初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.7 切线长定理
一、单选题
1．（2020九上·杭州月考）如图，P为圆O外一点， 分别切圆O于 两点，若 ，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2020·杭州模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D.若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2020九上·镇原期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
4．（2020九上·北仑期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
6．（2021九上·台州月考）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.若AC=5，BD=3，则AB的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2020九上·梅河口期末）如图， 、 、 是 的切线， 、 、 是切点， 分别交 、 于 、 两点.如 ，则 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
8．（2019九上·长沙期中）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA
二、填空题
9．（2020九下·广陵月考）如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝ .
10．（2019·萧山模拟）如图，点P在 ⊙O 外，PA、PB分别切⊙O于点A、点B，若∠P=50°，则∠A= .
11．（2020九上·北京期中）如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是 的直径， ，则 的度数为 .
12．（2020九上·福州月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝ ．
13．（2019九上·邹城期中）一圆外切四边形 ，且 ，则四边形的周长为 ．
14．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为 ．
三、解答题
15．（2020九上·民勤月考）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB ∥ CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长
16．如图示，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA=12，则△PEF的周长是？
17．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5，
∴PB=PA=5，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可求解.
2．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝3，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2.
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可得AC＝AP，BP＝BD，再根据线段的构成可得BP=AB-AP，于是可求解.
3．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案.
4．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图：
由切线长定理得，BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，
∴BD+CP=BG+CG=5，
∴AD+AP=18 10=8，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MD+AN+NP=AD+AP=8.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得到BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，根据三角形的周长公式计算．
5．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】A、注意真命题是正确的命题．A错在对角线还应互相平分，故A不符合题意.
B、B错在等腰梯形不是中心对称图形，故B不符合题意.
C、圆的切线垂直于经过切点的半径，故C符合题意.
D、D错在结论应是互相平行，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据切线定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
6．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D，
∴AC=AP，BP=BD，
∵AC=5，BD=3
∴AB=AP+BP=AC+BD=5+3=8.
故答案为：D.
【分析】利用切线长定理可证得AC=AP，BP=BD，再结合已知条件可求出AB的长。
7．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD= ∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=140°，
∴∠COD=70°．
【分析】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD= ∠AOB，可求得答案．
8．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】由切线长定理可得：∠1＝∠2，PA＝PB，从而AB⊥OP．
因此A．B．C都符合题意．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故答案为：D．
【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出．
9．【答案】9
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，
∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，
∵△ABC的周长为18，
即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，
∴AE+AF＝18，
∴AE＝9，
故答案为：9.
【分析】根据切线长定理得出BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，进而三角形周长的计算方法等量代换及线段的和差即可算出答案.
10．【答案】65°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切 于点A、点B，
∴AP=BP，
又∵∠P=50°，
∴∠A= （180°﹣∠P）=65°.
故答案为：65°.
【分析】根据切线长定理可得AP=BP，再根据等腰三角形的性质与三角形的内角和即可求解.
11．【答案】70°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180° ∠PAB ∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°，
故答案为：70°．
【分析】连接OB，结合切线长定理及四边形内角和求解即可。
12．【答案】50°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案为：50°．
【分析】根据切线长定理得到∠BPO＝∠APO，结合图形计算，得到答案．
13．【答案】34
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】如图，
圆与四边形各边的切点为E、F、G和H
根据切线长定理可得，DE=DF，AF=AG，CE=CH，BG=BH
又BC=BH+HC=10，AD=AF+DF=7
∴ABCD的周长=AD+AB+CD+BC
=AD+DE+CE+BC+AG+BG
=AD+DF+CH+BC+BH+AF
=AD+AD+BC+BC
=2BC+2AD
=34
故答案为34．
【分析】根据圆的切线的性质即可得出答案．
14．【答案】81
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，
设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，
则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r= （AC+BC﹣AB），
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AD DB=AM BN=（AC﹣r）（BC﹣r）=[AC﹣ （AC+BC﹣AB）][BC﹣ （AC+BC﹣AB）]
= （AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）= （AB2﹣AC2﹣BC2+2AC BC）= AC BC，
由射影定理得AD DB=DE2=81，
∴S△ABC= AC BC=81，
故答案为：81．
【分析】设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，根据切线长定理得出则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r= （AC+BC﹣AB），根据圆周角定理得出∠ACB=90°，根据勾股定理得出AB2=AC2+BC2，根据等量代换得出：AD DB= AC BC，由根据射影定理得出AD DB=DE2=81，整体代入即可得出答案。
15．【答案】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠CBO+∠BCO= ∠ABC+∠DCB= （∠ABC+∠DCB）=90°.
∴BC＝ cm.
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理：从圆外一点可以引两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角可得 ∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB， 根据二直线平行同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180° ，故 ∠CBO+∠BCO=90° ，在Rt△BOC中，由勾股定理可得 BC的长.
