人教新课标A版 选修2-3 1.2排列与组合
一、单选题
1．（2020高二下·通州期末）甲、乙等7人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A．96 B．120 C．360 D．480
2．（2020·新高考Ⅰ）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
3．（2020高二下·湖州期末）袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，则至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2020高二下·哈尔滨期末）为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种
A．36 B．48 C．60 D．16
5．（2020高二下·天津期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
6．（2020高二下·莲湖期末）元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（ ）．
A．32种 B．70种 C．90种 D．280种
7．（2020高二下·广州期末）在正方体的8个顶点中，以任意4个顶点为顶点的三棱锥，共有（ ）
A．52个 B．54个 C．58个 D．62个
8．（2020·抚州模拟）2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ）
A．72 B．84 C．96 D．120
9．（2020·马鞍山模拟）为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（ ）
A．10种 B．40种 C．80种 D．240种
10．（2020高二下·宁波期末）已知字母x，y，z各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如 ），则不同的排法共有（ ）种
A．36 B．30 C．24 D．16
11．（2020高二下·大庆期末）由 这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）
A．180 B．196 C．210 D．224
12．（2020·上饶模拟）在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示 的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以用 根小木棍表示“ ”，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“ ”且没有重复数字的三位数的个数是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．27
二、多选题
13．（2020高二下·宿迁期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
14．（2020高二下·连云港期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
三、填空题
15．（2020高二下·上海期末）某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有 .种
16．（2020高二下·宾县期末）五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有 种
17．（2020高二下·莲湖期末）若 ，则 ．
18．（2020·新课标Ⅱ·理）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
四、解答题
19．（2020高二下·吉林月考）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？
（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？
（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？
20．（2020高二下·钦州期中）将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）
（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？
（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？
21．（2020高二下·栖霞月考）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
（1）共有几种放法？
（2）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
22．（2020高二下·宁波期中）
（1）由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数共有几种？
（2）我校高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，求不同的选取法的种数.
23．（2020高二下·中山期中）盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.
（1）全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？
（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
（3）若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
24．（2020高二下·武汉月考）江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).
（1）共有多少种分配方案？
（2）6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？
（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：甲的位置在中间已经固定，甲与乙不相邻，因此甲的左右相邻两个位置应从除甲乙之外的5人中选2人进行排列，剩下的人在其余位置上全排列，故有 种，
故答案为：D.
【分析】从出甲乙之外的5人中选2人排在甲的两边并和甲相邻，剩下的全排列，利用排列数公式和乘法计数原理得到..
2．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故答案为：C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
3．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意，袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，
至少有一个红球的取法有：
①直接法： 种不同的取法；
②间接法： .
故答案为：C.
【分析】根据题意，可分别利用直接法和间接法求解，得到答案.
4．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有 种方式，
所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有
种方式.
故答案为：A
【分析】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.
5．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由于节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，
则节目乙可放在第二、三、五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，
由分步计数原理可知，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 种，
故答案为：B.
【分析】固定节目甲、丙的位置，将节目乙放在第二、三、五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，利用分步计数原理可得出结果.
6．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，
即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有 种．
故答案为：B
【分析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，由定序问题可求解.
7．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】从正方体的8个顶点中任取四个顶点，共有 种，
其中有6个表面和6个对角面中的四个顶点共面，不能构成三棱锥，
所以共有 个三棱锥.
故答案为：C.
【分析】利用间接法可得结果：从正方体的 个顶点中任取四个顶点的取法减去四点共面的情形即可得到结果.
8．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，
共有 种，
其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，
考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法，
其中一半是重复的，故此时有12种重复.
故共有 种.
故答案为：B.
【分析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有 种，其中1和0排在一起有重复，共有12种，即可得答案.
9．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意, 因为6箱医用外科口罩的规格相同,故四家医院分配到的口罩箱数有1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,则分配的方法有：①1,1,2,2：从4家医院中选择两家,分别分配1箱,共 种.②1,1,1,3：从4家医院选出1家,分配给3箱,共 种.
共 种.
故答案为：A
【分析】分四家医院分配到的口罩箱数分别为1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,分别计算再求和即可.
10．【答案】A
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】有且仅有一组字母相邻，这组字母有三种情况： .
当相邻的这组字母为 时，将6个位置编成1-6号，
若 在1号和2号，则3号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法；
若 在2号和3号，则1号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法；
若 在3号和4号，则1号和2号字母不相同，5号和6号字母不相同，有 种排法；
若 在4号和5号，则2号和6号字母相同，1号和3号字母相同，有2种排法；
若 在5号和6号，则1号和3号字母相同，2号和4号字母相同，有2种排法，
即相邻的字母为 时，共有 种排法.
同理，相邻的字母为 时，也都有12种排法，故共有 种排法.
故答案为：A.
