浙江省衢州市实验学校教育集团2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．-2的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
2．（2022九下·衢州开学考）由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022九下·衢州开学考）今年的春晚继续拓展中央广播电视总台全媒体融合传播优势，刷新了跨媒体传播纪录.数据显示，春晚跨媒体受众总规模达12.72亿人.其中数据12.72亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九下·衢州开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·鄞州模拟）某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同.若知道某位选手的决赛得分，要判断她能否获奖，只需知道这11名选手得分的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
6．（2022九下·衢州开学考）如图，已知 ，添加下列条件中的一个，不能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2016·河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
8．（2022九下·衢州开学考）圆锥的母线长为10，底面半径为3，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15π B．30π C．39π D．60π
9．（2022九下·衢州开学考）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·鄞州模拟）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（ ）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝ b D．a＝3b
二、填空题
11．（2016八下·番禺期末）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
12．（2022九下·衢州开学考）若一个正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形的边数是 .
13．（2022九下·衢州开学考）某校安排三辆车，组织九年级学生去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为 .
14．（2022九下·衢州开学考）在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜 场.
15．（2020·澄海模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在边BC上，把△DEC沿DE翻折后，点C落在C′处．若△ABC′恰为等腰三角形，则CE的长为 ．
16．（2022九下·衢州开学考）如图，点P是反比例函数 图象上的点，PA垂直x轴于点A（－1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB= .
（1）k的值是 ；
（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是 .
三、解答题
17．（2022九下·衢州开学考）
18．（2022九下·衢州开学考）解方程：
19．（2022九下·衢州开学考）图①、图②都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在图①、图②中，分别以AB为边画一个面积为 的三角形，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法.
（1）在图①中画 ，使 .
（2）在图②中画 ，使AB边上的高将 分成面积比为 的两部分.
20．（2022九下·衢州开学考）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 .
（2）请补全条形统计图，并求在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 ▲
度.
（3）若该超市一周内有3000名购买者，请你估计这一周内使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
21．（2022九下·衢州开学考）共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： ， ， ， ）
22．（2022九下·衢州开学考）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E.若CE＝2， ，求⊙O的半径.
23．（2022九下·衢州开学考）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现：
①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天） 1 3 6 10 36 …
日销售量m（件） 94 90 84 76 24 …
②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示：
请结合上述信息解决下列问题：
（1）经计算得，当0（2）请预测未来40天中哪一天的单价是26元/件？
（3）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
24．（2022九下·衢州开学考）爱好思考的小实在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
（1）【特例探究】
①如图1，当tan∠PAB＝1， 时，a＝ ，b＝ .
②如图2，当∠PAB＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ .
（2）【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，猜想 、 、 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论.
（3）【拓展证明】
如图4，在△ABC中， ， ，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至点G，使得GE＝DE，连结BG.若BG⊥AC于点M时，求GF的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-2的相反数是2，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体的形状可知，从上面看时，看到的是三个小正方形排成一排，
故答案为：B.
【分析】根据俯视图的定义可知俯视图有3列，从左到右小正方形的个数依次为1、1、1.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12.72亿=1272000000=
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A选项：
与
不是同类项，不能合并，故A错误；
B选项：
，故B错误；
C选项：
，故C错误；
D选项：
，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法及除法、幂的乘方分别进行计算，然后判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：11个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了，
故答案为：A。
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的意义即可一一判断得出答案。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】由
，还有一条公共边AB，故
A.
，可利用AAS判定
；
B.
，可利用SAS判定
；
C.
，可利用ASA判定
；
D.
，不能判定
；
故答案为：D.
【分析】已知
，AB=AB，要使
，可根据SAS、AAS、ASA进行添加即可.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故选C．
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．
8．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】这个圆锥的侧面积=π×3×10=30π，
故答案为：B.
