北师大版九年级数学下册第3章圆复习题 同步练习（word版 含解析）

北师大版九年级数学下册同步练习 第3章 圆 复习题
一、单选题
1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．过圆上一点可以做圆的最长弦（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， BC∥QR，则∠AOQ=（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
5．一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长120m，测得圆周角∠ACB＝60°，则这个人工湖的直径AD为（　　）
A．40m B．60m C．80m D．100m
6．如图，在中，点是的内心，连接，，过点作分别交、于点、，若，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
7．如图，，是的切线，，是切点，，是上的点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB和CD是⊙O的两条互相垂直的弦，若AD＝4，BC＝2，则阴影部分的面积是（　　）
A．2π﹣1 B．π﹣4 C．5π﹣4 D．5π﹣8
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB=6，AC=10，则△ABE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
10．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y的图象上，则P点的横坐标为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC=8，BD=6，则OE的长为________．
12．如图，∠AOP＝ ∠BOP＝15°，PC//OA， PQ⊥OA， 若PC＝4，则PQ＝__________．
13．若扇形的圆心角为120°，弧长为18πcm，则该扇形的半径为_____cm．
14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E．已知AB＝2，则图中阴影部分的面积为______．
15．正方形ABCD的边长为8，点E在BC边上，且CE＝2，点P是正方形边上的一个动点，连接PB交AE于点F，若PB＝AE，则PF的长为 _____．
16．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________．
三、解答题
17．如图，已知是的外接圆，过圆心O，且，垂足为点F，交的延长线于点E，连接、．
(1)若，的半径长为6，求的长；
(2)求证：．
18．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠DAB＝2∠B，过C作CE⊥DA交DA的延长线于E．
(1)求证：CE是⊙O的切线．
(2)若DE＝2CE，BC＝4，求⊙O的半径．
19．已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M．
（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC＝BM＋CM．
20．感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D=∠BED．
证明：过点E作直线EF∥CD，
∠2=______，（ ）
AB∥CD(已知），EF∥CD
_____∥EF，（ ）
∠B=∠1，（ ）
∠1+∠2=∠BED，
∠B+∠D=∠BED，（ ）
方法与实践：如图②，直线AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，则∠E=______度．
21．问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
（3）如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
22．如图，水平放置的一个油管的横截面半径为，其中有油的部分油面高，求截面上有油部分的面积（结果精确到）．
23．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，D是OC延长线上任意一点，DE切半圆O于点E，连结AE，交OC于点F．
(1)求证：DE＝DF．
(2)若CD＝2，tan∠AFO＝3，求EF的长．
24．如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交于点F．
(1)求证：．
(2)若的直径为5，，则CF的长为______．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
连接，先根据圆内接正多边形的性质可得点在上，且是和的角平分线，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据正多边形的性质即可得．
【详解】
解：如图，连接，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．
2．C
【解析】
【分析】
先判断出，从而可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得答案．
【详解】
解：∵是的直径，
∴
∵
∴
∵所对的弧是
∴
故选C
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直
3．A
【解析】
【详解】
圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条.
故选：A.
4．D
【解析】
【分析】
连接OD，AR，根据正三角形的性质得到∠POQ=120°，再根据内接正方形的特征得到是等腰直角三角形，进而得到，再根据圆周角定理计算即可；
【详解】
连接OD，AR，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵BC∥QR，
∴，
∴，
∵△PQR是等边正三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，圆周角定理，准确计算是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
连接BD，由圆周角定理得∠ABD＝90°，∠ADB＝∠ACB＝60°，再由锐角三角函数定义即可得出答案．
【详解】
解：连接BD，
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴sin∠ADBsin60°，
∴AD80（m），
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据点D是△ABC的内心,可得BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，再根据EFBC，可得∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，得ED＝EB，FD＝FC，根据BE+CF＝8进而得EF的长度．
【详解】
解：点是的内心，
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
．
答：的长度为8．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，解决本题的关键是知道三角形的内心是三角形角平分线的交点．
7．A
【解析】
【分析】
如图，连接先求解 再利用圆周角定理可得，从而可得答案.
