高中数学人教新课标A版必修一1.1.2集合间的基本关系
一、单选题
1．（2020·吉林模拟）已知全集 ，集合 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】由题意，全集 ，集合 ，集合 ，
可得 ，
所以 ，
由图象可得阴影部分表示的集合为 .
故答案为：A.
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为 ，根据集合的运算，即可求解.
2．（2020·定远模拟） ， ，若 ，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】 ，
， ，
， 或 ，
或 或 ．
的取值集合为 ．
故答案为：D．
【分析】求出 ，由 ， ，可得 ， 或 ，由此能求出a的取值集合．
3．（2020·山东模拟）已知集合 ， ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为集合 ， ， ，
若 为空集，则方程 无解，解得 ；
若 不为空集，则 ；由 解得 ，所以 或 ，解得 或 ，
综上，由实数 的所有可能的取值组成的集合为 .
故答案为：D
【分析】分 为空集和 不为空集两种情况讨论，分别求出 的范围，即可得出结果.
4．（2020·成都模拟）已知集合 的所有三个元素的子集记为 ．记 为集合 中的最大元素，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】集合 含有 个元素的子集共有 ，所以 ．
在集合 中：
最大元素为 的集合有 个；
最大元素为 的集合有 ；
最大元素为 的集合有 ；
最大元素为 的集合有 ；
所以 ．
故选： ．
【分析】分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.
5．集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B A，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或±1
【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：∵A={x|x2=1}={﹣1，1}，
又∵B A，
当a=0，ax=1无解，故B= ，满足条件
若B≠ ，则B={﹣1}，或Q={1}，
即a=﹣1，或a=1
故满足条件的实数a∈{0，1，﹣1}
故选D．
【分析】由B A，可分B= 和B≠ 两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的a值，并写成集合的形式即可得到答案．
6．（2020高一下·泸县月考）已知集合A={x|x＞l}，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解： 集合 ，
中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故 错误；
中， 不成立， 不对，故 错误；
中，空集是任何集合的子集，故 正确；
中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故 错误；
故选 ．
【分析】根据集合 中元素满足的性质 ，逐一判断四个答案中的四个元素是否满足该性质，即可得到结论
7．（2020·海南模拟）已知集合 ，则集合 的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】 ，则集合 的子集的个数为 .
故选：A.
【分析】根据已知条件，求出 ，再根据子集的含义得出答案.
8．（2020·西安模拟）已知集合 ，则集合 的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意可知，
集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，
则B的子集个数为：23=8个，
故选D．
【分析】先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．
9．（2020·广西模拟）设集合 ，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解方组 得 .
所以
故选：D
【分析】根据集合中元素特征解方程组即可得解.
10．（2020·普陀模拟）设集合 ， ，若 ，则对应的实数对 有（ ）
A． 对 B． 对 C． 对 D． 对
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为集合 ，
所以 ， ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，或 ，或 ，
①当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
②当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
③当 时，则 或
当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
综上所述： ， ，或 ， ，或 ， ，或 ， ，共4对．
故选： ．
【分析】先解出 ，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对．
11．（2020高三上·潮州期末）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
【分析】利用集合的补集的定义求出 的补集；利用子集的定义判断出 ．
12．（2020·广东模拟）设集合 ， ，若 ，则 的最大值为（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为 ,
,且 ,
所以
所以 的最大值为3.
故选：C
【分析】先将 整理至 ,根据 得到 ,即可得出 的最大值.