【分析】圆锥的侧面积=πrl，据此计算即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，
则
，
∴
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴sin∠A=
又
∴sin∠A=
＝
故答案为：C
【分析】连接格点CD，设1个网格的边长为x，可得
，
，根据勾股定理的逆定理可得∠BDC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据sin∠A=
即可求解.
10．【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由图形可知，
S2=（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2，
S1=（a+b）2-S2=2ab-b2，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故答案为：B。
【分析】根据几何图形的面积计算方法分贝表示出S1,S2，再根据 S2＝2S1， 列出方程，整理利用完全平方公式分别因式后即可找出a,b的关系。
11．【答案】x≥1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
12．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵360°÷36°=10，
∴这个正多边形为十边形，
∴这个正多边形的边数为10，
故答案为：10.
【分析】利用多边形外角和度数360°除以36°，即得正多边形的边数.
13．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：设3辆车分别为A，B，C，画出树状图如下图：
得到共有9种情况，在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为
.
故答案为：
【分析】利用树状图列举出共有9种情况，其中在同一辆车的情况数有3种，然后利用概率公式计算即可.
14．【答案】8
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设这个班要胜x场，则负
场，
由题意得，
，
解得：
，
∵场次x为正整数，
∴ .
答：这个班至少要胜8场.
故答案为：8.
【分析】设这个班要胜x场，则负
场， 根据28场比赛中得分大于43分，列出不等式，求出其最小正整数即可.
15．【答案】2或
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况解答：
（1）如图1，当C′A=C′B时,作C′H⊥AD于H，交BC于F.
图1
利用等腰三角形和矩形的轴对称性可知：易知HC′=FC′=AB=1.
由折叠可知：C′D=CD，∠DC′E=∠C=90°
在Rt△DHC′中，利用勾股定理得：DH=
∴CF=DH=
∵∠DHC′=∠CFE=∠DC′E=90°
∴∠HDC′+∠HC′D=∠FC′E+∠HC′D=90°
∴∠HDC′=∠FEC′
∴△DHC′∽△C′FE
∴，即
∴EF=
∴CE==；
（2）如图2，当AB=AC′=2时,点C′在AD上,此时四边形C′ECD是正方形,
图2
∴CE=2.
综上所述,满足条件的CE的值为2或.
【分析】分当C′A=C′B和AB=AC′两种情形分别求解即可。
16．【答案】（1）-4
（2）0＜a＜2或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）依题意，AO=1，OC=1，PA∥OB，
∴AB是Rt△PAC斜边上的中线.
∵AB=
，
∴PC=
.
∴在Rt△PAC中，AC=2，AP= ，PC= ，
∴根据勾股定理，得：
，解得
.
∵ ，
∴ .
（2）分两种情况：
①当点M在x轴下方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：当∠MBA＝∠ABC时，点M是PC与双曲线的另一个交点，由B（0，2），C（1，0）易得直线PC的解析式为
，与
联立：
，解得：
或
（点P坐标，舍去），
∴当∠MBA＝∠ABC时，点M的坐标为（2，－2）.
∴当∠MBA＜∠ABC时，0＜a＜2.
②当点M在x轴上方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：如图，将△ABC顺时针旋转至
△EBA，延长BE交
于点
，则
之间横坐标的值即为所求.过点E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点F，G，设点E的坐标为（x，y），
由旋转的性质，得AE=AC=2，BE=BA=
.
在Rt△AEF中，由勾股定理，得 ，即 ①，
在Rt△BEG中，由勾股定理，得 ，即 ②，
①-②，得
，即
③，
将③代入②，得
，解得
或
（舍去），
将
代入③得
.
∴点E的坐标为
.
设直线BE的解析式为
，则
.
∴直线BE的解析式为
.
联立
.
∴ .
综上所述，a的取值范围是0＜a＜2或
.
