初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.7 相似三角形的性质
一、单选题
1．（2020·铜仁）已知 ，它们的周长分别为30和15，且 ，则 的长为
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 和 的周长分别为30和15，
和 的周长比为 ，
，
，即 ，
解得， ，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的周长的比等于相似比”可求解.
2．（2020·龙湖模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（ ）个．
①AE⊥BF； ②QB＝QF； ③ ； ④SECPG＝3S△BGE
A．1 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】①利用SAS定理，可判定△ABE≌△BCF，所以通过角度换算，可得出∠BGE=90°，
所以AE⊥BF，所以①正确，
②根据折叠的性质，CD∥AB，可得出∠CFB=∠ABF，∠ABF=∠PFB，所以QB=QF,所以②正确，
③AE⊥BF,∠ABE=90°，△BEG∽△ABG∽△AEB，对应边成比例=，
设CE=x，BG=2x，AG=4x，BF=AE=AG+GE=5x,FG=BF-BG=3x，
FG=AG，即，故③正确，
④△BGE∽△BMC，E是BC的中点,BE-CE,所以△BGE的面积：△BMC=1∶4，所以△BGE的面积：四边形ECMG的面积=1∶3，连接CG，则△PGM的面积=△CGM的面积=2△CGM的面积，所以四边形ECPG的面积：△BGE的面积=5∶1，所以④错误
故答案为：C
【分析】根据全等三角形、相似三角形的判定和性质，可进行判断。
3．（2020·广东模拟）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵相似三角形的周长比等于相似比，而面积比等于相似比的平方
∴相似三角形的面积比等于周长比的平方
即相似三角形的周长比是面积比的算术平方根
∵
∴它们的周长比为1:2.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的性质和算术平方根的定义为求解即可。
4．（2020·铜仁模拟）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为 ，∴△ABC与△DEF对应中线的比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的对应中线的比等于相似比”可求解.
5．（2019·广州）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．EH=HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D． 的面积是 的面积的2倍
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为E、H为OA、OD的中点，
所以，EH＝ ＝2，同理，HG＝ ＝1，所以，A不符合题意；
EH∥AD，EH＝ ，
FG∥BC，FG＝ ，
因为平行四边形ABCD中，AD＝BC，且AD∥BC，
所以，EH＝FG，且EH∥FG，
所以，四边形EFGH是平行四边形， B符合题意。
AC与BD不一定垂直，C不符合题意；
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，知：△ABC的面积是△EFO的面积的4倍，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出结果。
6．（2019·绍兴模拟）把一个三角形变成和它相似的三角形，若面积扩大5倍，则边长扩大 ；若边长扩大5倍，则面积扩大 。（ ）
A．5倍，10倍 B．10倍，25倍 C． 倍，25倍 D．25倍，25倍
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为面积扩大了5倍，所以边长扩大了 倍，边长扩大5倍，则面积扩大25倍．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出答案。
二、填空题
7．（2020·潮南模拟）△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为 .
【答案】1:2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】相似三角形的面积比为相似比的平方，所以它们的相似比为1:2
【分析】根据相似三角形的相似比与面积比的关系，可得出相似比。
8．（2020·涡阳模拟） ，其中点 分别与点 对应，如果 ， ，那么 ．
【答案】9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
故答案为:9．
【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．
9．（2020·长兴模拟）如图，已知△ABC∽△ADB，若AD=2，CD=2，则AB的长为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC ∽ △ADB，
∴，
∴AB2＝AD AC＝2×4＝8，
∵AB＞0，
∴AB＝2，
故答案为2．
【分析】由于 △ABC∽△ADB， 利用相似三角形的性质列比例式即可求解．
10．（2019·吉林模拟）如图，在阳光下，身高1.6m的小明站在旗杆AB影子的顶端C处，他立即沿CB的方向行走，走了5步，发现自己的影子顶端恰好也在C处，继续走了45步到达旗杆的底端B处，假设每步长度相等，则旗杆AB的高度为 m．
【答案】16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，，解得，AB=16.
故答案为：16。
【分析】根据题意，利用相似三角形的性质进行作答即可，相似三角形的对应边成比例，即可得到AB的长度。
11．如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 米.
【答案】1.4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得h＝1.4.
故答案为：1.4.
【分析】根据相似三角形对应边成比例得出，求解即可。
三、解答题
12．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
【答案】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.
