初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.1 测量
一、单选题
1．（2020·沙湾模拟）身高1.6米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的高度，上午10点，小明在阳光下的影长为1米，此时测得旗杆的影长为9米，则学校旗杆的高度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
2．（2019八下·潍城期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高 是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
3．（2020·平遥模拟）AB和DE是直立在水平地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻测得在阳光下的投影 米，同时，测量出 在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
4．（2020九下·镇江月考）如图，为了估计某一条河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS = 60m，ST =120m，QR=80m，则这条河的宽度PQ为（ ）
A．40m B．120m C．60m D．180m
二、填空题
5．（2020九上·沈河期末）小明测得2m高的标杆在太阳光下的影长为1.2m，同时同地又测得一棵树的影长为1.8m，则这棵树的高度是 m．
6．（2020八下·长春月考）如图是小玲用手电来测量城墙高度的示意图．在点P处水平放置平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米，则该城墙CD的高度 米．
三、解答题
7．（2020·陕西模拟）为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.
8．（2020·雁塔模拟）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹标顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF＝2m，竹杆到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度.
9．（2020九下·碑林月考）如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.
四、综合题
10．（2020·淮安模拟）如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m.
（1）求灯杆AB的高度；
（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵同一时刻的物高与影长成正比例,
∴1.6∶1=旗杆的高度∶9.
∴旗杆的高度为14.4米.
故答案为：D.
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，据此列方程即可解答.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴
∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴ 解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为：5.5.
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m
∴ ，
∴ ，
∴DE= （m）
故答案为：B．
【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵QR⊥PS，ST⊥PS，
∴QR∥ST，
∴，
∵QS = 60，ST =120，QR=80，
设PQ=x，则PS=x+60，
∴，
解得：x=120.
∴这条河的宽度PQ为120 m.
故答案为：B.
【分析】由QR⊥PS，ST⊥PS得QR∥ST，根据平行线分线段成比例定理得，设PQ=x，则PS=x+60，代入解方程即可.
5．【答案】3
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可得：△ADE∽△ABC，即 ＝ ，设这棵树的高为x，
则 ，解得x＝3m．
即这棵树的高度为3米．
故答案为：3．
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
6．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP．
∴ ，即 ．
解得CD＝8，
即该城墙的高度是8米．
【分析】根据光学知识反射角等于入射角得到∠APB＝∠CPD，再通过证三角形相似即可求解。
7．【答案】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴ ＝ ，即 ，
解得OB＝ h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴ ， ②，
把①代入②得， ，
解得：h＝9（米）.
答：路灯离地面的高度是9米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值.
8．【答案】解：解：∵小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，
∴BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF GH＝DB，
∵小明眼睛离地面1.5m，竹杆顶端离地面2.4m，
∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，
∵CD∥AB，
∴△EGC～△EHA
∵DF＝2mDB＝32m，
∴ ，
即 ，
解得：AH＝15.3m，
∴AB＝AH+BH＝15.3+1.5＝16.8m，
答：古塔的高度是16.8m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 根据小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB， 可得BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF，GH＝DB，由题意可得CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，由CD∥AB，可证△EGC～△EHA，利用相似三角形对应边成比例可求出AH的长，由AB＝AH+BH即可求出结论.
9．【答案】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB，
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°，
∴∠MFB＝30°，
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝ 米.
∵BE⊥CB，MF⊥BE，
∴BH∥MF，
∴△EBH∽△EMF，
∴ ＝ .
又∵EB＝1.8米，
∴ ＝ ，
∴BH＝ .
∵BE∥CD，
∴△HBE∽△HCD，
∴ ＝ .
∵CB＝5 ，
∴ ＝ ，
∴CD＝15.8米.
∴大树CD的高度为15.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，首先判断出 △EBH∽△EMF， 根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式算出BH的长，再判断出 △HBE∽△HCD ，根据相似三角形的对应边成比例得出 ＝ ，由比例式即可算出CD的长.
10．【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴△CDF∽△ABF，
∴CD：AB=DF：BF，
∴1.6：AB=3：12，
解得：AB=6.4.
答：灯杆AB的高度为6.4米.
（2）解：假设全部在地上，设影长为x，
则CD：AB=DF：BF，
∴1.6：6.4=x：(9+7+x)，
解得：x= ，而9+7+ -18= ＞0.故有部分影子落在墙上.
因为超过的影长为 ，相当于墙上影长在地上的投影，故设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= ：( +18)，解得：y=1.
故落在墙上的影子长为1米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由相似三角形对应成比例即可求出AB的长.（2）假设全部在地上，设影长为x，同样求出影长x，而9+7+影长＞18.故有部分影子落在墙上.超过的影长，相当于墙上影长在地上的投影，设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= ：( +18)，求出y的值即可.
