人教新课标A版 必修二 3.3直线的交点坐标与距离公式

人教新课标A版 必修二 3.3直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．（2019高二上·兴宁期中）原点到直线 的距离为（　　）．
A． B． C． D．
2．（2019高一下·安庆期末）已知点P与点 关于直线 对称，则点P的坐标为
A． B． C． D．
3．（2019高二上·长春月考）若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是（　　）
A．1 B．-3 C．1或 D．-3或
4．（2020高一下·宝应期中）两平行直线 与 之间的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
5．（2020高一下·邢台期中）点 到直线： 的距离d最大时，d与a的值依次为（　　）
A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1
6．（2019高一下·西城期末）已知点 ,点 在直线 上运动．当 最小时，点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高二上·遂宁期末）若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点（　　）
A． B． C． D．
8．（2020·大连模拟）在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
9．（2019高一下·武宁期末）若三条直线 ， ， 相交于同一点，则点 到原点的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2019高一下·涟水月考）与直线 关于 轴对称的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
11．（2019高一下·石河子月考）已知入射光线在直线l1：2x-y=3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为（　　）
A．6 B．3 C． D．
12．（2020高三上·渭南期末）唐代诗人李欣的是 古从军行 开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从 出发，河岸线所在直线方程 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2020高一下·江阴期中）若两条平行直线 ： 与 ： 之间的距离是 ，则 的可能值为（　　）
A．3 B．-17 C．-3 D．17
三、填空题
14．（2019高二上·上海期中）点 到直线 的距离为 ，则 　 　.
15．（2019高三上·长春期末）两直线 与 平行，则它们之间的距离为　 　.
16．（2020·上饶模拟）正方形 的两个顶点 在直线 上，另两个顶点 分别在直线 ， 上，那么正方形 的边长为　 　.
17．（2020高一下·南京期中）已知直线 和 ，直线m分别与 交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为　 　.
四、解答题
18．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
19．已知直线l：y＝3x＋3，求：
（1）点P(4，5)关于直线l的对称点坐标；
（2）直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；
（3）直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．
20．如图，已知直线l1：x+y-1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程.
21．（2019高二上·吉林期中）已知点 的坐标是 ，过点 的直线 与 轴交于 ，过点 且与直线 垂直的直线 交 轴与点 ，设点 为 的中点，求点 的轨迹方程．
22．（2019高一下·哈尔滨月考）在 中，点 ，角 的内角平分线所在直线的方程为 边上的高所在直线的方程为 .
(Ⅰ)求点 的坐标；
(Ⅱ)求 的面积.
23．（2020·江门模拟）已知动点 到直线 的距离比到定点 的距离多1.
（1）求动点 的轨迹 的方程
（2）若 为（1）中曲线 上一点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，过坐标原点 的直线 交曲线 于另外一点 ，证明直线 过定点，并求出定点坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】 。
故答案为： ．
【分析】利用点到直线的距离公式，从而求出原点到直线 的距离。
2．【答案】A
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】设P的坐标为（a，b），则PQ的中点坐标为（ ， ），
若点P与Q（1，﹣2）关于x+y﹣1＝0对称，则有 ，
解可得：a＝3，b＝0，
则点P的坐标为（3，0）；
故答案为：A．
【分析】利用中点坐标公式结合两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系求出a，b的值，从而求出与点 关于直线 对称的点P的坐标。
3．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题得 ，解方程即得k=-3或 .
故答案为：D
【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出k的值。
4．【答案】C
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线 与 平行，所以 ，
将 化为 ，
∴两条平行线之间的距离d＝ ＝ ，
故答案为：C.
【分析】根据两条直线平行，计算k的值，然后将直线化相等的系数，再利用两条平行线之间的距离公式即可得出．
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】 直线 ，
即 ，
直线 是过直线 和 交点的直线系方程，
由 ，得 ，
可得直线 经过定点 ，
当直线 与 垂直时，
点 到直线 的距离最大，
的最大值为 ，
此时 轴，
可得直线 斜率不存在，即 .
故答案为：C.
【分析】将直线方程整理为 ，可得直线 经过定点 ，由此可得当直线 与 垂直时 的长，并且此时点 到直线的距离达到最大值，从而可得结果.
6．【答案】B
【知识点】平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】因为点 在直线 上运动，所以设点 的坐标为 ，由两点间距离公式可知： ，显然 时, 有最小值，最小值为 ，此时点 的坐标是 ，
故答案为：B.
