【精品解析】高中数学人教新课标A版 选修2-2 第二章 推理与证明

高中数学人教新课标A版 选修2-2 第二章 推理与证明
一、单选题
1．（2020高二下·哈尔滨期末）“余弦函数是偶函数， 是余弦函数，因此 是偶函数”，以上推理（　　）
A．结论正确 B．小前提不正确
C．大前提不正确 D．全部正确
2．（2020高二下·齐齐哈尔期末）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点．因为函数 在 处的导数值 ，所以 是函数 的极值点．以上推理中（　　）
A．小前提错误 B．大前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
3．（2020高一下·上海期末）用数学归纳法证明等式， 时，由 到 时，等式左边应添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2020高二下·郑州期末）某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2020·平邑模拟）甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（　　）
A．甲是律师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是律师
C．甲是医生，乙是律师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是律师
6．（2020高二下·北京期中）用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是（　　）
A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4
7．（2020高二下·北京期中）用反证法证明命题“如果 可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（　　）
A．a，b都不能被5整除 B．a，b都能被5整除
C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除
8．（2020高二下·嘉兴期末）用数学归纳法证明： 时，从n=k推证 时，左边增加的代数式是（　　）
A． B． C． D．
9．（2020·新课标Ⅱ·理）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数m，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020·新高考Ⅰ）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （　　）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
11．（2020·北京）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（　　）．
A． B．
C． D．
12．（2020高二下·开鲁期末）三角形的面积为 ，其中 为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（　　）
A．
B．
C． ，（ 为四面体的高）
D． ，（ 分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）
二、多选题
13．（2020·日照模拟）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（　　）
A．该班选择去甲景点游览
B．乙景点的得票数可能会超过9
C．丙景点的得票数不会比甲景点高
D．三个景点的得票数可能会相等
14．（2020·淄博模拟）华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如： ，其中 ， .已知定义在R上不恒为0的函数 ，对任意 有： 且满足 ，则（　　）
A． B．
C． 是偶函数 D． 是奇函数
三、填空题
15．（2020·辽宁模拟）甲、乙两支足球队进行一场比赛， 三位球迷赛前在一起聊天. 说：“甲队一定获胜.”B说：“甲队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是　 　.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
16．（2020高二上·黄陵期末）用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是　 　．
17．（2020高二下·郑州期末）刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式 是一个确定值（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式 ，则 ，即 ，解得 ，取正数得 .用类似的方法可得 　 　.
18．（2020·河南模拟）现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是　 　．（填写字母）
四、解答题
19．（2020·南京模拟）已知为a，b非负实数，求证： ．
20．（2020高二下·吉林期中）用数学归纳法证明 .
21．（2020高二下·郑州期末）已知数列 满足 ， ， ，求证：数列 是递增数列.
22．（2020高二下·江西期中）已知实数a、b、c、d满足 ,求证a、b、c、d中至少有一个是负数.
23．（2020高二下·上海期中）是否存在等差数列 ，使 对任意 都成立？若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由.
24．（2020高二下·郑州期末）对于命题 ：存在一个常数 ，使得不等式 对任意正数 ， 恒成立.
（1）试给出这个常数 的值（不需要证明）；
（2）在（1）所得结论的条件下证明命题 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】由于 不是余弦函数，所以小前提不正确．
故答案为：B．
【分析】由演绎推理的定义可得出结论．
2．【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】大前提：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，错误，极值点的定义中除要求 ，还需要在 两侧的导数的符号相反．虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的，
故答案为：B．
【分析】对大前提，小前提，推理形式与结论进行判断．
3．【答案】C
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明过程，得出由 到 时，等式左边应添加的项。
4．【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.
故答案为：C.
【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案.
5．【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除B和D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生．
故答案为：C.
【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.
6．【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】由数学归纳法的证明步骤可知：当 时，等式的左边是 ，
故答案为：D．
【分析】由数学归纳法的证明步骤结合已知条件，从而求出当 时，等式的左边的项。
7．【答案】A
【知识点】反证法的应用
【解析】【解答】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
故答案为：A.
【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.
8．【答案】A
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】由题意，可得当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
所以从 到 时，左边需增加的代数式是 ，
故答案为：A．
【分析】根据题设中的等式，当n=k时，等式的左边为 ，当 时，等式的左边为 ，利用数学归纳法即可求解．
9．【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于A，
，不满足；
对于B，
，不满足；
对于D，
，不满足；
故答案为：C
【分析】分别为4个选项中k=1 ， 2， 3 ， 4进行讨论， 若有一个不满足条件，就排除 ；由题意可得周期都是5 ，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列， 继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001.
