初中数学苏科版九年级上册1.1—1.2 一元二次方程 同步测试
一、单选题
1．（2020·包河模拟）一元二次方程x2 ＋2x＝0的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝－2
C．x1＝2 x2＝0 D．x1＝－2 x2＝0
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x=0或-2，
故答案为：D．
【分析】本题应对原方程进行因式分解，得出x(x+2)=0，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
2．（2020八下·蚌埠月考）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为符合题意答案．
3．（2020·嘉兴模拟）用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13
C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13.
故答案为：A.
【分析】将常数项移到等号右边，得x2﹣6x＝4，接着两边同时加上一次项系数一半的平方，然后方程左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
4．（2020·宽城模拟）关于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根。 B．有两个相等的实数根。
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△=a2-4×1×（-1）=a2+4＞0
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合一元二次方程根的判别式，即可得到答案。
5．（2020·湖州）已知关于x的一元二次方程 ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： △ ，
方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程跟的判别式，求出b2-4ac的值，再根据其值进行判断即可。
二、填空题
6．（2019八下·哈尔滨期中）方程 是关于x的一元二次方程，则m= ．
【答案】±1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴2|m|=2且m+2≠0
解得：m=±1
故答案为：±1．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，2|m|=2，求出即可．
7．（2020·港南模拟）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的解，则代数式2020+2a+b的值是 .
【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的解，
∴4a+2b﹣8＝0，
∴4a+2b＝8，
∴2a+b＝4，
∴2020+2a+b
＝2020+（2a+b）
＝2020+4
＝2024，
故答案为：2024.
【分析】根据x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的解，可以得到2a+b的值，然后代入代数式2020+2a+b，即可求得所求式子的值.
8．（2020·新泰模拟）已知x=1是关于x的一元二次方程(1-k)x +k x-1=0的根，则常数k的值为 。
【答案】0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】将x=1代入(1-k)x +k x-1=0中，
得k -k=0，解得k=1或0，
∵1-k≠0，∴k≠1，
∴k=0.
故答案为：0.
【分析】将x=1代入(1-k)x +k x-1=0中，求出k值，由1-k≠0，据此即得k值.
9．（2020·成华模拟）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m= ．
【答案】﹣3或4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】根据题意得：[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2=24，
（2m﹣1）2﹣49=0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）=0，
2m﹣1+7=0或2m﹣1﹣7=0，
∴m1=﹣3，m2=4．
故答案为：﹣3或4．
【分析】根据新定义的运算法则，得到关于m的一元二次方程，利用因式分解法，即可求解
10．（2020·上海模拟）如果关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴ =b2-4ac=12-4k=0，
解得：k=3．
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式 =b2-4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值即可．
11．（2020·河南模拟）关于x的一元二次方程（2﹣a）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则整数a的最小值是 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得2-a≠0，且△=（-2）2-4（2-a）×1＞0，
解得：a＞1且a≠2，
∴整数a的最小值为：3.
故答案为：3.
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到2-a≠0且△=（-2）2-4（2-a）×1＞0，然后求出a的范围后确定最小整数值.
12．（2020·成都模拟）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 ．
【答案】x3＝0，x4＝﹣3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
13．（2020·绍兴模拟）如图，四边形ABCD中，CD=AD，∠CDA=∠ABD=90°，点E为CD边的中点，连接BE，AB=2，BC= ，则BD= 。
【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥BD于点F，
∴∠CFD=∠ABD=∠CDA=90°，
∴∠DCF+∠CDF=90°，∠ADB+∠CDF=90°，
∴∠DCF=∠ADB，
在△CDF和△DAB中
∴△CDF≌△DAB（AAS）
∴AB=DF=2，CF=BD
设BD=CF=x，则BF=x-2
在Rt△CBF中，
BF2+CF2=BC2
∴（x-2）2+x2=
整理得：x2-2x-15=0
解之：x1=5，x2=-3
∴BD=5.
故答案为：5.