13．设集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，B={x||x﹣b|＞2，x∈R}．若A B，则实数a，b必满足（ ）
A．|a+b|≤3 B．|a+b|≥3 C．|a﹣b|≤3 D．|a﹣b|≥3
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】∵A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|x＜b﹣2或x＞b+2}，
因为A B，所以b﹣2≥a+1或b+2≤a﹣1，
即a﹣b≤﹣3或a﹣b≥3，
即|a﹣b|≥3．
故选D．
【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合A、B，再结合A B，观察集合区间的端点之间的关系得到不等式，由不等式即可得到结论．
二、填空题
14．（2020·上海模拟）已知实数集合 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 ．
【答案】-3
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：因为实数集合 的最大元素等于该集合的所有元素之和，
所以 （无解）或者 ，
解得： ．
故答案为：-3．
【分析】根据题意求元素的关系．
15．（2020高一下·海淀期中）设集合 ， ，若 ，则 的取值范围为 ．
【答案】2≤a≤4
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由 得 ，∴ ，由 得 ，∴ ．
又当 时， 满足 ， 时， 也满足 ，∴ .
故答案为
【分析】先化简集合A,再根据 得到关于a的不等式求出a的取值范围.
16．（2020·江苏模拟）已知集合A＝ ，B＝ ，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为 ．
【答案】2
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由题意AB中有且只有一个元素，所以 ，即 .
故答案为： .
【分析】利用AB中有且只有一个元素，可得 ，可求实数a的值.
17．（2019高一上·苍南月考）已知集合 ，则 的子集个数是 .
【答案】8
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】集合 含3个元素，故子集个数为
故答案为：8
【分析】根据集合子集个数公式即可得出答案．
三、解答题
18．（2020高一下·大同月考）已知集合 ，
（Ⅰ）若 ， ，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 ， ，求实数 的取值范围．
【答案】解：解不等式 ，得 ，即 .
（Ⅰ）
①当 时，则 ，即 ，符合题意；
②当 时，则有
解得： .
综上： .
（Ⅱ）要使 ，则 ，所以有
解得：
.
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）求出集合A，利用子集关系，通过B是否为空集，列出不等式组求解即可．（2）A B，B={x|m﹣6＜x＜2m﹣1}，列出不等式组求解即可．
19．已知集合P={x|x2﹣3x+b=0}，Q={x|（x+1）（x2+3x﹣4）=0}．
（1）当b=4时，写出所有满足条件P M Q的集合M；
（2）若P Q，求实数b的取值范围．
【答案】（1）解：∵集合Q={x|（x+1）（x2+3x﹣4）=0}={x|（x+1）（x+4）（x﹣1）=0}={﹣1，1，﹣4}，
当b=4时，集合P= ，再由 P M Q可得，M是Q的非空子集．
共有 23﹣1=7 个，分别为{﹣1}、{1}、{﹣4}、{﹣1，1}、{﹣1，4}、{1，4}、{﹣1，1，﹣4}
（2）解：∵P Q，对于方程x2﹣3x+b=0，当P= ，△=9﹣4b＜0时，有 ．
△=9﹣4b≥0时，P≠ ，方程x2﹣3x+b=0有实数根，且实数根是﹣1，1，﹣4中的数．
若﹣1是方程x2﹣3x+b=0的实数根，则有b=﹣4，此时P={﹣1，4}，不满足P Q，故舍去．
若1是方程x2﹣3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={1，2}，不满足P Q，故舍去．
若﹣4是方程x2﹣3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={﹣1，4}，不满足P Q，故舍去．
综上可得，实数b的取值范围为（ ，+∞）
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）由于集合Q={﹣1，1，﹣4}，当b=4时，集合P= ，再由 P M Q可得，M是Q的非空子集，从而得到M．（2）当P= ，△=9﹣4b＜0时，有 ．当P≠ ，方程x2﹣3x+b=0有实数根，且实数根是﹣1，1，﹣4中的数，把x=﹣1，1，﹣4代入检验，由此得到实数b的取值范围．
20．（2020高一上·石景山期末）设集合 ，不等式 的解集为B．
（1）当 时，求集合A，B；
（2）当 时，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当 时，
（2）解：若 ，则有：
①当 ，即 ，即 时，符合题意，
②当 ，即 ，即 时，有
解得：
综合①②得：
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得 ，解不等式得 ；（2）分别讨论 和 两种情况，得到关于 的不等式组，求得取值范围.
