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高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.6微积分基本定理
一、单选题
1．（2020高二下·哈尔滨期末） （ ）
A．－1 B．1 C．2 D．4
2．（2020高二下·吉林期末）已知曲线 和曲线 围成一个叶形图；则其面积为 （ ）
A．1 B． C． D．
3．（2020高二下·吉林期中） （ ）
A．4 B．1 C． D．
4．（2020高二下·哈尔滨期末）函数 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019高二上·阜阳月考）函数 与两条平行线 ， 及 轴围成的区域面积是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020高二下·洛阳期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二下·江西期中）如图，阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二下·呼和浩特月考）下列积分值等于1的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020高二下·六安月考）如图，两曲线 与 所围成的图形面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．3
10．（2020·南昌模拟）正项等比数列 中， 的等比中项为 ，令 ，则 （ ）
A．6 B．16 C．32 D．64
11．（2019高三上·衡阳月考）已知函数 ，则定积分 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·郑州模拟）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线 时，表示收入完全不平等记区域 为不平等区域，a表示其面积，S为 的面积．将 ，称为基尼系数．对于下列说法：
① 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为 ，则对 ，均有 ；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ．其中不正确的是：（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题
13．（2020高二下·商丘期末）计算 .
14．（2020高二下·南昌期末）已知函数 ，则 ．
15．（2020高二下·六安月考）如图阴影部分是由曲线 ， 与直线 ， 围成，则其面积为 ．
16．（2020高二下·新余期末）已知 是函数 的导函数，定义 为 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的拐点，经研究发现，所有的三次函数 都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 ，若点 是函数 的“拐点”也是函数 图像上的点，则 .
三、解答题
17．（2018高二上·白城月考）求 的值
18．（2018高二下·陆川月考）如图，求直线 与抛物线 所围成的图形的面积.
19．（2020高二下·宾县期末）计算由曲线 ， 所围图形的面积S.
20．（2020高二下·吉林期中）将由曲线 和直线 ， 所围成图形的面积写成定积分的形式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】∵ 为奇函数，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C
【分析】由 为奇函数，可知 ，从而易得结果.
2．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由题得函数的图象如图所示，
联立 得交点（1，1）
所以叶形图面积为 .
故答案为：D
【分析】先作出两个函数的图象，再利用定积分求面积得解.
3．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】设 ，则 ，其中 ， .
的几何意义为图中阴影面积，设 ，易知 ，
则 .
故答案为：D.
【分析】设 ，变换得到 的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案.
4．【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由图可得阴影部分的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5．【答案】B
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】根据定积分的几何意义直接求出 在区间 的定积分，即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】设 ，
所以 ，
，
所以 ，
解得 ，
即 .
故答案为：A
【分析】设 ，根据 ，由 求解.
7．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ，
，
，
故答案为：D.
【分析】利用定积分求面积的方法，从而求出阴影部分的面积。
8．【答案】D
【知识点】定积分的简单应用；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ；
令 ，则 ，因为 表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分
则
故答案为：D
【分析】根据牛顿莱布尼兹公式求解即可.
9．【答案】B
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由 得 或
故两曲线所围成的阴影部分的面积
故选：B.
【分析】求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得.
10．【答案】D
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】因为 ，即 ，
又 ，所以 。
故答案为：D.
【分析】利用定积分求出 的等比中项，再利用等比中项公式结合等比数列的性质，从而得出，最后求出的值。
11．【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】解：依题意，
其中 表示以（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，
所以
故答案为：C．
【分析】依题意， ，根据定积分的几何意义， 表示以（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，计算即可．
12．【答案】B
【知识点】微积分基本定理
【解析】【解答】解：依题意当a越小时， 越小，则国民分配越公平，故①正确；
当收入完全平等时，劳伦茨曲线为直线 ，此时 ，故②错误；
当劳伦茨曲线近似为 时， ， ，所以 ，故③错误；
当劳伦茨曲线近似为 时， ， ，所以 ，故④正确；
故答案为：B
【分析】依题意，利用微积分基本定理求出a的面积，即可判断；
13．【答案】
【知识点】微积分基本定理
【解析】【解答】 ,
故答案为 .
【分析】由微积分基本定理直接计算即可.
14．【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ，
而 ， 表示半圆 的面积，即 ，则 。
【分析】利用函数的解析式结合定积分求面积的方法，从而求出定积分的值。
15．【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由题意可知，面积为：
【分析】本题可以先将曲线 ， 与直线 ， 所围成图形画出，再将其分为两部分分别计算出面积．
16．【答案】
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 ，
， ，
由 ，
可得 ，解得 ，
因为点 是函数 的“拐点”，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
由 可得， ，
当 ， 时，对应圆中的部分面积为 ，
由定积分的意义可知， ，
，
，
故答案为：
【分析】根据新定义拐点可求出 ，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出 和 即可.
17．【答案】解：∵ 为奇函数，
∴
∴
【知识点】微积分基本定理
【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合定积分的几何意义及微积分基本定理，即可求出定积分的值.
18．【答案】解： 或
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】通过求交点坐标确定积分上下限，利用微积分基本定理即可求出所围图形的面积.
19．【答案】解：作出图象（如图所示）．
由 ，解得 或 ，
所以点 ．
结合图形可得所求面积为： ．
故所求面积为
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】画出草图，求出两曲线的交点坐标，确定被积函数和积分区间，然后根据定积分进行求解即可．
20．【答案】解：曲线 和直线 ， 所围成图形如下图阴影部分所示：
则可表示为： .
