人教新课标A版 选修2-3 3.1回归分析的基本思想及其初步应用
一、单选题
1．（2020高二上·建瓯月考）已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：
x 2 4 5 6 8
y 3 4.5 m 7.5 9
若其回归直线方程是 ，则m=（ ）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由题意可得 ， ，
则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】先求出 ， ，再根据回归方程过样本中心，可求出参数 的值.
2．（2020高二下·哈尔滨期末）两个线性相关变量 与 的统计数据如表：
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
其回归直线方程是 ，则相对应于点 的残差为（ ）
A．0.1 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】 ， ，则样本中心点为 ，
因为回归直线方程为 ，所以有 ，解之得 ，
所以 ，当 时， ，则相对应于点 的残差为 .
故答案为：D.
【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入回归方程中求得 的值，进而求出回归方程，取 求得 ，再由残差公式求得结果即可.
3．（2020高二下·吉林期末）观察下列各图形，
其中两个变量 具有相关关系的图是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．③
【答案】C
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】由图可知，图③中这些点大致分布在一条直线附近，具有线性相关关系；图④中这些点大致分布在一条类似二次曲线附近，具有相关关系；而图①②中这些点分布不均匀，比较分散，不具有相关关系．
故答案为：C．
【分析】根据图形中点的分布，即可判断 是否具有相关关系．
4．（2020高二下·大荔期末）已知一组样本数据点 ，用最小二乘法求得其线性回归方程为 .若 的平均数为1，则 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】 ， ，
由回归直线 过样本中心点，
所以 ，
解得 .
故答案为：C
【分析】利用回归直线过样本中心点 即可求解.
5．（2020高二下·宿迁期末）某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据：
广告费用 (万元) 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8
销售额 (万元) 3 4 6 5 7
销售额 (万元)与广告费用 (万元)之间有线性相关关系，回归方程为 ( 为常数)，现在要使销售额达到7.8万元，估计广告费用约为（ ）万元.
A．0.75 B．0.9 C．1.5 D．2.5
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解： ，
，
样本点的中心为 ，
代入 ，得 ，即 ．
线性回归方程为 ．
取 ，得 ，则 ．
故答案为： B．
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得 ，得到线性回归方程，取 求得 值即可．
6．（2020高一下·启东期末）为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下表：
零件数 （个） 1 3 5 7
加工时间 （分钟） 0.5 a 2 2.5
若零件数x与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为 ，则a＝（ ）
A．1 B．0.8 C．1.09 D．1.5
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】依题意 ， ，
将 代入 得 ，解得 .
故答案为：B
【分析】将样本中心点代入回归直线方程，解方程求得 的值.
7．（2020高三上·长春开学考）调查某市出租车使用年限 和该年支出维修费用 （万元），得到数据如下：
使用年限 2 3 4 5 6
维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
则线性回归方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】设回归直线方程为 ，
由表格中的数据可得 ， ，
由最小二乘法公式可得 ，
，
因此，回归直线方程为 .
故答案为：B.
【分析】设回归直线方程为 ，求得 、 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出 和 的值，进而可求得回归直线方程.
8．（2020·大连模拟）已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
由上表可得线性回归方程 ，若规定当维修费用y＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由已知表格得： ， ，
由于线性回归直线恒过样本中心点 ，所以有： ，解得： ，
所以线性回归方程 ，
由 得： 解得： ，
由于 ，
所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9。
故答案为：C.
【分析】利用已知的数据表求出x和y的平均数，从而求出样本中心点的坐标，再利用线性回归直线恒过样本中心点 ，从而求出的值，从而求出线性回归方程，再利用已知条件当维修费用y＞12时该设各必须报废，从而用线性回归方程，从而结合x的实际意义预报出该设备使用年限的最大值。
9．（2020高二上·江门月考）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 70
根据表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为 ，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A．45 B．55 C．50 D．60
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由表中数据得： ，
因为样本中心点 在回归直线上，
所以 ，
所以
故答案为：C
【分析】根据样本中心点在回归直线上可得答案.
10．（2020·新课标Ⅰ·理）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】散点图；线性回归方程
【解析】【解答】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故答案为：D.
【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
11．（2020高三上·安徽月考）某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水位情况.
河流水位表（1）
第 日 第1日 第2日 第3日 第4日 第5日 第6日 第7日
水位 （米） 3.5 3.7 3.8 3.9 4.3 4.4 4.8
而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的安全，并根据“有限保证、无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.
水位预警分级表（2）
水位
水位分类 设防水位 警戒水位 保证水位
预警颜色 黄色 橙色 红色
现已根据上表得到水位 的回归直线方程为 ，据上表估计（ ）.