【详解】
解：如图，连接
，是的切线，
故选A
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，圆周角定理的应用，圆的切线的性质的应用，理解是解本题的关键.
8．B
【解析】
【分析】
如图，连接AC，连接AO并延长，交⊙O于E点，连接DE，根据垂径定理和圆周角定理，即可求得∠CAB＝∠EAD，得出CB＝DE＝2，将弓形BC旋转到弓形DE的位置，两块阴影部分面积之和为半圆面积减去△ADE的面积，计算求解即可．
【详解】
解：如图，连接AC，连接AO并延长，交于点，连接DE
∵AB⊥CD，
∴∠CAB+∠ACD＝90°，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED+∠EAD＝90°，
又∵∠ACD＝∠AED，
∴∠CAB＝∠EAD，
∴CB＝DE＝2，
∴AE＝，
将弓形BC旋转到弓形DE的位置，两块阴影部分面积之和为半圆面积减去△ADE的面积，
即．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形的面积，解题的关键与难点在于明确将弓形BC旋转到弓形DE的位置，两块阴影部分面积之和为半圆面积减去△ADE的面积．
9．B
【解析】
【分析】
利用基本作图得到ED垂直平分AC，则EA=EC，再利用勾股定理计算出BC=8，然后利用等线段代换得到△ABE的周长=AB+BC．
【详解】
解：由作法得ED垂直平分AC，
∴EA=EC，
在Rt△ABC中，BC==8，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=6+8=14．
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．
10．B
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质可得PM＝PQ＝PN，进而得出四边形ONPM是正方形，由角平分线的对称性得出AM＝AQ，BN＝BQ，由勾股定理求出AB，设BN＝a，列方程求出a的值，进而确定点P的横坐标．
【详解】
解：如图，过点 P分别作x轴，y轴，AB的垂线，垂足分别为N、M、Q，
∵AP、BP分别是Rt△AOB两锐角相应的外角平分线，
∴PM＝PQ＝PN，
∴四边形ONPM是正方形，
由角平分线的对称性可知，AM＝AQ，BN＝BQ，
在Rt△AOB中，AB5，
设BN＝a，则BQ＝a，AM＝3+a﹣4＝a﹣1＝AQ，
由于AB＝AQ+BQ得，
a+a﹣1＝5，
解得a＝3，
即BN＝3，
∴ON＝OB+BN＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，角平分线的性质以及直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征以及勾股定理是解决问题的前提．
11．
【解析】
【分析】
根据菱形的性质和勾股定理，可以求得AD的长， 然后根据等面积法即可求得OE的长．
【详解】
∵四边形ABCD为菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=3，
∴AD=，
∵OE⊥AD，
∴，
即：，
∴，
∴OE=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法．
12．2
【解析】
【分析】
过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PQ，从而求得PQ的长．
【详解】
过点P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POQ＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝2，
∵PQ＝PM，
∴PQ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PQ的长的问题进行转化．
13．27
【解析】
【分析】
根据弧长公式即可得解.
【详解】
解：设扇形的半径为r（cm），
则18π=，
解得：r=27.
故答案为27.
【点睛】
本题考查扇形的弧长公式，l=，l是弧长，n是圆心角的度数，r是半径，熟记公式是解题关键.