【分析】（1）易求AB是Rt△PAC斜边上的中线，可得PC=2AB= ，由A、C的坐标可得AC=2，AP= ，PC= ，根据勾股定理得 ，据此求出k值即可；
（2）分两种情况：①当点M在x轴下方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况，易得直线PC的解析式为 ，与 联立，求出x、y值即得点M（2，-2），即可求解：②当点M在x轴上方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况，如图，将△ABC顺时针旋转至△EBA，延长BE交 于点 ，则 之间横坐标的值即为所求.过点E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点F，G，求出点E坐标，再求出直线BE的解析式，与 联立，解出x值，即可求解.
17．【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据零指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角三角函数值、绝对值的性质先进行计算，再计算加减即可.
18．【答案】解：
方程两边同时乘以 得： ，
整理得： ，
∴ ，
经检验， 是原方程的解，
∴原分式方程的解为 .
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
19．【答案】（1）解：假设AB边上的高为CD，
∵
∴
∵
∴
∴ 如图所示：
（2）解：假设 边AB上的高为DO，若 ，则
即： ，
作 ， ， ，延长DP交AB于点O，
∵
∴
∴ ，即：
∵
∴
∴ ，即：
∴D点的位置如图中所示：
同理可得点D的位置还可以如下图所示：
【知识点】相似三角形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积求出BC边上的高为3，再由∠BAC=45°，可得AD=CD，据此画图即可；
（2） 设 边AB上的高为DO ，根据三角形同高，可得AO：BO =1：2，即得 ， ，据此确定点D即可.
20．【答案】（1）200
（2）解：补全的条形统计图如图所示：
；144
（3）解：A种支付方式的购买者人数为：3000× =1200，
B种支付方式的购买者人数为：3000×30%=900，
共有1200+900=2100（人）
答：估计这一周内使用A和B两种支付方式的购买者共有2100人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】 (1)本次调查的样本容量为：20÷10%=200，
故答案为：200；
(2)B种支付方式的人数为：200×30%=60，
C种支付方式的人数为：200×20%=40，
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×
=144°，
故答案为：144；
【分析】（1）根据D组人数除以其百分比即得样本容量；
（2）根据样本容量分别乘以各部分百分比，可求出B、C支付方式的人数，然后补图即可；
（3）根据3000分别乘以样本中A、B两种百分比，即得A、B种支付方式的购买者人数 ，然后相加即可.
21．【答案】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，
当CN=90cm时，CM=60cm，
∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，
∴sin∠ABE=sin70°= ，
∴BC≈64cm，
∴CE=BC-BE=64-40=24cm.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，在Rt△BCM中，利用sin∠ABE=sin70°= ，可求出BC，再利用CE=BC-BE解求解.
22．【答案】（1）证明：连接CO，
∵AB是 的直径，
∴ ，
∵AO=CO，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵OC是 的半径，
∴CD为 的切线.
（2）解：∵ 于点C，
∴ ，
∵ 于E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 连接CO， 由AB是 的直径，可得∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°，从而得出 ∠DCO=
，根据切线的判定定理即证；
（2）由（1）知∠DCO=90°，可得∠D+∠COD=90°，由垂直的定义可得∠OEC=90°，继而求出∠EOC+∠OCE=90°，利用余角的性质可得∠OCE=∠D，从而可得cos∠D=
=
，据从求出CO即可.
23．【答案】（1）y=- t+40；m=-2t+96
（2）解：①当0＜t≤20时，
令 t+25=26，
解得：t=4；
②当20＜t≤40时，
令- t+40=26，
解得：t=28，
∴未来40天中第4天和第28天的单价是26元；
（3）解：前20天的销售利润为P1元，后20天的销售利润为P2元，
则P1=（-2t+96）（ t+25-20）
=- （t-14）2+578，
∵- ＜0，
∴当t=14时，P1有最大值，为578元；
P2=（-2t+96）（ t+40-20）
=-t2+8t+1920
=-（t-4）2+1936，
∵-1＜0，
∴当21≤t≤40时，P2随t的增大而减小，
∴当t=21时，P2最大，为1647元，
∴第21天利润最大，最大利润为1647元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 (1)解：当20＜t≤40时，y关于t的函数关系式为y=at+b，
则
，
解得：
，
∴y关于t的函数关系式为 y=-
t+40；
通过表中数据知，m与t成一次函数关系，设m=kt+c，
将t=1，m=94，t=3，m=90代入，得：
，解得：
，
∴m与t的函数关系为m=-2t+96.
