初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.2 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2019八下·兰西期末）下列表格是二次函数 的自变量x与函数值y的对应值，判断方程 （ 为常数）的一个解x的范围是
x … 6.17 6.18 6.19 6.20 …
… -0.03 -0.01 0.02 0.04 …
A． B．
C． D．
2．（2019·无锡模拟）如图，一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数
C．没有实数根 D．以上结论都正确
3．（2018九上·通州期末）二次函数 的图象如图所示， ，则下列四个选项正确的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
4．（2020·西安模拟）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019九上·高邮期末）若x1，x2(x1＜x2)是方程(x﹣m)(x﹣3)＝﹣1(m＜3)的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是（ ）
A．m＜x1＜x2＜3 B．x1＜m＜x2＜3
C．x1＜m＜3＜x2 D．x1＜x2＜m＜3
6．（2019九上·江都期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣6＝m（m＜0）的两根为x1，x2，且x1＜x2，则下列正确的是（ ）
A．﹣3＜x1＜x2＜2 B．﹣2＜x1＜x2＜3
C．x1＜﹣3，x2＞2 D．x1＜﹣2，x2＞3
7．（2020·南山模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②4a 2b+c<0；③若A（ ，y1）、B（ ，y2）、C（ ，y3）是抛物线上的三点，则有 ；④若m，n（ ）为方程 的两个根，则 且 ，以上说法正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
8．（2020九下·湖州月考）若二次函数y=ax +1图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2） +1=0实数根为（ ）
A．x1=0，x2=4 B．x1=-2，x2=6
C．x1= ，x2= D．x1=-4，x2=0
二、填空题
9．（2015九上·宜春期末）请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式 ．
10．（2020·武汉模拟）二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣2，0）、B（4，0），则一元二次方程ax2+bx＝0的根是 .
11．如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是 ．（精确到0.1）
12．（2020·无锡模拟）若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0与1之间（不含0和1），则a的取值范围是 .
13．（2020·毕节模拟）已知一元二次方程 的两个实数根分别为 ， .则抛物线 与x轴的交点坐标为 .
14．（2019九上·下陆月考）已知关于x的方程（x+1）（x﹣3）+m＝0（m＜0）的两根为a和b，且a＜b，用“＜”连接﹣1、3、a、b的大小关系为 .
15．（2019九上·海珠期末）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，则t的取值范围是 ．
三、解答题
16．（2018九上·宁县期中）画出函数 的图像，观察函数图象，请直接写出方程 的根.
17．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？
18．（2018九上·十堰期末）已知关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都在－1和0之间(不包含－1和0)，求a的取值范围．
19．已知抛物线C：y=x2+（2m﹣1）x﹣2m．
（1）若m=1，抛物线C交x轴于A，B两点，求AB的长；
（2）若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点，求m的取值范围；
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
2．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把y=-x代入y=ax2+bx+c得ax2+(b+1)x+c=0，因为一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，所以方程ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根，故答案为：A.
【分析】由题意把y=-x代入二次函数的解析式整理得：ax2+(b+1)x+c=0，所以要判断方程的根的情况，只需观察两个函数图象的交点的个数即可求解。
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．
∵抛物线对称轴在y轴右边，∴b＜0．
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0．
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2-4ac＞0．
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向上得出a＞0，抛物线的对称轴再y轴的右侧，根据左同右异得出b＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方得出c＜0，抛物线与x轴有两个不同的交点得出b2-4ac＞0，观察各选项即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设这两个不同的二次函数的解析式分别为：y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0）和y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），
∵这两个函数的图象相交，
∴a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2，
∴（a1-a2）x2+（b1-b2）x+（c1-c2）=0，
①当a1=a2，且b1≠b2时，此方程是一元一次方程，有一个解，这两个函数有一个交点；
②当a1≠a2时，此方程是一元二次方程，有一个或两个解，这两个函数有一个或两个交点.
故答案为：B.