A．第8日将要启动洪水橙色预警 B．第10日将要启动洪水红色预警
C．第11日将要启动洪水红色预警 D．第12日将要启动洪水红色预警
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】因为水位 的回归直线方程为 ，
A选项，第8日的水位是 ，将启动黄色预警，A不符合题意；
B选项，第10日的水位是 ，将启动橙色预警，B不符合题意；
C选项，第11日的水位是 ，将启动橙色预警，C不符合题意；
D选项，第12日的水位是 ，将启动红色预警，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据回归方程，逐项计算预测值，再由河流水位表，即可判定出结果.
12．（2020高二下·齐齐哈尔期末）下列说法错误的是（ ）
A．在回归分析中，回归直线始终过样本点（ x1，y1 ），（ x2，y2 ），…，（ xn，yn ） 的中心（ ）
B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于0
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，说明回归的效果越好
【答案】B
【知识点】变量相关关系；回归分析
【解析】【解答】解：回归直线一定经过样本点的中心 ，故 对；
若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的值越接近于1或 ， 错；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故 对；
在线性回归模型中，相关指数 越接近于1，说明回归的效果越好，故 对，
故答案为：B．
【分析】根据回归直线方程及回归分析的相关知识判断即可；
二、多选题
13．（2020高二下·盐城期末）为了对变量 与 的线性相关性进行检验，由样本点 、 、 、 求得两个变量的样本相关系数为 ，那么下面说法中错误的有（ ）
A．若所有样本点都在直线 上，则
B．若所有样本点都在直线 上，则
C．若 越大，则变量 与 的线性相关性越强
D．若 越小，则变量 与 的线性相关性越强
【答案】A,B,D
【知识点】线性相关
【解析】【解答】若所有样本点都在直线 上，且直线斜率为负数，则 ，A、B选项均错误；
若 越大，则变量 与 的线性相关性越强，C选项正确，D选项错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据相关系数与变量 与 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误.
14．（2020高二下·东台期中）在2020年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价 元和销售量 件之间的一组数据如表所示：
价格 9 9.5 10 10.5 11
销售量 11 10 8 6 5
根据公式计算得相关系数 ，其线性回归直线方程是： ，则下列说法正确的有（ ）
参考：
A．有 的把握认为变量 具有线性相关关系
B．回归直线恒过定点
C．
D．当 时， 的估计值为12.8
【答案】A,B,C,D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】对A，因为 ，故有99%的把握认为变量 具有线性相关关系，A符合题意.
对B，价格平均 ，销售量 .
故回归直线恒过定点 .B符合题意.
对C，因为回归直线恒过定点 ，故 .C符合题意.
对D，当 时， .D符合题意.
综上，ABCD均正确.
故答案为：ABCD
【分析】对A，根据 判断即可；对BC，根据回归直线方程经过样本中心点求解即可.对D； 求出 ，再代入 求解即可.
三、填空题
15．（2020高二上·娄底开学考）下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到 关于 的线性回归方程为 ，那么表中 的值为 ．
3 4 5 6
2.5 4 4.5
【答案】3
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解： ， ，
又回归直线必过样本点的中心 ，
所以 ，所以 ．
故答案为：3.
【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．
16．（2020高一下·海淀期中）为了了解家庭月收入 （单位：千元）与月储蓄 （单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为 ，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为 千元.
【答案】1.7
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】由于 ，代入 ，于是得到 ，故答案为1.7.
【分析】直接代入 即得答案.
17．（2020高一下·六安期末）已知 与 之间的一组数据：
x 2 4 6 8
y 1 3 5 7
则 与 的线性回归方程为 必过点 ．
【答案】(5,4)
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由题得 .
所以样本中心点为 .
所以线性回归方程 必过点（5,4）.
故答案为
【分析】求出样本中心点即得解.
18．（2020高二下·吉林期中）以下几个命题中：
①线性回归直线方程 恒过样本中心 ；
②用相关指数 可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；
③随机误差是引起预报值 和真实值 之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数 等于相关系数 的平方.
其中真命题为
【答案】①③④
【知识点】变量相关关系；线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】①线性回归直线方程 恒过样本中心 ，所以正确.
②用相关指数 可以刻画回归的效果，值越大说明模型的拟合效果越好，所以错误.
③随机误差是引起预报值 和真实值 之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；所以正确.
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数 等于相关系数 的平方，所以正确.
故答案为：①③④.
【分析】由线性回归直线恒过样本中心可判断①，由相关指数的值的大小与拟合效果的关系可判断②，由随机误差和方差的关系可判断③，由相关指数和相关系数的关系可判断④.