10．【答案】B
【知识点】类比推理
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，根据 ，解得 即可得结果.
11．【答案】A
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正6n边形的周长为 ，
单位圆的外切正6n边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故答案为：A.
【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为 的近似值可得出结果.
12．【答案】D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴V （S1+S2+S3+S4）r.
故答案为：D．
【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据体积公式得到答案.
13．【答案】A,C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由已知只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为9人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于9人；
若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为8人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于8人，
所以选择甲的一定大于等于10人.
故答案为：AC．
【分析】根据已知可得出游览两个景点时乙和丙选择的人数，得出游览三个景点时，选择乙和丙的人数的范围，即可得出结论.
14．【答案】A,D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】
，
，
令 ,则 ，
令 ,则 ， ，
令 ,则 ， ，
令 ,则 ， ，
故答案为：AD
【分析】创新题型，利用新知识矩阵定义求出 ，再赋值可得解
15．【答案】甲胜
【知识点】合情推理的含义与作用
【解析】【解答】若甲队获胜，则A，B判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.
故答案为：甲胜
【分析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.
16．【答案】
【知识点】数学归纳法的作用
【解析】【解答】在等式 中，当 时， ，而等式左边起始为 的连续的正整数的和，故 时，等式左边的项为 ，
故答案为 .
【分析】利用数学归纳法的推理证明过程，从而得出第一步验证 时，左边应取的项。
17．【答案】2
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由题得，令原式 ，则 ，化简为 ，解得： .
故答案为：2
【分析】根据题干中给出的提示，利用和自身的相似性列出方程求解。
18．【答案】K
【知识点】反证法的应用
【解析】【解答】由题得 ，
假设 ，则 ，此时白色的“4”在灰色的“4”的左边，不符合题意，所以假设不成立.
假设 则由题得：
白2，灰3，白7，灰8；
灰1，白5，白6，灰7；
白1，灰2，灰4，白8；
白3，白4，灰5，灰6.
故答案为：K.
【分析】由题得 ，假设 ，再推出矛盾，得到假设不成立，再假设 得到答案.
19．【答案】解：因为a，b为非负实数，
所以
，
若 时， ，从而 ，得 ，
若 时， ，从而 ，得 ，
综上， ．
【知识点】分析法和综合法
【解析】【分析】作差后因式分解，对 大小分类讨论，即可确定因式分解后式子值得符号，从而证出不等式.
20．【答案】证明：①当 时，左边 ，右边 ，等式成立；
②假 设 当 时等式成立，
即 .
那么，
即当 时等式也成立.
由①②知，等式对任何 都成立.
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.
21．【答案】证明：若 ，要证 是递增数列.
即 ，即证 对任意 成立.
下面用数学归纳法证明：
当 时， 对任意 成立.
①当 时， ，结论成立
②假设当 （ ， ）时结论成立，即
因为函数 在区间 内单调递增，
所以 ，
∴当 时， 成立.
由①，②知， 对任意 ， 成立.
因此， ，即 是递增数列.
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】若 ，要证 是递增数列．即证 对任意 成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．
22．【答案】解：假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，
即a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.
因为a＋b＝1，c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
即(ac＋bd)＋(bc＋ad)＝1.(*)
因为a，b，c，d均为非负数，所以bc＋ad≥0.
由(*)式可以知道ac＋bd≤1.这与已知条件中的ac＋bd＞1矛盾，所以假设不成立．
A，b，c，d中至少有一个负数．
【知识点】反证法的应用
【解析】【分析】利用反证法进行证明，假设a、b、c、d都是非负数，找出矛盾即可．
23．【答案】解：假设存在等差数列
满足要求
依题意 ， 对 恒成立，
， ，
所求的等差数列存在，其通项公式为 ．
【知识点】反证法的应用
【解析】【分析】假设存在等差数列 ，满足题意，通过对 整理，找出 ， ，即可说明存在数列，求出数列 的通项公式即可．
24．【答案】（1）解：根据题意，由于 对任意正数 ， 恒成立，
令 得： ，
故 ；
（2）解：先证明 .
∵ ， ，要证上式，只要证 ，
即证 ，即证 ，这显然成立.
∴ .
再证明 .
∵ ， ，要证上式，只要证 ，
即证 ，即证 ，这显然成立.