【分析】设这两个不同的二次函数的解析式分别为：y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0）和y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），根据两函数相交，则联立函数解析式后方程组的解就能确定对应的交点坐标，来判断交点个数即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把 看作抛物线 与直线 的两个交点的横坐标，
抛物线 与 轴的交点坐标为
所以
故答案为：A
【分析】把 看作抛物线 与直线 的两个交点的横坐标，然后利用抛物线 与 轴的交点坐标为 即可判断实数 的大小关系.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把一元二次方程x2-x-6=m的解看作二次函数y=x2-x-6与直线y=m的交点的横坐标，
解方程x2-x-6=0得x=-2或x=3，则二次函数y=x2-x-6与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），
而m＜0，
所以二次函数y=x2-x-6与直线y=m的交点在x轴下方，
所以-2＜x1＜x2＜3.
故答案为：B.
【分析】把一元二次方程x2-x-6=m的解看作二次函数y=x2-x-6与直线y=m的交点的横坐标，再解方程x2-x-6=0得二次函数y=x2-x-6与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），然后可对个选项进行判断.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①根据图象可知：a＜0，c＞0，
∵对称轴是直线x=1，
∴-，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
②当x=-2时，y=4a2-2b+c＜0，
故②正确；
③∵-2＜-，
∴y3＜y1＜c，
∵y2＞c，
∴y3＜y1＜y2，
故③正确；
④∵a（x-3）（x+1）=0的两个根为3和-1，
∴a（x-3）（x+1）-2=0的两个根为m＞-1且n＜3，
故④正确.
故答案为：A.
【分析】①根据图象可知：a＜0，c＞0，b=-2a＞0，即abc＜0，故①正确；
②当x=-2时，y=4a2-2b+c＜0，故②正确；
③根据二次函数的性质，可得y3＜y1＜y2，故③正确；
④由a（x-3）（x+1）=0的两个根为3和-1，可得a（x-3）（x+1）-2=0的两个根为m＞-1且n＜3，故④正确.
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数y=ax +1图象经过点（-2，0）
∴4a+1=0
解之：;
∴抛物线的解析式为
∴
解之：x1=4，x2=0
故答案为：A.
【分析】将已知点的坐标代入y=ax +1，求出a的值，然后将a的值代入一元二次方程，解方程求出x的值，即可求解。
9．【答案】y=x2
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式为y=x2．
故答案为：y=x2
【分析】开口向上即为a大于0，与x轴只有一个交点即为根的判别式为0，写出满足题意的抛物线解析式即可．
10．【答案】x1＝0，x2＝2
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3
得 ，
解得 ，
代入ax2+bx＝0得，﹣ x2+ x＝0，
解得x1＝0，x2＝2.
故答案为：x1＝0，x2＝2.
【分析】把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3求出a，b的值，再代入ax2+bx＝0解方程即可.
11．【答案】x1=0.8，x2=3.2合理即可
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是：x1=0.8，x2=3.2合理即可．
故答案为：x1=0.8，x2=3.2合理即可．
【分析】直接利用抛物线与x轴交点的位置估算出两根的大小．
12．【答案】a＞3
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：依题意得：
当x=0时,函数
当x=1时，函数y=a+2 5=a 3
又关于x的一元二次方程 的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和1)，
所以当x=1时，函数图象必在x轴的上方，
所以y=a 3>0，
即a>3.
故答案为a>3.
【分析】 函数y=ax2+2x-5中，当x=0时，y=-5，当x=1时，函数y=a 3，由于关于x的一元二次方程 的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和1)，可得当x=1时，函数图象必在x轴的上方，即得y=a 3>0，从而求出结论.
13．【答案】（1，0）、（3，0）
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程（x-1）（x-3）=5的两个实数根分别为x1、x2，
∴抛物线y=（x-1）（x-3）-5与x轴交于点（x1，0）、（x2，0），
∴y=（x-1）（x-3）-5=（x-x1）（x-x2），
∴y=（x-x1）（x-x2）+5=（x-1）（x-3），
∴抛物线y=（x-x1）（x-x2）+5与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）.