故答案为：y=-
t+40；m=-2t+96；
【分析】（1）由图象可知当20< t≤40时，y关于t的是一次函数，利用待定系数法求解析式即可；通过表中数据知，m与t成一次函数关系，利用待定系数法求解析式即可；
（2） 将y=26分别代入0＜t≤20和20＜t≤40的函数解析式中，求出t值即可；
（3）根据利润=单件的利润×销售量，分别列出前20天的销售利润与后20天的销售利润 的函数解析式，再利用二次函数的性质求出最值，并比较即可.
24．【答案】（1）；；；
（2）解：猜想：a2、b2、c2三者之间的关系是：a2+b2＝5c2，
证明：如图3，设 PF＝m，PE＝n
同（1）原理可得：AP＝2m，PB＝2n，
在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2，
∴m2+n2＝
在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（ ）2，
在Rt△BPF中，m2+（2n）2＝（ ）2，
∴5（ m2+n2）＝ ，
∴a2+b2＝5c2；
（3）解：如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q，
∵FN∥BG，BG⊥AC，
∴FN⊥AC， ，
∵F是BC的中点，
∴BC=2CF，
∴ ，
∴N是CG的中点，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝FC，DE∥FC，
∵ED＝EG，
∴EG＝FC，EG∥FC，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴Q是FG的中点，
∴△FCG是中垂三角形，
∵AB＝4 ，BC＝2 ，
∴CG＝EF＝BD＝2 ，FC＝ ，
由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，
即5×5＝（2 ）2+FG2，
∴GF＝ .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 (1)解：①如图1所示，连接EF，∵AF⊥BE，
∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，
∵ ，
∴∠PAB＝45°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB.且 EF＝
AB，
∴ ，
∴PE＝PF＝2，
由勾股定理得：AE＝BF＝
＝
＝
，
∴AC＝BC＝2AE＝
，
∴ ，
故答案为：
；
；
②如图2连接EF，∵∠PAB＝30°，AB＝4，AF⊥BE，
∴BP＝
AB＝2，
∴AP＝
，
∵AF、BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB.且 EF＝
AB，
∴ ，
∴PE＝
PB＝1，PF＝
AP＝
，
由勾股定理得：AE＝
＝
＝
，
BF＝
＝
＝
，
∴AC＝2AE＝2
，BC＝2BF＝2
，
故答案为： 2
，2
；
【分析】（1）①连接EF，由tan∠PAB＝1可求出△PAB、△PEF是等腰直角三角形，由AB=4
可求出PA=PB=4，易求EF是△ABC的中位线，可得EF∥AB，且 EF＝ AB，从而得出 ，继而求出PE=PF=2，由勾股定理得AE＝BF= ，即得AC＝BC＝2AE＝ ；②如图2连接EF，根据含30°角的直角三角形性质求出BP＝ AB＝2，AP＝2 ，易求EF是△ABC的中位线，同①可求出PE＝ PB＝1，PF＝ AP＝ ，由勾股定理求出AE、BF，继而求解；
（2） a2+b2＝5c2；证明：如图3，设 PF＝m，PE＝n，同（1）原理可得AP＝2m，PB＝2n，根据勾股定理即可求解；
（3） 如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q， 根据平行线分线段成比例及线段的中点可得 ， 再证四边形EFCG是平行四边形，由Q是FG的中点可得△FCG是中垂三角形， 再求出 CG＝EF＝BD＝2 ，FC＝ ，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，据此求出GF即可.