【分析】有且仅有一组字母相邻，这组字母有三种情况： ，利用位置分析法，可得出当相邻的字母为 时，共有12种排法，进而可知不同的排法共有有 种.
11．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】分两种情况：
⑴个位与百位填入0与8，则有 个；
⑵个位与百位填入1与9，则有 个.
则共有 个.
故答案为：C
【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案．
12．【答案】C
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】数字7、2、1组成6个，数字7、6、1组成6个，数字6、3、1组成6个，数字3、2、1组成6个，共24个符合要求的三位数.
故答案为：C.
【分析】6根小木棍可能组成数字7、2、1，7、6、1，6、3、1，3、2、1，分别对其进行全排列即可得出结果.
13．【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
则合格品的取法有 种，不合格品的取法有 种，
则恰好有1件是不合格品的取法有 种取法；则 正确， 错误；
若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，
①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有 种取法，
②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有 种取法，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种， 正确；
也可以使用间接法：在100件产品中任选3件，有 种取法，
其中全部为合格品的取法有 种，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种取法， 正确；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项，对于 ，由分步计数原理计算可得合格品的取法以及不合格品的取法，由分步计数原理可得 正确， 错误；
对于 ，分2种情况讨论：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，由加法原理可得 ；
对于 ，由间接法分析：先计算在100件产品中任选3件的取法数目，再计算其中全部为合格品的取法，据此分析可得 正确；
综合即可得答案．
14．【答案】C,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】6门中选3门共有 种，A不符合题意；
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 种排法，B不符合题意；
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有 种排法，C符合题意；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 种排法，D符合题意．
故答案为：CD
【分析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.
15．【答案】70
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：
类2门， 类1门，共有 种，
或 类1门， 类2门，共有 ，所以不同的选法共有 种方法.
故答案为：70
【分析】根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数.
16．【答案】24
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，
将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，
若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有 种情况，
若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，
则不同的排法共有 种情况.
故答案为：24．
【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．
17．【答案】3
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
化简得 ，解得 ．
故答案为：3．
【分析】用排列数和组合数的定义把已知等式化为乘积形式，然后可解方程．
18．【答案】36
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为：36.
【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.
19．【答案】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： .
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）先排教师有 种方法，再排学生有 种方法，再根据分步计数原理即可得到答案；（2）先排4名学生有 种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有 种方法，根据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有 种方法，再从4名学生种选2名排两端，有 种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有 种方法，由乘法原理即可得到答案.
20．【答案】（1）解： （种）
（2）解： （种）
（3）解： （种）
【知识点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1)利用组合的知识求解；（2）先不均匀分组，再分配到学校即可求解；（3）先不均匀分组，再分配即可.
21．【答案】（1）解：每一个球有4种放法，故共有44＝256（种）
（2）解：恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有 种，再放到2个小盒中有 种放法，共有 种方法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有 种放法，
故恰有2个盒子不放球的方法共有 种放法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）明确共有4个球，每个球都有4种放法，盒子可以不放球，根据分步计数原理求解.（2）首先明确有两个盒子不放球的含义是将4个球放入2个盒子中，放球分为两类，一类是1个盒子放3个另一个放1个，二类是两个盒子各放2个，分别求出每一类的放法，再用加法计数原理求解.
22．【答案】（1）解：十位数字与千位数字之差的绝对值等于7，
可得千位数字和十位数字的组合有 五种，
每种组合中百位和个位的数共有 种组合，所以符合条件的四位数共有 种.
（2）解：情形一：不选三班的同学，从12个人中选出3人，有 种选取方法，其中来自同一个班级的情况有 种，则此时有 种选取方法；
情形二：选三班的一位同学，三班的这一位同学的选取方法有4种，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有 种选取方法，则此时有 种选取方法.
根据分类计数原理，共有 种选取方法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）千位数字和十位数字的组合有 五种，百位和个位的数共有 种组合，计算得到答案.（2）考虑不选三班的同学和选三班的一位同学两种情况，利用排除法和分步分类计数原理得到答案.
23．【答案】（1）解：首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有 种；
（2）解：从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，共有 种
（3）解：从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，共有 种.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有 ；（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球；（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球.
24．【答案】（1）解：由题意得：问题转化为不定方程 的非负整数解的个数，
∴方程又等价于不定方程 的正整数解的个数，
利用隔板原理得：方程正整数解的个数为 ，
∴共有多少 种分配方案.
（2）解：将问题转化为不定方程 的正整数解个数，分组后再进行排列，
∵不定方程 的正整数解个数为 ，
∴共有 种方法.
（3）解：设6名学生在3个安检的人数分别为 ，
∵方程 非负整数解的个数等价于方程 的正整数解的个数，
∴6人进站的不同方案种数为 .
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）将问题转化为不定方程 的非负整数解问题，再利用隔板原理进行求解；（2）将问题转化为不定方程 的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解；（3）将问题转化为不定方程方程 的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解.