【分析】由同角的余角相等可得∠DCF=∠ADB，利用AAS可证三角形全等，用全等三角形的性质可得AB=DF=2，CF=BD，由勾股定理 BF2+CF2=BC2可列方程，解方程即可求解BD。
14．（2020八下·遵化期中）如图是一个运算程序的示意图，若输出y的值为2，则输入x的值可能为 ．
【答案】1或3
【知识点】解一元一次方程；直接开平方法解一元二次方程；解分式方程；数学思想
【解析】【解答】解：当x+1=2时，x=1，不符合x≤0；
当x2+1=2时，x=±1，此时x=1符合；
当 =2时，x=3，此时符合；
∴x=3或x=1，
故答案为：1或3．
【分析】分别令三种情况的y=2，求出相应的x，判断x是否满足所在范围即可．
15．（2020·青羊模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，点P为AB边上的一个动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC交BC边于点Q，则BQ的最大值为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4 ，BC＝ AC＝6，
∵∠AFC＝90°，∠A＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝ ，CF＝3，
设PF＝x，BQ＝y，
∴QE＝ BQ＝ y，BE＝ y，
∴PE＝3 ﹣ y﹣x，
∵PQ⊥PC，
∴∠PEQ＝∠CFP＝∠CPQ＝90°，
∴∠EQP+∠EPQ＝∠EPQ+∠CPF＝90°，
∴∠PQE＝∠CPF，
∴△PEQ∽△CFP，
∴ ，
∴
∴x2+（ y﹣3 ）x+ ＝0，
∵方程有实数解，
∴△≥0，
∴（ y﹣3 ）2﹣6y≥0，
整理得，y2﹣20y+36≥0，
解得y≤2或y≥18（舍弃），
∴BQ≤2，
∴BQ的最大值为2．
故答案为2．
【分析】过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，利用相似三角形的性质根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
三、计算题
16．（2020·新北模拟）解方程：
（1）x2﹣1＝3（x﹣1）
（2）x2﹣4x＝ －1
【答案】（1）解：
或
；
（2）解：
.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可.
17．（2020九下·盐都期中）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x+1）2＝2（x+1）.
【答案】（1）解：∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
解得x＝﹣1或x＝5
（2）解：∵（x+1）2＝2（x+1）.
∴（x+1）（x﹣1）＝0，
则x+1＝0或x﹣1＝0，
解得x＝﹣1或x＝1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得.
四、综合题
18．（2020·北京模拟）已知关于x的方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根均为正整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）解：由题意，得
．
∵不论m为何实数， 恒成立，即 恒成立，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：此题答案不唯一
由求根公式，得
，
∴原方程的根为 ．
∵方程的两个根都是正整数，
∴取 ，
此时方程的两根为 ．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意证明△≥0即可；（2）利用求根公式，结合根为正整数即可得到m的值，故可求解．
19．（2020九上·建湖期末）已知关于 的方程 .
（1）求证：不论 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为 ，求 的值.
【答案】（1）证明：
，
即 .
不论 取何值，方程必有两个不相等的实数根
（2）解：将 代入原方程得 ，
解得：
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】(1)计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可,(2)直接把x=-3代入方程即可求出k的值；
20．已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0，其中a、b、c分别为 三边的长.
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由.
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由.
（3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形，理由：当x=-1时，（a+b）-2c+（b-a）=0，∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax=0，
即：x2+x=0，∴x（x+1）=0，
∴x1=0，x2=-1，
即：这个一元二次方程的根为x1=0，x2=-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意将x=-1代入方程可得（a+b）-2c+（b-a）=0，整理得b=c，根据等腰三角形的定义可知，△ABC是等腰三角形；
（2）由一元二次方程的根的判别式可得，方程有两个相等的实数根，则，即（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，整理得a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形；
（3）由等边三角形的性质可知，a=b=c，代入方程可得2ax2+2ax=0，解得x1=0，x2=-1。
1 / 1初中数学苏科版九年级上册1.1—1.2 一元二次方程 同步测试
一、单选题
1．（2020·包河模拟）一元二次方程x2 ＋2x＝0的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝－2
C．x1＝2 x2＝0 D．x1＝－2 x2＝0
2．（2020八下·蚌埠月考）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
3．（2020·嘉兴模拟）用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13
C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5
4．（2020·宽城模拟）关于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根。 B．有两个相等的实数根。
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2020·湖州）已知关于x的一元二次方程 ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
二、填空题
6．（2019八下·哈尔滨期中）方程 是关于x的一元二次方程，则m= ．
7．（2020·港南模拟）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的解，则代数式2020+2a+b的值是 .