【分析】利用几何法结合两点距离公式找出A,B两点距离的最小值，从而求出对应的点B的坐标。
7．【答案】C
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】∵ ＝k（x﹣1）+1，
∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则 ，得 ，即直线l2恒过定点
故答案为：C
【分析】求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．
8．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题意，设点 .
，
即 ，
整理得 ，
则 ，解得 或 .
.
故答案为： .
【分析】设点 ，由 ，得关于Y的方程.由题意，该方程有解，则 ，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值.
9．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：联立 ，解得 ， ．
∵三条直线 ， ， 相交于同一点，∴ ．
则点 到原点的距离的最小值为原点到直线 的距离 ．
故答案为：A．
【分析】利用两直线 和 相交联立方程求交点的方法求出交点坐标，再利用三条直线 ， ， 相交于同一交点，利用代入法求出，再利用几何法推出点 到原点的距离的最小值为原点到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式求出点 到原点的距离的最小值。
10．【答案】A
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】设对称直线上的点为 ，
则其关于 轴的对称点 在直线 上，
所以 即 ，
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称的点的特点，代入，即可求出对称直线的方程.
11．【答案】C
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：如图所示，结合图形可知，
直线 ∥ ，则直线 上一点P到直线l3的距离即为 与 之间的距离.由题意得， 与 关于x轴对称，可得 的方程为： ， 与 关于y轴对称，可得 的方程为 ，
由两平行线间的距离公式可得 与 之间的距离 ，
即P到直线l3的距离为 ，
故答案为：C.
【分析】由已知画出图形，可得点P到直线l3的距离即为 与 之间的距离，再利用两平行线间的距离公式求出距离即可.
12．【答案】B
【知识点】平面内中点坐标公式；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】设点A关于直线 的对称点 ， ，
的中点为 ，故 解得 ， ，
要使从点A到军营总路程最短，即为点 到军营最短的距离，
即为点 和圆上的点连线的最小值，为点 和圆心的距离减半径，
“将军饮马”的最短总路程为 ，
故选:B
【分析】先求出点 关于直线 的对称点 ，点 到圆心的距离减去半径即为最短．
13．【答案】A,B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】由题意， ， ，所以 ，所以 ： ，即 ，
由两平行直线间的距离公式得 ，解得 或 ，
所以 或 .
故答案为：AB
【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.
14．【答案】 或11
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得点 到直线 的距离为,
,
依题意可得 ,化简得, ,
所以 或 ,
解得 或 .
故答案为 或11.
【分析】根据点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离,再根据已知距离列等式可解得.
15．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：解:根据两直线平行得到斜率相等即 解得m=2则直线为6x+2y+1取3x+y-3=0上一点(1,0)求出点到直线的距离即为两平行线间的距离,
所以
【分析】根据两直线平行求出实数m，结合平行线间距离公式，即可求出它们之间的距离.
16．【答案】 或
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
联立 ，得 ，
∴由两点的距离公式可得 ，
又直线 与 的距离为 ，
∴ ，
解得 或 ，
即 或 .
即正方形的边长为 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】先设直线 的方程为 ，再求出 的坐标，然后结合两点的距离公式及两平行线的距离公式求解即可.
17．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】由题知， ，即 ，
故直线 为平行直线，则线段 的最小值为两平行直线间的距离 .
故答案为： .
【分析】根据题意知，直线 为平行直线，则线段AB的最小值为两平行直线间的距离.
18．【答案】解：当l1、l2的斜率存在时，∵l1∥l2，∴可设两直线的斜率为k.由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由两平行线间的距离公式得 ＝5，
解得k＝ ，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】由两直线分别过两点,分别设出两直线的方程,由距离公式求出k,另要注意斜率不存在时也满足题意.
19．【答案】（1）解： 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即 解得 .
所以P′(－2，7)．
（2）解：联立方程组 解得 所以直线l1与l的交点为 .
在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2，0)，过点(2，0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2.
设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0，y0)，
则 解得 即交点坐标为 .又点(2，0)关于点 对称的点的坐标为 ，
所以过两点 ， 的直线方程为 ＝ ，整理，得7x＋y＋22＝0.
则所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
（3）解： 设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，
由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b.
任取y＝3x＋3上的一点(0，3)，则该点关于点A(3，2)的对称点一定在直线l′上，设其对称点为(x′，y′)．
则 解得
代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.
故直线l′的方程为y′＝3x′－17，
即所求直线的方程为3x－y－17＝0.