1 / 1浙江省衢州市实验学校教育集团2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．-2的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-2的相反数是2，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．（2022九下·衢州开学考）由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体的形状可知，从上面看时，看到的是三个小正方形排成一排，
故答案为：B.
【分析】根据俯视图的定义可知俯视图有3列，从左到右小正方形的个数依次为1、1、1.
3．（2022九下·衢州开学考）今年的春晚继续拓展中央广播电视总台全媒体融合传播优势，刷新了跨媒体传播纪录.数据显示，春晚跨媒体受众总规模达12.72亿人.其中数据12.72亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12.72亿=1272000000=
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
4．（2022九下·衢州开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A选项：
与
不是同类项，不能合并，故A错误；
B选项：
，故B错误；
C选项：
，故C错误；
D选项：
，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法及除法、幂的乘方分别进行计算，然后判断即可.
5．（2019·鄞州模拟）某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同.若知道某位选手的决赛得分，要判断她能否获奖，只需知道这11名选手得分的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：11个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了，
故答案为：A。
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的意义即可一一判断得出答案。
6．（2022九下·衢州开学考）如图，已知 ，添加下列条件中的一个，不能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】由
，还有一条公共边AB，故
A.
，可利用AAS判定
；
B.
，可利用SAS判定
；
C.
，可利用ASA判定
；
D.
，不能判定
；
故答案为：D.
【分析】已知
，AB=AB，要使
，可根据SAS、AAS、ASA进行添加即可.
7．（2016·河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故选C．
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．
8．（2022九下·衢州开学考）圆锥的母线长为10，底面半径为3，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15π B．30π C．39π D．60π
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】这个圆锥的侧面积=π×3×10=30π，
故答案为：B.
【分析】圆锥的侧面积=πrl，据此计算即可.
9．（2022九下·衢州开学考）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，
则
，
∴
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴sin∠A=
又
∴sin∠A=
＝
故答案为：C
【分析】连接格点CD，设1个网格的边长为x，可得
，
，根据勾股定理的逆定理可得∠BDC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据sin∠A=
即可求解.
10．（2019·鄞州模拟）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（ ）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝ b D．a＝3b
【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由图形可知，
S2=（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2，
S1=（a+b）2-S2=2ab-b2，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故答案为：B。
【分析】根据几何图形的面积计算方法分贝表示出S1,S2，再根据 S2＝2S1， 列出方程，整理利用完全平方公式分别因式后即可找出a,b的关系。
二、填空题
11．（2016八下·番禺期末）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
12．（2022九下·衢州开学考）若一个正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形的边数是 .
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵360°÷36°=10，
∴这个正多边形为十边形，
∴这个正多边形的边数为10，
故答案为：10.
【分析】利用多边形外角和度数360°除以36°，即得正多边形的边数.
13．（2022九下·衢州开学考）某校安排三辆车，组织九年级学生去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：设3辆车分别为A，B，C，画出树状图如下图：
得到共有9种情况，在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为
.
故答案为：
【分析】利用树状图列举出共有9种情况，其中在同一辆车的情况数有3种，然后利用概率公式计算即可.
14．（2022九下·衢州开学考）在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜 场.
【答案】8
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设这个班要胜x场，则负
场，
由题意得，
，
解得：
，
∵场次x为正整数，
∴ .
答：这个班至少要胜8场.
故答案为：8.
【分析】设这个班要胜x场，则负
场， 根据28场比赛中得分大于43分，列出不等式，求出其最小正整数即可.
15．（2020·澄海模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在边BC上，把△DEC沿DE翻折后，点C落在C′处．若△ABC′恰为等腰三角形，则CE的长为 ．
【答案】2或
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况解答：
（1）如图1，当C′A=C′B时,作C′H⊥AD于H，交BC于F.
图1
利用等腰三角形和矩形的轴对称性可知：易知HC′=FC′=AB=1.
