高中数学人教新课标A版 选修2-1 2.3双曲线
一、单选题
1．（2020高二下·丽水期末）双曲线 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 中，易得 ，焦点在x轴，
所以焦点坐标为： .
故答案为：D
【分析】根据双曲线方程求出 ，结合焦点所处位置即可求得焦点坐标.
2．（2020高二下·衢州期末）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知 ，∴渐近线方程为 ，即 ．
故答案为：B．
【分析】根据双曲线的标准方程得 ，然后可得渐近线方程．
3．（2020·聊城模拟）已知双曲线 ，则 是双曲线C的离心率大于 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线 ，若 ，则 ， ， ，所以 ，故充分性成立；
若 ，则 ， ， ，所以 ，故必要性不成立；
故 是双曲线C的离心率大于 的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
4．（2020·天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为l．若C的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
5．（2020·新课标Ⅰ·文）设 是双曲线 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为：B
【分析】由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
6．（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
7．（2020·龙岩模拟）设A，B为双曲线Γ： 的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心， 为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB=（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 ，以原点O为圆心， 为半径的圆的方程是 ，
设点M是圆与渐近线 在第一象限的交点，
，解得： ，即
， 轴，
中，
故答案为：A
【分析】首先求点M的坐标，并判断 轴，这样 中， 直接求解.
8．（2020·江西模拟）已知直线l与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，且 ，若 ，且 的面积为 ，则E的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】作示意图如图所示，设 ，
由题意可得 ， ，
所以 ，又 ，得
又因为 ，得 ，则 ，故 .
故答案为：C.
【分析】作示意图，设 ，根据面积公式和向量数量积的运算，列出方程组，求得 ，即可得 的等量关系，再转化为离心率即可.
9．（2020·南昌模拟）知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 的右支上， 与 轴交于点 ， 的内切圆与边 切于点 .若 ，则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示：设 分别为 三边与其内切圆的切点，圆心为 .
已知 ≌ ， ≌ ， ≌ .
即
由双曲线的定义有： .
则
.
所以 ，即 .又 .
所以 ，又 ，解得 .
双曲线 的渐近线方程为： .
故答案为：A
【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.
10．（2020·泰安模拟）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 是C上位于第一象限内的一点，且直线 与 轴的正半轴交于A点， 的内切圆在边 上的切点为N，若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】设 的内切圆在边 的切点分别为E，G，
则 ，得 ，
又 ，则 ，得 ，
又 ，得 ，所以双曲线C的离心率为 .
故答案为：D
【分析】利用内切圆的性质和双曲线的定义，求出a，再求得双曲线的离心率.
11．（2020·西安模拟）已知双曲线 的左 右焦点分别为 ， ，若双曲线上存在点P使 ，则离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使 ,
则渐近线的斜率 ,即 ,因为离心率 ，
所以 ,因为 ，
所以离心率 的取值范围为 ，
故选:B
【分析】根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使 ,可知 ,再由 即可求解
12．（2020·抚顺模拟）已知双曲线 的虚轴的一个顶点为 ，左顶点为M，双曲线C的左、右焦点分别为 ， ，点P为线段 上的动点，当 取得最小值和最大值时， 的面积分别为 ， ，若 ，则双曲线C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由题意可知 ， ，则直线 所在直线的方程为 ，
因为点P在线段 上，可设 ，其中 ．
设双曲线C的焦距为 ，则 ， ， ，
从而 ， ，
故 ．
因为 ，所以当 时， 取得最小值，
此时， ．
当 ，即 时， 无最大值，所以 不符合题意；
当 ，即 时， 在 处取得最大值，此时， ，
因为 ，所以 ，解得 ，符合题意．
综上， ， ， ，故双曲线C的离心率 ．
故答案为：A.
【分析】设直线 所在直线的方程为 ，设 ， ， ，则可得 ， ，从而可求出两向量的数量积的表达式 ，由二次函数的性质可求出当 时， 取得最小值，从而可求 ；当 时， 在 处取得最大值，此时， ，由 可求出 ，进而可求离心率的值.
二、多选题
13．（2020·滨州模拟）设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为 B．渐近线方程为
C．离心率为 D．离心率为
【答案】A,C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设 ，
由 ，可得 ，
由 到直线 的距离等于双曲线的实轴长 ，
设 的中点 ，
由等腰三角形 的性质可得， ，
即有 ，
，即 ，
可得 ，
即有 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，即 ；
离心率 ．
故答案为：AC．
【分析】设 ，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．
三、填空题
14．（2020高二下·徐汇期末）已知双曲线 的焦点坐标为 ，则a的值为 .