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【分析】（1）设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，建立等式，即可得出答案。（2）计算出直线l1与直线l的交点坐标，在直线l1上取一点，计算出该点关于直线l的对称点，利用两点式，即可得出对称直线方程，即可得出答案。（3）直线l关于点A对称，对称直线与l平行，即可设出l'的方程，然后再直线l上取一点（0，3），计算出该点关于点A的对称点，代入直线l'的方程，即可得出答案。
20．【答案】解： 设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD= ，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h= = (b>1)，由梯形面积公式得 × =4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】设B(b，0)，C(0，b)，用b表示梯形的高，然后结合梯形面积计算公式，即可得出答案。
21．【答案】解：在直角三角形 和直角三角形 中， 是 中点 ，
设 则 ,
化简得 ，故点 的轨迹方程为
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB的中点，可得|OM|＝|CM|，利用两点间的距离公式即可得出．
22．【答案】解：（Ⅰ）由题意知 的斜率为-2，又点 ，
直线 的方程为 ，即 .
解方程组 得
点 的坐标为 .
又 的内角平分线所在直线的方程为 ，
点 关于直线的点 在直线 上，
直线 的方程为 ，即 .
解方程组 得
点 的坐标为 .
（Ⅱ） ，
又直线 的方程是 ，
点 到直线 的距离是 ，
的面积是 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可知直线 的斜率为 ，过点 ，则直线 的方程为 ，点 刚好是 边上的高所在直线 与角 的内角平分线所在直线 的交点，即 ,又因为 的内角平分线所在直线的方程为 ，所以点 关于直线 的对称点 在直线 上，即可求出直线 的方程 ，在根据点 是直线 和 的交点，即 的坐标为 ；（Ⅱ）根据 、 点坐标，求出 ，再根据点到直线的距离公式，求出点 到直线 的距离是 ，所以 的面积 .
23．【答案】（1）解：设点 ，则 .
当 时， ，即 ，
整理得 .
当 时， ，即 ，
整理得 ，由 知 ，矛盾，舍去.
∴所求轨迹方程为 .
（2）解：设 ， ， ，则 .
由 、 、 三点共线知 ，即 .
所以 .①
由 得 ，
所以 ②
由①②得 ，即 ，此表达式对任意 恒成立，
∴ .即直线 过定点，定点坐标为 .
【知识点】恒过定点的直线；与直线有关的动点轨迹方程
【解析】【分析】利用直接法，求动点 的轨迹 的方程。设出直线 方程以及 ，由 、 、 三点共线可得 ，将直线 方程与 联立，可得 ，利用韦达定理，可得 ，所以 ，得出直线过定点 。
1 / 1人教新课标A版 必修二 3.3直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．（2019高二上·兴宁期中）原点到直线 的距离为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】 。
故答案为： ．
【分析】利用点到直线的距离公式，从而求出原点到直线 的距离。
2．（2019高一下·安庆期末）已知点P与点 关于直线 对称，则点P的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】设P的坐标为（a，b），则PQ的中点坐标为（ ， ），
若点P与Q（1，﹣2）关于x+y﹣1＝0对称，则有 ，
解可得：a＝3，b＝0，
则点P的坐标为（3，0）；
故答案为：A．
【分析】利用中点坐标公式结合两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系求出a，b的值，从而求出与点 关于直线 对称的点P的坐标。
3．（2019高二上·长春月考）若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是（　　）
A．1 B．-3 C．1或 D．-3或
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题得 ，解方程即得k=-3或 .
故答案为：D
【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出k的值。
4．（2020高一下·宝应期中）两平行直线 与 之间的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线 与 平行，所以 ，
将 化为 ，
∴两条平行线之间的距离d＝ ＝ ，
故答案为：C.
【分析】根据两条直线平行，计算k的值，然后将直线化相等的系数，再利用两条平行线之间的距离公式即可得出．
5．（2020高一下·邢台期中）点 到直线： 的距离d最大时，d与a的值依次为（　　）
A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】 直线 ，
即 ，
直线 是过直线 和 交点的直线系方程，
由 ，得 ，
可得直线 经过定点 ，
当直线 与 垂直时，
点 到直线 的距离最大，
的最大值为 ，
此时 轴，
可得直线 斜率不存在，即 .
故答案为：C.
【分析】将直线方程整理为 ，可得直线 经过定点 ，由此可得当直线 与 垂直时 的长，并且此时点 到直线的距离达到最大值，从而可得结果.
6．（2019高一下·西城期末）已知点 ,点 在直线 上运动．当 最小时，点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】因为点 在直线 上运动，所以设点 的坐标为 ，由两点间距离公式可知： ，显然 时, 有最小值，最小值为 ，此时点 的坐标是 ，
故答案为：B.