由折叠可知：C′D=CD，∠DC′E=∠C=90°
在Rt△DHC′中，利用勾股定理得：DH=
∴CF=DH=
∵∠DHC′=∠CFE=∠DC′E=90°
∴∠HDC′+∠HC′D=∠FC′E+∠HC′D=90°
∴∠HDC′=∠FEC′
∴△DHC′∽△C′FE
∴，即
∴EF=
∴CE==；
（2）如图2，当AB=AC′=2时,点C′在AD上,此时四边形C′ECD是正方形,
图2
∴CE=2.
综上所述,满足条件的CE的值为2或.
【分析】分当C′A=C′B和AB=AC′两种情形分别求解即可。
16．（2022九下·衢州开学考）如图，点P是反比例函数 图象上的点，PA垂直x轴于点A（－1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB= .
（1）k的值是 ；
（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是 .
【答案】（1）-4
（2）0＜a＜2或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）依题意，AO=1，OC=1，PA∥OB，
∴AB是Rt△PAC斜边上的中线.
∵AB=
，
∴PC=
.
∴在Rt△PAC中，AC=2，AP= ，PC= ，
∴根据勾股定理，得：
，解得
.
∵ ，
∴ .
（2）分两种情况：
①当点M在x轴下方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：当∠MBA＝∠ABC时，点M是PC与双曲线的另一个交点，由B（0，2），C（1，0）易得直线PC的解析式为
，与
联立：
，解得：
或
（点P坐标，舍去），
∴当∠MBA＝∠ABC时，点M的坐标为（2，－2）.
∴当∠MBA＜∠ABC时，0＜a＜2.
②当点M在x轴上方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：如图，将△ABC顺时针旋转至
△EBA，延长BE交
于点
，则
之间横坐标的值即为所求.过点E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点F，G，设点E的坐标为（x，y），
由旋转的性质，得AE=AC=2，BE=BA=
.
在Rt△AEF中，由勾股定理，得 ，即 ①，
在Rt△BEG中，由勾股定理，得 ，即 ②，
①-②，得
，即
③，
将③代入②，得
，解得
或
（舍去），
将
代入③得
.
∴点E的坐标为
.
设直线BE的解析式为
，则
.
∴直线BE的解析式为
.
联立
.
∴ .
综上所述，a的取值范围是0＜a＜2或
.
【分析】（1）易求AB是Rt△PAC斜边上的中线，可得PC=2AB= ，由A、C的坐标可得AC=2，AP= ，PC= ，根据勾股定理得 ，据此求出k值即可；
（2）分两种情况：①当点M在x轴下方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况，易得直线PC的解析式为 ，与 联立，求出x、y值即得点M（2，-2），即可求解：②当点M在x轴上方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况，如图，将△ABC顺时针旋转至△EBA，延长BE交 于点 ，则 之间横坐标的值即为所求.过点E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点F，G，求出点E坐标，再求出直线BE的解析式，与 联立，解出x值，即可求解.
三、解答题
17．（2022九下·衢州开学考）
【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据零指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角三角函数值、绝对值的性质先进行计算，再计算加减即可.
18．（2022九下·衢州开学考）解方程：
【答案】解：
方程两边同时乘以 得： ，
整理得： ，
∴ ，
经检验， 是原方程的解，
∴原分式方程的解为 .
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
19．（2022九下·衢州开学考）图①、图②都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在图①、图②中，分别以AB为边画一个面积为 的三角形，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法.
（1）在图①中画 ，使 .
（2）在图②中画 ，使AB边上的高将 分成面积比为 的两部分.
