人教新课标A版 必修二 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

人教新课标A版 必修二 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．（2020高一下·隆化期中）不重合的两个平面可以把空间分成（　　）部分
A．2 B．3或4 C．4 D．2或3或4
2．（2020高一下·永年期中）如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b（　　）
A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
3．（2020高一上·黄陵期末）下列条件能唯一确定一个平面的是（　　）
A．空间任意三点 B．不共线三点
C．共线三点 D．两条异面直线
4．（2020高一下·广东月考）下列几何图形中，可能不是平面图形的是（　　）
A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．四边形
5．（2020高一下·诸暨期中）已知直线m 平面α，直线n 平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（　　）
A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行
6．（2020高一下·扬州期中）如图所示，平面 平面 ，点 ，点 ，直线 .设过 三点的平面为 ，则 （　　）
A．直线 B．直线
C．直线 D．以上均不正确
7．（2020高一下·徐州期中）在正方体 中， 与 是（　　）
A．相交直线 B．平行直线
C．异面直线 D．相交且垂直的直线
8．（2020·山西模拟）在长方体 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2020·大连模拟）三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020·长沙模拟）如图，在正方体 的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 异面且夹角成 的直线的条数为（　　）．
A． B． C． D．
11．（2020高二上·遂宁期末）如图所示， 是长方体， 是 的中点，直线 交平面 于点 ，则下列结论正确的是（　　）
A． 三点共线 B． 不共面
C． 不共面 D． 共面
12．（2020·赤峰模拟）如图，在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， .若 分别是棱 上的点，且 ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020高二下·上海期中）若直线a、b均平行于平面 ，那么a与b位置关系是　 　
14．（2020高一下·扬州期中）下列说法中正确的有　 　个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面 和 ，若 ， ，且 ，则点A在直线 上.
15．（2020高一下·徐州期中）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为　 　.
16．（2020·西安模拟）如图，已知圆柱的轴截面 是正方形，C是圆柱下底面弧 的中点， 是圆柱上底面弧 的中点，那么异面直线 与 所成角的正切值为　 　.
三、解答题
17．（2020高一下·南京期中）
（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：
①直线 在平面 内；
②直线m不在平面 内；
③直线m与平面 交于点A；
④直线l不经过点A.
（2）如图，在长方体 中， 为棱 的中点，F为棱 的三等分点，画出由 三点所确定的平面 与平面 的交线.(保留作图痕迹)
18．（2018高二上·万州月考）已知正方体 中， ， 分别为 ， 的中点， ， 求证：
（1） 四点共面
（2）若 交平面 于R 点，则 三点共线．
19．（2019高一上·集宁月考）如图，已知点 分别为正方体 的棱 的中点，求证： 三线共点．
20．（2020高一下·扬州期中）如图，在正方体 中，E、F、G、H分别是棱 、 、 、 的中点.
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）求异面直线 与 所成的角的大小.
21．（2020·杨浦模拟）如图,四棱锥 中,底面 为矩形, 底面 , , , 分别为棱 的中点.
（1）求证: 、 、 、 四点共面；
（2）求异面直线 与 所成的角.
22．（2019高二上·哈尔滨月考）
（1）已知四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等，四边形 为正方形，点 是 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值．
（2）如图，在长方体 中， 分别是 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】当两个平面相互平行时，把空间分成3部分.
当两个平面相交时，把空间分成4部分.
所以不重合的两个平面可以把空间分成3或4部分
故答案为：B
【分析】分两个平面平行和相交两种情况进行分析，得出答案.
2．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则a与b平行或异面.
故答案为：D.
【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线a与b的位置关系.
3．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】过直线与线外一点，有且只有一个平面；
所以不共线的三点能唯一确定一个平面；B符合题意；
共线的三点，不能唯一确定一个平面；空间中任意三点可能共线，A，C都错；
由异面直线的定义，可得：两条异面直线也不能唯一确定一个平面；D不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据平面的性质，即可判断出结果.
4．【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示；平面的基本性质及推论
【解析】【解答】有定义易知梯形，菱形，平行四边形都是平面图形，
四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形.
故答案为：D.
【分析】由题意结合所给的选项确定可能不是平面图形的几何体即可.
5．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：∵直线m 平面α，直线n 平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，
∴m∩α＝A，
∴直线m，n的位置关系不可能是平行直线．
故答案为：D．
【分析】推导出直线n 平面α，m∩α＝A，从而直线m，n的位置关系不可能是平行直线．
6．【答案】C
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】 ，平面 平面 ， ， .又 三点确定的平面为 ， .又 是平面 和 的公共点， .
