初中数学北师大版七年级下学期 第四章 单元测试卷
一、单选题
1．（2021八上·云县期末）在下列长度的四根木棒中，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．2m B．3m C．5m D．7m
2．（2021八上·安定期末）等腰三角形两边长为3和6，则周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．无法确定
3．（2020八上·让胡路期末）如图，若△ABC≌△DEF，BE＝22，BF＝5，则FC的长度是（ ）
A．10 B．12 C．8 D．16
4．（2021八上·武昌期末）如图所示是两个全等三角形，由图中条件可知，
A． B．
C． D． 或
5．（2021八上·桂林期末）如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，则BC 的对应边是 （ ）
A．CD B．CA C．DA D．AB
6．（2020八上·房山期末）如图，在 中， 于 ， 于 ， 与 交于点 ．请你添加一个适当的条件，使 ≌ ．下列添加的条件错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七下·长沙期末）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD=2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE﹣2S△BCE=S△ADC；其中符合题意结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2020七下·宁德期末）如图，点P在∠MAN的角平分线上，点B，C分别在AM，AN上，作PR⊥AM，PS⊥AN，垂足分别是R，S．若∠ABP+∠ACP=180°，则下面三个结论：①AS=AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
9．（2021八上·鞍山期末）已知△ABC的两条边长分别为2和5，则第三边c的取值范围是 .
10．（2021八上·崆峒期末）如图， ， ， ，则 .
11．（2020八上·上海期中）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个判断：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④BD=CE，请以其中三个判断为条件，另一个为结果，写出一个正确的结论 (用序号 形式写出)．
12．（2021八上·北流期末）如图，已知 ，若 ， ，则 度．
13．（2020八上·滦州期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝ °．
14．（2020八上·渝北月考）如图，在 中， ， 为 边 上一点， ， 平分 的外角，且 .连接 交 于 为边 上一点，满足 ，连接 交 于H.以下结论：① ；② ；③ ；④若 平分 ，则 平分 正确的是 .
15．（2020八上·昌黎期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
16．（2020八上·麻城期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 .
三、解答题
17．（2020八上·门头沟期末）已知：如图，AB ＝ AD．请添加一个条件使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明．
18．（2020八上·余干月考）如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD．
19．（2020八上·北京期中）证明题
已知：如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．
求证：BC=EF．
20．（2020八上·洪泽月考）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2.求∠F的度数与DH的长
21．（2021八上·丹江口期末）如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D，使 过点D作 ，且A，C，E三点在一直线上.若测得 米，即可知道AB也为15米.请说明理由.
22．（2020八上·江城月考）如图，AE=CF，AD=CB，DF=BE，求证：△ADF≌△CBE。
23．（2020八上·江城月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF。
求证：AD平分∠BAC。
24．（2020八上·济阳月考）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，DF＝BC，求证：AB∥DE
25．（2019八上·德阳月考）如图，已知 中， 于 ， ，求证： .
26．（2020·龙海模拟）正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果 的周长为2，求 的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的第三边为x m，则
5-2＜x＜5+2
即3＜x＜7，
∴当x=5时，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系“两边之差＜第三边＜两边之和”可求解.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】∵三角形中任意两边之和大于第三边
∴当另一边为3时3+3=6不符，
∴另一边必须为6，
∴周长为3+6+6=15.
故答案为：B.
【分析】先通过等腰三角形的定义有两边相等，然后分类讨论有两种情况3、3、6和6、6、3，接着通过三角形三边关系看哪个能构成三角形，进而求出周长.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵BE＝22，BF＝5，
∴EF=BE-BF=17，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=17，
∴FC=BC-BF=12．
故答案为：B
【分析】利用全等的性质得到对应边相等，再利用线段的和差计算即可。
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图， ，
两个三角形全等，
.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理求出 ，再根据全等三角形对应角相等可得 .
