人教新课标A版 必修一 1.3.1单调性与最大（小）值
一、单选题
1．（2019高一上·辽源期中）下列四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为（ ）
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝1－
C．f(x)＝x2－5x－6 D．f(x)＝3－x
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】A，C，D选项中的三个函数在(－∞，0)上都是减函数，只有B符合题意．
故答案为：B
【分析】根据函数单调性的定义，结合基本初等函数的单调性逐一判断即可.
2．（2019高一上·大庆月考）函数 在 上的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】因为函数 ，
所以函数 在 上是减函数，
所以当 时， .
故答案为：C
【分析】根据函数解析式可知函数的单调性，利用单调性求最小值.
3．（2019高一上·邢台期中）函数y＝ 的单调递减区间为（ ）
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．
故答案为：A
【分析】利用偶次根式函数的定义域和二次函数的图象的对称性以及复合函数的单调性，确定复合函数的单调递减区间。
4．（2019高一上·罗江月考）函数 在R上为增函数，且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，
故答案为：C.
【分析】利用函数的单调性结合已知条件 ， 从而求出实数m的取值范围。
5．（2019高一上·宜昌月考）函数 在 上为增函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：∵函数 在 上为增函数，
∴x＞8x﹣16＞0，求得 2＜x ，
故答案为：A．
【分析】由题意根据函数的定义域和单调性可得x＞8x﹣16＞0，由此求得x的范围．
6．（2019高一上·浠水月考）若函数 在实数集上是增函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为函数 在实数集上是增函数，
所以
故答案为：A
【分析】根据一次函数的单调递增，其斜率大于0，即可解出答案。
7．（2019高三上·榕城月考）若函数 在区间 上是单调函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】函数 的对称轴是 ，
函数 在区间 上是单调函数，且函数 的图象是开口向上的，
则当 ，即 时，函数 在区间 上是单调增函数；
当 ，即 时，函数 在区间 上是单调减函数.
的取值范围是 .
故答案为：C.
【分析】求出函数 的对称轴，讨论区间与对称轴的位置关系，从而得到结果.
8．（2019高一上·辽源期中）已知函数 在 上是单调函数，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由于 的零点是 ，且在直线 两侧左减右增，要使函数 在 上是单调函数，则 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据 的零点和性质列不等式，解不等式求得 的取值范围.
9．（2020·济南模拟）已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的图象
【解析】【解答】 ，
如图所示：画出函数图象，根据图像知函数单调递增，
，即 ，解得 或 .
故答案为：D.
【分析】画出函数图象，根据图像得到函数单调递增，故 ，解得答案.
10．（2020高二下·南昌期末）已知函数 是单调函数，且 时，都有 ，则 （ ）.
A．-4 B．-3 C．-1 D．0
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的值
【解析】【解答】由题得，设 ，k是一个常数， ， ， ，则有 ， ， 解得 ， ， .
故答案为：C
【分析】函数 是单调函数， 是一个定值，因此可以设 为常数k，那么 ，且 ，由此可解得k，即得 的值。
二、填空题
11．（2019高一上·林芝期中）函数 的最小值是 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】 ，因此，函数 的最小值是 .
故答案为： .
【分析】将二次函数 的解析式进行配方，可得出该函数的最小值.
12．（2019高一上·长沙月考）如果函数 在区间 上是递增的，那么实数 的取值范围是 .
【答案】a≤4
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】函数 的对称轴方程为 ，
在区间 上是递增的，故 .
故答案为:
【分析】由抛物线图像特征，须对称轴在区间 的左侧，即可求出结果
13．（2019高一上·延安月考）若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 在 上是增函数，故
故答案为：
【分析】 为反比例函数形式，结合反比例函数特点即可求解.
14．（2017高一上·林口期中）已知函数y=f（x）是R上的增函数，且f（m+3）≤f（5），则实数m的取值范围是 ．
【答案】（﹣∞，2]
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数y=f（x）是R上的增函数，且f（m+3）≤f（5），
故m+3≤5，解得：m≤2，
故答案为：（﹣∞，2]．
【分析】根据函数单调性的列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围.
三、解答题
15．（2019高一上·临渭月考）函数
（1）画出函数 的图像；
（2）求函数 的单调区间.
【答案】（1）解：函数 的图像的图像如图所示：
（2）解：由函数图象可知函数 的增区间为 ， ；
减区间为 ， ， ；
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】（1）根据解析式作出函数图象即可；（2）根据图象分析函数的单调区间.
16．（2019高一上·会宁期中）已知函数 ，且此函数图象过点 ．
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性？并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵ 过点 ，∴
（2）解：任意取 则 ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴ 在 是增函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的图象
【解析】【分析】（1）将 点代入即可求解；（2）利用函数增减性的定义进行证明即可判断.
17．（2017高一上·双鸭山月考）已知函数 .
（1）求函数 的定义域和值域；
（2）判断函数 在区间 上单调性，并用定义来证明所得结论.
【答案】（1）解： ，
的定义域为 .值域
（2）解：由函数解析式得该函数在 为减函数，下面证明：
任取 ，且 ，
， ， ，
.