故答案为：C
【分析】由 是平面 和 的两个公共点，由两个平面若有交点，所有的交点都在同一条直线上，即可进行判断.
7．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】由图形可知， 与 不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
故答案为：C.
【分析】根据异面直线的概念可判断出 与 是异面直线.
8．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由题意可得 .因为 ，
所以 是异面直线 与 所成的角，记为 ，
故 .
故选： .
【分析】根据 确定 是异面直线 与 所成的角，利用余弦定理计算得到答案.
9．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设棱长为1， ， ，
由题意得： ， ，
，
又
即异面直线 与 所成角的余弦值为：
故答案为：
【分析】设 ， ， ，根据向量线性运算法则可表示出 和 ；分别求解出 和 ， ，根据向量夹角的求解方法求得 ，即可得所求角的余弦值.
10．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，
与直线A1B异面且夹角成60°的直线有：
AD1，AC，D1B1，B1C，共4条．
故选B．
【分析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A1B成60°角的异面直线一一列出，即得答案．
11．【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1、C1、C、A四点共面，
∴A1C 平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
∴A、M、O三点共线．
故答案为：A．
【分析】先观察图形判断A，M，O三点共线，为了要证明A，M，O三点共线，先将M看成是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，利用同样的方法证明点O、A也是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，从而证明三点共线．
12．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设 的中点为 ，建立空间直角坐标系如下图所示.
所以 ，所以 .所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线 与 所成角的余弦值.
13．【答案】相交、平行、异面
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可知：直线 平面 ，直线 平面 ，则a与b的位置关系是：图1是相交；图2是平行；图3是异面直线．
故答案为：相交、平行、异面
【分析】依据题意画出图形，即可判断．
14．【答案】2
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确；
由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确；
， ，且 ，则A在 上，满足平面的基本性质，所以④正确，
即正确的个数有2个，
故答案为：2.
【分析】对于①举出反例，正方体的一个顶点处的3条棱；根据两条平行线可以确定一个面可判断②；根据等角定理可判断③；直接根据公理可判断④.
15．【答案】60°
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则E（0，1，2），F（0，2，1），B1（2，2，2），D1（0，0，2），
（0，1，﹣1）， （﹣2，﹣2，0），
设异面直线EF与B1D1所成的角θ，
则cosθ ，
∴θ＝60°.
故答案为：60°.
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与B1D1所成的角.
16．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】取圆柱下底面弧 的另一中点 ，连接 ，
则因为C是圆柱下底面弧 的中点，
所以 ，
所以直线 与 所成角等于异面直线 与 所成角.
因为 是圆柱上底面弧 的中点，
所以 圆柱下底面，所以 .
因为圆柱的轴截面 是正方形，
所以 ，
所以直线 与 所成角的正切值为 .
所以异面直线 与 所成角的正切值为 .
故答案为: .
【分析】取圆柱下底面弧 的另一中点 ，连接 ,直线 与 所成角等于异面直线 与 所成角,利用圆柱的轴截面 是正方形, ,从而可得结论.
17．【答案】（1）解： ； ； ； ；示意图如下：
（2）解：如图，直线IL即为所求.
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【分析】（1）根据题意，作出示意图即可；（2）根据题意，作出示意图即可.
18．【答案】（1）解：如图．
∵EF是 的中位线， ．
在正方体 中， ， ．
∴EF确定一个平面，即D，B，F，E四点共面
（2）解：正方体 中，设 确定的平面为 ，又设平面BDEF为 ．
，∴ ．又 ，∴
则Q是 与 的公共点，∴
又 ，∴
∴ ，且 ，则 ．
故 三点共线
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】（1）利用平行，共面判定定理，即可得出答案。（2）利用平面与平面交线性质，判断点R也在PQ上，即可得出答案。
19．【答案】证明：∵点 ， ， ， 分别为所在棱的中点，连接 ， ，∴ 是 的中位线，∴ .∵ ，且 ，∴四边形 是平行四边形. ∴ ，∴ .∴ ， ， ， 四点共面.
∵ ，故 与 必相交.设 .
∵ ， 平面 ，∴ 平面 .