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】画出曲线 和直线 ， 所围成图形，表示成定积分．
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高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.6微积分基本定理
一、单选题
1．（2020高二下·哈尔滨期末） （ ）
A．－1 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】∵ 为奇函数，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C
【分析】由 为奇函数，可知 ，从而易得结果.
2．（2020高二下·吉林期末）已知曲线 和曲线 围成一个叶形图；则其面积为 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由题得函数的图象如图所示，
联立 得交点（1，1）
所以叶形图面积为 .
故答案为：D
【分析】先作出两个函数的图象，再利用定积分求面积得解.
3．（2020高二下·吉林期中） （ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】设 ，则 ，其中 ， .
的几何意义为图中阴影面积，设 ，易知 ，
则 .
故答案为：D.
【分析】设 ，变换得到 的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案.
4．（2020高二下·哈尔滨期末）函数 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由图可得阴影部分的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5．（2019高二上·阜阳月考）函数 与两条平行线 ， 及 轴围成的区域面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】根据定积分的几何意义直接求出 在区间 的定积分，即可得出答案。
6．（2020高二下·洛阳期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】设 ，
所以 ，
，
所以 ，
解得 ，
即 .
故答案为：A
【分析】设 ，根据 ，由 求解.
7．（2020高二下·江西期中）如图，阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ，
，
，
故答案为：D.
【分析】利用定积分求面积的方法，从而求出阴影部分的面积。
8．（2020高二下·呼和浩特月考）下列积分值等于1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】定积分的简单应用；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ；
令 ，则 ，因为 表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分
则
故答案为：D
【分析】根据牛顿莱布尼兹公式求解即可.
9．（2020高二下·六安月考）如图，两曲线 与 所围成的图形面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．3
【答案】B
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由 得 或
故两曲线所围成的阴影部分的面积
故选：B.
【分析】求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得.
10．（2020·南昌模拟）正项等比数列 中， 的等比中项为 ，令 ，则 （ ）
A．6 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】因为 ，即 ，
又 ，所以 。
故答案为：D.
【分析】利用定积分求出 的等比中项，再利用等比中项公式结合等比数列的性质，从而得出，最后求出的值。
11．（2019高三上·衡阳月考）已知函数 ，则定积分 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】解：依题意，
其中 表示以（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，
所以
故答案为：C．
【分析】依题意， ，根据定积分的几何意义， 表示以（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，计算即可．
12．（2020·郑州模拟）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线 时，表示收入完全不平等记区域 为不平等区域，a表示其面积，S为 的面积．将 ，称为基尼系数．对于下列说法：
① 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为 ，则对 ，均有 ；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ．其中不正确的是：（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
【答案】B
【知识点】微积分基本定理
【解析】【解答】解：依题意当a越小时， 越小，则国民分配越公平，故①正确；
当收入完全平等时，劳伦茨曲线为直线 ，此时 ，故②错误；
当劳伦茨曲线近似为 时， ， ，所以 ，故③错误；
当劳伦茨曲线近似为 时， ， ，所以 ，故④正确；
故答案为：B
【分析】依题意，利用微积分基本定理求出a的面积，即可判断；
二、填空题
13．（2020高二下·商丘期末）计算 .
【答案】
【知识点】微积分基本定理
【解析】【解答】 ,
故答案为 .
【分析】由微积分基本定理直接计算即可.
14．（2020高二下·南昌期末）已知函数 ，则 ．
【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 ，
而 ， 表示半圆 的面积，即 ，则 。
【分析】利用函数的解析式结合定积分求面积的方法，从而求出定积分的值。
15．（2020高二下·六安月考）如图阴影部分是由曲线 ， 与直线 ， 围成，则其面积为 ．
【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由题意可知，面积为：
【分析】本题可以先将曲线 ， 与直线 ， 所围成图形画出，再将其分为两部分分别计算出面积．
16．（2020高二下·新余期末）已知 是函数 的导函数，定义 为 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的拐点，经研究发现，所有的三次函数 都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 ，若点 是函数 的“拐点”也是函数 图像上的点，则 .
【答案】
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 ，
， ，
由 ，
可得 ，解得 ，
因为点 是函数 的“拐点”，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
由 可得， ，
当 ， 时，对应圆中的部分面积为 ，
由定积分的意义可知， ，
，
，
故答案为：
【分析】根据新定义拐点可求出 ，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出 和 即可.
三、解答题
17．（2018高二上·白城月考）求 的值
【答案】解：∵ 为奇函数，
∴
∴
【知识点】微积分基本定理
【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合定积分的几何意义及微积分基本定理，即可求出定积分的值.
18．（2018高二下·陆川月考）如图，求直线 与抛物线 所围成的图形的面积.
【答案】解： 或
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】通过求交点坐标确定积分上下限，利用微积分基本定理即可求出所围图形的面积.
19．（2020高二下·宾县期末）计算由曲线 ， 所围图形的面积S.
【答案】解：作出图象（如图所示）．
由 ，解得 或 ，
所以点 ．
结合图形可得所求面积为： ．
故所求面积为
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】画出草图，求出两曲线的交点坐标，确定被积函数和积分区间，然后根据定积分进行求解即可．
20．（2020高二下·吉林期中）将由曲线 和直线 ， 所围成图形的面积写成定积分的形式．
【答案】解：曲线 和直线 ， 所围成图形如下图阴影部分所示：
则可表示为： .
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】画出曲线 和直线 ， 所围成图形，表示成定积分．
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