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初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.8三元一次方程组
一、单选题
1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．（2020·龙东）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【答案】D
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为 个，
根据题意列方程得 ，
即 ，
由题意得 均为正整数．
①当z=1时，
∴ ，
∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；
②当z=2时，
∴ ，
∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；
综上所述：共有8+6=14种购买方案．
故答案为：D
【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为 个，根据题意列方程得 ，化简后根据 均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．
3．（2020七下·覃塘期末）已知 是二元一次方程组 的解，则a，b间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得;
由①+②得
a+b=3.
故答案为：A.
【分析】将x，y的值代入方程，可得到三元一次方程组，将两方程相加可求出a+b的值。
4．（2020七下·文登期中）某商场推出A、B、C三种特价玩具，若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元．那么小明购买A种1件、B种1件、C种1件，共需付款（ ）
A．11元 B．12元 C．13元 D．不能确定
【答案】B
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，
依题意，得： ，
（①+②）÷5，得：x+y+z＝12．
故答案为：B．
【分析】设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，由“若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，由（①+②）÷5可求出（x+y+z）的值，此题得解．
二、填空题
5．已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为 .
【答案】5
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可.
6．（2020八上·湛江开学考）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 .
【答案】1：8
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3a，5a，2a，7月份总的增加的营业额为5x，则摆摊增加的营业额为2x， 7月份总的营业额为20b，则7月份摆摊的营业额为7b，堂食的营业额为8b，外卖的营业额为5b，根据题意得
，
解得，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额的比为（5b-5a）：20b=1：8，
故答案为：1：8.
【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3a，5a，2a，7月份总的增加的营业额为5x，则摆摊增加的营业额为2x， 7月份总的营业额为20b，则7月份摆摊的营业额为7b，堂食的营业额为8b，外卖的营业额为5b，根据题意列出方程组，将a、b用x表示，进而求解.
7．（2020七下·上虞期末）如图，已知天平1和天平2的两端都保持平衡．要使天平3两端也保持平衡，则天平3的右托盘上应放 个圆形。
【答案】3
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设○的质量为x，▲的质量为y，□的质量为z，根据题意得
解之：2z=3x.
∴天平3的右托盘上赢放3个圆形.
故答案为：3.
【分析】设○的质量为x，▲的质量为y，□的质量为z，利用天平1和天平2建立三元一次方程组，利用消元法消去y可得到2z=3x，由此可得答案。
8．（2020七下·廊坊期中）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲2件、乙3件、丙4件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱．
【答案】120
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，由题意得
把这两个方程相加，得5x+5y+5z=600
即5(x+y+z)=600
∴x+y+z=120
∴购甲、乙、丙三种商品各一件共需120元．
故答案为120．
【分析】设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，建立方程组，整体求解即可．
三、计算题
9．（2020七下·通榆期末）解方程组：
【答案】解：
解：②×3得 6x+9y+3z=27 ④
③+④得 11x+10z=35 ⑤
①⑤组成方程组
解这个方程组得
把 代入方程②得
∴原方程组的解为
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】运用加减消元法求出方程组即可。
10．（2020七下·巴中期中）解方程或方程组
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）解：
即： ，
解得： ；
（2）解：
去括号得： ，
移项得： ，
解得： ；
（3）解：
等式两边同时×6得： ，
去括号移项得： ，
即： ；
（4）解： ，
②式×2得： ，
③式-①式得： ，
解得： ，
把 代回①式得： ，
所以解为： ；
（5）解： ，
把③式3分别代到①②式消去x得到： ，
化简得： 即： ，
解得： ，
把y=2代到③式得到： ，
故三元一次方程组的解集为：
【考点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1)先移项，再系数化为1即可得到答案；(2)先去括号再移项合并，最后系数化为1即可得到答案；(3)先通分，再去括号移项合并即可得到答案；(4)②式×2－①式可以求出y的值，再计算x的值即可得到答案；(5)先消x，得到关于z、y的二元一次方程组，求解得到z、y的值，再求解x的值即可得到答案；
四、解答题
11．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【考点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
12．（2020·宁波模拟）列方程（组），解应用题.
根据图中的信息，求桌子的高.
【答案】解：解：设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，
由题意得： ，
解得：2a＝260，
a＝130，
答：桌子高130cm.
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，根据图示可得坐猫高+桌子高﹣卧猫高＝150cm，卧猫高+桌子高﹣坐猫高＝110cm，根据等量关系列出方程组，再解即可.