四、解答题
19．（2020高二上·钦州期末）某新上市的电子产品举行为期一个星期（7天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计，y表示第x天参加该活动的人数，得到统计表格如下，经计算得 .
x 1 2 3 4 5
y 4 m 10 23 22
参考公式：
，
（1）若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ；
（2）预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）.
【答案】（1）解：根据表中的数据，可得
，解得 ，
则 ，
，
又由 ，故所求回归直线方程为
（2）解：将 代入 中，求得 ，
故预测最后一天参加该活动的人数34.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）由 计算出参数 的值，再计算出 ， ， ，根据公式计算可得；（2）将 代入（1）的方程计算可得.
20．（2020高一下·驻马店期末）这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期 和全国累计报告确诊病例数量 （单位：万人）之间的关系如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7
确诊病例数量 （万人） 1.4 1.7 2.0 2.4 2.8 3.1 3.5
参考数据如下表：
1.92 16.9 77.5 35.17
表中 ， ， .
参考公式：对于一组数据 ， ，…， 其回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：① ，② .
（1）根据表中的数据， 与 哪一个适宜作为确诊病例数量 关于日期 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程；（精确到0.01）
（3）预测2月16日全国累计报告确诊病例数.
【答案】（1）解：根据表中的数据：
适宜作为确诊病例数量 关于日期 的回归方程类型；
（2）解：由已知数据得： ， ，
∴ ，
，
所以， 关于 的回归方程为： ；
（3）解：把 代入回归方程得： ，
所以预测2月16日全国累计报告确诊病例数为6.6万人.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）直接由表格中的数据可知 适宜作为确诊病例数量 关于日期 的回归方程类型；（2）由表格中的数据求得 与 的值，则 关于 的线性回归方程可求；（3）在（2）中求得的线性回归方程中，取 求得 值即可．
21．（2020高二上·福建月考）为了解某地区某种农产品的年产量 (单位：吨)对价格 (单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：
x 2 3 4 5 6
y 8 6 5 4 2
已知x和 具有线性相关关系.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， .
（1）求 ， ；
（2）求y关于x的线性回归方程 ；
（3）若年产量为3.5吨，试预测该农产品的价格.
【答案】（1）解： ，
（2）解：因为 ，所以 ，
所以线性回归方程为：
（3）解：当 时， ，
故农产品的价格为 千元 吨.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表中数据计算出 ， ；（2）利用公式计算出 的值，则线性回归方程可求；（3）利用（2）中的线性回归方程预测农产品价格.
22．（2020高二下·宾县期末）某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式： ， .
（1）画出散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程.
（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？
【答案】（1）解：根据表格中的数据，得到点 ，
画在坐标系中，得到散点图：
.
（2）解：由表格中的数据，可得 ，
，
则 ，
于是所求的线性回归方程是
（3）解：当 时， （百万元），
即广告费支出为一千万元，预测销售额大约为 百万元
【知识点】散点图；最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图.（2）先求出 的平均数，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程.（3）将 代入回归直线方程求出y的值，即可得到广告费支出一千万元时的销售额的估计值.
23．（2020高二上·娄底开学考）《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.
参考公式： ，
（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间 （单位：小时）与年龄 （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
年龄 20 30 40 50
每周学习诗词的平均时间 3 3.5 3.5 4
由表中数据分析， 与 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.
【答案】（1）解：设污损的数字为 ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得
，
，即 ，
（2）解： ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
时， .
答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）由题，列出不等式 ，解得x的取值范围，即可得到本题答案；（2）由 ， ，求得线性回归方程，然后令 ，即可得到本题答案.
24．（2020高二下·大庆期末）一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间 （分钟）和答对人数 的统计表格如下：
时间 （分钟） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
答对人数 98 70 52 36 30 20 15 11 5 5
1.99 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.7 0.7
时间 与答对人数 的散点图如图：
附： ， ， ， ， ，对于一组数据 ， ，……， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， .请根据表格数据回答下列问题：
（1）根据散点图判断， 与 ，哪个更适宣作为线性回归类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果，建立y与t的回归方程；（数据保留3位有效数字）
（3）根据（2）请估算要想记住 的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍.（参考数据： ， ）
【答案】（1）解：由图象可知， 更适宜作为线性回归类型
（2）解：设 ，根据最小二乘法得
， ，
所以 ，
因此
（3）解：由题意知 ，即 ，解得
，即至多19.05分钟，就需要重新复习一遍
【知识点】散点图；最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】(1)根据图象可得答案；(2)先求得 的线性回归方程，再将对数式化为指数式可得y与t的回归方程；(3)解不等式 可得答案.