同理可证 平面 .∴点 在交线 上，即 ， ， 三线共点
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】 根据题意首先，设EF与DC共点于I，DC与HG共点于I'，然后，通过证明三角形全等的方法证明I与I'是同一个点，即可说明线共点．
20．【答案】（1）解：取 的中点
∵E、F、I分别是正方形 中 、 、 的中点
∴
∴在平面 中，延长 与 必交于C右侧一点P，且
同理，在平面 中，延长 与 必交于C右侧一点Q，且
∴P与Q重合
进而，直线 与 相交
方法二：∵在正方体 中，E、H分别是 、 的中点
∴
∴ 是平行四边形
∴
又∵F、G分别是 、 的中点
∴
∴ ，
∴ 、 是梯形 的两腰
∴直线 与 相交
（2）解：∵在正方体 中，
∴ 是平行四边形
∴
又∵E、F分别是 、 的中点
∴
∴
∴ 与 所成的角即为 与 所成的角
（或： 与 所成的角即为 及其补角中的较小角）①
又∵在正方体 中， 为等边三角形
∴②
∴由①②得直线 与 所成的角为
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】(1) 延长 与 必交于C右侧一点P，延长 与 必交于C右侧一点Q，证明P与Q重合，从而得到答案.(2)由 ，可得 ，则 与 所成的角即为 与 所成的角，然后在三角形中求解.
21．【答案】（1）证明： 在 中,由 、 为 、 中点得: 为中位线,
∥
又 底面为矩形, ∥ ,
∥
由平行线确定唯一平面得 、 、 、 在同一平面上
（2）解：以 为原点建立坐标系,其中 、 、 分别为 、 、 轴,
如图:
可得 , , ,
, ,
故:
异面直线 与 夹角: .
【知识点】平面的基本性质及推论；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）因为在 中,由 、 为 、 中点得: 为中位线,可得 ∥ ,结合底面为矩形,即可求得答案;（2）以 为原点建立坐标系,其中 、 、 分别为 、 、 轴,求得 和 , ,即可求得答案.
22．【答案】（1）解：设 的中点分别为 ，连接 ，
在 中， 为中点，则 ，
同理 ，而 ，故 ，
所以四边形 为平行四边形，从而 ，
故 或其补角为异面直线 与 所成角，
设四棱锥的棱长为 ，则 ， ， ，
故 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（2）解：如图，连接 ， ， ，
在 中， 为中点，则 ，
在正方体 中，因为 ，
所以四边形 为平行四边形， ，
故 或其补角为异面直线 与 所成角，
又 ，故 .
故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）先作辅助线，可证 ，得到 或其补角为异面直线 与 所成角， 再利用余弦定理列式，即可求出异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）先作辅助线，可证 ，得到 或其补角为异面直线 与 所成角， 再利用余弦定理列式，即可求出异面直线 与 所成角的余弦值.
1 / 1人教新课标A版 必修二 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．（2020高一下·隆化期中）不重合的两个平面可以把空间分成（　　）部分
A．2 B．3或4 C．4 D．2或3或4
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】当两个平面相互平行时，把空间分成3部分.
当两个平面相交时，把空间分成4部分.
所以不重合的两个平面可以把空间分成3或4部分
故答案为：B
【分析】分两个平面平行和相交两种情况进行分析，得出答案.
2．（2020高一下·永年期中）如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b（　　）
A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则a与b平行或异面.
故答案为：D.
【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线a与b的位置关系.
3．（2020高一上·黄陵期末）下列条件能唯一确定一个平面的是（　　）
A．空间任意三点 B．不共线三点
C．共线三点 D．两条异面直线
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】过直线与线外一点，有且只有一个平面；
所以不共线的三点能唯一确定一个平面；B符合题意；
共线的三点，不能唯一确定一个平面；空间中任意三点可能共线，A，C都错；
由异面直线的定义，可得：两条异面直线也不能唯一确定一个平面；D不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据平面的性质，即可判断出结果.
4．（2020高一下·广东月考）下列几何图形中，可能不是平面图形的是（　　）
A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．四边形
【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示；平面的基本性质及推论
【解析】【解答】有定义易知梯形，菱形，平行四边形都是平面图形，
四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形.
故答案为：D.
【分析】由题意结合所给的选项确定可能不是平面图形的几何体即可.
5．（2020高一下·诸暨期中）已知直线m 平面α，直线n 平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（　　）
A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：∵直线m 平面α，直线n 平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，
∴m∩α＝A，
∴直线m，n的位置关系不可能是平行直线．
故答案为：D．
【分析】推导出直线n 平面α，m∩α＝A，从而直线m，n的位置关系不可能是平行直线．
6．（2020高一下·扬州期中）如图所示，平面 平面 ，点 ，点 ，直线 .设过 三点的平面为 ，则 （　　）
A．直线 B．直线
C．直线 D．以上均不正确
【答案】C
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】 ，平面 平面 ， ， .又 三点确定的平面为 ， .又 是平面 和 的公共点， .