【答案】-2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的焦点坐标为 ，
可得 ，解得 ．
故答案为：-2．
【分析】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可．
15．（2020·新课标Ⅲ·文）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，
因为其一条渐近线为 ，
所以 ， .
故答案为：
【分析】根据已知可得 ，结合双曲线中 的关系，即可求解.
16．（2020高二下·北京期末）已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】y=±x
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题知： ，双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【分析】根据离心率公式和双曲线的 的关系进行求解
17．（2020高二下·浙江期末）已知双曲线方程为 ，直线 分别交双曲线左右两支于A，B两点，与 轴交于点C，则 的范围是 ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】联立 ，消去 并整理得 ，
恒成立，
设 ， ， ， ，
则 ， ，
所以
，
所以 ，
所以 ，
设 ， ，
则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
【分析】联立直线与双曲线，根据韦达定理得 ， ，求出 的取值范围，根据 解不等式即可求出 的范围.
四、解答题
18．（2020高二下·虹口期末）已知双曲线 ( )，直线l与 交于P Q两点.
（1）若点 是双曲线 的一个焦点，求 的渐近线方程；
（2）若点P的坐标为 ，直线 的斜率等于1，且 ，求双曲线 的渐近线方程.
【答案】（1）解：依题意 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以双曲线 的渐近线方程为
（2）解：依题意可得直线l的方程为： ，将其代入 并整理得：
，
因为直线l与 交于P Q两点，所以 ， ，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以双曲线的渐近线方程为 或 .
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） ， ,根据双曲线中 求出b，则可得渐近线方程；（2）联立直线与双曲线，利用韦达定理求出弦长与已知弦长相等，可解得b，则可得到渐近线方程.
19．（2019高二上·长治月考）已知双曲线 的虚轴长为 ，且离心率为 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线右焦点 作倾斜角为 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 ，求 ．
【答案】（1）解：双曲线 的虚轴长为 ，离心率为 ，
∴ 解得 ， ， ，
∴双曲线的方程为 .
（2）解：由（1）知双曲线 的右焦点为 ，设经过双曲线右焦点 且倾斜角为 的直线的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，其中， ， ，
.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得 ， ，解方程可得 ， ， ，可得所求双曲线的方程；（2）设经过双曲线右焦点 且倾斜角为 的直线的方程为 ，联立双曲线方程，可得 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．
20．（2020·梅河口模拟）已知双曲线 及直线 .
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且 ，求实数k的值.
【答案】（1）解：双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组 有两个不同的实数根，
整理得 ，
，
解得 且 .
双曲线C与直线l有两个不同交点时，
k的取值范围是
（2）解：设交点 ，直线l与y轴交于点 ，
， .
，即 ，
整理得 ，解得 或
或 .又 ，
或 时， 的面积为 .
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，消去 ，得到关于 的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；（2）设 ，由（1）可得 关系，再由直线l过点 ，可得 ，进而建立关于 的方程，求解即可.
21．（2020高二上·淮阴期末）已知双曲线 的方程为 ，离心率 ,顶点到渐近线的距离为
（1）求双曲线 的方程;
（2）设 是双曲线 上 点， , 两点在双曲线 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求 面积的取值范围.
【答案】（1）解：由双曲线方程可知其渐近线方程为 ，顶点坐标
顶点到渐近线距离
由 得： 双曲线 的方程为：
（2）解：由（1）知：双曲线渐近线方程为
设 ， ， ，其中 ，
则 ，
由 得：
，整理可得：
设
，
又 ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
，
即 面积的取值范围为
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由顶点到渐近线距离、离心率和双曲线 的关系可构造方程求得 ，进而得到双曲线方程；（2）假设 三点坐标，利用 可表示出 点坐标，代入双曲线方程整理可得 ；结合渐近线斜率和倾斜角的关系、同角三角函数和二倍角公式可求得 ，利用三角形面积公式可将所求面积化为关于 的函数，利用对号函数的性质即可求得所求取值范围.
22．（2020·南昌模拟）已知双曲线 上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为 .
（I）求双曲线渐近线的方程；
（Ⅱ）过椭圆 上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于 两点，且 ，是否存在 使得该椭圆的离心率为 ，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由.