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，
∴BC=DA
∴BC的对应边是DA.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的性质，可知点A的对应点为C，点B的对应点为点D，由此可得到BC的对应边。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠EAF=∠BCE．
A.在Rt△AEF和Rt△CEB中
∴ ≌ （AAS），故不符合题意；
B.在Rt△AEF和Rt△CEB中
∴ ≌ （ASA），故不符合题意；
C.在Rt△AEF和Rt△CEB中
∴ ≌ （AAS），故不符合题意；
D.在Rt△AEF和Rt△CEB中
由 不能证明 ≌ ，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF与△CEB有两对对应角相等，根据全等三角形的判定，只需要有一对对应边相等就可以。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；邻补角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE，
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，
∴AE= （AB+AD），故①符合题意；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．
在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B．
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②符合题意；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，故③符合题意；
④易证△CEF≌△CEB，
所以S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF=S△ADC，
∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④不符合题意；
即正确的有3个，
故答案为：C．
【分析】①在AE取点F，使EF=BE．利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出2AE=AB+AD；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；
③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE-S△BCE=S△ADC．
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵点 P 在∠MAN的角平分上，PR⊥AM， PS⊥AN，
∴PR=PS，
∵∠ARP=∠ASP=90°，
∴在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴△APR≌△APS（HL），
∴AS=AR，故①符合题意；
∵∠ABP +∠ACP = 180°，
∴∠ABP=∠PCS，
又∵PR=PS，∠PRB=∠PSC=90°，
∴△BRP≌△CSP（AAS），故③符合题意；
若∠MAP=∠CPA，则PC∥AB，
则需要AC=PC得出∠PAN=∠CPA，
从而根据∠MAP=∠PAN，
得出∠MAP=∠CPA，
而题中没有条件说明AC=PC，故②不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质得到PR=PS，再利用HL证明△APR≌△APS，得到AS=AR，可判断①；再根据∠ABP +∠ACP = 180°，得到∠ABP=∠PCS，再利用AAS证明△BRP≌△CSP可判断③；再说明若要PC∥AB，则需要说明AC=PC，无法达成，从而可判断②.
9．【答案】3＜c＜7
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意，得
5﹣2＜c＜5+2，
即3＜c＜7.
故答案为：3＜c＜7.
【分析】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
10．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=70°，∠B=∠E=50°，
∴∠DFC=180°-(∠D+∠E)=180°-120°=60°，
故答案为：60°.
【分析】由全等三角形的性质可求∠A=∠D=70°，∠B=∠E=50°，由三角形内角和定理可求解.
11．【答案】①②④ ③或①③④ ②
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由①②④ ③或①③④ ②；
先证前一种：
∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SSS)；
∴∠B=∠C；
再证第二种：
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
∴AD=AE.
故答案为①②④ ③或①③④ ②；
【分析】根据全等三角形的性质与判定进行作答即可。
12．【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】∵△ABC≌△FDE，
∴∠BAC=∠F=105°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-105°-45°=30°．
故答案为30．
【分析】根据三角形全等的性质得出∠BAC的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠B即可.
13．【答案】22.5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵AD为BC边上的高，且AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝ ＝67.5°，
∴∠3＝∠BAC－∠BAD＝67.5°－45°＝22.5°，
故填：22.5°．
【分析】根据AD为BC边上的高，且AD＝BD，可得到∠ABD＝∠BAD＝45°，而AB＝BC，可得∠BAC，即可得到∠3．
14．【答案】①、②、④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如下图
①∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°
∵CE是∠ACM的角平分线，∴∠ACE=∠ECM=60°
∴∠ACB=∠ACE
∵BC=DC，AC=CE
∴△ABC≌△EDC(SAS)，正确；
②∵CF=CG，已知∠BCF=∠DCG=60°，BC=DC
∴△BCF≌△DCG
∴∠FBC=∠GDC
∵∠BFC=∠DFH
∴∠BCF=∠DHF=60°，正确；
③条件不足，无法得出 ，错误；
④∵BE是∠DEC的角平分线，
∴∠DEF=∠CEF
∵∠ECM=∠CBF+∠FEC=60°，∠DCM=∠A+∠ABC=120°
∴∠A+∠ABC=2(∠FBC+∠FEC)=2∠FBC+2∠FEC=2∠FBC+∠DEC
∵∠DEC=∠A
∴∠ABC=2∠FBC
∴BE平分∠ABC，正确；
故答案为：①②④.
【分析】由题意用边角边可证△ABC≌△EDC，可得AB=DE，∠ABC=∠EDC，由全等三角形和等腰三角形的性质依次判断可求解.
15．【答案】4或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。
16．【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
17．【答案】解：若添加条件为：BC=CD，证明如下：
在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS）（答案不唯一）．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。（答案不唯一）
18．【答案】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，
∴BE=AB-AE=AC-AD=CD．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】利用全等三角形的性质：对应边相等求解即可。
19．【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AC＝DF．
∴在△ABC与△DEF中 ，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据题意，证明△ABC≌△DEF，由全等三角形的对应边相等，求出答案即可。
20．【答案】解：在△ABC中，∵∠A＝85°，∠B＝60°，
∴∠ACB=180°－∠A－∠B=180°－85°－60°=35°，
∵△DEF≌△ABC，
∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，
∵EH=2，
∴DH=DE―EH=8-2=6.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】先利用三角形的内角和定理算出∠ACB的度数，然后根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得出 ∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8， 进而根据线段的和差即可算出答案.