故答案为：C
【分析】由 是平面 和 的两个公共点，由两个平面若有交点，所有的交点都在同一条直线上，即可进行判断.
7．（2020高一下·徐州期中）在正方体 中， 与 是（　　）
A．相交直线 B．平行直线
C．异面直线 D．相交且垂直的直线
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】由图形可知， 与 不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
故答案为：C.
【分析】根据异面直线的概念可判断出 与 是异面直线.
8．（2020·山西模拟）在长方体 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由题意可得 .因为 ，
所以 是异面直线 与 所成的角，记为 ，
故 .
故选： .
【分析】根据 确定 是异面直线 与 所成的角，利用余弦定理计算得到答案.
9．（2020·大连模拟）三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设棱长为1， ， ，
由题意得： ， ，
，
又
即异面直线 与 所成角的余弦值为：
故答案为：
【分析】设 ， ， ，根据向量线性运算法则可表示出 和 ；分别求解出 和 ， ，根据向量夹角的求解方法求得 ，即可得所求角的余弦值.
10．（2020·长沙模拟）如图，在正方体 的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 异面且夹角成 的直线的条数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，
与直线A1B异面且夹角成60°的直线有：
AD1，AC，D1B1，B1C，共4条．
故选B．
【分析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A1B成60°角的异面直线一一列出，即得答案．
11．（2020高二上·遂宁期末）如图所示， 是长方体， 是 的中点，直线 交平面 于点 ，则下列结论正确的是（　　）
A． 三点共线 B． 不共面
C． 不共面 D． 共面
【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1、C1、C、A四点共面，
∴A1C 平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
∴A、M、O三点共线．
故答案为：A．
【分析】先观察图形判断A，M，O三点共线，为了要证明A，M，O三点共线，先将M看成是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，利用同样的方法证明点O、A也是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，从而证明三点共线．
12．（2020·赤峰模拟）如图，在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， .若 分别是棱 上的点，且 ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设 的中点为 ，建立空间直角坐标系如下图所示.
所以 ，所以 .所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线 与 所成角的余弦值.
二、填空题
13．（2020高二下·上海期中）若直线a、b均平行于平面 ，那么a与b位置关系是　 　
【答案】相交、平行、异面
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可知：直线 平面 ，直线 平面 ，则a与b的位置关系是：图1是相交；图2是平行；图3是异面直线．
故答案为：相交、平行、异面
【分析】依据题意画出图形，即可判断．
14．（2020高一下·扬州期中）下列说法中正确的有　 　个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面 和 ，若 ， ，且 ，则点A在直线 上.
【答案】2
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确；
由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确；
， ，且 ，则A在 上，满足平面的基本性质，所以④正确，
即正确的个数有2个，
故答案为：2.
【分析】对于①举出反例，正方体的一个顶点处的3条棱；根据两条平行线可以确定一个面可判断②；根据等角定理可判断③；直接根据公理可判断④.
15．（2020高一下·徐州期中）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为　 　.
【答案】60°
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则E（0，1，2），F（0，2，1），B1（2，2，2），D1（0，0，2），
（0，1，﹣1）， （﹣2，﹣2，0），
设异面直线EF与B1D1所成的角θ，
则cosθ ，
∴θ＝60°.
故答案为：60°.
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与B1D1所成的角.
16．（2020·西安模拟）如图，已知圆柱的轴截面 是正方形，C是圆柱下底面弧 的中点， 是圆柱上底面弧 的中点，那么异面直线 与 所成角的正切值为　 　.
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】取圆柱下底面弧 的另一中点 ，连接 ，
则因为C是圆柱下底面弧 的中点，
所以 ，
所以直线 与 所成角等于异面直线 与 所成角.
因为 是圆柱上底面弧 的中点，
所以 圆柱下底面，所以 .
因为圆柱的轴截面 是正方形，
所以 ，
所以直线 与 所成角的正切值为 .
所以异面直线 与 所成角的正切值为 .
故答案为: .
【分析】取圆柱下底面弧 的另一中点 ，连接 ,直线 与 所成角等于异面直线 与 所成角,利用圆柱的轴截面 是正方形, ,从而可得结论.
三、解答题
17．（2020高一下·南京期中）
（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：
①直线 在平面 内；
②直线m不在平面 内；
③直线m与平面 交于点A；
④直线l不经过点A.
（2）如图，在长方体 中， 为棱 的中点，F为棱 的三等分点，画出由 三点所确定的平面 与平面 的交线.(保留作图痕迹)
【答案】（1）解： ； ； ； ；示意图如下：
（2）解：如图，直线IL即为所求.
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【分析】（1）根据题意，作出示意图即可；（2）根据题意，作出示意图即可.
