高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.1变化率与导数

高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.1变化率与导数
一、单选题
1．（2020高二下·西安期中）函数 在区间 上的平均变化率为3，则实数m的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解解：根据题意，函数 在区间 上的平均变化率为 ，
则有 ，解可得： ，
故答案为：D
【分析】据题意，求出函数在间 上的平均变化率，进而可得 ，解可得m的值，即可得答案．
2．（2020高二下·吉林期中）一个物体的位移s(米)和与时间 (秒)的关系为 ，则该物体在4秒末的瞬时速度是 （　　）
A．12米/秒 B．8米/秒 C．6米/秒 D．8米/秒
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：∵一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s=4-2t+t2，
∴s′=2t-2
∴该物体在4秒末的瞬时速度是s′|x=4=2×4-2=6
故答案为：C．
【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求s=4-2t+t2的导数，再求得t=4秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．
3．（2020高二下·杭州期中）若直线 与曲线 （ ，e为自然对数的底数）相切，则 （　　）
A．-2 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】不妨设切点为 ，因为 ，
故可得 ， ， ，
解得 ，故可得 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】设出切点，利用导数几何意义，列出方程，即可求得参数m.
4．（2020·包头模拟）曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （　　）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故 ，
解得 ，
又切线过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】求函数导数，利用切线斜率求出a，根据切线过点 求出b即可.
5．（2020高二下·石家庄月考）函数 在区间 上的平均变化率为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】因为 ，
所以 在区间 上的平均变化率为 .
故选：B
【分析】直接利用平均变化率公式 进行求值.
6．（2020高二下·吉林开学考）某物体沿水平方向运动，其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为 ，则该物体在运行前2秒的平均速度为（　　）（米/秒）
A．18 B．13 C．9 D．
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】 ，因此，该物体在运行前2秒的平均速度为 （米/秒）.
故答案为：C.
【分析】利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前2秒的平均速度为 ，进而可求得结果.
7．（2020高二上·黄陵期末）曲线 在 处的切线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由题意知， ，
在 处的切线的斜率 ，
则在 处的切线方程是： ，
即 ，
故答案为： ．
【分析】先求出导数，再把 代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式．
8．（2020高二上·黄陵期末）若 ，则 等于（　　）
A．0 B．1 C．3 D．
【答案】B
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：根据题意，若 ，
则 ，
即 ；
故答案为： ．
【分析】根据题意，由导数的定义可得答案．
9．（2020高二下·河南月考）曲线 在点 处的切线斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ，则 ， ．
故选：D.
【分析】求出导数后可得切线斜率．
10．（2020·九江模拟）若曲线 ( )存在斜率小于1的切线，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由题意可得 在 上有解，
设 ( )， ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
在 单调递减，在 单调递增，
，解得： .
故答案为：C.
【分析】对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案；
11．（2020·肇庆模拟）已知e为自然对数的底数，过原点与函数 图像相切的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】设切点为 ，因为 ，故在 切线的斜率为 .又切线经过原点.且 在 上.故 .
故斜率 .所以切线方程为 .
故选：C
【分析】设切点为 再根据导数的几何意义列式求解即可.
12．（2020·福州模拟）已知函数 为偶函数，当x＜0时， ，则曲线 在x＝1处的切线方程为（　　）
A．x-y＝0 B．x-y-2＝0 C．x+y-2＝0 D．3x-y-2＝0
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】当 时， ， ，又函数 为偶函数，所以 ，
，所以 ， ，故切线方程为 ，即 .
故答案为：A．
【分析】先求出当 时， 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案.
13．（2020·安徽模拟）函数 在 上的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】当 时， ，则 ，
所以函数在 上单调递增，
令 ，则 ，
根据三角函数的性质，
当 时， ，故切线的斜率变小，
当 时， ，故切线的斜率变大，可排除A、B；
当 时， ，则 ，
所以函数在 上单调递增，
令 ， ，
当 时， ，故切线的斜率变大，
当 时， ，故切线的斜率变小，可排除C，
故答案为：D
【分析】讨论 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.
