人教新课标A版 必修二 2.2直线、平面平行的判定及其性质

人教新课标A版 必修二 2.2直线、平面平行的判定及其性质
一、单选题
1．（2019高一下·滁州期末）若平面α//平面β,直线 m α ,n β,则关于直线m、n的位置关系的说法正确的是（　　）
A．m∥n B．m、n异面
C．m⊥n D．m、n没有公共点
2．（2018高一下·北京期中）若a，b是异面直线，则与a，b都平行的平面（　　）
A．不存在 B．有无穷多个
C．有且仅有一个 D．不一定存在
3．（2020·成都模拟）如图，正方体 中， ， ， ， 分别为棱 、 、 、 的中点，则下列各直线中，不与平面 平行的是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．（2018高二上·西宁月考）如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
5．已知是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①②③如果命题且_______，则为真命题，则可以在横线处填入的条件是（　　）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．只有②
6．（2020高一下·徐州期中）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（　　）
A．1 B． C．3 D．2
7．（2019·浙江）平面a与平面β平行的条件可以是（　　）
A．a内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥a，a∥B，且直线a不在a内，也不在β内
C．直线a a，直线b B，且a∥B，b∥a
D．a内的任何直线都与β平行
8．（2020·东莞模拟）在棱长为1的正方体 中， 分别为 和 的中点，经过点 ，E，F的平面 交 于 ，则 （　　）
A． B． C． D．
9．（2020·大连模拟）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
10．（2018高一下·长阳期末）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP= BD1，给出下面四个命题：
⑴MN∥平面APC；(2)C1Q∥平面APC；(3)A，P，M三点共线；(4)平面MNQ∥平面APC.正确的序号为（　　）
A．⑴(2) B．⑴(4) C．⑵(3) D．⑶4)
12．（2019高二下·上海期中）如图，正方体 的棱线长为1，线段 上有两个动点E、F，且 ，则下列结论中错误的是（　　）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF 的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
二、多选题
13．（2020·肥城模拟）在空间四边形 中， 分别是 上的点，当 平面 时，下面结论正确的是（　　）
A． 一定是各边的中点
B． 一定是 的中点
C． ，且
D．四边形 是平行四边形或梯形
三、填空题
14．（2020·广东模拟）在正方体 的12条棱中，与平面 平行的棱共有　 　条.
15．（2019高一上·柳州月考）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是　 　．
16．设 是三条不同的直线， 是三个不同的平面，现给出四个命题：
①若 且 ，则 ；
②若 且 ，则 ；
③若 且 ，则 ；
④若 且 ，则 .
其中正确命题的序号是　 　.（把正确命题的序号都填上）
17．如图，棱长为2的正方体 中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是　 　．
四、解答题
18．（2019高一上·柳州月考）如图所示，在四棱锥 中，底面 为梯形， ， 为侧棱 的中点，且 ， ．求证： 平面 ．
19．（2020高一下·徐州期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点.求证：
（1）MN∥平面ABC；
（2）EF∥平面AA1B1B．
20．（2018高二上·遵义月考）如图1是图2的三视图，在三棱锥B-ACD中，E，F分别是棱AB，AC的中点.
（1）求证：BC//平面DEF；
（2）求三棱锥A-DEF的体积.
21．（2019高二上·哈尔滨期中）如图，在三棱柱 中， 、 分别是棱 ， 的中点，求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
22．（2019高一上·中山月考）如图，在四棱锥 中， ， ， 为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）试判断 与平面 是否平行？并说明理由.
23．（2018高一下·黑龙江期末）如图， 是边长为3的正方形， 平面 ， 平面 ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在 上是否存在一点 ，使平面 将几何体 分成上下两部分的体积比为 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：若平面∥平面,直线，,直线,则无公共点,即或异面，即没有公共点。
故答案为：D
【分析】由面面平行的定义，两平面内的直线无交点，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：在空间任取一点P（不在两异面直线上），过P分别作直线 与a，b平行，由于a，b是异面直线，所以 为相交直线，确定一个平面 ，由线面平行判定定理得平面 与a，b都平行，再由于P点任意性，所以平面 有无穷多个，
故答案为：B.