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初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.8三元一次方程组
一、单选题
1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·龙东）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
3．（2020七下·覃塘期末）已知 是二元一次方程组 的解，则a，b间的关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020七下·文登期中）某商场推出A、B、C三种特价玩具，若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元．那么小明购买A种1件、B种1件、C种1件，共需付款（ ）
A．11元 B．12元 C．13元 D．不能确定
二、填空题
5．已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为 .
6．（2020八上·湛江开学考）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 .
7．（2020七下·上虞期末）如图，已知天平1和天平2的两端都保持平衡．要使天平3两端也保持平衡，则天平3的右托盘上应放 个圆形。
8．（2020七下·廊坊期中）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲2件、乙3件、丙4件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱．
三、计算题
9．（2020七下·通榆期末）解方程组：
10．（2020七下·巴中期中）解方程或方程组
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
四、解答题
11．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
12．（2020·宁波模拟）列方程（组），解应用题.
根据图中的信息，求桌子的高.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．【答案】D
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为 个，
根据题意列方程得 ，
即 ，
由题意得 均为正整数．
①当z=1时，
∴ ，
∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；
②当z=2时，
∴ ，
∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；
综上所述：共有8+6=14种购买方案．
故答案为：D
【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为 个，根据题意列方程得 ，化简后根据 均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．
3．【答案】A
【考点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得;
由①+②得
a+b=3.
故答案为：A.
【分析】将x，y的值代入方程，可得到三元一次方程组，将两方程相加可求出a+b的值。
4．【答案】B
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，
依题意，得： ，
（①+②）÷5，得：x+y+z＝12．
故答案为：B．
【分析】设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，由“若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，由（①+②）÷5可求出（x+y+z）的值，此题得解．
5．【答案】5
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可.
6．【答案】1：8
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3a，5a，2a，7月份总的增加的营业额为5x，则摆摊增加的营业额为2x， 7月份总的营业额为20b，则7月份摆摊的营业额为7b，堂食的营业额为8b，外卖的营业额为5b，根据题意得
，
解得，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额的比为（5b-5a）：20b=1：8，
故答案为：1：8.
【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3a，5a，2a，7月份总的增加的营业额为5x，则摆摊增加的营业额为2x， 7月份总的营业额为20b，则7月份摆摊的营业额为7b，堂食的营业额为8b，外卖的营业额为5b，根据题意列出方程组，将a、b用x表示，进而求解.
7．【答案】3
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设○的质量为x，▲的质量为y，□的质量为z，根据题意得
解之：2z=3x.
∴天平3的右托盘上赢放3个圆形.
故答案为：3.
【分析】设○的质量为x，▲的质量为y，□的质量为z，利用天平1和天平2建立三元一次方程组，利用消元法消去y可得到2z=3x，由此可得答案。
8．【答案】120
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，由题意得
把这两个方程相加，得5x+5y+5z=600
即5(x+y+z)=600
∴x+y+z=120
∴购甲、乙、丙三种商品各一件共需120元．
故答案为120．
【分析】设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，建立方程组，整体求解即可．
9．【答案】解：
解：②×3得 6x+9y+3z=27 ④
③+④得 11x+10z=35 ⑤
①⑤组成方程组
解这个方程组得
把 代入方程②得
∴原方程组的解为
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】运用加减消元法求出方程组即可。
10．【答案】（1）解：
即： ，
解得： ；
（2）解：
去括号得： ，
移项得： ，
解得： ；
（3）解：
等式两边同时×6得： ，
去括号移项得： ，
即： ；
（4）解： ，
②式×2得： ，
③式-①式得： ，
解得： ，
把 代回①式得： ，
所以解为： ；
（5）解： ，
把③式3分别代到①②式消去x得到： ，
化简得： 即： ，
解得： ，
把y=2代到③式得到： ，
故三元一次方程组的解集为：
【考点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1)先移项，再系数化为1即可得到答案；(2)先去括号再移项合并，最后系数化为1即可得到答案；(3)先通分，再去括号移项合并即可得到答案；(4)②式×2－①式可以求出y的值，再计算x的值即可得到答案；(5)先消x，得到关于z、y的二元一次方程组，求解得到z、y的值，再求解x的值即可得到答案；
11．【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【考点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
12．【答案】解：解：设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，
由题意得： ，
解得：2a＝260，
a＝130，
答：桌子高130cm.
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，根据图示可得坐猫高+桌子高﹣卧猫高＝150cm，卧猫高+桌子高﹣坐猫高＝110cm，根据等量关系列出方程组，再解即可.
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