰三角形的两个底角∠B＝∠C；最后由三角形的内角和定理求角B 的度数即可.
10．（2020九上·常州月考）如图，在⊙O中， ，∠1=30°，则∠2= °.
【答案】30
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ， ，
，
∠1=∠2，
∠1=30°，
∠2=30°；
故答案为:30.
【分析】由题意易证 ，再根据等弧所对的圆心角相等可进行求解.
11．（2019九上·孝义期中）如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝ ．
【答案】68°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵∠AOE=78°，∴劣弧 的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧 的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE 102°=68°．
故答案为：68°．
【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧 的度数，得到劣弧 的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
12．（2019九上·洮北月考）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于 度．
【答案】40
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】△OAB中，OA＝OB，
∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴ ，
∴∠BOC＝ ∠BOA＝40°，
故答案为：40．
【分析】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。
13．（2020九上·江苏月考）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有 个.
① ；② ；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
【答案】4
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴ ，
∴ ，
∴BD=AC， ∠BOD＝∠AOC，
∴正确的有：①②③④；
故答案为：4.
【分析】根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等得出 ，根据等式的性质得出 ，进而根据同圆中相等的弧所对的弦相等、所对的弧相等即可得出BD=AC， ∠BOD＝∠AOC.
14．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论： ．(至少填写两个)
【答案】OE＝OF(∠AOB＝∠COD本题答案不唯一)
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF， ∠AOB=∠COD
【分析】本题答案不唯一。根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOB=∠COD；OE=OF；弧AB=弧CD等。
15．（2017九上·大石桥期中）如图，AB是半圆O的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，过点C作AB的垂线，交AB于E，与过点D的切线交于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是 （填序号）．
【答案】②③
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵在 中，AB是直径，点D是 上一点，点C是 的中点，
故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故②正确；
∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为 的中点,即
又∵C为 的中点，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP.
∵AB为 的直径，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故答案为：②③.
【分析】①由等弧所对圆周角相等可得两角相等，但弧BD与弧CD不一定相等，故①错误；②连接OD，结合切线的定义及GE⊥AB即可利用等角的余角相等证得∠GPD=∠GDP，再利用等角对等边即可得证 GP=GD ；③证P为Rt△ACQ的外心即证点P到三角形三个顶点的距离相等，又因为∠ACB是直径AB所对的圆周角，故∠ACB=90° ，即三角形ACQ为直角三角形，故只需证点P为其斜边AQ的中点即可.
三、解答题
16．（2020九上·泗阳期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧CD的中点，连接AM，BM，求证：AM＝BM.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴弧AD=弧BC，
∵M为弧CD中点，
∴弧MD=弧MC，
∴弧AM=弧BM，
∴AM＝BM.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据正方形的性质得出AD=BC，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 弧AD=弧BC， 进而根据等式的性质得出 弧AM=弧BM， 最后根据等弧所对的弦相等即可得出答案.
17．（2020九上·泗阳期中）如图： ，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD=CE.
【答案】证明： ，
，
CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∠CDO=∠CEO=90°，
在△ODC和△OEC中，
，
△ODC≌△OEC（AAS），
CD=CE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由等弧所对的圆心角相等得 ，由用CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，得 ∠CDO=∠CEO=90°，从而利用AAS可证△ODC≌△OEC，利用全等三角形的对应边相等得CD=CE.
18．（2020九上·江苏期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC.求证：AB＝CD.
【答案】证明：∵BD＝AC，
∴ ，
∴ = ，
即 ，
∴AB＝CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，先由等弦所对的弧相等得到 ，于是两边都减去 得到 ，进而再根据等弧所对的弦相等得出AB=CD.
19．（2019九上·思明期中）如图，点A，C，D，B在以O点为圆心，OA长为半径的圆弧上， AC=CD=DB，AB交OC于点E．求证：AE=CD．
【答案】证明：方法一：连接OC，OD，
∵AC=CD=DB， ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
，
，
，
，
，
， ．
方法二：连接OC，OD，
∵AC=CD=DB， ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵∠CAO=∠CAE+∠EAO，∠AEC=∠AOC+∠EAO，
∴∠CAO=∠AEC，
在 中，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠ACO=∠AEC， ，
， .
方法三：连接AD，OC，OD，
∵AC=DB， ,
∴∠ADC=∠DAB，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠DCO，
∵AC=CD，AO=DO，
∴CO⊥AD，
∴∠ACO=∠DCO，
∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，
∵AC=CD，∴AE=CD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OC，OD，根据弦相等，得出它们所对的弧相等，得到 ,再得到它们所对的圆心角相等，证明 得到 又因为 即可证明.
20．（2019九上·诸暨月考）已知：如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BD平分∠ADC，且BC=CD. 求证: AB=CD.
【答案】解：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴，
又∵BC=CD，
∴，
∴，
∴AB=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由BD平分∠ADC，得，由BC=CD，得，从而，在同圆或等圆中，等弧对等弦，则AB=CD.
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