1 / 1人教新课标A版 选修2-3 1.2排列与组合
一、单选题
1．（2020高二下·通州期末）甲、乙等7人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A．96 B．120 C．360 D．480
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：甲的位置在中间已经固定，甲与乙不相邻，因此甲的左右相邻两个位置应从除甲乙之外的5人中选2人进行排列，剩下的人在其余位置上全排列，故有 种，
故答案为：D.
【分析】从出甲乙之外的5人中选2人排在甲的两边并和甲相邻，剩下的全排列，利用排列数公式和乘法计数原理得到..
2．（2020·新高考Ⅰ）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故答案为：C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
3．（2020高二下·湖州期末）袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，则至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意，袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，
至少有一个红球的取法有：
①直接法： 种不同的取法；
②间接法： .
故答案为：C.
【分析】根据题意，可分别利用直接法和间接法求解，得到答案.
4．（2020高二下·哈尔滨期末）为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种
A．36 B．48 C．60 D．16
【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有 种方式，
所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有
种方式.
故答案为：A
【分析】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.
5．（2020高二下·天津期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由于节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，
则节目乙可放在第二、三、五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，
由分步计数原理可知，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 种，
故答案为：B.
【分析】固定节目甲、丙的位置，将节目乙放在第二、三、五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，利用分步计数原理可得出结果.
6．（2020高二下·莲湖期末）元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（ ）．
A．32种 B．70种 C．90种 D．280种
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，
即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有 种．
故答案为：B
【分析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，由定序问题可求解.
7．（2020高二下·广州期末）在正方体的8个顶点中，以任意4个顶点为顶点的三棱锥，共有（ ）
A．52个 B．54个 C．58个 D．62个
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】从正方体的8个顶点中任取四个顶点，共有 种，
其中有6个表面和6个对角面中的四个顶点共面，不能构成三棱锥，
所以共有 个三棱锥.
故答案为：C.
【分析】利用间接法可得结果：从正方体的 个顶点中任取四个顶点的取法减去四点共面的情形即可得到结果.
8．（2020·抚州模拟）2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ）
A．72 B．84 C．96 D．120
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，
共有 种，
其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，
考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法，
其中一半是重复的，故此时有12种重复.
故共有 种.
故答案为：B.
【分析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有 种，其中1和0排在一起有重复，共有12种，即可得答案.
9．（2020·马鞍山模拟）为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（ ）
A．10种 B．40种 C．80种 D．240种
【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意, 因为6箱医用外科口罩的规格相同,故四家医院分配到的口罩箱数有1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,则分配的方法有：①1,1,2,2：从4家医院中选择两家,分别分配1箱,共 种.②1,1,1,3：从4家医院选出1家,分配给3箱,共 种.
共 种.
故答案为：A
【分析】分四家医院分配到的口罩箱数分别为1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,分别计算再求和即可.
10．（2020高二下·宁波期末）已知字母x，y，z各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如 ），则不同的排法共有（ ）种
A．36 B．30 C．24 D．16
【答案】A
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】有且仅有一组字母相邻，这组字母有三种情况： .
当相邻的这组字母为 时，将6个位置编成1-6号，
若 在1号和2号，则3号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法；
若 在2号和3号，则1号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法；
若 在3号和4号，则1号和2号字母不相同，5号和6号字母不相同，有 种排法；
若 在4号和5号，则2号和6号字母相同，1号和3号字母相同，有2种排法；
若 在5号和6号，则1号和3号字母相同，2号和4号字母相同，有2种排法，
即相邻的字母为 时，共有 种排法.
同理，相邻的字母为 时，也都有12种排法，故共有 种排法.
故答案为：A.
【分析】有且仅有一组字母相邻，这组字母有三种情况： ，利用位置分析法，可得出当相邻的字母为 时，共有12种排法，进而可知不同的排法共有有 种.
11．（2020高二下·大庆期末）由 这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）
A．180 B．196 C．210 D．224
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】分两种情况：
⑴个位与百位填入0与8，则有 个；
⑵个位与百位填入1与9，则有 个.
则共有 个.
故答案为：C
【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案．
12．（2020·上饶模拟）在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示 的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以用 根小木棍表示“ ”，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“ ”且没有重复数字的三位数的个数是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．27
【答案】C
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】数字7、2、1组成6个，数字7、6、1组成6个，数字6、3、1组成6个，数字3、2、1组成6个，共24个符合要求的三位数.
故答案为：C.
【分析】6根小木棍可能组成数字7、2、1，7、6、1，6、3、1，3、2、1，分别对其进行全排列即可得出结果.