16．【答案】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=24
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果
17．【答案】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，
∵PA=8cm，
∴△PEF的周长为：PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16（cm）
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】直接利用切线长定理进而求出PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，即可得出答案．
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.7 切线长定理
一、单选题
1．（2020九上·杭州月考）如图，P为圆O外一点， 分别切圆O于 两点，若 ，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5，
∴PB=PA=5，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可求解.
2．（2020·杭州模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D.若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝3，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2.
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可得AC＝AP，BP＝BD，再根据线段的构成可得BP=AB-AP，于是可求解.
3．（2020九上·镇原期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案.
4．（2020九上·北仑期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图：
由切线长定理得，BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，
∴BD+CP=BG+CG=5，
∴AD+AP=18 10=8，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MD+AN+NP=AD+AP=8.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得到BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，根据三角形的周长公式计算．
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】A、注意真命题是正确的命题．A错在对角线还应互相平分，故A不符合题意.
B、B错在等腰梯形不是中心对称图形，故B不符合题意.
C、圆的切线垂直于经过切点的半径，故C符合题意.
D、D错在结论应是互相平行，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据切线定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
6．（2021九上·台州月考）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.若AC=5，BD=3，则AB的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D，
∴AC=AP，BP=BD，
∵AC=5，BD=3
∴AB=AP+BP=AC+BD=5+3=8.
故答案为：D.
【分析】利用切线长定理可证得AC=AP，BP=BD，再结合已知条件可求出AB的长。
7．（2020九上·梅河口期末）如图， 、 、 是 的切线， 、 、 是切点， 分别交 、 于 、 两点.如 ，则 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD= ∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=140°，
∴∠COD=70°．
【分析】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD= ∠AOB，可求得答案．
8．（2019九上·长沙期中）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】由切线长定理可得：∠1＝∠2，PA＝PB，从而AB⊥OP．
因此A．B．C都符合题意．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故答案为：D．
【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出．
二、填空题
9．（2020九下·广陵月考）如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝ .
【答案】9
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，
∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，
∵△ABC的周长为18，
即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，
∴AE+AF＝18，
∴AE＝9，
故答案为：9.
【分析】根据切线长定理得出BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，进而三角形周长的计算方法等量代换及线段的和差即可算出答案.
10．（2019·萧山模拟）如图，点P在 ⊙O 外，PA、PB分别切⊙O于点A、点B，若∠P=50°，则∠A= .
【答案】65°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切 于点A、点B，
∴AP=BP，
又∵∠P=50°，
∴∠A= （180°﹣∠P）=65°.
故答案为：65°.
【分析】根据切线长定理可得AP=BP，再根据等腰三角形的性质与三角形的内角和即可求解.
11．（2020九上·北京期中）如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是 的直径， ，则 的度数为 .
【答案】70°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180° ∠PAB ∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°，
故答案为：70°．
【分析】连接OB，结合切线长定理及四边形内角和求解即可。
12．（2020九上·福州月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝ ．
【答案】50°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案为：50°．
【分析】根据切线长定理得到∠BPO＝∠APO，结合图形计算，得到答案．
13．（2019九上·邹城期中）一圆外切四边形 ，且 ，则四边形的周长为 ．
【答案】34
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】如图，
圆与四边形各边的切点为E、F、G和H
根据切线长定理可得，DE=DF，AF=AG，CE=CH，BG=BH
又BC=BH+HC=10，AD=AF+DF=7
∴ABCD的周长=AD+AB+CD+BC
=AD+DE+CE+BC+AG+BG
=AD+DF+CH+BC+BH+AF
=AD+AD+BC+BC
=2BC+2AD
=34
故答案为34．
【分析】根据圆的切线的性质即可得出答案．
14．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为 ．
【答案】81
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，
设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，
则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r= （AC+BC﹣AB），
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AD DB=AM BN=（AC﹣r）（BC﹣r）=[AC﹣ （AC+BC﹣AB）][BC﹣ （AC+BC﹣AB）]
= （AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）= （AB2﹣AC2﹣BC2+2AC BC）= AC BC，
由射影定理得AD DB=DE2=81，
∴S△ABC= AC BC=81，
故答案为：81．
【分析】设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，根据切线长定理得出则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r= （AC+BC﹣AB），根据圆周角定理得出∠ACB=90°，根据勾股定理得出AB2=AC2+BC2，根据等量代换得出：AD DB= AC BC，由根据射影定理得出AD DB=DE2=81，整体代入即可得出答案。
三、解答题
15．（2020九上·民勤月考）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB ∥ CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长
【答案】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠CBO+∠BCO= ∠ABC+∠DCB= （∠ABC+∠DCB）=90°.
∴BC＝ cm.
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理：从圆外一点可以引两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角可得 ∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB， 根据二直线平行同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180° ，故 ∠CBO+∠BCO=90° ，在Rt△BOC中，由勾股定理可得 BC的长.
16．如图示，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA=12，则△PEF的周长是？
【答案】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=24
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果
17．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长．
【答案】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，
∵PA=8cm，
∴△PEF的周长为：PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16（cm）
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】直接利用切线长定理进而求出PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，即可得出答案．
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