函数在 为减函数
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】把f(x)转化成反比例函数，计算出值域，分母不为0，得出定义域，即可得出答案。（2）利用与0的关系，判断单调性，即可得出答案。
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一、单选题
1．（2019高一上·辽源期中）下列四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为（ ）
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝1－
C．f(x)＝x2－5x－6 D．f(x)＝3－x
2．（2019高一上·大庆月考）函数 在 上的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（2019高一上·邢台期中）函数y＝ 的单调递减区间为（ ）
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
4．（2019高一上·罗江月考）函数 在R上为增函数，且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019高一上·宜昌月考）函数 在 上为增函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高一上·浠水月考）若函数 在实数集上是增函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2019高三上·榕城月考）若函数 在区间 上是单调函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019高一上·辽源期中）已知函数 在 上是单调函数，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
9．（2020·济南模拟）已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高二下·南昌期末）已知函数 是单调函数，且 时，都有 ，则 （ ）.
A．-4 B．-3 C．-1 D．0
二、填空题
11．（2019高一上·林芝期中）函数 的最小值是 .
12．（2019高一上·长沙月考）如果函数 在区间 上是递增的，那么实数 的取值范围是 .
13．（2019高一上·延安月考）若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 .
14．（2017高一上·林口期中）已知函数y=f（x）是R上的增函数，且f（m+3）≤f（5），则实数m的取值范围是 ．
三、解答题
15．（2019高一上·临渭月考）函数
（1）画出函数 的图像；
（2）求函数 的单调区间.
16．（2019高一上·会宁期中）已知函数 ，且此函数图象过点 ．
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性？并证明你的结论．
17．（2017高一上·双鸭山月考）已知函数 .
（1）求函数 的定义域和值域；
（2）判断函数 在区间 上单调性，并用定义来证明所得结论.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】A，C，D选项中的三个函数在(－∞，0)上都是减函数，只有B符合题意．
故答案为：B
【分析】根据函数单调性的定义，结合基本初等函数的单调性逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】因为函数 ，
所以函数 在 上是减函数，
所以当 时， .
故答案为：C
【分析】根据函数解析式可知函数的单调性，利用单调性求最小值.
3．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．
故答案为：A
【分析】利用偶次根式函数的定义域和二次函数的图象的对称性以及复合函数的单调性，确定复合函数的单调递减区间。
4．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，
故答案为：C.
【分析】利用函数的单调性结合已知条件 ， 从而求出实数m的取值范围。
5．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：∵函数 在 上为增函数，
∴x＞8x﹣16＞0，求得 2＜x ，
故答案为：A．
【分析】由题意根据函数的定义域和单调性可得x＞8x﹣16＞0，由此求得x的范围．
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为函数 在实数集上是增函数，
所以
故答案为：A
【分析】根据一次函数的单调递增，其斜率大于0，即可解出答案。
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】函数 的对称轴是 ，
函数 在区间 上是单调函数，且函数 的图象是开口向上的，
则当 ，即 时，函数 在区间 上是单调增函数；
当 ，即 时，函数 在区间 上是单调减函数.
的取值范围是 .
故答案为：C.
【分析】求出函数 的对称轴，讨论区间与对称轴的位置关系，从而得到结果.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由于 的零点是 ，且在直线 两侧左减右增，要使函数 在 上是单调函数，则 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据 的零点和性质列不等式，解不等式求得 的取值范围.
9．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的图象
【解析】【解答】 ，
如图所示：画出函数图象，根据图像知函数单调递增，
，即 ，解得 或 .
故答案为：D.
【分析】画出函数图象，根据图像得到函数单调递增，故 ，解得答案.
10．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的值
【解析】【解答】由题得，设 ，k是一个常数， ， ， ，则有 ， ， 解得 ， ， .
故答案为：C
【分析】函数 是单调函数， 是一个定值，因此可以设 为常数k，那么 ，且 ，由此可解得k，即得 的值。
11．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】 ，因此，函数 的最小值是 .
故答案为： .
【分析】将二次函数 的解析式进行配方，可得出该函数的最小值.
12．【答案】a≤4
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】函数 的对称轴方程为 ，
在区间 上是递增的，故 .
故答案为:
【分析】由抛物线图像特征，须对称轴在区间 的左侧，即可求出结果
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 在 上是增函数，故
故答案为：
【分析】 为反比例函数形式，结合反比例函数特点即可求解.
14．【答案】（﹣∞，2]
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数y=f（x）是R上的增函数，且f（m+3）≤f（5），
故m+3≤5，解得：m≤2，
故答案为：（﹣∞，2]．
【分析】根据函数单调性的列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围.
15．【答案】（1）解：函数 的图像的图像如图所示：
（2）解：由函数图象可知函数 的增区间为 ， ；
减区间为 ， ， ；
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】（1）根据解析式作出函数图象即可；（2）根据图象分析函数的单调区间.
16．【答案】（1）解：∵ 过点 ，∴
（2）解：任意取 则 ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴ 在 是增函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的图象
【解析】【分析】（1）将 点代入即可求解；（2）利用函数增减性的定义进行证明即可判断.
17．【答案】（1）解： ，
的定义域为 .值域
（2）解：由函数解析式得该函数在 为减函数，下面证明：
任取 ，且 ，
， ， ，
.
函数在 为减函数
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】把f(x)转化成反比例函数，计算出值域，分母不为0，得出定义域，即可得出答案。（2）利用与0的关系，判断单调性，即可得出答案。
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