8．（2020·新泰模拟）已知x=1是关于x的一元二次方程(1-k)x +k x-1=0的根，则常数k的值为 。
9．（2020·成华模拟）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m= ．
10．（2020·上海模拟）如果关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是 ．
11．（2020·河南模拟）关于x的一元二次方程（2﹣a）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则整数a的最小值是 .
12．（2020·成都模拟）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 ．
13．（2020·绍兴模拟）如图，四边形ABCD中，CD=AD，∠CDA=∠ABD=90°，点E为CD边的中点，连接BE，AB=2，BC= ，则BD= 。
14．（2020八下·遵化期中）如图是一个运算程序的示意图，若输出y的值为2，则输入x的值可能为 ．
15．（2020·青羊模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，点P为AB边上的一个动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC交BC边于点Q，则BQ的最大值为 ．
三、计算题
16．（2020·新北模拟）解方程：
（1）x2﹣1＝3（x﹣1）
（2）x2﹣4x＝ －1
17．（2020九下·盐都期中）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x+1）2＝2（x+1）.
四、综合题
18．（2020·北京模拟）已知关于x的方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根均为正整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
19．（2020九上·建湖期末）已知关于 的方程 .
（1）求证：不论 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为 ，求 的值.
20．已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0，其中a、b、c分别为 三边的长.
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由.
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由.
（3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x=0或-2，
故答案为：D．
【分析】本题应对原方程进行因式分解，得出x(x+2)=0，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为符合题意答案．
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13.
故答案为：A.
【分析】将常数项移到等号右边，得x2﹣6x＝4，接着两边同时加上一次项系数一半的平方，然后方程左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△=a2-4×1×（-1）=a2+4＞0
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合一元二次方程根的判别式，即可得到答案。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： △ ，
方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程跟的判别式，求出b2-4ac的值，再根据其值进行判断即可。
6．【答案】±1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴2|m|=2且m+2≠0
解得：m=±1
故答案为：±1．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，2|m|=2，求出即可．
7．【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的解，
∴4a+2b﹣8＝0，
∴4a+2b＝8，
∴2a+b＝4，
∴2020+2a+b
＝2020+（2a+b）
＝2020+4
＝2024，
故答案为：2024.
【分析】根据x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的解，可以得到2a+b的值，然后代入代数式2020+2a+b，即可求得所求式子的值.
8．【答案】0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】将x=1代入(1-k)x +k x-1=0中，
得k -k=0，解得k=1或0，
∵1-k≠0，∴k≠1，
∴k=0.
故答案为：0.
【分析】将x=1代入(1-k)x +k x-1=0中，求出k值，由1-k≠0，据此即得k值.
9．【答案】﹣3或4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】根据题意得：[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2=24，
（2m﹣1）2﹣49=0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）=0，
2m﹣1+7=0或2m﹣1﹣7=0，
∴m1=﹣3，m2=4．
故答案为：﹣3或4．
【分析】根据新定义的运算法则，得到关于m的一元二次方程，利用因式分解法，即可求解
10．【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴ =b2-4ac=12-4k=0，
解得：k=3．
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式 =b2-4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值即可．
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得2-a≠0，且△=（-2）2-4（2-a）×1＞0，
解得：a＞1且a≠2，
∴整数a的最小值为：3.
故答案为：3.