∴
【知识点】分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）根据题意，利用特殊值法，令 可得， ，分析即可得 的值；（2）由分析法的思路：先证明 ，再类比可以证明 ，综合即可得证明；
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-2 第二章 推理与证明
一、单选题
1．（2020高二下·哈尔滨期末）“余弦函数是偶函数， 是余弦函数，因此 是偶函数”，以上推理（　　）
A．结论正确 B．小前提不正确
C．大前提不正确 D．全部正确
【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】由于 不是余弦函数，所以小前提不正确．
故答案为：B．
【分析】由演绎推理的定义可得出结论．
2．（2020高二下·齐齐哈尔期末）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点．因为函数 在 处的导数值 ，所以 是函数 的极值点．以上推理中（　　）
A．小前提错误 B．大前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
【答案】B
【知识点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】大前提：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，错误，极值点的定义中除要求 ，还需要在 两侧的导数的符号相反．虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的，
故答案为：B．
【分析】对大前提，小前提，推理形式与结论进行判断．
3．（2020高一下·上海期末）用数学归纳法证明等式， 时，由 到 时，等式左边应添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明过程，得出由 到 时，等式左边应添加的项。
4．（2020高二下·郑州期末）某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.
故答案为：C.
【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案.
5．（2020·平邑模拟）甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（　　）
A．甲是律师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是律师
C．甲是医生，乙是律师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是律师
【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除B和D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生．
故答案为：C.
【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.
6．（2020高二下·北京期中）用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是（　　）
A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4
【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】由数学归纳法的证明步骤可知：当 时，等式的左边是 ，
故答案为：D．
【分析】由数学归纳法的证明步骤结合已知条件，从而求出当 时，等式的左边的项。
7．（2020高二下·北京期中）用反证法证明命题“如果 可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（　　）
A．a，b都不能被5整除 B．a，b都能被5整除
C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除
【答案】A
【知识点】反证法的应用
【解析】【解答】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
故答案为：A.
【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.
8．（2020高二下·嘉兴期末）用数学归纳法证明： 时，从n=k推证 时，左边增加的代数式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】由题意，可得当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
所以从 到 时，左边需增加的代数式是 ，
故答案为：A．
【分析】根据题设中的等式，当n=k时，等式的左边为 ，当 时，等式的左边为 ，利用数学归纳法即可求解．
9．（2020·新课标Ⅱ·理）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数m，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于A，
，不满足；
对于B，
，不满足；
对于D，
，不满足；
故答案为：C
【分析】分别为4个选项中k=1 ， 2， 3 ， 4进行讨论， 若有一个不满足条件，就排除 ；由题意可得周期都是5 ，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列， 继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001.
10．（2020·新高考Ⅰ）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （　　）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【知识点】类比推理
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，根据 ，解得 即可得结果.
11．（2020·北京）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正6n边形的周长为 ，
单位圆的外切正6n边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故答案为：A.
【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为 的近似值可得出结果.
12．（2020高二下·开鲁期末）三角形的面积为 ，其中 为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（　　）
A．
B．
C． ，（ 为四面体的高）
D． ，（ 分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）
【答案】D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴V （S1+S2+S3+S4）r.
故答案为：D．
【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据体积公式得到答案.
二、多选题
13．（2020·日照模拟）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（　　）
A．该班选择去甲景点游览
B．乙景点的得票数可能会超过9
C．丙景点的得票数不会比甲景点高
D．三个景点的得票数可能会相等
【答案】A,C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】由已知只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为9人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于9人；
若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为8人，
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于8人，
所以选择甲的一定大于等于10人.
故答案为：AC．
【分析】根据已知可得出游览两个景点时乙和丙选择的人数，得出游览三个景点时，选择乙和丙的人数的范围，即可得出结论.
14．（2020·淄博模拟）华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如： ，其中 ， .已知定义在R上不恒为0的函数 ，对任意 有： 且满足 ，则（　　）
A． B．
C． 是偶函数 D． 是奇函数
【答案】A,D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】
，
，
令 ,则 ，
令 ,则 ， ，
令 ,则 ， ，
令 ,则 ， ，
故答案为：AD
【分析】创新题型，利用新知识矩阵定义求出 ，再赋值可得解
三、填空题
15．（2020·辽宁模拟）甲、乙两支足球队进行一场比赛， 三位球迷赛前在一起聊天. 说：“甲队一定获胜.”B说：“甲队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是　 　.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
【答案】甲胜
【知识点】合情推理的含义与作用
【解析】【解答】若甲队获胜，则A，B判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.