【分析】先确定是否有一个平面与a，b都平行，如果有，则与这个平面平行的所有平面与a，b都平行，即无穷个。
3．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】在正方体中，因为 ，所以 平面 ，故A正确.
因为 ，所以 ，所以 平面 故B正确.
因为 ，所以 平面 ，故D正确.
因为 与 相交，所以 与平面 相交，故C错误.
故选：C
【分析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据 判断A的正误.根据 ，判断B的正误.根据 与 相交，判断C的正误.根据 ，判断D的正误.
4．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN 平面PAC，
∴MN∥PA.
故答案为：B.
【分析】根据线面平行的性质有MN∥PA。
5．【答案】A
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】由两面平行可得其中一个平面内任意直线平行于另外一面，即线面平行，可推得两线平行所以①正确；由，得，所以②正确；故选A。
【分析】本题考查的是空间线面位置关系的判定和性质，属于基本知识点的考查，难度不大
6．【答案】A
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连结AC，交BD于O，连结OF
∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC，
∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，
∴OF∥PC，
∴λ＝1.
故答案为：A.
【分析】连结AC，交BD于O，连结OF，则AO＝OC，再由点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，能求出OF∥PC，
7．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：A选项无穷多条直线不一定含有两条相交直线，故错误。B选项中描述的这种情况可能两个平面是相交的。故错误。C选项没有强调两条相交直线，故错误。进而得出D正确。
故答案为：D
【分析】利用两个平面平行的判定定理:一个平面内由两条相交直线分别和另一个平面平行则两个平面平行，逐一判断即可得出结果。
8．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】平面 与平面 的交线与 平行，即过 作 的平行线交 于 ，连接 ，过 作 交 于 ，由比例关系， 为 的四等分点，从而 为 的三等分点，故而 ．
故答案为：D．
【分析】由面面平行的性质定理可得平面 与平面 的交线与 平行，过F作 的平行线交 于 ，连接 ，过E作 交 于G，由比例关系可得所求值.
9．【答案】C
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】对于①，连接 如图所示，由于 ，根据面面平行的性质定理可知平面 平面 ，所以 平面 .
对于②，连接 交 于D，由于N是 的中点，D不是 的中点，所以在平面 内 与 相交，所以直线 与平面 相交.
对于③，连接 ，则 ，而 与 相交，即 与平面 相交，所以 与平面 相交.
对于④，连接 ，则 ，由线面平行的判定定理可知 平面 .
综上所述，能得出 平面 的图形的序号是①④.
故答案为：C
【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.
10．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】对于①，取NP中点G，由三角形中位线性质易证MG∥AB，再根据线面平行的判定定理可知①正确；对于④，易证NP∥AB，根据线面平行的判定定理可知④正确，故答案为：B.
【分析】判断AB∥平面MNP，关键是在平面MNP中找出与直线AB平行的直线，利用直线与平面平行的判定定理求解。
11．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】(1)MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN 平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；(2)平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC，是正确的；(3)由BP= BD1，以及相似，可得A，P，M三点共线，是正确的；(4)直线AP延长到M，则M在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC，是错误的.
故答案为：C
【分析】由空间中直线、平面之间的位置关系结合判定方法可得结论.
12．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】可证 ，A符合题意；由 ∥平面ABCD，可知 ，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥 的高， ，三棱锥 的体积为 为定值，C符合题意；D不符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据正方体的结构特征，结合线面平行及点到平面的距离公式逐一判断即可.
13．【答案】C,D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：由 平面 ，所以由线面平行的性质定理，得 ， ，则 ，且 ，且 ，四边形 是平行四边形或梯形.
故答案为： .
【分析】根据线面平行的性质定理即可得解.
14．【答案】2
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：根据题意画图,
观察图象可知：
在正方体 的 条棱中,
与平面 平行的为棱 与棱 .
故答案为：
【分析】根据题意画图,由图象可得与平面 不相交的棱即为平行的棱.
15．【答案】①②③④
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】展开图可以折成如图（1）所示的正方体．
在正方体中，连接AN，如图（2）所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN．因为AN 平面DE，BM 平面DE，所以BM∥平面DE．同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图（3）所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．
故答案为①②③④
【分析】还原得正方体ABCD﹣EFMN，可得BM在右侧面与左侧面ED平行，即可判断①；
CN与BE平行，可判断②；运用面面平行的判定定理可判断③④．
16．【答案】①④
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】①利用平行的传递性可知成立；②平行同一个平面的两直线可以有三种位置关系，错误；③两平面可能相交，错误；④利用平行的传递性可知成立.