14．
【解析】
【分析】
连接，，根据已知条件得到是的直径，，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】
解：连接，，
四边形是正方形，
，
是的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，，AC//PE，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积 ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．5或5.2
【解析】
【分析】
当点P在BC上，AE＞BP，当点P在AB上，AE＞BP，当点P在CD上，如图，根据PB=AE，可证Rt△ABE≌Rt△BCP（HL），可证BP⊥AE，根据勾股定理可求 ，根据三角形面积可求，可求PF=BP-BF；当点P在AD上，如图，可证Rt△ABE≌Rt△BAP（HL），再证AF=PF=BF=EF，根据AE=BP=10cm，可求PF=BP=×10=5．
【详解】
解：当点P在BC上，AE＞BP，当点P在AB上，AE＞BP，不合题意；
当点P在CD上，如下图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=AD=CD=8，
在Rt△ABE和Rt△BCP中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCP（HL），
∴∠EAB=∠PBC，
∵∠EAB+∠AEB=90°，
∴∠PBC+∠AEB=90°，
∴∠BFE=180°-∠PBC-∠AEB=90°，
∴BP⊥AE，
∵EC=2，
∴BE=BC-EC=8-2=6，
∴，
∴，
∴，
∴PF=BP-BF=AE-BF=10-4.8=5.2；
当点P在AD上，如下图，
在Rt△ABE和Rt△BAP中，
∴Rt△ABE≌Rt△BAP（HL），
∴BE=AP，∠AEB=∠BPA，∠EAB=∠PBA，
∴AF=BF，
∵ADBC，
∴∠PAF=∠FEB=∠APF，
∴AF=PF=BF=EF，
∵AE=BP=10，
∴PF=BP=×10=5，
∴PF的长为5或5.2，
故答案为：5或5.2．
【点睛】
本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定与性质，分类讨论思想，解题的关键是掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定与性质，分类讨论思想．
16．
【解析】
【分析】
作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值．
【详解】
解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，
∴BH为⊙B的半径，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，
∴BHAC，
∴BP，
∵，，
而∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴，
∴PDPC，
∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD，
∴PA+PD的最小值为，
即PA的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质．
17．(1)6
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OA，，由圆周角定理得∠AOB＝120°，再证明△OAB是等腰三角形，因为过圆心O，且，垂足为点F，证得AF＝BF＝，∠AOF＝∠BOF＝，求得在Rt△AOF中，OF＝AO＝3，由勾股定理得AF＝，得的长；
（2）延长CO交于点G，则CG是的直径，连接BG，由直径所对圆周角得∠CBG＝90°，则∠OCB+∠BGC＝90°，由，得∠AFE＝90°，故∠CAB+∠E＝90°，又∠CAB＝∠BGC，得证结论．
(1)
解：如图1，连接OA，
∵
∴∠ACB＝
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°
∵OA＝OB
∴△OAB是等腰三角形
∵过圆心O，且，垂足为点F，
∴OF⊥AB
∴AF＝BF＝，∠AOF＝∠BOF＝，∠AFO＝90°
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°，∠FAO＝90°－∠AOF＝30°，AO＝6
∴OF＝AO＝3
由勾股定理得AF＝
∴AB＝2AF＝6
∴ AB的长为6
(2)
如图2，延长CO交于点G，则CG是的直径，连接BG，
∵ OC是的半径
∴CG是的直径
∴ ∠CBG＝90°
∴∠OCB+∠BGC＝90°
∵，
∴∠AFE＝90°
∴∠CAB+∠E＝90°
∵∠CAB＝∠BGC
∴
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，关键是添加适当的辅助线，灵活应用所学知识解决问题．
18．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1) 连接，首先由圆周角定理可得，可证得，即可证得，，据此即可证得；
(2) 连接，可证得，再由，可证得，可求得AC=2，再根据勾股定理即可求得．
(1)
证明：如图：连接，则．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
(2)
解：如图：连接．
AB是⊙O的直径，
．
∵，
∴．
，
又∵，
∴．
∴．
∵DE＝2CE，，
∴．
∴．
∴的半径为．
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
19．（1）6；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）如图作DN⊥AC于N．根据角平分线的性质定理可得DM＝DN＝2，由此即可解决问题；
（2）由Rt△CDM≌Rt△CDN，推出CN＝CM，由Rt△ADN≌Rt△BDM，推出AN＝BM，由此即可解决问题．
【详解】
（1）解：如图作DN⊥AC于N．
∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，DN⊥CA，
∴DM＝DN＝2，
∴S△ADC＝ AC DN＝×6×2＝6．
（2）∵CD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN，
∴CN＝CM，
∵AD＝BD，DN＝DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM，