二、多选题
13．（2020高二下·宿迁期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
则合格品的取法有 种，不合格品的取法有 种，
则恰好有1件是不合格品的取法有 种取法；则 正确， 错误；
若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，
①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有 种取法，
②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有 种取法，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种， 正确；
也可以使用间接法：在100件产品中任选3件，有 种取法，
其中全部为合格品的取法有 种，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种取法， 正确；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项，对于 ，由分步计数原理计算可得合格品的取法以及不合格品的取法，由分步计数原理可得 正确， 错误；
对于 ，分2种情况讨论：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，由加法原理可得 ；
对于 ，由间接法分析：先计算在100件产品中任选3件的取法数目，再计算其中全部为合格品的取法，据此分析可得 正确；
综合即可得答案．
14．（2020高二下·连云港期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】C,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】6门中选3门共有 种，A不符合题意；
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 种排法，B不符合题意；
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有 种排法，C符合题意；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 种排法，D符合题意．
故答案为：CD
【分析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.
三、填空题
15．（2020高二下·上海期末）某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有 .种
【答案】70
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：
类2门， 类1门，共有 种，
或 类1门， 类2门，共有 ，所以不同的选法共有 种方法.
故答案为：70
【分析】根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数.
16．（2020高二下·宾县期末）五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有 种
【答案】24
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，
将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，
若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有 种情况，
若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，
则不同的排法共有 种情况.
故答案为：24．
【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．
17．（2020高二下·莲湖期末）若 ，则 ．
【答案】3
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
化简得 ，解得 ．
故答案为：3．
【分析】用排列数和组合数的定义把已知等式化为乘积形式，然后可解方程．
18．（2020·新课标Ⅱ·理）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】36
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为：36.
【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.
四、解答题
19．（2020高二下·吉林月考）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？
（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？
（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？
【答案】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： .
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）先排教师有 种方法，再排学生有 种方法，再根据分步计数原理即可得到答案；（2）先排4名学生有 种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有 种方法，根据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有 种方法，再从4名学生种选2名排两端，有 种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有 种方法，由乘法原理即可得到答案.
20．（2020高二下·钦州期中）将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）
（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？
（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？
【答案】（1）解： （种）
（2）解： （种）
（3）解： （种）
【知识点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1)利用组合的知识求解；（2）先不均匀分组，再分配到学校即可求解；（3）先不均匀分组，再分配即可.
21．（2020高二下·栖霞月考）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
（1）共有几种放法？
（2）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
【答案】（1）解：每一个球有4种放法，故共有44＝256（种）
（2）解：恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有 种，再放到2个小盒中有 种放法，共有 种方法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有 种放法，
故恰有2个盒子不放球的方法共有 种放法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）明确共有4个球，每个球都有4种放法，盒子可以不放球，根据分步计数原理求解.（2）首先明确有两个盒子不放球的含义是将4个球放入2个盒子中，放球分为两类，一类是1个盒子放3个另一个放1个，二类是两个盒子各放2个，分别求出每一类的放法，再用加法计数原理求解.
22．（2020高二下·宁波期中）
（1）由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数共有几种？
（2）我校高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，求不同的选取法的种数.
【答案】（1）解：十位数字与千位数字之差的绝对值等于7，
可得千位数字和十位数字的组合有 五种，
每种组合中百位和个位的数共有 种组合，所以符合条件的四位数共有 种.
（2）解：情形一：不选三班的同学，从12个人中选出3人，有 种选取方法，其中来自同一个班级的情况有 种，则此时有 种选取方法；
情形二：选三班的一位同学，三班的这一位同学的选取方法有4种，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有 种选取方法，则此时有 种选取方法.
根据分类计数原理，共有 种选取方法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）千位数字和十位数字的组合有 五种，百位和个位的数共有 种组合，计算得到答案.（2）考虑不选三班的同学和选三班的一位同学两种情况，利用排除法和分步分类计数原理得到答案.
23．（2020高二下·中山期中）盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.
（1）全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？
（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
（3）若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
【答案】（1）解：首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有 种；
（2）解：从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，共有 种
（3）解：从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，共有 种.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有 ；（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球；（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球.
24．（2020高二下·武汉月考）江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).
（1）共有多少种分配方案？
（2）6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？
（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.
【答案】（1）解：由题意得：问题转化为不定方程 的非负整数解的个数，
∴方程又等价于不定方程 的正整数解的个数，
利用隔板原理得：方程正整数解的个数为 ，
∴共有多少 种分配方案.
（2）解：将问题转化为不定方程 的正整数解个数，分组后再进行排列，
∵不定方程 的正整数解个数为 ，
∴共有 种方法.
（3）解：设6名学生在3个安检的人数分别为 ，
∵方程 非负整数解的个数等价于方程 的正整数解的个数，
∴6人进站的不同方案种数为 .
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）将问题转化为不定方程 的非负整数解问题，再利用隔板原理进行求解；（2）将问题转化为不定方程 的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解；（3）将问题转化为不定方程方程 的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解.
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