【答案】解：（I）设 ，
由 ，知 ，
所以， ，得 ，即 ，
即双曲线渐近线方程为 ；
（Ⅱ）由 ，
设 ，则PM方程为 ，
由 ，得 ；
由 ，得
又 ，所以 ，所以 ， ，
同理可得， ，
由 是平行四边形，知 ，
所以， ，
即
所以，存在符合题意的椭圆，其方程为 .
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（I）设 ，由 可得 ，进一步得到渐近线方程；（Ⅱ）设 ，则PM方程为 ，联立渐近线方程 得到 ，进一步得到 ，同理得到 ，再利用 计算即可得到答案.
23．（2020·奉贤模拟）直线 上的动点 到点 的距离是它到点 的距离的3倍.
（1）求点P的坐标；
（2）设双曲线 的右焦点是F，双曲线经过动点P，且 ，求双曲线的方程；
（3）点 关于直线 的对称点为 ，试问能否找到一条斜率为 （ ）的直线 与（2）中的双曲线 交于不同的两点 、 ，且满足 ，若存在，求出斜率 的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为点 在直线 上，所以设点P的坐标为 ，
因为P到点 的距离是它到点 的距离的3倍，
所以
所以 ，
化简得，
解得
所以
所以点 的坐为 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
所以点 的坐标为 ，即
因为点 在双曲线上，所以 ，
由 ，得 ，
所以双曲线方程为
（3）解：因为点 关于直线 的对称点为Q，
所以点Q的坐标为 ，
设直线为 为 ， ，
由 得， ，
因为直线 与双曲线交于不同的两点，
所以 ，
化简得 ，
由根与系数的关系得，
所以 ，所以线段 的中点为 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
所以 ，得 ，
解得 或 ，
又因为 ，所以解得 的取值范围为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由于点 在直线 上，所以设点 的坐标为 ，然后由 到点 的距离是它到点 的距离的3倍列方程求出 ，从而可得点 的坐标；（2）由 可知 ，由此可 ，再将点 坐标代入双曲线方程中，解方程组可得 ；（3）由 可知线段 的中垂线过点Q，再利用两直线斜率的关系可得结果.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-1 2.3双曲线
一、单选题
1．（2020高二下·丽水期末）双曲线 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高二下·衢州期末）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·聊城模拟）已知双曲线 ，则 是双曲线C的离心率大于 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020·天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为l．若C的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·新课标Ⅰ·文）设 是双曲线 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
6．（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．（2020·龙岩模拟）设A，B为双曲线Γ： 的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心， 为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB=（ ）
A．4 B． C．2 D．
8．（2020·江西模拟）已知直线l与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，且 ，若 ，且 的面积为 ，则E的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2020·南昌模拟）知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 的右支上， 与 轴交于点 ， 的内切圆与边 切于点 .若 ，则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·泰安模拟）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 是C上位于第一象限内的一点，且直线 与 轴的正半轴交于A点， 的内切圆在边 上的切点为N，若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．（2020·西安模拟）已知双曲线 的左 右焦点分别为 ， ，若双曲线上存在点P使 ，则离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·抚顺模拟）已知双曲线 的虚轴的一个顶点为 ，左顶点为M，双曲线C的左、右焦点分别为 ， ，点P为线段 上的动点，当 取得最小值和最大值时， 的面积分别为 ， ，若 ，则双曲线C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2020·滨州模拟）设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为 B．渐近线方程为
C．离心率为 D．离心率为
三、填空题
14．（2020高二下·徐汇期末）已知双曲线 的焦点坐标为 ，则a的值为 .
15．（2020·新课标Ⅲ·文）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为 ．
16．（2020高二下·北京期末）已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为 ．
17．（2020高二下·浙江期末）已知双曲线方程为 ，直线 分别交双曲线左右两支于A，B两点，与 轴交于点C，则 的范围是 ．
四、解答题
18．（2020高二下·虹口期末）已知双曲线 ( )，直线l与 交于P Q两点.
（1）若点 是双曲线 的一个焦点，求 的渐近线方程；
（2）若点P的坐标为 ，直线 的斜率等于1，且 ，求双曲线 的渐近线方程.
19．（2019高二上·长治月考）已知双曲线 的虚轴长为 ，且离心率为 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线右焦点 作倾斜角为 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 ，求 ．
20．（2020·梅河口模拟）已知双曲线 及直线 .
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且 ，求实数k的值.