14．（2020高二下·北京期中）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位： ）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系： （H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 .那么瞬时融化速度等于 的时刻是图中的（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率；导数的几何意义
【解析】【解答】解：平均融化速度为 ，
反映的是 图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知 处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，平均融化速度反映的是 图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案.
二、填空题
15．（2020·泰安模拟）已知直线 是曲线 的一条切线，则 　 　.
【答案】4
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】设 ，切点为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故切点为 ，又切点在切线 上，
故 .
故答案为：4
【分析】设切点为 ，根据导数的几何意义可求斜率 ，即可求出 ，代入切线方程即可求解.
16．（2020高二下·北京期中）若一汽车在公路上做加速运动，设 秒时的速度为 ，则该车在 时的加速度为　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】根据加速度等于速度的导数可知：
，
该车在 时的加速度为 .
故答案为：
【分析】由速度函数的导函数即为加速度可知，求导代值即可.
17．（2020·海南模拟）如图，直线 是曲线 在 处的切线，则 　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由图可知直线 过点 ，
可求出直线 的斜率 ，
由导数的几何意义可知， .
故答案为: .
【分析】求出切线 的斜率，即可求出结论.
18．（2020高二下·天津期中）已知函数 在区间 ， 上的平均变化率分别为 ， ，那么 ， 的大小关系为　 　.
【答案】k1>k2
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】当 ， 时，平均变化率 ，
当 ， 时，平均变化率 ，
，
故答案为： .
【分析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．
19．（2020·呼和浩特模拟）已知定义在R上的奇函数 ，当 时， ，则 在点 处的切线方程为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】当 时， ， ，
， ，
切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【分析】根据奇函数的性质求出当 时函数的解析式，利用导数的几何意义求切线的方程；
20．（2020·广西模拟）点P(4，4)为曲线C： 上一点，过P作直线PQ交曲线C于点Q(异于P点)，P与曲线C的焦点F的连线与Q点处的切线l垂直，直线l与曲线C的准线交于点M，则 　 　
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】P= ，即 ，即 ，导函数
所以焦点F(0，1)，准线为y=-1；直线PF的斜率k1= ，Q(x1，y1)处切线l的斜率k= ；依题意得kk1=-1， ；所以 . 切线l的方程为 ，与准线的交点M( ).所以，
故答案为：
【分析】根据抛物线上点的坐标求出抛物线方程，根据斜率求出切线l的斜率，求出点Q的坐标，即可得解.
三、解答题
21．求下列函数的导数
（1）y=2x3﹣3x2﹣4；
（2）y=xlnx；
（3） ．
【答案】（1）解：y′=6x2﹣6x
（2）解：y′=lnx+1
（3）解：
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】直接利用和、差、积商的导数公式，即可得出结论．
22．物体作直线运动的方程s=t2+2t﹣3，求物体在t=2秒时的速度和加速度．
【答案】解：由导数的物理意义：物体作直线运动的方程s=s（t）
则物体在t=t0时的即时速度v=s′（t0）
在t=t0时的加速度a=s″（t0）
∴v=s′（t）=2t+2
a=s″（t）=2
物体在t=2秒时的速度v=s′（2）=（2t+2）|t=2=6
加速度a=s″（t）=2|t=2=2
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】首先求导，然后将t=2代入即可得到速度；再次求导，然后将t=2代入即可得到加速度
23．（2020高二上·黄陵期末）已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程；
【答案】解：依题意可知： ，
，
∴切线方程为 ，即
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】先求出函数的导数在 处的导数值（切线的斜率），再利用点斜式求出曲线 在点 处切线的方程，最后化为一般式即可.