【答案】（1）解：假设AB边上的高为CD，
∵
∴
∵
∴
∴ 如图所示：
（2）解：假设 边AB上的高为DO，若 ，则
即： ，
作 ， ， ，延长DP交AB于点O，
∵
∴
∴ ，即：
∵
∴
∴ ，即：
∴D点的位置如图中所示：
同理可得点D的位置还可以如下图所示：
【知识点】相似三角形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积求出BC边上的高为3，再由∠BAC=45°，可得AD=CD，据此画图即可；
（2） 设 边AB上的高为DO ，根据三角形同高，可得AO：BO =1：2，即得 ， ，据此确定点D即可.
20．（2022九下·衢州开学考）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 .
（2）请补全条形统计图，并求在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 ▲
度.
（3）若该超市一周内有3000名购买者，请你估计这一周内使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
【答案】（1）200
（2）解：补全的条形统计图如图所示：
；144
（3）解：A种支付方式的购买者人数为：3000× =1200，
B种支付方式的购买者人数为：3000×30%=900，
共有1200+900=2100（人）
答：估计这一周内使用A和B两种支付方式的购买者共有2100人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】 (1)本次调查的样本容量为：20÷10%=200，
故答案为：200；
(2)B种支付方式的人数为：200×30%=60，
C种支付方式的人数为：200×20%=40，
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×
=144°，
故答案为：144；
【分析】（1）根据D组人数除以其百分比即得样本容量；
（2）根据样本容量分别乘以各部分百分比，可求出B、C支付方式的人数，然后补图即可；
（3）根据3000分别乘以样本中A、B两种百分比，即得A、B种支付方式的购买者人数 ，然后相加即可.
21．（2022九下·衢州开学考）共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： ， ， ， ）
【答案】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，
当CN=90cm时，CM=60cm，
∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，
∴sin∠ABE=sin70°= ，
∴BC≈64cm，
∴CE=BC-BE=64-40=24cm.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，在Rt△BCM中，利用sin∠ABE=sin70°= ，可求出BC，再利用CE=BC-BE解求解.
22．（2022九下·衢州开学考）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E.若CE＝2， ，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接CO，
∵AB是 的直径，
∴ ，
∵AO=CO，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵OC是 的半径，
∴CD为 的切线.
（2）解：∵ 于点C，
∴ ，
∵ 于E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 连接CO， 由AB是 的直径，可得∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°，从而得出 ∠DCO=
，根据切线的判定定理即证；
（2）由（1）知∠DCO=90°，可得∠D+∠COD=90°，由垂直的定义可得∠OEC=90°，继而求出∠EOC+∠OCE=90°，利用余角的性质可得∠OCE=∠D，从而可得cos∠D=
=
，据从求出CO即可.
23．（2022九下·衢州开学考）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现：
①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天） 1 3 6 10 36 …
日销售量m（件） 94 90 84 76 24 …
②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示：
请结合上述信息解决下列问题：
（1）经计算得，当0（2）请预测未来40天中哪一天的单价是26元/件？
（3）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【答案】（1）y=- t+40；m=-2t+96
（2）解：①当0＜t≤20时，
令 t+25=26，
解得：t=4；
②当20＜t≤40时，
令- t+40=26，
解得：t=28，
∴未来40天中第4天和第28天的单价是26元；
（3）解：前20天的销售利润为P1元，后20天的销售利润为P2元，
则P1=（-2t+96）（ t+25-20）
=- （t-14）2+578，
∵- ＜0，
∴当t=14时，P1有最大值，为578元；
P2=（-2t+96）（ t+40-20）
=-t2+8t+1920
=-（t-4）2+1936，
∵-1＜0，
∴当21≤t≤40时，P2随t的增大而减小，
∴当t=21时，P2最大，为1647元，
∴第21天利润最大，最大利润为1647元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 (1)解：当20＜t≤40时，y关于t的函数关系式为y=at+b，
则
，
解得：
，
∴y关于t的函数关系式为 y=-
t+40；
通过表中数据知，m与t成一次函数关系，设m=kt+c，
将t=1，m=94，t=3，m=90代入，得：
，解得：
，
∴m与t的函数关系为m=-2t+96.