故答案为:①④
【分析】利用直线与直线平行或平面与平面的传递性可知①④成立；而直线与平面平行没有传递性．
17．【答案】
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】在正方体 中，因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1，
所以N为AB的中点（如图），所以该截面为等腰梯形MNC1D1；
因为正方体的棱长为2，所以MN＝ ，CD1＝ ，MD1＝ ，
所以等腰梯形MNCD1的高MH＝ ，
所以截面面积为 .
故答案为：
【分析】由正方体的结构特征，结合面面平行的性质，得到该截面为等腰梯形MNC1D1，再由数据求面积。
18．【答案】证明：取 的中点 ，连接 ， ．
∵ 为侧棱 的中点，
∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∵ ， ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∵ ，
∴平面 平面 ．
∵ 平面 ，
∴ 平面 ．
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】取 的中点 ，连接 ， ，可证明平面 平面 ,再根据面面平行的性质证明线面平行即可.
19．【答案】（1）解：∵M、N分别是A1B和A1C中点.
∴MN∥BC，
又BC 平面ABC，MN 平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
（2）解：如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.
∵D为A1B1中点，E为A1C1中点，
∴DE∥B1C1且 ，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是平行四边形，
∴BC∥B1C1且BC＝B1C1，∵F是BC的中点，∴BF∥B1C1且 ，
∴DE∥BF且DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形，∴EF∥BD，
又BD 平面AA1B1B，EF 平面AA1B1B，
∴EF∥平面AA1B1B.
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）推导出MN∥BC，由此能证明MN∥平面ABC.（2）取A1B1的中点D，连接DE，BD.推导出四边形DEFB是平行四边形，从而EF∥BD，由此能证明EF∥平面AA1B1B.
20．【答案】（1）证明：∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）解：∵如图1得 ， ， ，
又∵ ，
∴ 平面 .
取 的中点 ，连接 ，
∵ 是 的中点，
∴ .
∴ 平面 ， ，
∴
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）通过三视图得出立体图形形状，再根据立体图形形状和三视图上已知条件，利用线面平行判定定理，通过线线平行证出线面平行。
（2）本题通过（1）题三视图得出的立体图形的图形结构，利用线面垂直和线线平行结合三棱锥体积公式求出三棱锥A-DEF的体积。
21．【答案】（1）解：设 与 的交点为 ，连结 ，
∵四边形 为平行四边形，∴ 为 中点，
又 是 的中点，∴ 是三角形 的中位线，则 ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）解：∵ 为线段 的中点，点 是 的中点，
∴ 且 ，则四边形 为平行四边形，
∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
又 平面 ， ，且 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）设 与 的交点为 ，连结 ，证明 ，再由线面平行的判定可得 平面 ；（2）由 为线段 的中点，点 是 的中点，证得四边形 为平行四边形，得到 ，进一步得到 平面 ．再由 平面 ，结合面面平行的判定可得平面 平面 ．
22．【答案】（1）证明：取PC的中点F，连接EF，BF，
则 ，且 ，
又因为 ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解： 与平面 不平行.
假设 面 ，
设 ，连结 ，
则平面 平面 ，
又 平面 ， 所以 .
所以，在 中有 ，
由 为 的中点可得 ，即 .
因为 ，所以 ，这与 矛盾，
所以假设错误， 与平面 不平行.
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）可结合中位线定理证明，取PC的中点F，连接EF，BF，先证明四边形 为平行四边形，可得 ，即可得证；（2）可采用反证法，假设 与平面 平行，先证 为 中点，再通过相似三角形可得 ，即证出矛盾，故不成立
23．【答案】（1）解：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，∴ 平面 ，
∵ 是正方形， ，∴ 平面 ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 .