1 / 1高中数学人教新课标A版必修一1.1.2集合间的基本关系
一、单选题
1．（2020·吉林模拟）已知全集 ，集合 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·定远模拟） ， ，若 ，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山东模拟）已知集合 ， ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·成都模拟）已知集合 的所有三个元素的子集记为 ．记 为集合 中的最大元素，则 （ ）
A． B． C． D．
5．集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B A，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或±1
6．（2020高一下·泸县月考）已知集合A={x|x＞l}，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·海南模拟）已知集合 ，则集合 的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·西安模拟）已知集合 ，则集合 的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
9．（2020·广西模拟）设集合 ，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
10．（2020·普陀模拟）设集合 ， ，若 ，则对应的实数对 有（ ）
A． 对 B． 对 C． 对 D． 对
11．（2020高三上·潮州期末）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·广东模拟）设集合 ， ，若 ，则 的最大值为（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．4
13．设集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，B={x||x﹣b|＞2，x∈R}．若A B，则实数a，b必满足（ ）
A．|a+b|≤3 B．|a+b|≥3 C．|a﹣b|≤3 D．|a﹣b|≥3
二、填空题
14．（2020·上海模拟）已知实数集合 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 ．
15．（2020高一下·海淀期中）设集合 ， ，若 ，则 的取值范围为 ．
16．（2020·江苏模拟）已知集合A＝ ，B＝ ，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为 ．
17．（2019高一上·苍南月考）已知集合 ，则 的子集个数是 .
三、解答题
18．（2020高一下·大同月考）已知集合 ，
（Ⅰ）若 ， ，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 ， ，求实数 的取值范围．
19．已知集合P={x|x2﹣3x+b=0}，Q={x|（x+1）（x2+3x﹣4）=0}．
（1）当b=4时，写出所有满足条件P M Q的集合M；
（2）若P Q，求实数b的取值范围．
20．（2020高一上·石景山期末）设集合 ，不等式 的解集为B．
（1）当 时，求集合A，B；
（2）当 时，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】由题意，全集 ，集合 ，集合 ，
可得 ，
所以 ，
由图象可得阴影部分表示的集合为 .
故答案为：A.
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为 ，根据集合的运算，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】 ，
， ，
， 或 ，
或 或 ．
的取值集合为 ．
故答案为：D．
【分析】求出 ，由 ， ，可得 ， 或 ，由此能求出a的取值集合．
3．【答案】D
【知识点】空集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为集合 ， ， ，
若 为空集，则方程 无解，解得 ；
若 不为空集，则 ；由 解得 ，所以 或 ，解得 或 ，
综上，由实数 的所有可能的取值组成的集合为 .
故答案为：D
【分析】分 为空集和 不为空集两种情况讨论，分别求出 的范围，即可得出结果.
4．【答案】B
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】集合 含有 个元素的子集共有 ，所以 ．
在集合 中：
最大元素为 的集合有 个；
最大元素为 的集合有 ；
最大元素为 的集合有 ；
最大元素为 的集合有 ；
所以 ．
故选： ．
【分析】分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.
5．【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：∵A={x|x2=1}={﹣1，1}，
又∵B A，
当a=0，ax=1无解，故B= ，满足条件
若B≠ ，则B={﹣1}，或Q={1}，
即a=﹣1，或a=1
故满足条件的实数a∈{0，1，﹣1}
故选D．
【分析】由B A，可分B= 和B≠ 两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的a值，并写成集合的形式即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解： 集合 ，
中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故 错误；
中， 不成立， 不对，故 错误；
中，空集是任何集合的子集，故 正确；
中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故 错误；
故选 ．
【分析】根据集合 中元素满足的性质 ，逐一判断四个答案中的四个元素是否满足该性质，即可得到结论
7．【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】 ，则集合 的子集的个数为 .
故选：A.
【分析】根据已知条件，求出 ，再根据子集的含义得出答案.
8．【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意可知，
集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，
则B的子集个数为：23=8个，
故选D．
【分析】先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．
9．【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解方组 得 .
