初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.4 用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2020·营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
2．（2020·黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
3．（2020八下·房山期中）下列实数中，方程x2－2x=0 的根是（ ）
A．0 B．2 C．0或1 D．0或2
二、填空题
4．（2020·威海）一元二次方程 的解为 ．
5．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
6．（2020八下·高新期末）关于x的方程x(x-1)+3(x-1)=0的解是 。
三、计算题
7．（2020八下·奉化期末）解下列方程：
（1）3（5﹣x）2＝2（x﹣5）；
（2）x2﹣4x+2＝0.
8．（2020九上·石城期末）
（1）解方程：x2-4x-5=0
（2）二次函数图象经过点A(4，-3)，当x=3时，函数有最大值-1，求二次函数的解析式。
四、综合题
9．（2020·丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件） 60 65 70
销售量 （件） 1400 1300 1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
10．（2020·南充模拟）某商店经营一款新电动玩具，进货单价是30元。在1个月的试销阶段，售价是40元，销售量是400件.根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出10件.
（1）若商店在1个月获得了6000元销售利润，求这款玩具销售单价是定为多少元的，并考虑了顾客更容易接受．
（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，求商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．
11．（2020·黄冈模拟）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元，每天售出y件.
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）当 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当X为多少时w最大，最大值是多少？
12．（2020·阿荣旗模拟）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件．（用含a的代数式表示）
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3.
故答案为：D.
【分析】利用因式分解法将方程的左边分解为两个因式的乘积，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程将次为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解.
2．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24.
故答案为：B.
【分析】用因式分解法解一元二次方程可得x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，根据三角形三边关系定理可知不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，符合题意，再根据菱形的性质即可求得菱形ABCD的周长.
3．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x(x-2)=0,
∴x=0或x-2=0
∴x1=0，x2=2
故答案为：D
【分析】先分解方程左边的式子，进而求解即可．
4．【答案】x= 或x=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x= ,
故答案为:x= 或x=2．
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
5．【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
6．【答案】x1=-3，x2=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x(x-1)+3(x-1)=0 ，
（x-1）（x+3）=0，
解得x1=-3，x2=1.
【分析】提取公因式（x-1）利用因式分解法求解.
7．【答案】（1）解：∵3（5﹣x）2＝2（x﹣5），
∴3（5﹣x）2﹣2（x﹣5）＝0，
则（x﹣5）（3x﹣17）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣17＝0，
解得x＝5或x＝ ；
（2）解：∵x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
则x﹣2＝ ，
∴x＝2± .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得.
8．【答案】（1）解：(x-5)(x+1)=0
x1=5，x2=1
（2）解：由题意可知此抛顶点坐标为(a，-1)
设其解析式为=a(x-3)2-1
将点(4，-3)代入得：-3=a-1
解得：a=-2
∴此抛物线解析式为y=-2(x-3)2-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据解方程的步骤进行计算即可；
（2）根据题意，设出抛物线的解析式，根据待定系数法，得到答案即可。
9．【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）解：设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得， ， ，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴ ，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）解：设售价定为x元，则有：
=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）.
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少.
10．【答案】（1）解：设单价定为x元/件．则销量为 ．由题意，得
．
即 ．
整理，得 ．
解得 ， ．
销售单价是定为50 元/件，顾客更容易接受．
（2）解：由 ，得 ．
又 ． ．
销售利润
．
，对称轴 ．
当 时， 随 增大而增大．
当 时，
商场销售这款玩具1 个月能获得的最大利润为5250 元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设单价定为x元/件．则销量为 ，根据总利润=单件的利润×销量列出方程求解即可；（2）根据玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售量求出x的取值范围，继而利用二次函数的性质进行求解即可．
11．【答案】（1）解：根据题意得， ；
（2）解：根据题意得， ，
解得： ， ，
∵每件利润不能超过60元，
∴ ，
答：当 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）解：根据题意得， ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
答：当 为20时 最大，最大值是2400元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据单件的利润×销售数量=总利润列方程即可得到结论；
（3）根据单件的利润×销售数量=总利润建立函数关系式，根据二次函数的性质得到当 时， 随 的增大而增大，于是得到结论.
12．【答案】（1）
（2）解：设每件商品降价 元，
根据题意得： ，
解得： ，
（符合题意）
（舍去）
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
∴销售单价降低a元，平均每天可多售出2a件，
∴平均每天销售数量为 件，
故答案为：
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，列出代数式即可；（2）设每件商品降价x元，根据总利润=单件利润×销售量列出方程即可解答．
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.4 用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2020·营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3.