13．（2019·梁平模拟）如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，①当CP与CA是对应边时， ，即 ，解得x=4秒；
②当CP与BC是对应边时， ，即 ，解得x= 秒；
故经过4或 秒，两个三角形相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】本题中，可设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8-x，CQ=2x，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边不明确，答案要分两种情况①当CP与CA是对应边时，②当CP与BC是对应边时.
四、作图题
14．（2019·襄州模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m(m＞1)，点E是AD边上一定点，且AE＝1．
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．
（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．(不写作法，保留作图痕迹)
（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？
【答案】（1）解：①当∠AEF＝∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需 ，即 ，
解得AF＝1或3；
②当∠AEF＝∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需 ＝ ，即 ，
解得AF＝1；
综上所述AF＝1或3
（2）解：如下图所示，图中F1、F2、F3为所求点；
（3）解：如（2）中所作图形， 当m=4时，由已知条件可得DE=3，则CE=5，即图中圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离=2.5=所作圆的半径，F2和F3重合，即当m=4时，符合条件的F有2个； 当m>4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F3不存在了，即此时符合条件的F只有F11个； 而当1＜m＜4且m≠3时，由所作图形可知，符合条件的F有3个；
综上所述：可得：①当1＜m＜4且m≠3时，符合条件的F有3个； ②当m＝3时，符合条件的F有2个；③当m＝4时，符合条件的F有2个；④当m＞4时，符合条件的F有1个.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可知，∠A=∠B=90°，由此可知要使△AEF与△BCF相似，存在两种情况：①当∠AEF＝∠BFC时，若 ，则两三角形相似；②当∠AEF＝∠BCF时， 若 ，则两三角形相似；由这两种情况分别根据已知条件进行计算即可得到相应的AF的值；（2）如下图所示：①延长DA到E′，使AE′=AE，连接CE′交AB于点F1；②连接CE，以CE为直径作圆，分别交AB于点F2、F3；则F1、F2、F3为所求点；（3）结合（1）（2）可知，当m=3时，符合条件的点F有2个，当m=4时，符合条件的点F也有2个，而当14时，以CE为直径的圆和AB相离，此时符合条件的点F只有1个.
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.7 相似三角形的性质
一、单选题
1．（2020·铜仁）已知 ，它们的周长分别为30和15，且 ，则 的长为
A．3 B．2 C．4 D．5
2．（2020·龙湖模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（ ）个．
①AE⊥BF； ②QB＝QF； ③ ； ④SECPG＝3S△BGE
A．1 B．4 C．3 D．2
3．（2020·广东模拟）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
4．（2020·铜仁模拟）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·广州）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．EH=HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D． 的面积是 的面积的2倍
6．（2019·绍兴模拟）把一个三角形变成和它相似的三角形，若面积扩大5倍，则边长扩大 ；若边长扩大5倍，则面积扩大 。（ ）
A．5倍，10倍 B．10倍，25倍 C． 倍，25倍 D．25倍，25倍
二、填空题
7．（2020·潮南模拟）△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为 .
8．（2020·涡阳模拟） ，其中点 分别与点 对应，如果 ， ，那么 ．
9．（2020·长兴模拟）如图，已知△ABC∽△ADB，若AD=2，CD=2，则AB的长为 .
10．（2019·吉林模拟）如图，在阳光下，身高1.6m的小明站在旗杆AB影子的顶端C处，他立即沿CB的方向行走，走了5步，发现自己的影子顶端恰好也在C处，继续走了45步到达旗杆的底端B处，假设每步长度相等，则旗杆AB的高度为 m．
11．如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 米.