21．（2020高二上·淮阴期末）已知双曲线 的方程为 ，离心率 ,顶点到渐近线的距离为
（1）求双曲线 的方程;
（2）设 是双曲线 上 点， , 两点在双曲线 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求 面积的取值范围.
22．（2020·南昌模拟）已知双曲线 上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为 .
（I）求双曲线渐近线的方程；
（Ⅱ）过椭圆 上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于 两点，且 ，是否存在 使得该椭圆的离心率为 ，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由.
23．（2020·奉贤模拟）直线 上的动点 到点 的距离是它到点 的距离的3倍.
（1）求点P的坐标；
（2）设双曲线 的右焦点是F，双曲线经过动点P，且 ，求双曲线的方程；
（3）点 关于直线 的对称点为 ，试问能否找到一条斜率为 （ ）的直线 与（2）中的双曲线 交于不同的两点 、 ，且满足 ，若存在，求出斜率 的取值范围，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 中，易得 ，焦点在x轴，
所以焦点坐标为： .
故答案为：D
【分析】根据双曲线方程求出 ，结合焦点所处位置即可求得焦点坐标.
2．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知 ，∴渐近线方程为 ，即 ．
故答案为：B．
【分析】根据双曲线的标准方程得 ，然后可得渐近线方程．
3．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线 ，若 ，则 ， ， ，所以 ，故充分性成立；
若 ，则 ， ， ，所以 ，故必要性不成立；
故 是双曲线C的离心率大于 的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
4．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
5．【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为：B
【分析】由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
6．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 ，以原点O为圆心， 为半径的圆的方程是 ，
设点M是圆与渐近线 在第一象限的交点，
，解得： ，即
， 轴，
中，
故答案为：A
【分析】首先求点M的坐标，并判断 轴，这样 中， 直接求解.
8．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】作示意图如图所示，设 ，
由题意可得 ， ，
所以 ，又 ，得
又因为 ，得 ，则 ，故 .
故答案为：C.
【分析】作示意图，设 ，根据面积公式和向量数量积的运算，列出方程组，求得 ，即可得 的等量关系，再转化为离心率即可.
9．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示：设 分别为 三边与其内切圆的切点，圆心为 .
已知 ≌ ， ≌ ， ≌ .
即
由双曲线的定义有： .
则
.
所以 ，即 .又 .
所以 ，又 ，解得 .
双曲线 的渐近线方程为： .
故答案为：A
【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.
10．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】设 的内切圆在边 的切点分别为E，G，
则 ，得 ，
又 ，则 ，得 ，
又 ，得 ，所以双曲线C的离心率为 .
故答案为：D
【分析】利用内切圆的性质和双曲线的定义，求出a，再求得双曲线的离心率.
11．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使 ,
则渐近线的斜率 ,即 ,因为离心率 ，
所以 ,因为 ，
所以离心率 的取值范围为 ，
故选:B
【分析】根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使 ,可知 ,再由 即可求解
12．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由题意可知 ， ，则直线 所在直线的方程为 ，
因为点P在线段 上，可设 ，其中 ．
设双曲线C的焦距为 ，则 ， ， ，
从而 ， ，
故 ．
因为 ，所以当 时， 取得最小值，
此时， ．
当 ，即 时， 无最大值，所以 不符合题意；
当 ，即 时， 在 处取得最大值，此时， ，
因为 ，所以 ，解得 ，符合题意．
综上， ， ， ，故双曲线C的离心率 ．
故答案为：A.
【分析】设直线 所在直线的方程为 ，设 ， ， ，则可得 ， ，从而可求出两向量的数量积的表达式 ，由二次函数的性质可求出当 时， 取得最小值，从而可求 ；当 时， 在 处取得最大值，此时， ，由 可求出 ，进而可求离心率的值.
13．【答案】A,C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设 ，
由 ，可得 ，
由 到直线 的距离等于双曲线的实轴长 ，
设 的中点 ，
由等腰三角形 的性质可得， ，
即有 ，
，即 ，
可得 ，
即有 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，即 ；
离心率 ．
故答案为：AC．
【分析】设 ，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．
14．【答案】-2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的焦点坐标为 ，
可得 ，解得 ．
故答案为：-2．
【分析】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可．
15．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，
因为其一条渐近线为 ，
所以 ， .
故答案为：
【分析】根据已知可得 ，结合双曲线中 的关系，即可求解.