21．【答案】解： ， ，
，
在 和 中， ， ≌ ，
，
故测得 米，即可知道AB也为15米.
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】利用“角边角”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等解答.
22．【答案】证明：∵AE=CF，
∴AE-EF=CF- EF，
∴AF=CE
在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SSS)
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据AE=CF，即可得到AF=CE，继而根据题意，证明由SSS证明△ADF≌△CBE即可。
23．【答案】证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
又∵∠BDE=∠CDF ，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE= DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据题意，结合中点的性质，首先证明 △BDE≌△CDF ，继而由角平分线的逆定理证明得到答案即可。
24．【答案】解： AC⊥BD，EF⊥BD，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据题意，由全等三角形的判定定理得到△ABC≌△EDF，继而由全等三角形的性质，证明得到答案即可。
25．【答案】解：如图，在线段CD上截取DE=BD，
∵AD=AD，∠ADB=∠ADE，BD=DE
∴△ADB≌△ADE（SAS）
∴AE=AB，∠ABC=∠AED，
∴AB+BD=AE+DE，
∵AB+BD=CD，
∴CD=AE+DE，
∵CD=CE+DE，
∴AE=CE
∴∠C=∠CAE，
∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
∴ ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】在线段CD上截取DE=BD，由“SAS”可证△ADB≌△ADE，可得AE=AB，∠ABC=∠AED，由线段和差关系可证AE=CE，即可得结论．
26．【答案】解：如图所示，
△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，
正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，
∴AP+AQ+QD+PB=2②，
①-②得，PQ-QD-PB=0，
∴PQ=PB+QD．
延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），
∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，
∵∠DCQ+∠QCB=90°，
∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，
PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．
在△CPQ与△CPM中，
CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，
∴△CPQ≌△CPM（SSS），
∴∠PCQ=∠PCM= ∠QCM=45°．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．
1 / 1初中数学北师大版七年级下学期 第四章 单元测试卷
一、单选题
1．（2021八上·云县期末）在下列长度的四根木棒中，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．2m B．3m C．5m D．7m
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的第三边为x m，则
5-2＜x＜5+2
即3＜x＜7，
∴当x=5时，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系“两边之差＜第三边＜两边之和”可求解.
2．（2021八上·安定期末）等腰三角形两边长为3和6，则周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】∵三角形中任意两边之和大于第三边
∴当另一边为3时3+3=6不符，
∴另一边必须为6，
∴周长为3+6+6=15.
故答案为：B.
【分析】先通过等腰三角形的定义有两边相等，然后分类讨论有两种情况3、3、6和6、6、3，接着通过三角形三边关系看哪个能构成三角形，进而求出周长.
3．（2020八上·让胡路期末）如图，若△ABC≌△DEF，BE＝22，BF＝5，则FC的长度是（ ）
A．10 B．12 C．8 D．16
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵BE＝22，BF＝5，
∴EF=BE-BF=17，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=17，
∴FC=BC-BF=12．
故答案为：B
【分析】利用全等的性质得到对应边相等，再利用线段的和差计算即可。
4．（2021八上·武昌期末）如图所示是两个全等三角形，由图中条件可知，
A． B．
C． D． 或
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图， ，
两个三角形全等，
.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理求出 ，再根据全等三角形对应角相等可得 .