故答案为：甲胜
【分析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.
16．（2020高二上·黄陵期末）用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是　 　．
【答案】
【知识点】数学归纳法的作用
【解析】【解答】在等式 中，当 时， ，而等式左边起始为 的连续的正整数的和，故 时，等式左边的项为 ，
故答案为 .
【分析】利用数学归纳法的推理证明过程，从而得出第一步验证 时，左边应取的项。
17．（2020高二下·郑州期末）刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式 是一个确定值（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式 ，则 ，即 ，解得 ，取正数得 .用类似的方法可得 　 　.
【答案】2
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由题得，令原式 ，则 ，化简为 ，解得： .
故答案为：2
【分析】根据题干中给出的提示，利用和自身的相似性列出方程求解。
18．（2020·河南模拟）现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是　 　．（填写字母）
【答案】K
【知识点】反证法的应用
【解析】【解答】由题得 ，
假设 ，则 ，此时白色的“4”在灰色的“4”的左边，不符合题意，所以假设不成立.
假设 则由题得：
白2，灰3，白7，灰8；
灰1，白5，白6，灰7；
白1，灰2，灰4，白8；
白3，白4，灰5，灰6.
故答案为：K.
【分析】由题得 ，假设 ，再推出矛盾，得到假设不成立，再假设 得到答案.
四、解答题
19．（2020·南京模拟）已知为a，b非负实数，求证： ．
【答案】解：因为a，b为非负实数，
所以
，
若 时， ，从而 ，得 ，
若 时， ，从而 ，得 ，
综上， ．
【知识点】分析法和综合法
【解析】【分析】作差后因式分解，对 大小分类讨论，即可确定因式分解后式子值得符号，从而证出不等式.
20．（2020高二下·吉林期中）用数学归纳法证明 .
【答案】证明：①当 时，左边 ，右边 ，等式成立；
②假 设 当 时等式成立，
即 .
那么，
即当 时等式也成立.
由①②知，等式对任何 都成立.
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.
21．（2020高二下·郑州期末）已知数列 满足 ， ， ，求证：数列 是递增数列.
【答案】证明：若 ，要证 是递增数列.
即 ，即证 对任意 成立.
下面用数学归纳法证明：
当 时， 对任意 成立.
①当 时， ，结论成立
②假设当 （ ， ）时结论成立，即
因为函数 在区间 内单调递增，
所以 ，
∴当 时， 成立.
由①，②知， 对任意 ， 成立.
因此， ，即 是递增数列.
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】若 ，要证 是递增数列．即证 对任意 成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．
22．（2020高二下·江西期中）已知实数a、b、c、d满足 ,求证a、b、c、d中至少有一个是负数.
【答案】解：假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，
即a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.
因为a＋b＝1，c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
即(ac＋bd)＋(bc＋ad)＝1.(*)
因为a，b，c，d均为非负数，所以bc＋ad≥0.
由(*)式可以知道ac＋bd≤1.这与已知条件中的ac＋bd＞1矛盾，所以假设不成立．
A，b，c，d中至少有一个负数．
【知识点】反证法的应用
【解析】【分析】利用反证法进行证明，假设a、b、c、d都是非负数，找出矛盾即可．
23．（2020高二下·上海期中）是否存在等差数列 ，使 对任意 都成立？若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由.
【答案】解：假设存在等差数列
满足要求
依题意 ， 对 恒成立，
， ，
所求的等差数列存在，其通项公式为 ．
【知识点】反证法的应用
【解析】【分析】假设存在等差数列 ，满足题意，通过对 整理，找出 ， ，即可说明存在数列，求出数列 的通项公式即可．
24．（2020高二下·郑州期末）对于命题 ：存在一个常数 ，使得不等式 对任意正数 ， 恒成立.
（1）试给出这个常数 的值（不需要证明）；
（2）在（1）所得结论的条件下证明命题 .
【答案】（1）解：根据题意，由于 对任意正数 ， 恒成立，
令 得： ，
故 ；
（2）解：先证明 .
∵ ， ，要证上式，只要证 ，
即证 ，即证 ，这显然成立.
∴ .
再证明 .
∵ ， ，要证上式，只要证 ，
即证 ，即证 ，这显然成立.
∴
【知识点】分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）根据题意，利用特殊值法，令 可得， ，分析即可得 的值；（2）由分析法的思路：先证明 ，再类比可以证明 ，综合即可得证明；
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