【分析】利用几何法结合两点距离公式找出A,B两点距离的最小值，从而求出对应的点B的坐标。
7．（2020高二上·遂宁期末）若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】∵ ＝k（x﹣1）+1，
∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则 ，得 ，即直线l2恒过定点
故答案为：C
【分析】求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．
8．（2020·大连模拟）在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题意，设点 .
，
即 ，
整理得 ，
则 ，解得 或 .
.
故答案为： .
【分析】设点 ，由 ，得关于Y的方程.由题意，该方程有解，则 ，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值.
9．（2019高一下·武宁期末）若三条直线 ， ， 相交于同一点，则点 到原点的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：联立 ，解得 ， ．
∵三条直线 ， ， 相交于同一点，∴ ．
则点 到原点的距离的最小值为原点到直线 的距离 ．
故答案为：A．
【分析】利用两直线 和 相交联立方程求交点的方法求出交点坐标，再利用三条直线 ， ， 相交于同一交点，利用代入法求出，再利用几何法推出点 到原点的距离的最小值为原点到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式求出点 到原点的距离的最小值。
10．（2019高一下·涟水月考）与直线 关于 轴对称的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】设对称直线上的点为 ，
则其关于 轴的对称点 在直线 上，
所以 即 ，
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称的点的特点，代入，即可求出对称直线的方程.
11．（2019高一下·石河子月考）已知入射光线在直线l1：2x-y=3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为（　　）
A．6 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：如图所示，结合图形可知，
直线 ∥ ，则直线 上一点P到直线l3的距离即为 与 之间的距离.由题意得， 与 关于x轴对称，可得 的方程为： ， 与 关于y轴对称，可得 的方程为 ，
由两平行线间的距离公式可得 与 之间的距离 ，
即P到直线l3的距离为 ，
故答案为：C.
【分析】由已知画出图形，可得点P到直线l3的距离即为 与 之间的距离，再利用两平行线间的距离公式求出距离即可.
12．（2020高三上·渭南期末）唐代诗人李欣的是 古从军行 开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从 出发，河岸线所在直线方程 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内中点坐标公式；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】设点A关于直线 的对称点 ， ，
的中点为 ，故 解得 ， ，
要使从点A到军营总路程最短，即为点 到军营最短的距离，
即为点 和圆上的点连线的最小值，为点 和圆心的距离减半径，
“将军饮马”的最短总路程为 ，
故选:B
【分析】先求出点 关于直线 的对称点 ，点 到圆心的距离减去半径即为最短．
二、多选题
13．（2020高一下·江阴期中）若两条平行直线 ： 与 ： 之间的距离是 ，则 的可能值为（　　）
A．3 B．-17 C．-3 D．17
【答案】A,B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】由题意， ， ，所以 ，所以 ： ，即 ，
由两平行直线间的距离公式得 ，解得 或 ，
所以 或 .
故答案为：AB
【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.
三、填空题
14．（2019高二上·上海期中）点 到直线 的距离为 ，则 　 　.
【答案】 或11
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得点 到直线 的距离为,
,
依题意可得 ,化简得, ,
所以 或 ,
解得 或 .
故答案为 或11.
【分析】根据点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离,再根据已知距离列等式可解得.
15．（2019高三上·长春期末）两直线 与 平行，则它们之间的距离为　 　.
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：解:根据两直线平行得到斜率相等即 解得m=2则直线为6x+2y+1取3x+y-3=0上一点(1,0)求出点到直线的距离即为两平行线间的距离,
所以
【分析】根据两直线平行求出实数m，结合平行线间距离公式，即可求出它们之间的距离.
16．（2020·上饶模拟）正方形 的两个顶点 在直线 上，另两个顶点 分别在直线 ， 上，那么正方形 的边长为　 　.
【答案】 或
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
联立 ，得 ，
∴由两点的距离公式可得 ，
又直线 与 的距离为 ，
∴ ，
解得 或 ，
即 或 .
即正方形的边长为 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】先设直线 的方程为 ，再求出 的坐标，然后结合两点的距离公式及两平行线的距离公式求解即可.
17．（2020高一下·南京期中）已知直线 和 ，直线m分别与 交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】由题知， ，即 ，
故直线 为平行直线，则线段 的最小值为两平行直线间的距离 .
故答案为： .
【分析】根据题意知，直线 为平行直线，则线段AB的最小值为两平行直线间的距离.