5．（2021八上·桂林期末）如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，则BC 的对应边是 （ ）
A．CD B．CA C．DA D．AB
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，
∴BC=DA
∴BC的对应边是DA.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的性质，可知点A的对应点为C，点B的对应点为点D，由此可得到BC的对应边。
6．（2020八上·房山期末）如图，在 中， 于 ， 于 ， 与 交于点 ．请你添加一个适当的条件，使 ≌ ．下列添加的条件错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠EAF=∠BCE．
A.在Rt△AEF和Rt△CEB中
∴ ≌ （AAS），故不符合题意；
B.在Rt△AEF和Rt△CEB中
∴ ≌ （ASA），故不符合题意；
C.在Rt△AEF和Rt△CEB中
∴ ≌ （AAS），故不符合题意；
D.在Rt△AEF和Rt△CEB中
由 不能证明 ≌ ，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF与△CEB有两对对应角相等，根据全等三角形的判定，只需要有一对对应边相等就可以。
7．（2020七下·长沙期末）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD=2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE﹣2S△BCE=S△ADC；其中符合题意结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；邻补角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE，
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，
∴AE= （AB+AD），故①符合题意；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．
在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B．
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②符合题意；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，故③符合题意；
④易证△CEF≌△CEB，
所以S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF=S△ADC，
∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④不符合题意；
即正确的有3个，
故答案为：C．
【分析】①在AE取点F，使EF=BE．利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出2AE=AB+AD；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；
③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE-S△BCE=S△ADC．
8．（2020七下·宁德期末）如图，点P在∠MAN的角平分线上，点B，C分别在AM，AN上，作PR⊥AM，PS⊥AN，垂足分别是R，S．若∠ABP+∠ACP=180°，则下面三个结论：①AS=AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵点 P 在∠MAN的角平分上，PR⊥AM， PS⊥AN，
∴PR=PS，
∵∠ARP=∠ASP=90°，
∴在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴△APR≌△APS（HL），
∴AS=AR，故①符合题意；
∵∠ABP +∠ACP = 180°，
∴∠ABP=∠PCS，
又∵PR=PS，∠PRB=∠PSC=90°，
∴△BRP≌△CSP（AAS），故③符合题意；
若∠MAP=∠CPA，则PC∥AB，
则需要AC=PC得出∠PAN=∠CPA，
从而根据∠MAP=∠PAN，
得出∠MAP=∠CPA，
而题中没有条件说明AC=PC，故②不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质得到PR=PS，再利用HL证明△APR≌△APS，得到AS=AR，可判断①；再根据∠ABP +∠ACP = 180°，得到∠ABP=∠PCS，再利用AAS证明△BRP≌△CSP可判断③；再说明若要PC∥AB，则需要说明AC=PC，无法达成，从而可判断②.
二、填空题
9．（2021八上·鞍山期末）已知△ABC的两条边长分别为2和5，则第三边c的取值范围是 .
【答案】3＜c＜7
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意，得
5﹣2＜c＜5+2，
即3＜c＜7.
故答案为：3＜c＜7.
【分析】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
10．（2021八上·崆峒期末）如图， ， ， ，则 .
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=70°，∠B=∠E=50°，
∴∠DFC=180°-(∠D+∠E)=180°-120°=60°，
故答案为：60°.
【分析】由全等三角形的性质可求∠A=∠D=70°，∠B=∠E=50°，由三角形内角和定理可求解.
11．（2020八上·上海期中）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个判断：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④BD=CE，请以其中三个判断为条件，另一个为结果，写出一个正确的结论 (用序号 形式写出)．
【答案】①②④ ③或①③④ ②
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由①②④ ③或①③④ ②；
先证前一种：
∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SSS)；
∴∠B=∠C；
再证第二种：
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
∴AD=AE.
故答案为①②④ ③或①③④ ②；
【分析】根据全等三角形的性质与判定进行作答即可。
12．（2021八上·北流期末）如图，已知 ，若 ， ，则 度．
【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】∵△ABC≌△FDE，
∴∠BAC=∠F=105°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-105°-45°=30°．
故答案为30．
【分析】根据三角形全等的性质得出∠BAC的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠B即可.
13．（2020八上·滦州期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝ °．
【答案】22.5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵AD为BC边上的高，且AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝ ＝67.5°，
∴∠3＝∠BAC－∠BAD＝67.5°－45°＝22.5°，
故填：22.5°．
【分析】根据AD为BC边上的高，且AD＝BD，可得到∠ABD＝∠BAD＝45°，而AB＝BC，可得∠BAC，即可得到∠3．
14．（2020八上·渝北月考）如图，在 中， ， 为 边 上一点， ， 平分 的外角，且 .连接 交 于 为边 上一点，满足 ，连接 交 于H.以下结论：① ；② ；③ ；④若 平分 ，则 平分 正确的是 .