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一、单选题
1．（2020·沙湾模拟）身高1.6米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的高度，上午10点，小明在阳光下的影长为1米，此时测得旗杆的影长为9米，则学校旗杆的高度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵同一时刻的物高与影长成正比例,
∴1.6∶1=旗杆的高度∶9.
∴旗杆的高度为14.4米.
故答案为：D.
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，据此列方程即可解答.
2．（2019八下·潍城期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高 是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴
∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴ 解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为：5.5.
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
3．（2020·平遥模拟）AB和DE是直立在水平地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻测得在阳光下的投影 米，同时，测量出 在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m
∴ ，
∴ ，
∴DE= （m）
故答案为：B．
【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．
4．（2020九下·镇江月考）如图，为了估计某一条河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS = 60m，ST =120m，QR=80m，则这条河的宽度PQ为（ ）
A．40m B．120m C．60m D．180m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵QR⊥PS，ST⊥PS，
∴QR∥ST，
∴，
∵QS = 60，ST =120，QR=80，
设PQ=x，则PS=x+60，
∴，
解得：x=120.
∴这条河的宽度PQ为120 m.
故答案为：B.
【分析】由QR⊥PS，ST⊥PS得QR∥ST，根据平行线分线段成比例定理得，设PQ=x，则PS=x+60，代入解方程即可.
二、填空题
5．（2020九上·沈河期末）小明测得2m高的标杆在太阳光下的影长为1.2m，同时同地又测得一棵树的影长为1.8m，则这棵树的高度是 m．
【答案】3
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可得：△ADE∽△ABC，即 ＝ ，设这棵树的高为x，
则 ，解得x＝3m．
即这棵树的高度为3米．
故答案为：3．
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
6．（2020八下·长春月考）如图是小玲用手电来测量城墙高度的示意图．在点P处水平放置平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米，则该城墙CD的高度 米．
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP．
∴ ，即 ．
解得CD＝8，
即该城墙的高度是8米．
【分析】根据光学知识反射角等于入射角得到∠APB＝∠CPD，再通过证三角形相似即可求解。
三、解答题
7．（2020·陕西模拟）为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.
【答案】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴ ＝ ，即 ，
解得OB＝ h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴ ， ②，
把①代入②得， ，
解得：h＝9（米）.
答：路灯离地面的高度是9米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值.
8．（2020·雁塔模拟）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹标顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF＝2m，竹杆到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度.
【答案】解：解：∵小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，
∴BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF GH＝DB，
∵小明眼睛离地面1.5m，竹杆顶端离地面2.4m，
∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，
∵CD∥AB，
∴△EGC～△EHA
∵DF＝2mDB＝32m，
∴ ，
即 ，
解得：AH＝15.3m，
∴AB＝AH+BH＝15.3+1.5＝16.8m，
答：古塔的高度是16.8m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 根据小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB， 可得BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF，GH＝DB，由题意可得CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，由CD∥AB，可证△EGC～△EHA，利用相似三角形对应边成比例可求出AH的长，由AB＝AH+BH即可求出结论.
9．（2020九下·碑林月考）如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.
【答案】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB，
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°，
∴∠MFB＝30°，
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝ 米.
∵BE⊥CB，MF⊥BE，
∴BH∥MF，
∴△EBH∽△EMF，
∴ ＝ .
又∵EB＝1.8米，
∴ ＝ ，
∴BH＝ .
∵BE∥CD，
∴△HBE∽△HCD，
∴ ＝ .
∵CB＝5 ，
∴ ＝ ，
∴CD＝15.8米.
∴大树CD的高度为15.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，首先判断出 △EBH∽△EMF， 根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式算出BH的长，再判断出 △HBE∽△HCD ，根据相似三角形的对应边成比例得出 ＝ ，由比例式即可算出CD的长.
四、综合题
10．（2020·淮安模拟）如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m.
（1）求灯杆AB的高度；
（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴△CDF∽△ABF，
∴CD：AB=DF：BF，
∴1.6：AB=3：12，
解得：AB=6.4.
答：灯杆AB的高度为6.4米.
（2）解：假设全部在地上，设影长为x，
则CD：AB=DF：BF，
∴1.6：6.4=x：(9+7+x)，
解得：x= ，而9+7+ -18= ＞0.故有部分影子落在墙上.
因为超过的影长为 ，相当于墙上影长在地上的投影，故设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= ：( +18)，解得：y=1.
故落在墙上的影子长为1米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由相似三角形对应成比例即可求出AB的长.（2）假设全部在地上，设影长为x，同样求出影长x，而9+7+影长＞18.故有部分影子落在墙上.超过的影长，相当于墙上影长在地上的投影，设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= ：( +18)，求出y的值即可.
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