故答案为：（1，0）、（3，0）.
【分析】由一元二次方程（x-1）（x-3）=5的两个实数根分别为x1、x2，可得出抛物线y=（x-1）（x-3）-5与x轴交于点（x1，0）、（x2，0），即y=（x-1）（x-3）-5=（x-x1）（x-x2），变形后可得出y=（x-x1）（x-x2）+5=（x-1）（x-3），即抛物线y=（x-x1）（x-x2）+5与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），此题得解.
14．【答案】a＜﹣1＜3＜b
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵（x+1）（x﹣3）+m＝0（m＜0），
∴（x+1）（x﹣3）＝﹣m，
∴a、b可看作抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣m的两交点的横坐标，
∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（3，0），如图，
∴用“＜”连接﹣1、3、a、b的大小关系为a＜﹣1＜3＜b.
故答案为：a＜﹣1＜3＜b.
【分析】 关于x的方程（x+1）（x﹣3）+m＝0（m＜0）的两根可以看成是抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣m的两交点的横坐标，而抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的两交点的横坐标为-1，-3，从而即可判断得出 ﹣1、3、a、b的大小关系 .
15．【答案】﹣5≤t≤4
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，﹣5≤t≤4，如图．
所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，t的取值范围为﹣5≤t≤4．
故答案为﹣5≤t≤4．
【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时t的范围即可．
16．【答案】解：y=x2+2x-3=（x+1）2-4， ∴图象的顶点为（-1，-4）， 当y=0，则0=（x+1）2-4， 解得：x1=1，x2=-3， ∴图象与x轴交点坐标为：（1，0），（-3，0）， 故函数图形如图所示， 观察图象，方程x2+2x-3=0的解为：x1=1，x2=-3.
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】观察此函数图象，可得出抛物线与x轴的两交点坐标。根据抛物线 与x轴的两交点的横坐标就是一元二次方程 的两个根。 即可求解。
17．【答案】解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得
﹣32+2×3+m=0
解得，m=3 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得
﹣x2+2x+3=0，②
解②，得
x1=3，x2=﹣1
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0，求根即可
18．【答案】解：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0有两个不相等的实数根
∴△= ，解得，a＞
令y=ax2－3x－1，则该二次函数的图象与y轴交于(0，－1)
∵方程ax2－3x－1=0的两个实数根都在－1和0之间
∴二次函数y=ax2－3x－1与x轴两交点的横坐标都在－1和0之间
∴a＜0，其大致图象如图所示：
当x=－1时，y=ax2－3x－1=a＋2＜0
解得，a＜－2
综上可得： ＜a＜－2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由已知关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出不等式的解集；再由两个实数根都在－1和0之间(不包含－1和0)， 将一元二次方程转化为二次函数y=ax2－3x－1，画出函数图象，可知抛物线的开口向下，由x=-1，可知y＜0，建立关于x的不等式，求出不等式的解集，结合（1）中a的取值范围，即可求出a的取值范围。
19．【答案】解：（1）m=1时，抛物线为：y=x2+x﹣2，
令y=0得到：x2+x﹣2=0，解得x=﹣2或1，
所以点A（﹣2，0），点B（1，0），
所以AB=3．
（2）由消去y得到：x2+（2m﹣1﹣k）x﹣2m﹣mk=0，
∵一次函数y=kx+mk的图象与抛物线有唯一公共点，
∴△=0，
∴（2m﹣1﹣k）2+8m+4mk=0，
整理得：﹣4m2﹣4m=（k+1）2，
∵（k+1）2≥0，
设y=﹣4m2﹣4m，当y≥0时，﹣1≤m≤0，
∴﹣1≤m≤0时，一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）求出抛物线解析式令y=0，求出抛物线与x轴的交点，即可求出线段AB的长．
（2）列方程组根据△=0，得：﹣4m2﹣4m=（k+1）2，设y=﹣4m2﹣4m由y≥O确定m的取值范围．
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.2 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2019八下·兰西期末）下列表格是二次函数 的自变量x与函数值y的对应值，判断方程 （ 为常数）的一个解x的范围是
x … 6.17 6.18 6.19 6.20 …
… -0.03 -0.01 0.02 0.04 …
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
2．（2019·无锡模拟）如图，一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数
C．没有实数根 D．以上结论都正确
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把y=-x代入y=ax2+bx+c得ax2+(b+1)x+c=0，因为一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，所以方程ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根，故答案为：A.