四、解答题
18．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
【答案】解：当l1、l2的斜率存在时，∵l1∥l2，∴可设两直线的斜率为k.由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由两平行线间的距离公式得 ＝5，
解得k＝ ，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】由两直线分别过两点,分别设出两直线的方程,由距离公式求出k,另要注意斜率不存在时也满足题意.
19．已知直线l：y＝3x＋3，求：
（1）点P(4，5)关于直线l的对称点坐标；
（2）直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；
（3）直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．
【答案】（1）解： 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即 解得 .
所以P′(－2，7)．
（2）解：联立方程组 解得 所以直线l1与l的交点为 .
在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2，0)，过点(2，0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2.
设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0，y0)，
则 解得 即交点坐标为 .又点(2，0)关于点 对称的点的坐标为 ，
所以过两点 ， 的直线方程为 ＝ ，整理，得7x＋y＋22＝0.
则所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
（3）解： 设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，
由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b.
任取y＝3x＋3上的一点(0，3)，则该点关于点A(3，2)的对称点一定在直线l′上，设其对称点为(x′，y′)．
则 解得
代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.
故直线l′的方程为y′＝3x′－17，
即所求直线的方程为3x－y－17＝0.
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【分析】（1）设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，建立等式，即可得出答案。（2）计算出直线l1与直线l的交点坐标，在直线l1上取一点，计算出该点关于直线l的对称点，利用两点式，即可得出对称直线方程，即可得出答案。（3）直线l关于点A对称，对称直线与l平行，即可设出l'的方程，然后再直线l上取一点（0，3），计算出该点关于点A的对称点，代入直线l'的方程，即可得出答案。
20．如图，已知直线l1：x+y-1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程.
【答案】解： 设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD= ，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h= = (b>1)，由梯形面积公式得 × =4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】设B(b，0)，C(0，b)，用b表示梯形的高，然后结合梯形面积计算公式，即可得出答案。
21．（2019高二上·吉林期中）已知点 的坐标是 ，过点 的直线 与 轴交于 ，过点 且与直线 垂直的直线 交 轴与点 ，设点 为 的中点，求点 的轨迹方程．
【答案】解：在直角三角形 和直角三角形 中， 是 中点 ，
设 则 ,
化简得 ，故点 的轨迹方程为
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB的中点，可得|OM|＝|CM|，利用两点间的距离公式即可得出．
22．（2019高一下·哈尔滨月考）在 中，点 ，角 的内角平分线所在直线的方程为 边上的高所在直线的方程为 .
(Ⅰ)求点 的坐标；
(Ⅱ)求 的面积.
【答案】解：（Ⅰ）由题意知 的斜率为-2，又点 ，
直线 的方程为 ，即 .
解方程组 得
点 的坐标为 .
又 的内角平分线所在直线的方程为 ，
点 关于直线的点 在直线 上，
直线 的方程为 ，即 .
解方程组 得
点 的坐标为 .
（Ⅱ） ，
又直线 的方程是 ，
点 到直线 的距离是 ，
的面积是 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可知直线 的斜率为 ，过点 ，则直线 的方程为 ，点 刚好是 边上的高所在直线 与角 的内角平分线所在直线 的交点，即 ,又因为 的内角平分线所在直线的方程为 ，所以点 关于直线 的对称点 在直线 上，即可求出直线 的方程 ，在根据点 是直线 和 的交点，即 的坐标为 ；（Ⅱ）根据 、 点坐标，求出 ，再根据点到直线的距离公式，求出点 到直线 的距离是 ，所以 的面积 .
23．（2020·江门模拟）已知动点 到直线 的距离比到定点 的距离多1.
（1）求动点 的轨迹 的方程
（2）若 为（1）中曲线 上一点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，过坐标原点 的直线 交曲线 于另外一点 ，证明直线 过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）解：设点 ，则 .
当 时， ，即 ，
整理得 .
当 时， ，即 ，
整理得 ，由 知 ，矛盾，舍去.
∴所求轨迹方程为 .
（2）解：设 ， ， ，则 .
由 、 、 三点共线知 ，即 .
所以 .①
由 得 ，
所以 ②
由①②得 ，即 ，此表达式对任意 恒成立，
∴ .即直线 过定点，定点坐标为 .
【知识点】恒过定点的直线；与直线有关的动点轨迹方程
【解析】【分析】利用直接法，求动点 的轨迹 的方程。设出直线 方程以及 ，由 、 、 三点共线可得 ，将直线 方程与 联立，可得 ，利用韦达定理，可得 ，所以 ，得出直线过定点 。
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