18．（2018高二上·万州月考）已知正方体 中， ， 分别为 ， 的中点， ， 求证：
（1） 四点共面
（2）若 交平面 于R 点，则 三点共线．
【答案】（1）解：如图．
∵EF是 的中位线， ．
在正方体 中， ， ．
∴EF确定一个平面，即D，B，F，E四点共面
（2）解：正方体 中，设 确定的平面为 ，又设平面BDEF为 ．
，∴ ．又 ，∴
则Q是 与 的公共点，∴
又 ，∴
∴ ，且 ，则 ．
故 三点共线
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】（1）利用平行，共面判定定理，即可得出答案。（2）利用平面与平面交线性质，判断点R也在PQ上，即可得出答案。
19．（2019高一上·集宁月考）如图，已知点 分别为正方体 的棱 的中点，求证： 三线共点．
【答案】证明：∵点 ， ， ， 分别为所在棱的中点，连接 ， ，∴ 是 的中位线，∴ .∵ ，且 ，∴四边形 是平行四边形. ∴ ，∴ .∴ ， ， ， 四点共面.
∵ ，故 与 必相交.设 .
∵ ， 平面 ，∴ 平面 .
同理可证 平面 .∴点 在交线 上，即 ， ， 三线共点
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】 根据题意首先，设EF与DC共点于I，DC与HG共点于I'，然后，通过证明三角形全等的方法证明I与I'是同一个点，即可说明线共点．
20．（2020高一下·扬州期中）如图，在正方体 中，E、F、G、H分别是棱 、 、 、 的中点.
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）求异面直线 与 所成的角的大小.
【答案】（1）解：取 的中点
∵E、F、I分别是正方形 中 、 、 的中点
∴
∴在平面 中，延长 与 必交于C右侧一点P，且
同理，在平面 中，延长 与 必交于C右侧一点Q，且
∴P与Q重合
进而，直线 与 相交
方法二：∵在正方体 中，E、H分别是 、 的中点
∴
∴ 是平行四边形
∴
又∵F、G分别是 、 的中点
∴
∴ ，
∴ 、 是梯形 的两腰
∴直线 与 相交
（2）解：∵在正方体 中，
∴ 是平行四边形
∴
又∵E、F分别是 、 的中点
∴
∴
∴ 与 所成的角即为 与 所成的角
（或： 与 所成的角即为 及其补角中的较小角）①
又∵在正方体 中， 为等边三角形
∴②
∴由①②得直线 与 所成的角为
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】(1) 延长 与 必交于C右侧一点P，延长 与 必交于C右侧一点Q，证明P与Q重合，从而得到答案.(2)由 ，可得 ，则 与 所成的角即为 与 所成的角，然后在三角形中求解.
21．（2020·杨浦模拟）如图,四棱锥 中,底面 为矩形, 底面 , , , 分别为棱 的中点.
（1）求证: 、 、 、 四点共面；
（2）求异面直线 与 所成的角.
【答案】（1）证明： 在 中,由 、 为 、 中点得: 为中位线,
∥
又 底面为矩形, ∥ ,
∥
由平行线确定唯一平面得 、 、 、 在同一平面上
（2）解：以 为原点建立坐标系,其中 、 、 分别为 、 、 轴,
如图:
可得 , , ,
, ,
故:
异面直线 与 夹角: .
【知识点】平面的基本性质及推论；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）因为在 中,由 、 为 、 中点得: 为中位线,可得 ∥ ,结合底面为矩形,即可求得答案;（2）以 为原点建立坐标系,其中 、 、 分别为 、 、 轴,求得 和 , ,即可求得答案.
22．（2019高二上·哈尔滨月考）
（1）已知四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等，四边形 为正方形，点 是 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值．
（2）如图，在长方体 中， 分别是 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】（1）解：设 的中点分别为 ，连接 ，
在 中， 为中点，则 ，
同理 ，而 ，故 ，
所以四边形 为平行四边形，从而 ，
故 或其补角为异面直线 与 所成角，
设四棱锥的棱长为 ，则 ， ， ，
故 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（2）解：如图，连接 ， ， ，
在 中， 为中点，则 ，
在正方体 中，因为 ，
所以四边形 为平行四边形， ，
故 或其补角为异面直线 与 所成角，
又 ，故 .
故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）先作辅助线，可证 ，得到 或其补角为异面直线 与 所成角， 再利用余弦定理列式，即可求出异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）先作辅助线，可证 ，得到 或其补角为异面直线 与 所成角， 再利用余弦定理列式，即可求出异面直线 与 所成角的余弦值.
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