【分析】由题意把y=-x代入二次函数的解析式整理得：ax2+(b+1)x+c=0，所以要判断方程的根的情况，只需观察两个函数图象的交点的个数即可求解。
3．（2018九上·通州期末）二次函数 的图象如图所示， ，则下列四个选项正确的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．
∵抛物线对称轴在y轴右边，∴b＜0．
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0．
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2-4ac＞0．
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向上得出a＞0，抛物线的对称轴再y轴的右侧，根据左同右异得出b＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方得出c＜0，抛物线与x轴有两个不同的交点得出b2-4ac＞0，观察各选项即可得出答案。
4．（2020·西安模拟）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设这两个不同的二次函数的解析式分别为：y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0）和y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），
∵这两个函数的图象相交，
∴a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2，
∴（a1-a2）x2+（b1-b2）x+（c1-c2）=0，
①当a1=a2，且b1≠b2时，此方程是一元一次方程，有一个解，这两个函数有一个交点；
②当a1≠a2时，此方程是一元二次方程，有一个或两个解，这两个函数有一个或两个交点.
故答案为：B.
【分析】设这两个不同的二次函数的解析式分别为：y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0）和y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），根据两函数相交，则联立函数解析式后方程组的解就能确定对应的交点坐标，来判断交点个数即可.
5．（2019九上·高邮期末）若x1，x2(x1＜x2)是方程(x﹣m)(x﹣3)＝﹣1(m＜3)的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是（ ）
A．m＜x1＜x2＜3 B．x1＜m＜x2＜3
C．x1＜m＜3＜x2 D．x1＜x2＜m＜3
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把 看作抛物线 与直线 的两个交点的横坐标，
抛物线 与 轴的交点坐标为
所以
故答案为：A
【分析】把 看作抛物线 与直线 的两个交点的横坐标，然后利用抛物线 与 轴的交点坐标为 即可判断实数 的大小关系.
6．（2019九上·江都期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣6＝m（m＜0）的两根为x1，x2，且x1＜x2，则下列正确的是（ ）
A．﹣3＜x1＜x2＜2 B．﹣2＜x1＜x2＜3
C．x1＜﹣3，x2＞2 D．x1＜﹣2，x2＞3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把一元二次方程x2-x-6=m的解看作二次函数y=x2-x-6与直线y=m的交点的横坐标，
解方程x2-x-6=0得x=-2或x=3，则二次函数y=x2-x-6与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），
而m＜0，
所以二次函数y=x2-x-6与直线y=m的交点在x轴下方，
所以-2＜x1＜x2＜3.
故答案为：B.
【分析】把一元二次方程x2-x-6=m的解看作二次函数y=x2-x-6与直线y=m的交点的横坐标，再解方程x2-x-6=0得二次函数y=x2-x-6与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），然后可对个选项进行判断.
7．（2020·南山模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②4a 2b+c<0；③若A（ ，y1）、B（ ，y2）、C（ ，y3）是抛物线上的三点，则有 ；④若m，n（ ）为方程 的两个根，则 且 ，以上说法正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①根据图象可知：a＜0，c＞0，
∵对称轴是直线x=1，
∴-，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
②当x=-2时，y=4a2-2b+c＜0，
故②正确；
③∵-2＜-，
∴y3＜y1＜c，
∵y2＞c，
∴y3＜y1＜y2，
故③正确；
④∵a（x-3）（x+1）=0的两个根为3和-1，
∴a（x-3）（x+1）-2=0的两个根为m＞-1且n＜3，
故④正确.