所以
故选：D
【分析】根据集合中元素特征解方程组即可得解.
10．【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为集合 ，
所以 ， ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，或 ，或 ，
①当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
②当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
③当 时，则 或
当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
综上所述： ， ，或 ， ，或 ， ，或 ， ，共4对．
故选： ．
【分析】先解出 ，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对．
11．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
【分析】利用集合的补集的定义求出 的补集；利用子集的定义判断出 ．
12．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为 ,
,且 ,
所以
所以 的最大值为3.
故选：C
【分析】先将 整理至 ,根据 得到 ,即可得出 的最大值.
13．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】∵A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|x＜b﹣2或x＞b+2}，
因为A B，所以b﹣2≥a+1或b+2≤a﹣1，
即a﹣b≤﹣3或a﹣b≥3，
即|a﹣b|≥3．
故选D．
【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合A、B，再结合A B，观察集合区间的端点之间的关系得到不等式，由不等式即可得到结论．
14．【答案】-3
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：因为实数集合 的最大元素等于该集合的所有元素之和，
所以 （无解）或者 ，
解得： ．
故答案为：-3．
【分析】根据题意求元素的关系．
15．【答案】2≤a≤4
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由 得 ，∴ ，由 得 ，∴ ．
又当 时， 满足 ， 时， 也满足 ，∴ .
故答案为
【分析】先化简集合A,再根据 得到关于a的不等式求出a的取值范围.
16．【答案】2
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由题意AB中有且只有一个元素，所以 ，即 .
故答案为： .
【分析】利用AB中有且只有一个元素，可得 ，可求实数a的值.
17．【答案】8
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】集合 含3个元素，故子集个数为
故答案为：8
【分析】根据集合子集个数公式即可得出答案．
18．【答案】解：解不等式 ，得 ，即 .
（Ⅰ）
①当 时，则 ，即 ，符合题意；
②当 时，则有
解得： .
综上： .
（Ⅱ）要使 ，则 ，所以有
解得：
.
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）求出集合A，利用子集关系，通过B是否为空集，列出不等式组求解即可．（2）A B，B={x|m﹣6＜x＜2m﹣1}，列出不等式组求解即可．
19．【答案】（1）解：∵集合Q={x|（x+1）（x2+3x﹣4）=0}={x|（x+1）（x+4）（x﹣1）=0}={﹣1，1，﹣4}，
当b=4时，集合P= ，再由 P M Q可得，M是Q的非空子集．
共有 23﹣1=7 个，分别为{﹣1}、{1}、{﹣4}、{﹣1，1}、{﹣1，4}、{1，4}、{﹣1，1，﹣4}
（2）解：∵P Q，对于方程x2﹣3x+b=0，当P= ，△=9﹣4b＜0时，有 ．
△=9﹣4b≥0时，P≠ ，方程x2﹣3x+b=0有实数根，且实数根是﹣1，1，﹣4中的数．
若﹣1是方程x2﹣3x+b=0的实数根，则有b=﹣4，此时P={﹣1，4}，不满足P Q，故舍去．
若1是方程x2﹣3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={1，2}，不满足P Q，故舍去．
若﹣4是方程x2﹣3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={﹣1，4}，不满足P Q，故舍去．
综上可得，实数b的取值范围为（ ，+∞）
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）由于集合Q={﹣1，1，﹣4}，当b=4时，集合P= ，再由 P M Q可得，M是Q的非空子集，从而得到M．（2）当P= ，△=9﹣4b＜0时，有 ．当P≠ ，方程x2﹣3x+b=0有实数根，且实数根是﹣1，1，﹣4中的数，把x=﹣1，1，﹣4代入检验，由此得到实数b的取值范围．
20．【答案】（1）解：当 时，
（2）解：若 ，则有：
①当 ，即 ，即 时，符合题意，
②当 ，即 ，即 时，有
解得：
综合①②得：
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得 ，解不等式得 ；（2）分别讨论 和 两种情况，得到关于 的不等式组，求得取值范围.
1 / 1