16．【答案】y=±x
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题知： ，双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【分析】根据离心率公式和双曲线的 的关系进行求解
17．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】联立 ，消去 并整理得 ，
恒成立，
设 ， ， ， ，
则 ， ，
所以
，
所以 ，
所以 ，
设 ， ，
则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
【分析】联立直线与双曲线，根据韦达定理得 ， ，求出 的取值范围，根据 解不等式即可求出 的范围.
18．【答案】（1）解：依题意 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以双曲线 的渐近线方程为
（2）解：依题意可得直线l的方程为： ，将其代入 并整理得：
，
因为直线l与 交于P Q两点，所以 ， ，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以双曲线的渐近线方程为 或 .
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） ， ,根据双曲线中 求出b，则可得渐近线方程；（2）联立直线与双曲线，利用韦达定理求出弦长与已知弦长相等，可解得b，则可得到渐近线方程.
19．【答案】（1）解：双曲线 的虚轴长为 ，离心率为 ，
∴ 解得 ， ， ，
∴双曲线的方程为 .
（2）解：由（1）知双曲线 的右焦点为 ，设经过双曲线右焦点 且倾斜角为 的直线的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，其中， ， ，
.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得 ， ，解方程可得 ， ， ，可得所求双曲线的方程；（2）设经过双曲线右焦点 且倾斜角为 的直线的方程为 ，联立双曲线方程，可得 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．
20．【答案】（1）解：双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组 有两个不同的实数根，
整理得 ，
，
解得 且 .
双曲线C与直线l有两个不同交点时，
k的取值范围是
（2）解：设交点 ，直线l与y轴交于点 ，
， .
，即 ，
整理得 ，解得 或
或 .又 ，
或 时， 的面积为 .
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，消去 ，得到关于 的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；（2）设 ，由（1）可得 关系，再由直线l过点 ，可得 ，进而建立关于 的方程，求解即可.
21．【答案】（1）解：由双曲线方程可知其渐近线方程为 ，顶点坐标
顶点到渐近线距离
由 得： 双曲线 的方程为：
（2）解：由（1）知：双曲线渐近线方程为
设 ， ， ，其中 ，
则 ，
由 得：
，整理可得：
设
，
又 ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
，
即 面积的取值范围为
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由顶点到渐近线距离、离心率和双曲线 的关系可构造方程求得 ，进而得到双曲线方程；（2）假设 三点坐标，利用 可表示出 点坐标，代入双曲线方程整理可得 ；结合渐近线斜率和倾斜角的关系、同角三角函数和二倍角公式可求得 ，利用三角形面积公式可将所求面积化为关于 的函数，利用对号函数的性质即可求得所求取值范围.
22．【答案】解：（I）设 ，
由 ，知 ，
所以， ，得 ，即 ，
即双曲线渐近线方程为 ；
（Ⅱ）由 ，
设 ，则PM方程为 ，
由 ，得 ；
由 ，得
又 ，所以 ，所以 ， ，
同理可得， ，
由 是平行四边形，知 ，
所以， ，
即
所以，存在符合题意的椭圆，其方程为 .
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（I）设 ，由 可得 ，进一步得到渐近线方程；（Ⅱ）设 ，则PM方程为 ，联立渐近线方程 得到 ，进一步得到 ，同理得到 ，再利用 计算即可得到答案.
23．【答案】（1）解：因为点 在直线 上，所以设点P的坐标为 ，
因为P到点 的距离是它到点 的距离的3倍，
所以
所以 ，
化简得，
解得
所以
所以点 的坐为 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
所以点 的坐标为 ，即
因为点 在双曲线上，所以 ，
由 ，得 ，
所以双曲线方程为
（3）解：因为点 关于直线 的对称点为Q，
所以点Q的坐标为 ，
设直线为 为 ， ，
由 得， ，
因为直线 与双曲线交于不同的两点，
所以 ，
化简得 ，
由根与系数的关系得，
所以 ，所以线段 的中点为 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
所以 ，得 ，
解得 或 ，
又因为 ，所以解得 的取值范围为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由于点 在直线 上，所以设点 的坐标为 ，然后由 到点 的距离是它到点 的距离的3倍列方程求出 ，从而可得点 的坐标；（2）由 可知 ，由此可 ，再将点 坐标代入双曲线方程中，解方程组可得 ；（3）由 可知线段 的中垂线过点Q，再利用两直线斜率的关系可得结果.
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