故答案为：A.
【分析】①根据图象可知：a＜0，c＞0，b=-2a＞0，即abc＜0，故①正确；
②当x=-2时，y=4a2-2b+c＜0，故②正确；
③根据二次函数的性质，可得y3＜y1＜y2，故③正确；
④由a（x-3）（x+1）=0的两个根为3和-1，可得a（x-3）（x+1）-2=0的两个根为m＞-1且n＜3，故④正确.
8．（2020九下·湖州月考）若二次函数y=ax +1图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2） +1=0实数根为（ ）
A．x1=0，x2=4 B．x1=-2，x2=6
C．x1= ，x2= D．x1=-4，x2=0
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数y=ax +1图象经过点（-2，0）
∴4a+1=0
解之：;
∴抛物线的解析式为
∴
解之：x1=4，x2=0
故答案为：A.
【分析】将已知点的坐标代入y=ax +1，求出a的值，然后将a的值代入一元二次方程，解方程求出x的值，即可求解。
二、填空题
9．（2015九上·宜春期末）请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式 ．
【答案】y=x2
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式为y=x2．
故答案为：y=x2
【分析】开口向上即为a大于0，与x轴只有一个交点即为根的判别式为0，写出满足题意的抛物线解析式即可．
10．（2020·武汉模拟）二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣2，0）、B（4，0），则一元二次方程ax2+bx＝0的根是 .
【答案】x1＝0，x2＝2
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3
得 ，
解得 ，
代入ax2+bx＝0得，﹣ x2+ x＝0，
解得x1＝0，x2＝2.
故答案为：x1＝0，x2＝2.
【分析】把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3求出a，b的值，再代入ax2+bx＝0解方程即可.
11．如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是 ．（精确到0.1）
【答案】x1=0.8，x2=3.2合理即可
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是：x1=0.8，x2=3.2合理即可．
故答案为：x1=0.8，x2=3.2合理即可．
【分析】直接利用抛物线与x轴交点的位置估算出两根的大小．
12．（2020·无锡模拟）若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0与1之间（不含0和1），则a的取值范围是 .
【答案】a＞3
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：依题意得：
当x=0时,函数
当x=1时，函数y=a+2 5=a 3
又关于x的一元二次方程 的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和1)，
所以当x=1时，函数图象必在x轴的上方，
所以y=a 3>0，
即a>3.
故答案为a>3.
【分析】 函数y=ax2+2x-5中，当x=0时，y=-5，当x=1时，函数y=a 3，由于关于x的一元二次方程 的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和1)，可得当x=1时，函数图象必在x轴的上方，即得y=a 3>0，从而求出结论.
13．（2020·毕节模拟）已知一元二次方程 的两个实数根分别为 ， .则抛物线 与x轴的交点坐标为 .
【答案】（1，0）、（3，0）
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程（x-1）（x-3）=5的两个实数根分别为x1、x2，
∴抛物线y=（x-1）（x-3）-5与x轴交于点（x1，0）、（x2，0），
∴y=（x-1）（x-3）-5=（x-x1）（x-x2），
∴y=（x-x1）（x-x2）+5=（x-1）（x-3），
∴抛物线y=（x-x1）（x-x2）+5与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）.
故答案为：（1，0）、（3，0）.
【分析】由一元二次方程（x-1）（x-3）=5的两个实数根分别为x1、x2，可得出抛物线y=（x-1）（x-3）-5与x轴交于点（x1，0）、（x2，0），即y=（x-1）（x-3）-5=（x-x1）（x-x2），变形后可得出y=（x-x1）（x-x2）+5=（x-1）（x-3），即抛物线y=（x-x1）（x-x2）+5与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），此题得解.
14．（2019九上·下陆月考）已知关于x的方程（x+1）（x﹣3）+m＝0（m＜0）的两根为a和b，且a＜b，用“＜”连接﹣1、3、a、b的大小关系为 .