（2）解：假设存在一点 ，过 作 交 于 ，连接 ，
，
设 ，则 ，
设 到 的距离为 ，则 ， ，
∴ ，解得 ，即存在点 且 满足条件
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）熟练掌握面面平行的性质，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，即在平面ABF中找到两条相交直线AB，AF与平面DCE平行，即可得出答案。
（2）根据题意首先假设存在G点，使用数据表示出上下面积，结合上下体积之比，即可得出答案。
1 / 1人教新课标A版 必修二 2.2直线、平面平行的判定及其性质
一、单选题
1．（2019高一下·滁州期末）若平面α//平面β,直线 m α ,n β,则关于直线m、n的位置关系的说法正确的是（　　）
A．m∥n B．m、n异面
C．m⊥n D．m、n没有公共点
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：若平面∥平面,直线，,直线,则无公共点,即或异面，即没有公共点。
故答案为：D
【分析】由面面平行的定义，两平面内的直线无交点，即可得出答案。
2．（2018高一下·北京期中）若a，b是异面直线，则与a，b都平行的平面（　　）
A．不存在 B．有无穷多个
C．有且仅有一个 D．不一定存在
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：在空间任取一点P（不在两异面直线上），过P分别作直线 与a，b平行，由于a，b是异面直线，所以 为相交直线，确定一个平面 ，由线面平行判定定理得平面 与a，b都平行，再由于P点任意性，所以平面 有无穷多个，
故答案为：B.
【分析】先确定是否有一个平面与a，b都平行，如果有，则与这个平面平行的所有平面与a，b都平行，即无穷个。
3．（2020·成都模拟）如图，正方体 中， ， ， ， 分别为棱 、 、 、 的中点，则下列各直线中，不与平面 平行的是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】在正方体中，因为 ，所以 平面 ，故A正确.
因为 ，所以 ，所以 平面 故B正确.
因为 ，所以 平面 ，故D正确.
因为 与 相交，所以 与平面 相交，故C错误.
故选：C
【分析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据 判断A的正误.根据 ，判断B的正误.根据 与 相交，判断C的正误.根据 ，判断D的正误.
4．（2018高二上·西宁月考）如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN 平面PAC，
∴MN∥PA.
故答案为：B.
【分析】根据线面平行的性质有MN∥PA。
5．已知是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①②③如果命题且_______，则为真命题，则可以在横线处填入的条件是（　　）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．只有②
【答案】A
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】由两面平行可得其中一个平面内任意直线平行于另外一面，即线面平行，可推得两线平行所以①正确；由，得，所以②正确；故选A。
【分析】本题考查的是空间线面位置关系的判定和性质，属于基本知识点的考查，难度不大
6．（2020高一下·徐州期中）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（　　）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】A
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连结AC，交BD于O，连结OF
∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC，
∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，
∴OF∥PC，
∴λ＝1.
故答案为：A.
【分析】连结AC，交BD于O，连结OF，则AO＝OC，再由点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，能求出OF∥PC，
7．（2019·浙江）平面a与平面β平行的条件可以是（　　）
A．a内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥a，a∥B，且直线a不在a内，也不在β内
C．直线a a，直线b B，且a∥B，b∥a
D．a内的任何直线都与β平行
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：A选项无穷多条直线不一定含有两条相交直线，故错误。B选项中描述的这种情况可能两个平面是相交的。故错误。C选项没有强调两条相交直线，故错误。进而得出D正确。
故答案为：D
【分析】利用两个平面平行的判定定理:一个平面内由两条相交直线分别和另一个平面平行则两个平面平行，逐一判断即可得出结果。
8．（2020·东莞模拟）在棱长为1的正方体 中， 分别为 和 的中点，经过点 ，E，F的平面 交 于 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】平面 与平面 的交线与 平行，即过 作 的平行线交 于 ，连接 ，过 作 交 于 ，由比例关系， 为 的四等分点，从而 为 的三等分点，故而 ．
故答案为：D．
【分析】由面面平行的性质定理可得平面 与平面 的交线与 平行，过F作 的平行线交 于 ，连接 ，过E作 交 于G，由比例关系可得所求值.
9．（2020·大连模拟）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】对于①，连接 如图所示，由于 ，根据面面平行的性质定理可知平面 平面 ，所以 平面 .
对于②，连接 交 于D，由于N是 的中点，D不是 的中点，所以在平面 内 与 相交，所以直线 与平面 相交.
对于③，连接 ，则 ，而 与 相交，即 与平面 相交，所以 与平面 相交.