24．（2020高二上·黄陵期末）已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线 平行于直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,
（1）求P0的坐标;
（2）若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
【答案】（1）解：由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为（-1，-4）；
（2）解：∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为-1/ 4 ，
∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）
∴直线l的方程为y+4= （x+1）即x+4y+17=0．
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用。以及直线方程的求解的综合运用。首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用 ，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论。
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.1变化率与导数
一、单选题
1．（2020高二下·西安期中）函数 在区间 上的平均变化率为3，则实数m的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2020高二下·吉林期中）一个物体的位移s(米)和与时间 (秒)的关系为 ，则该物体在4秒末的瞬时速度是 （　　）
A．12米/秒 B．8米/秒 C．6米/秒 D．8米/秒
3．（2020高二下·杭州期中）若直线 与曲线 （ ，e为自然对数的底数）相切，则 （　　）
A．-2 B． C． D．2
4．（2020·包头模拟）曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （　　）
A． B． C．4 D．8
5．（2020高二下·石家庄月考）函数 在区间 上的平均变化率为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
6．（2020高二下·吉林开学考）某物体沿水平方向运动，其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为 ，则该物体在运行前2秒的平均速度为（　　）（米/秒）
A．18 B．13 C．9 D．
7．（2020高二上·黄陵期末）曲线 在 处的切线方程是（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·黄陵期末）若 ，则 等于（　　）
A．0 B．1 C．3 D．
9．（2020高二下·河南月考）曲线 在点 处的切线斜率为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020·九江模拟）若曲线 ( )存在斜率小于1的切线，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
11．（2020·肇庆模拟）已知e为自然对数的底数，过原点与函数 图像相切的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
12．（2020·福州模拟）已知函数 为偶函数，当x＜0时， ，则曲线 在x＝1处的切线方程为（　　）
A．x-y＝0 B．x-y-2＝0 C．x+y-2＝0 D．3x-y-2＝0
13．（2020·安徽模拟）函数 在 上的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2020高二下·北京期中）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位： ）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系： （H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 .那么瞬时融化速度等于 的时刻是图中的（　　）.
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2020·泰安模拟）已知直线 是曲线 的一条切线，则 　 　.
16．（2020高二下·北京期中）若一汽车在公路上做加速运动，设 秒时的速度为 ，则该车在 时的加速度为　 　．
17．（2020·海南模拟）如图，直线 是曲线 在 处的切线，则 　 　.
18．（2020高二下·天津期中）已知函数 在区间 ， 上的平均变化率分别为 ， ，那么 ， 的大小关系为　 　.
19．（2020·呼和浩特模拟）已知定义在R上的奇函数 ，当 时， ，则 在点 处的切线方程为　 　.
20．（2020·广西模拟）点P(4，4)为曲线C： 上一点，过P作直线PQ交曲线C于点Q(异于P点)，P与曲线C的焦点F的连线与Q点处的切线l垂直，直线l与曲线C的准线交于点M，则 　 　
三、解答题
21．求下列函数的导数
（1）y=2x3﹣3x2﹣4；
（2）y=xlnx；
（3） ．
22．物体作直线运动的方程s=t2+2t﹣3，求物体在t=2秒时的速度和加速度．
23．（2020高二上·黄陵期末）已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程；
24．（2020高二上·黄陵期末）已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线 平行于直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,
（1）求P0的坐标;
（2）若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解解：根据题意，函数 在区间 上的平均变化率为 ，
则有 ，解可得： ，
故答案为：D
【分析】据题意，求出函数在间 上的平均变化率，进而可得 ，解可得m的值，即可得答案．
2．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：∵一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s=4-2t+t2，
∴s′=2t-2
∴该物体在4秒末的瞬时速度是s′|x=4=2×4-2=6
故答案为：C．
【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求s=4-2t+t2的导数，再求得t=4秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．
3．【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】不妨设切点为 ，因为 ，
故可得 ， ， ，
解得 ，故可得 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】设出切点，利用导数几何意义，列出方程，即可求得参数m.
4．【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故 ，
解得 ，
又切线过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】求函数导数，利用切线斜率求出a，根据切线过点 求出b即可.
5．【答案】B
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】因为 ，
所以 在区间 上的平均变化率为 .
故选：B
【分析】直接利用平均变化率公式 进行求值.
6．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】 ，因此，该物体在运行前2秒的平均速度为 （米/秒）.
故答案为：C.
【分析】利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前2秒的平均速度为 ，进而可求得结果.