三、解答题
12．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
13．（2019·梁平模拟）如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
四、作图题
14．（2019·襄州模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m(m＞1)，点E是AD边上一定点，且AE＝1．
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．
（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．(不写作法，保留作图痕迹)
（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 和 的周长分别为30和15，
和 的周长比为 ，
，
，即 ，
解得， ，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的周长的比等于相似比”可求解.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】①利用SAS定理，可判定△ABE≌△BCF，所以通过角度换算，可得出∠BGE=90°，
所以AE⊥BF，所以①正确，
②根据折叠的性质，CD∥AB，可得出∠CFB=∠ABF，∠ABF=∠PFB，所以QB=QF,所以②正确，
③AE⊥BF,∠ABE=90°，△BEG∽△ABG∽△AEB，对应边成比例=，
设CE=x，BG=2x，AG=4x，BF=AE=AG+GE=5x,FG=BF-BG=3x，
FG=AG，即，故③正确，
④△BGE∽△BMC，E是BC的中点,BE-CE,所以△BGE的面积：△BMC=1∶4，所以△BGE的面积：四边形ECMG的面积=1∶3，连接CG，则△PGM的面积=△CGM的面积=2△CGM的面积，所以四边形ECPG的面积：△BGE的面积=5∶1，所以④错误
故答案为：C
【分析】根据全等三角形、相似三角形的判定和性质，可进行判断。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵相似三角形的周长比等于相似比，而面积比等于相似比的平方
∴相似三角形的面积比等于周长比的平方
即相似三角形的周长比是面积比的算术平方根
∵
∴它们的周长比为1:2.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的性质和算术平方根的定义为求解即可。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为 ，∴△ABC与△DEF对应中线的比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的对应中线的比等于相似比”可求解.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为E、H为OA、OD的中点，
所以，EH＝ ＝2，同理，HG＝ ＝1，所以，A不符合题意；
EH∥AD，EH＝ ，
FG∥BC，FG＝ ，
因为平行四边形ABCD中，AD＝BC，且AD∥BC，
所以，EH＝FG，且EH∥FG，
所以，四边形EFGH是平行四边形， B符合题意。
AC与BD不一定垂直，C不符合题意；
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，知：△ABC的面积是△EFO的面积的4倍，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出结果。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为面积扩大了5倍，所以边长扩大了 倍，边长扩大5倍，则面积扩大25倍．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出答案。
7．【答案】1:2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】相似三角形的面积比为相似比的平方，所以它们的相似比为1:2
【分析】根据相似三角形的相似比与面积比的关系，可得出相似比。
8．【答案】9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
故答案为:9．
【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．
9．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC ∽ △ADB，
∴，
∴AB2＝AD AC＝2×4＝8，
∵AB＞0，
∴AB＝2，
故答案为2．
【分析】由于 △ABC∽△ADB， 利用相似三角形的性质列比例式即可求解．
10．【答案】16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，，解得，AB=16.
故答案为：16。
【分析】根据题意，利用相似三角形的性质进行作答即可，相似三角形的对应边成比例，即可得到AB的长度。
11．【答案】1.4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得h＝1.4.
故答案为：1.4.
【分析】根据相似三角形对应边成比例得出，求解即可。
12．【答案】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.
13．【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，①当CP与CA是对应边时， ，即 ，解得x=4秒；
②当CP与BC是对应边时， ，即 ，解得x= 秒；
故经过4或 秒，两个三角形相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】本题中，可设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8-x，CQ=2x，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边不明确，答案要分两种情况①当CP与CA是对应边时，②当CP与BC是对应边时.
14．【答案】（1）解：①当∠AEF＝∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需 ，即 ，
解得AF＝1或3；
②当∠AEF＝∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需 ＝ ，即 ，
解得AF＝1；
综上所述AF＝1或3
（2）解：如下图所示，图中F1、F2、F3为所求点；
（3）解：如（2）中所作图形， 当m=4时，由已知条件可得DE=3，则CE=5，即图中圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离=2.5=所作圆的半径，F2和F3重合，即当m=4时，符合条件的F有2个； 当m>4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F3不存在了，即此时符合条件的F只有F11个； 而当1＜m＜4且m≠3时，由所作图形可知，符合条件的F有3个；
综上所述：可得：①当1＜m＜4且m≠3时，符合条件的F有3个； ②当m＝3时，符合条件的F有2个；③当m＝4时，符合条件的F有2个；④当m＞4时，符合条件的F有1个.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可知，∠A=∠B=90°，由此可知要使△AEF与△BCF相似，存在两种情况：①当∠AEF＝∠BFC时，若 ，则两三角形相似；②当∠AEF＝∠BCF时， 若 ，则两三角形相似；由这两种情况分别根据已知条件进行计算即可得到相应的AF的值；（2）如下图所示：①延长DA到E′，使AE′=AE，连接CE′交AB于点F1；②连接CE，以CE为直径作圆，分别交AB于点F2、F3；则F1、F2、F3为所求点；（3）结合（1）（2）可知，当m=3时，符合条件的点F有2个，当m=4时，符合条件的点F也有2个，而当14时，以CE为直径的圆和AB相离，此时符合条件的点F只有1个.
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