【答案】a＜﹣1＜3＜b
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵（x+1）（x﹣3）+m＝0（m＜0），
∴（x+1）（x﹣3）＝﹣m，
∴a、b可看作抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣m的两交点的横坐标，
∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（3，0），如图，
∴用“＜”连接﹣1、3、a、b的大小关系为a＜﹣1＜3＜b.
故答案为：a＜﹣1＜3＜b.
【分析】 关于x的方程（x+1）（x﹣3）+m＝0（m＜0）的两根可以看成是抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣m的两交点的横坐标，而抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的两交点的横坐标为-1，-3，从而即可判断得出 ﹣1、3、a、b的大小关系 .
15．（2019九上·海珠期末）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，则t的取值范围是 ．
【答案】﹣5≤t≤4
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，﹣5≤t≤4，如图．
所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，t的取值范围为﹣5≤t≤4．
故答案为﹣5≤t≤4．
【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时t的范围即可．
三、解答题
16．（2018九上·宁县期中）画出函数 的图像，观察函数图象，请直接写出方程 的根.
【答案】解：y=x2+2x-3=（x+1）2-4， ∴图象的顶点为（-1，-4）， 当y=0，则0=（x+1）2-4， 解得：x1=1，x2=-3， ∴图象与x轴交点坐标为：（1，0），（-3，0）， 故函数图形如图所示， 观察图象，方程x2+2x-3=0的解为：x1=1，x2=-3.
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】观察此函数图象，可得出抛物线与x轴的两交点坐标。根据抛物线 与x轴的两交点的横坐标就是一元二次方程 的两个根。 即可求解。
17．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？
【答案】解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得
﹣32+2×3+m=0
解得，m=3 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得
﹣x2+2x+3=0，②
解②，得
x1=3，x2=﹣1
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0，求根即可
18．（2018九上·十堰期末）已知关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都在－1和0之间(不包含－1和0)，求a的取值范围．
【答案】解：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0有两个不相等的实数根
∴△= ，解得，a＞
令y=ax2－3x－1，则该二次函数的图象与y轴交于(0，－1)
∵方程ax2－3x－1=0的两个实数根都在－1和0之间
∴二次函数y=ax2－3x－1与x轴两交点的横坐标都在－1和0之间
∴a＜0，其大致图象如图所示：
当x=－1时，y=ax2－3x－1=a＋2＜0
解得，a＜－2
综上可得： ＜a＜－2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由已知关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出不等式的解集；再由两个实数根都在－1和0之间(不包含－1和0)， 将一元二次方程转化为二次函数y=ax2－3x－1，画出函数图象，可知抛物线的开口向下，由x=-1，可知y＜0，建立关于x的不等式，求出不等式的解集，结合（1）中a的取值范围，即可求出a的取值范围。
19．已知抛物线C：y=x2+（2m﹣1）x﹣2m．
（1）若m=1，抛物线C交x轴于A，B两点，求AB的长；
（2）若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点，求m的取值范围；
【答案】解：（1）m=1时，抛物线为：y=x2+x﹣2，
令y=0得到：x2+x﹣2=0，解得x=﹣2或1，
所以点A（﹣2，0），点B（1，0），
所以AB=3．
（2）由消去y得到：x2+（2m﹣1﹣k）x﹣2m﹣mk=0，
∵一次函数y=kx+mk的图象与抛物线有唯一公共点，
∴△=0，
∴（2m﹣1﹣k）2+8m+4mk=0，
整理得：﹣4m2﹣4m=（k+1）2，
∵（k+1）2≥0，
设y=﹣4m2﹣4m，当y≥0时，﹣1≤m≤0，
∴﹣1≤m≤0时，一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）求出抛物线解析式令y=0，求出抛物线与x轴的交点，即可求出线段AB的长．
（2）列方程组根据△=0，得：﹣4m2﹣4m=（k+1）2，设y=﹣4m2﹣4m由y≥O确定m的取值范围．
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