7．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由题意知， ，
在 处的切线的斜率 ，
则在 处的切线方程是： ，
即 ，
故答案为： ．
【分析】先求出导数，再把 代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式．
8．【答案】B
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：根据题意，若 ，
则 ，
即 ；
故答案为： ．
【分析】根据题意，由导数的定义可得答案．
9．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ，则 ， ．
故选：D.
【分析】求出导数后可得切线斜率．
10．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由题意可得 在 上有解，
设 ( )， ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
在 单调递减，在 单调递增，
，解得： .
故答案为：C.
【分析】对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案；
11．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】设切点为 ，因为 ，故在 切线的斜率为 .又切线经过原点.且 在 上.故 .
故斜率 .所以切线方程为 .
故选：C
【分析】设切点为 再根据导数的几何意义列式求解即可.
12．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】当 时， ， ，又函数 为偶函数，所以 ，
，所以 ， ，故切线方程为 ，即 .
故答案为：A．
【分析】先求出当 时， 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案.
13．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】当 时， ，则 ，
所以函数在 上单调递增，
令 ，则 ，
根据三角函数的性质，
当 时， ，故切线的斜率变小，
当 时， ，故切线的斜率变大，可排除A、B；
当 时， ，则 ，
所以函数在 上单调递增，
令 ， ，
当 时， ，故切线的斜率变大，
当 时， ，故切线的斜率变小，可排除C，
故答案为：D
【分析】讨论 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.
14．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率；导数的几何意义
【解析】【解答】解：平均融化速度为 ，
反映的是 图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知 处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，平均融化速度反映的是 图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案.
15．【答案】4
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】设 ，切点为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故切点为 ，又切点在切线 上，
故 .
故答案为：4
【分析】设切点为 ，根据导数的几何意义可求斜率 ，即可求出 ，代入切线方程即可求解.
16．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】根据加速度等于速度的导数可知：
，
该车在 时的加速度为 .
故答案为：
【分析】由速度函数的导函数即为加速度可知，求导代值即可.
17．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由图可知直线 过点 ，
可求出直线 的斜率 ，
由导数的几何意义可知， .
故答案为: .
【分析】求出切线 的斜率，即可求出结论.
18．【答案】k1>k2
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】当 ， 时，平均变化率 ，
当 ， 时，平均变化率 ，
，
故答案为： .
【分析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．
19．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】当 时， ， ，
， ，
切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【分析】根据奇函数的性质求出当 时函数的解析式，利用导数的几何意义求切线的方程；
20．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】P= ，即 ，即 ，导函数
所以焦点F(0，1)，准线为y=-1；直线PF的斜率k1= ，Q(x1，y1)处切线l的斜率k= ；依题意得kk1=-1， ；所以 . 切线l的方程为 ，与准线的交点M( ).所以，
故答案为：
【分析】根据抛物线上点的坐标求出抛物线方程，根据斜率求出切线l的斜率，求出点Q的坐标，即可得解.
21．【答案】（1）解：y′=6x2﹣6x
（2）解：y′=lnx+1
（3）解：
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】直接利用和、差、积商的导数公式，即可得出结论．
22．【答案】解：由导数的物理意义：物体作直线运动的方程s=s（t）
则物体在t=t0时的即时速度v=s′（t0）
在t=t0时的加速度a=s″（t0）
∴v=s′（t）=2t+2
a=s″（t）=2
物体在t=2秒时的速度v=s′（2）=（2t+2）|t=2=6
加速度a=s″（t）=2|t=2=2
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】首先求导，然后将t=2代入即可得到速度；再次求导，然后将t=2代入即可得到加速度
23．【答案】解：依题意可知： ，
，
∴切线方程为 ，即
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】先求出函数的导数在 处的导数值（切线的斜率），再利用点斜式求出曲线 在点 处切线的方程，最后化为一般式即可.
24．【答案】（1）解：由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为（-1，-4）；
（2）解：∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为-1/ 4 ，
∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）
∴直线l的方程为y+4= （x+1）即x+4y+17=0．
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用。以及直线方程的求解的综合运用。首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用 ，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论。
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