故答案为：y=-
t+40；m=-2t+96；
【分析】（1）由图象可知当20< t≤40时，y关于t的是一次函数，利用待定系数法求解析式即可；通过表中数据知，m与t成一次函数关系，利用待定系数法求解析式即可；
（2） 将y=26分别代入0＜t≤20和20＜t≤40的函数解析式中，求出t值即可；
（3）根据利润=单件的利润×销售量，分别列出前20天的销售利润与后20天的销售利润 的函数解析式，再利用二次函数的性质求出最值，并比较即可.
24．（2022九下·衢州开学考）爱好思考的小实在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
（1）【特例探究】
①如图1，当tan∠PAB＝1， 时，a＝ ，b＝ .
②如图2，当∠PAB＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ .
（2）【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，猜想 、 、 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论.
（3）【拓展证明】
如图4，在△ABC中， ， ，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至点G，使得GE＝DE，连结BG.若BG⊥AC于点M时，求GF的长.
【答案】（1）；；；
（2）解：猜想：a2、b2、c2三者之间的关系是：a2+b2＝5c2，
证明：如图3，设 PF＝m，PE＝n
同（1）原理可得：AP＝2m，PB＝2n，
在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2，
∴m2+n2＝
在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（ ）2，
在Rt△BPF中，m2+（2n）2＝（ ）2，
∴5（ m2+n2）＝ ，
∴a2+b2＝5c2；
（3）解：如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q，
∵FN∥BG，BG⊥AC，
∴FN⊥AC， ，
∵F是BC的中点，
∴BC=2CF，
∴ ，
∴N是CG的中点，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝FC，DE∥FC，
∵ED＝EG，
∴EG＝FC，EG∥FC，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴Q是FG的中点，
∴△FCG是中垂三角形，
∵AB＝4 ，BC＝2 ，
∴CG＝EF＝BD＝2 ，FC＝ ，
由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，
即5×5＝（2 ）2+FG2，
∴GF＝ .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 (1)解：①如图1所示，连接EF，∵AF⊥BE，
∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，
∵ ，
∴∠PAB＝45°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB.且 EF＝
AB，
∴ ，
∴PE＝PF＝2，
由勾股定理得：AE＝BF＝
＝
＝
，
∴AC＝BC＝2AE＝
，
∴ ，
故答案为：
；
；
②如图2连接EF，∵∠PAB＝30°，AB＝4，AF⊥BE，
∴BP＝
AB＝2，
∴AP＝
，
∵AF、BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB.且 EF＝
AB，
∴ ，
∴PE＝
PB＝1，PF＝
AP＝
，
由勾股定理得：AE＝
＝
＝
，
BF＝
＝
＝
，
∴AC＝2AE＝2
，BC＝2BF＝2
，
故答案为： 2
，2
；
【分析】（1）①连接EF，由tan∠PAB＝1可求出△PAB、△PEF是等腰直角三角形，由AB=4
可求出PA=PB=4，易求EF是△ABC的中位线，可得EF∥AB，且 EF＝ AB，从而得出 ，继而求出PE=PF=2，由勾股定理得AE＝BF= ，即得AC＝BC＝2AE＝ ；②如图2连接EF，根据含30°角的直角三角形性质求出BP＝ AB＝2，AP＝2 ，易求EF是△ABC的中位线，同①可求出PE＝ PB＝1，PF＝ AP＝ ，由勾股定理求出AE、BF，继而求解；
（2） a2+b2＝5c2；证明：如图3，设 PF＝m，PE＝n，同（1）原理可得AP＝2m，PB＝2n，根据勾股定理即可求解；
（3） 如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q， 根据平行线分线段成比例及线段的中点可得 ， 再证四边形EFCG是平行四边形，由Q是FG的中点可得△FCG是中垂三角形， 再求出 CG＝EF＝BD＝2 ，FC＝ ，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，据此求出GF即可.
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