对于④，连接 ，则 ，由线面平行的判定定理可知 平面 .
综上所述，能得出 平面 的图形的序号是①④.
故答案为：C
【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.
10．（2018高一下·长阳期末）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】对于①，取NP中点G，由三角形中位线性质易证MG∥AB，再根据线面平行的判定定理可知①正确；对于④，易证NP∥AB，根据线面平行的判定定理可知④正确，故答案为：B.
【分析】判断AB∥平面MNP，关键是在平面MNP中找出与直线AB平行的直线，利用直线与平面平行的判定定理求解。
11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP= BD1，给出下面四个命题：
⑴MN∥平面APC；(2)C1Q∥平面APC；(3)A，P，M三点共线；(4)平面MNQ∥平面APC.正确的序号为（　　）
A．⑴(2) B．⑴(4) C．⑵(3) D．⑶4)
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】(1)MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN 平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；(2)平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC，是正确的；(3)由BP= BD1，以及相似，可得A，P，M三点共线，是正确的；(4)直线AP延长到M，则M在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC，是错误的.
故答案为：C
【分析】由空间中直线、平面之间的位置关系结合判定方法可得结论.
12．（2019高二下·上海期中）如图，正方体 的棱线长为1，线段 上有两个动点E、F，且 ，则下列结论中错误的是（　　）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF 的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】可证 ，A符合题意；由 ∥平面ABCD，可知 ，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥 的高， ，三棱锥 的体积为 为定值，C符合题意；D不符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据正方体的结构特征，结合线面平行及点到平面的距离公式逐一判断即可.
二、多选题
13．（2020·肥城模拟）在空间四边形 中， 分别是 上的点，当 平面 时，下面结论正确的是（　　）
A． 一定是各边的中点
B． 一定是 的中点
C． ，且
D．四边形 是平行四边形或梯形
【答案】C,D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：由 平面 ，所以由线面平行的性质定理，得 ， ，则 ，且 ，且 ，四边形 是平行四边形或梯形.
故答案为： .
【分析】根据线面平行的性质定理即可得解.
三、填空题
14．（2020·广东模拟）在正方体 的12条棱中，与平面 平行的棱共有　 　条.
【答案】2
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：根据题意画图,
观察图象可知：
在正方体 的 条棱中,
与平面 平行的为棱 与棱 .
故答案为：
【分析】根据题意画图,由图象可得与平面 不相交的棱即为平行的棱.
15．（2019高一上·柳州月考）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是　 　．
【答案】①②③④
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】展开图可以折成如图（1）所示的正方体．
在正方体中，连接AN，如图（2）所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN．因为AN 平面DE，BM 平面DE，所以BM∥平面DE．同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图（3）所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．
故答案为①②③④
【分析】还原得正方体ABCD﹣EFMN，可得BM在右侧面与左侧面ED平行，即可判断①；
CN与BE平行，可判断②；运用面面平行的判定定理可判断③④．
16．设 是三条不同的直线， 是三个不同的平面，现给出四个命题：
①若 且 ，则 ；
②若 且 ，则 ；
③若 且 ，则 ；
④若 且 ，则 .
其中正确命题的序号是　 　.（把正确命题的序号都填上）
【答案】①④
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】①利用平行的传递性可知成立；②平行同一个平面的两直线可以有三种位置关系，错误；③两平面可能相交，错误；④利用平行的传递性可知成立.
故答案为:①④
【分析】利用直线与直线平行或平面与平面的传递性可知①④成立；而直线与平面平行没有传递性．
17．如图，棱长为2的正方体 中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是　 　．
【答案】
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】在正方体 中，因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1，
所以N为AB的中点（如图），所以该截面为等腰梯形MNC1D1；
因为正方体的棱长为2，所以MN＝ ，CD1＝ ，MD1＝ ，
所以等腰梯形MNCD1的高MH＝ ，
所以截面面积为 .
故答案为：
【分析】由正方体的结构特征，结合面面平行的性质，得到该截面为等腰梯形MNC1D1，再由数据求面积。
四、解答题
18．（2019高一上·柳州月考）如图所示，在四棱锥 中，底面 为梯形， ， 为侧棱 的中点，且 ， ．求证： 平面 ．
【答案】证明：取 的中点 ，连接 ， ．
∵ 为侧棱 的中点，
∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∵ ， ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∵ ，
∴平面 平面 ．
∵ 平面 ，
∴ 平面 ．
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】取 的中点 ，连接 ， ，可证明平面 平面 ,再根据面面平行的性质证明线面平行即可.