故答案为：D.
【分析】利用因式分解法将方程的左边分解为两个因式的乘积，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程将次为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解.
2．（2020·黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24.
故答案为：B.
【分析】用因式分解法解一元二次方程可得x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，根据三角形三边关系定理可知不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，符合题意，再根据菱形的性质即可求得菱形ABCD的周长.
3．（2020八下·房山期中）下列实数中，方程x2－2x=0 的根是（ ）
A．0 B．2 C．0或1 D．0或2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x(x-2)=0,
∴x=0或x-2=0
∴x1=0，x2=2
故答案为：D
【分析】先分解方程左边的式子，进而求解即可．
二、填空题
4．（2020·威海）一元二次方程 的解为 ．
【答案】x= 或x=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x= ,
故答案为:x= 或x=2．
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
5．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
6．（2020八下·高新期末）关于x的方程x(x-1)+3(x-1)=0的解是 。
【答案】x1=-3，x2=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x(x-1)+3(x-1)=0 ，
（x-1）（x+3）=0，
解得x1=-3，x2=1.
【分析】提取公因式（x-1）利用因式分解法求解.
三、计算题
7．（2020八下·奉化期末）解下列方程：
（1）3（5﹣x）2＝2（x﹣5）；
（2）x2﹣4x+2＝0.
【答案】（1）解：∵3（5﹣x）2＝2（x﹣5），
∴3（5﹣x）2﹣2（x﹣5）＝0，
则（x﹣5）（3x﹣17）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣17＝0，
解得x＝5或x＝ ；
（2）解：∵x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
则x﹣2＝ ，
∴x＝2± .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得.
8．（2020九上·石城期末）
（1）解方程：x2-4x-5=0
（2）二次函数图象经过点A(4，-3)，当x=3时，函数有最大值-1，求二次函数的解析式。
【答案】（1）解：(x-5)(x+1)=0
x1=5，x2=1
（2）解：由题意可知此抛顶点坐标为(a，-1)
设其解析式为=a(x-3)2-1
将点(4，-3)代入得：-3=a-1
解得：a=-2
∴此抛物线解析式为y=-2(x-3)2-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据解方程的步骤进行计算即可；
（2）根据题意，设出抛物线的解析式，根据待定系数法，得到答案即可。
四、综合题
9．（2020·丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件） 60 65 70
销售量 （件） 1400 1300 1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）解：设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得， ， ，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴ ，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）解：设售价定为x元，则有：
=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）.
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少.
10．（2020·南充模拟）某商店经营一款新电动玩具，进货单价是30元。在1个月的试销阶段，售价是40元，销售量是400件.根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出10件.
（1）若商店在1个月获得了6000元销售利润，求这款玩具销售单价是定为多少元的，并考虑了顾客更容易接受．
（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，求商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．
【答案】（1）解：设单价定为x元/件．则销量为 ．由题意，得
．
即 ．
整理，得 ．
解得 ， ．
销售单价是定为50 元/件，顾客更容易接受．
（2）解：由 ，得 ．
又 ． ．
销售利润
．
，对称轴 ．
当 时， 随 增大而增大．
当 时，
商场销售这款玩具1 个月能获得的最大利润为5250 元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设单价定为x元/件．则销量为 ，根据总利润=单件的利润×销量列出方程求解即可；（2）根据玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售量求出x的取值范围，继而利用二次函数的性质进行求解即可．
11．（2020·黄冈模拟）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元，每天售出y件.
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）当 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当X为多少时w最大，最大值是多少？
【答案】（1）解：根据题意得， ；
（2）解：根据题意得， ，
解得： ， ，
∵每件利润不能超过60元，
∴ ，
答：当 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）解：根据题意得， ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
答：当 为20时 最大，最大值是2400元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据单件的利润×销售数量=总利润列方程即可得到结论；
（3）根据单件的利润×销售数量=总利润建立函数关系式，根据二次函数的性质得到当 时， 随 的增大而增大，于是得到结论.
12．（2020·阿荣旗模拟）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件．（用含a的代数式表示）
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
【答案】（1）
（2）解：设每件商品降价 元，
根据题意得： ，
解得： ，
（符合题意）
（舍去）
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
∴销售单价降低a元，平均每天可多售出2a件，
∴平均每天销售数量为 件，
故答案为：
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，列出代数式即可；（2）设每件商品降价x元，根据总利润=单件利润×销售量列出方程即可解答．
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