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到2-a≠0且△=（-2）2-4（2-a）×1＞0，然后求出a的范围后确定最小整数值.
12．【答案】x3＝0，x4＝﹣3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
13．【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥BD于点F，
∴∠CFD=∠ABD=∠CDA=90°，
∴∠DCF+∠CDF=90°，∠ADB+∠CDF=90°，
∴∠DCF=∠ADB，
在△CDF和△DAB中
∴△CDF≌△DAB（AAS）
∴AB=DF=2，CF=BD
设BD=CF=x，则BF=x-2
在Rt△CBF中，
BF2+CF2=BC2
∴（x-2）2+x2=
整理得：x2-2x-15=0
解之：x1=5，x2=-3
∴BD=5.
故答案为：5.
【分析】由同角的余角相等可得∠DCF=∠ADB，利用AAS可证三角形全等，用全等三角形的性质可得AB=DF=2，CF=BD，由勾股定理 BF2+CF2=BC2可列方程，解方程即可求解BD。
14．【答案】1或3
【知识点】解一元一次方程；直接开平方法解一元二次方程；解分式方程；数学思想
【解析】【解答】解：当x+1=2时，x=1，不符合x≤0；
当x2+1=2时，x=±1，此时x=1符合；
当 =2时，x=3，此时符合；
∴x=3或x=1，
故答案为：1或3．
【分析】分别令三种情况的y=2，求出相应的x，判断x是否满足所在范围即可．
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4 ，BC＝ AC＝6，
∵∠AFC＝90°，∠A＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝ ，CF＝3，
设PF＝x，BQ＝y，
∴QE＝ BQ＝ y，BE＝ y，
∴PE＝3 ﹣ y﹣x，
∵PQ⊥PC，
∴∠PEQ＝∠CFP＝∠CPQ＝90°，
∴∠EQP+∠EPQ＝∠EPQ+∠CPF＝90°，
∴∠PQE＝∠CPF，
∴△PEQ∽△CFP，
∴ ，
∴
∴x2+（ y﹣3 ）x+ ＝0，
∵方程有实数解，
∴△≥0，
∴（ y﹣3 ）2﹣6y≥0，
整理得，y2﹣20y+36≥0，
解得y≤2或y≥18（舍弃），
∴BQ≤2，
∴BQ的最大值为2．
故答案为2．
【分析】过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，利用相似三角形的性质根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
16．【答案】（1）解：
或
；
（2）解：
.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可.
17．【答案】（1）解：∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
解得x＝﹣1或x＝5
（2）解：∵（x+1）2＝2（x+1）.
∴（x+1）（x﹣1）＝0，
则x+1＝0或x﹣1＝0，
解得x＝﹣1或x＝1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得.
18．【答案】（1）解：由题意，得
．
∵不论m为何实数， 恒成立，即 恒成立，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：此题答案不唯一
由求根公式，得
，
∴原方程的根为 ．
∵方程的两个根都是正整数，
∴取 ，
此时方程的两根为 ．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意证明△≥0即可；（2）利用求根公式，结合根为正整数即可得到m的值，故可求解．
19．【答案】（1）证明：
，
即 .
不论 取何值，方程必有两个不相等的实数根
（2）解：将 代入原方程得 ，
解得：
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】(1)计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可,(2)直接把x=-3代入方程即可求出k的值；
20．【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形，理由：当x=-1时，（a+b）-2c+（b-a）=0，∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax=0，
即：x2+x=0，∴x（x+1）=0，
∴x1=0，x2=-1，
即：这个一元二次方程的根为x1=0，x2=-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意将x=-1代入方程可得（a+b）-2c+（b-a）=0，整理得b=c，根据等腰三角形的定义可知，△ABC是等腰三角形；
（2）由一元二次方程的根的判别式可得，方程有两个相等的实数根，则，即（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，整理得a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形；
（3）由等边三角形的性质可知，a=b=c，代入方程可得2ax2+2ax=0，解得x1=0，x2=-1。
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