∴AN＝BM，
∴AC＝AN＋CN＝BM＋CM．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．
【解析】
【分析】
过点E作直线EF∥CD，由两直线平行，内错角相等得出∠2=∠D；由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出AB∥EF；由两直线平行，内错角相等得出∠B=∠1；由∠1+∠2=∠BED，等量代换得出∠B+∠D=∠BED；方法与实践：如图②，由平行的性质可得∠BOD=∠D=53°，然后再根据三角形外角的性质解答即可
【详解】
解：过点E作直线EF∥CD，
∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）
AB∥CD(已知），EF∥CD
AB∥EF，（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）
∠1+∠2=∠BED，
∠B+∠D=∠BED，（等量代换 ）
方法与实践：如图②，
∵直线AB∥CD
∴∠BOD=∠D=53°
∵∠BOD=∠E+∠B
∴∠E=∠BOD-∠B=53°- 22°=31°．
故答案依次为：∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识点；熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
21．（1）BF﹣AFCF；（2）见解析；（3）BF﹣kAF FC
【解析】
【分析】
（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），则△CDE为等腰直角三角形，故DE＝EFCF，进而求解；
（2）由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），再证明△BCG≌△ACF（ASA），得到△GCF为等腰直角三角形，则GFCF，即可求解；
（3）证明△BCE∽△CAD和△BGC∽△AFC，得到，则BG＝kAF，GC＝kFC，进而求解．
【详解】
解：（1）如图（2）
∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，
而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，
而△CDE为等腰直角三角形，
故DE＝EFCF，
则BF＝BD＝BE+ED＝AFCF；
即BF﹣AFCF；
（2）如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GFCF，
则BF＝BG+GF＝AFCF，
即BF﹣AFCF；
（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，
而BC＝kAC，EC＝kDC，
即 ，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
由（2）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴ ，
则BG＝kAF，GC＝kFC，
在Rt△CGF中，GF FC，
则BF＝BG+GF＝kAF FC，
即BF﹣kAF FC．
【点睛】
本题是相似形综合题，主要考查了三角形全等和相似、勾股定理的运用等，解题的关键是综合运用三角形全等和相似及勾股定理解决问题．
22．约
【解析】
【分析】
连接OA、OB，作OD⊥AB于C，交于D，求出AC的长，求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积．
【详解】
解：连接OA、OB，作OD⊥AB于C，交于D，
则AC＝BC＝AB，CD＝6cm，
∴OC＝OD CD＝12cm 6cm＝6cm，
∴OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBC＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝180° 30° 30°＝120°，AC＝OC＝6cm，
∴AB＝2AC＝12cm，
∴S阴影＝S扇形OAB S△OAB＝×6＝48π 36≈88.4（cm2）
答：截面上有油部分的面积约为88.4 cm2．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OEA，根据余角的性质和对顶角的性质即可得到∠DFE＝∠DEF，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设OA＝3x，OF＝x，得到OC＝OA＝3x，根据勾股定理得到DE＝4，OE＝3，OD＝5，过E作EH⊥OD于H，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
(1)
证明：连接OE，
∵OE＝OA，
∴∠A＝∠OEA，
∵DE切半圆O于点E，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEF+∠AEO＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A+∠AFO＝90°，
∴∠AFO＝∠DEF，
∵∠AFO＝∠DFE，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DF＝DE；
(2)
解：∵tan∠AFO3，
∴设OA＝3x，OF＝x，
∴OC＝OA＝3x，
∴DF＝2+2x，
∵∠DEO＝90°，
∴OE2+DE2＝OD2，
∴x2+（2+2x）2＝（2+3x）2，
∴x＝1，x＝0（不合题意舍去），
∴DE＝4，OE＝3，OD＝5，
过E作EH⊥OD于H，
∴S△DEODE OEEH OD，
∴EH，
∴OH，
∴HF，
∴EF．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；
（2）连接AD，在Rt△ABD中利用∠ABC的余弦值求出BD，再在Rt△BCF中利用∠C的余弦值求出即可求出BC．
(1)
证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
(2)
解：连接AD，
∵AB是的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABC=∠ACB，，
∴，
∴BD=×5=4．
∵AB=AC，∠ADB=90°，
∴BC=2BD=8，
∵，
∴CF=×8=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握切线的性质和余弦的定义是解答本题的关键．