【答案】①、②、④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如下图
①∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°
∵CE是∠ACM的角平分线，∴∠ACE=∠ECM=60°
∴∠ACB=∠ACE
∵BC=DC，AC=CE
∴△ABC≌△EDC(SAS)，正确；
②∵CF=CG，已知∠BCF=∠DCG=60°，BC=DC
∴△BCF≌△DCG
∴∠FBC=∠GDC
∵∠BFC=∠DFH
∴∠BCF=∠DHF=60°，正确；
③条件不足，无法得出 ，错误；
④∵BE是∠DEC的角平分线，
∴∠DEF=∠CEF
∵∠ECM=∠CBF+∠FEC=60°，∠DCM=∠A+∠ABC=120°
∴∠A+∠ABC=2(∠FBC+∠FEC)=2∠FBC+2∠FEC=2∠FBC+∠DEC
∵∠DEC=∠A
∴∠ABC=2∠FBC
∴BE平分∠ABC，正确；
故答案为：①②④.
【分析】由题意用边角边可证△ABC≌△EDC，可得AB=DE，∠ABC=∠EDC，由全等三角形和等腰三角形的性质依次判断可求解.
15．（2020八上·昌黎期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【答案】4或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。
16．（2020八上·麻城期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 .
【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
三、解答题
17．（2020八上·门头沟期末）已知：如图，AB ＝ AD．请添加一个条件使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明．
【答案】解：若添加条件为：BC=CD，证明如下：
在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS）（答案不唯一）．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。（答案不唯一）
18．（2020八上·余干月考）如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD．
【答案】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，
∴BE=AB-AE=AC-AD=CD．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】利用全等三角形的性质：对应边相等求解即可。
19．（2020八上·北京期中）证明题
已知：如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．
求证：BC=EF．
【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AC＝DF．
∴在△ABC与△DEF中 ，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据题意，证明△ABC≌△DEF，由全等三角形的对应边相等，求出答案即可。
20．（2020八上·洪泽月考）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2.求∠F的度数与DH的长
【答案】解：在△ABC中，∵∠A＝85°，∠B＝60°，
∴∠ACB=180°－∠A－∠B=180°－85°－60°=35°，
∵△DEF≌△ABC，
∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，
∵EH=2，
∴DH=DE―EH=8-2=6.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】先利用三角形的内角和定理算出∠ACB的度数，然后根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得出 ∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8， 进而根据线段的和差即可算出答案.
21．（2021八上·丹江口期末）如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D，使 过点D作 ，且A，C，E三点在一直线上.若测得 米，即可知道AB也为15米.请说明理由.
【答案】解： ， ，
，
在 和 中， ， ≌ ，
，
故测得 米，即可知道AB也为15米.
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】利用“角边角”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等解答.
22．（2020八上·江城月考）如图，AE=CF，AD=CB，DF=BE，求证：△ADF≌△CBE。
【答案】证明：∵AE=CF，
∴AE-EF=CF- EF，
∴AF=CE
在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SSS)
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据AE=CF，即可得到AF=CE，继而根据题意，证明由SSS证明△ADF≌△CBE即可。
23．（2020八上·江城月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF。
求证：AD平分∠BAC。
【答案】证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
又∵∠BDE=∠CDF ，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE= DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据题意，结合中点的性质，首先证明 △BDE≌△CDF ，继而由角平分线的逆定理证明得到答案即可。
24．（2020八上·济阳月考）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，DF＝BC，求证：AB∥DE
【答案】解： AC⊥BD，EF⊥BD，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据题意，由全等三角形的判定定理得到△ABC≌△EDF，继而由全等三角形的性质，证明得到答案即可。
25．（2019八上·德阳月考）如图，已知 中， 于 ， ，求证： .
【答案】解：如图，在线段CD上截取DE=BD，
∵AD=AD，∠ADB=∠ADE，BD=DE
∴△ADB≌△ADE（SAS）
∴AE=AB，∠ABC=∠AED，
∴AB+BD=AE+DE，
∵AB+BD=CD，
∴CD=AE+DE，
∵CD=CE+DE，
∴AE=CE
∴∠C=∠CAE，
∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
∴ ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】在线段CD上截取DE=BD，由“SAS”可证△ADB≌△ADE，可得AE=AB，∠ABC=∠AED，由线段和差关系可证AE=CE，即可得结论．
26．（2020·龙海模拟）正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果 的周长为2，求 的度数．
【答案】解：如图所示，
△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，
正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，
∴AP+AQ+QD+PB=2②，
①-②得，PQ-QD-PB=0，
∴PQ=PB+QD．
延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），
∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，
∵∠DCQ+∠QCB=90°，
∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，
PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．
在△CPQ与△CPM中，
CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，
∴△CPQ≌△CPM（SSS），
∴∠PCQ=∠PCM= ∠QCM=45°．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．
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