19．（2020高一下·徐州期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点.求证：
（1）MN∥平面ABC；
（2）EF∥平面AA1B1B．
【答案】（1）解：∵M、N分别是A1B和A1C中点.
∴MN∥BC，
又BC 平面ABC，MN 平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
（2）解：如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.
∵D为A1B1中点，E为A1C1中点，
∴DE∥B1C1且 ，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是平行四边形，
∴BC∥B1C1且BC＝B1C1，∵F是BC的中点，∴BF∥B1C1且 ，
∴DE∥BF且DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形，∴EF∥BD，
又BD 平面AA1B1B，EF 平面AA1B1B，
∴EF∥平面AA1B1B.
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）推导出MN∥BC，由此能证明MN∥平面ABC.（2）取A1B1的中点D，连接DE，BD.推导出四边形DEFB是平行四边形，从而EF∥BD，由此能证明EF∥平面AA1B1B.
20．（2018高二上·遵义月考）如图1是图2的三视图，在三棱锥B-ACD中，E，F分别是棱AB，AC的中点.
（1）求证：BC//平面DEF；
（2）求三棱锥A-DEF的体积.
【答案】（1）证明：∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）解：∵如图1得 ， ， ，
又∵ ，
∴ 平面 .
取 的中点 ，连接 ，
∵ 是 的中点，
∴ .
∴ 平面 ， ，
∴
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）通过三视图得出立体图形形状，再根据立体图形形状和三视图上已知条件，利用线面平行判定定理，通过线线平行证出线面平行。
（2）本题通过（1）题三视图得出的立体图形的图形结构，利用线面垂直和线线平行结合三棱锥体积公式求出三棱锥A-DEF的体积。
21．（2019高二上·哈尔滨期中）如图，在三棱柱 中， 、 分别是棱 ， 的中点，求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
【答案】（1）解：设 与 的交点为 ，连结 ，
∵四边形 为平行四边形，∴ 为 中点，
又 是 的中点，∴ 是三角形 的中位线，则 ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）解：∵ 为线段 的中点，点 是 的中点，
∴ 且 ，则四边形 为平行四边形，
∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
又 平面 ， ，且 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）设 与 的交点为 ，连结 ，证明 ，再由线面平行的判定可得 平面 ；（2）由 为线段 的中点，点 是 的中点，证得四边形 为平行四边形，得到 ，进一步得到 平面 ．再由 平面 ，结合面面平行的判定可得平面 平面 ．
22．（2019高一上·中山月考）如图，在四棱锥 中， ， ， 为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）试判断 与平面 是否平行？并说明理由.
【答案】（1）证明：取PC的中点F，连接EF，BF，
则 ，且 ，
又因为 ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解： 与平面 不平行.
假设 面 ，
设 ，连结 ，
则平面 平面 ，
又 平面 ， 所以 .
所以，在 中有 ，
由 为 的中点可得 ，即 .
因为 ，所以 ，这与 矛盾，
所以假设错误， 与平面 不平行.
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）可结合中位线定理证明，取PC的中点F，连接EF，BF，先证明四边形 为平行四边形，可得 ，即可得证；（2）可采用反证法，假设 与平面 平行，先证 为 中点，再通过相似三角形可得 ，即证出矛盾，故不成立
23．（2018高一下·黑龙江期末）如图， 是边长为3的正方形， 平面 ， 平面 ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在 上是否存在一点 ，使平面 将几何体 分成上下两部分的体积比为 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，∴ 平面 ，
∵ 是正方形， ，∴ 平面 ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 .
（2）解：假设存在一点 ，过 作 交 于 ，连接 ，
，
设 ，则 ，
设 到 的距离为 ，则 ， ，
∴ ，解得 ，即存在点 且 满足条件
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）熟练掌握面面平行的性质，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，即在平面ABF中找到两条相交直线AB，AF与平面DCE平行，即可得出答案。
（2）根据题意首先假设存在G点，使用数据表示出上下面积，结合上下体积之比，即可得出答案。
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