1 / 1人教新课标A版 选修2-3 3.1回归分析的基本思想及其初步应用
一、单选题
1．（2020高二上·建瓯月考）已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：
x 2 4 5 6 8
y 3 4.5 m 7.5 9
若其回归直线方程是 ，则m=（ ）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
2．（2020高二下·哈尔滨期末）两个线性相关变量 与 的统计数据如表：
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
其回归直线方程是 ，则相对应于点 的残差为（ ）
A．0.1 B．0.4 C．0.3 D．0.2
3．（2020高二下·吉林期末）观察下列各图形，
其中两个变量 具有相关关系的图是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．③
4．（2020高二下·大荔期末）已知一组样本数据点 ，用最小二乘法求得其线性回归方程为 .若 的平均数为1，则 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．（2020高二下·宿迁期末）某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据：
广告费用 (万元) 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8
销售额 (万元) 3 4 6 5 7
销售额 (万元)与广告费用 (万元)之间有线性相关关系，回归方程为 ( 为常数)，现在要使销售额达到7.8万元，估计广告费用约为（ ）万元.
A．0.75 B．0.9 C．1.5 D．2.5
6．（2020高一下·启东期末）为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下表：
零件数 （个） 1 3 5 7
加工时间 （分钟） 0.5 a 2 2.5
若零件数x与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为 ，则a＝（ ）
A．1 B．0.8 C．1.09 D．1.5
7．（2020高三上·长春开学考）调查某市出租车使用年限 和该年支出维修费用 （万元），得到数据如下：
使用年限 2 3 4 5 6
维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
则线性回归方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·大连模拟）已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
由上表可得线性回归方程 ，若规定当维修费用y＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2020高二上·江门月考）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 70
根据表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为 ，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A．45 B．55 C．50 D．60
10．（2020·新课标Ⅰ·理）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020高三上·安徽月考）某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水位情况.
河流水位表（1）
第 日 第1日 第2日 第3日 第4日 第5日 第6日 第7日
水位 （米） 3.5 3.7 3.8 3.9 4.3 4.4 4.8
而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的安全，并根据“有限保证、无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.
水位预警分级表（2）
水位
水位分类 设防水位 警戒水位 保证水位
预警颜色 黄色 橙色 红色
现已根据上表得到水位 的回归直线方程为 ，据上表估计（ ）.
A．第8日将要启动洪水橙色预警 B．第10日将要启动洪水红色预警
C．第11日将要启动洪水红色预警 D．第12日将要启动洪水红色预警
12．（2020高二下·齐齐哈尔期末）下列说法错误的是（ ）
A．在回归分析中，回归直线始终过样本点（ x1，y1 ），（ x2，y2 ），…，（ xn，yn ） 的中心（ ）
B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于0
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，说明回归的效果越好
二、多选题
13．（2020高二下·盐城期末）为了对变量 与 的线性相关性进行检验，由样本点 、 、 、 求得两个变量的样本相关系数为 ，那么下面说法中错误的有（ ）
A．若所有样本点都在直线 上，则
B．若所有样本点都在直线 上，则
C．若 越大，则变量 与 的线性相关性越强
D．若 越小，则变量 与 的线性相关性越强
14．（2020高二下·东台期中）在2020年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价 元和销售量 件之间的一组数据如表所示：
价格 9 9.5 10 10.5 11
销售量 11 10 8 6 5
根据公式计算得相关系数 ，其线性回归直线方程是： ，则下列说法正确的有（ ）
参考：
A．有 的把握认为变量 具有线性相关关系
B．回归直线恒过定点
C．
D．当 时， 的估计值为12.8
三、填空题
15．（2020高二上·娄底开学考）下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到 关于 的线性回归方程为 ，那么表中 的值为 ．
3 4 5 6
2.5 4 4.5
16．（2020高一下·海淀期中）为了了解家庭月收入 （单位：千元）与月储蓄 （单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为 ，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为 千元.
17．（2020高一下·六安期末）已知 与 之间的一组数据：
x 2 4 6 8
y 1 3 5 7
则 与 的线性回归方程为 必过点 ．
18．（2020高二下·吉林期中）以下几个命题中：
①线性回归直线方程 恒过样本中心 ；
②用相关指数 可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；
③随机误差是引起预报值 和真实值 之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数 等于相关系数 的平方.
其中真命题为
四、解答题
19．（2020高二上·钦州期末）某新上市的电子产品举行为期一个星期（7天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计，y表示第x天参加该活动的人数，得到统计表格如下，经计算得 .
x 1 2 3 4 5
y 4 m 10 23 22
参考公式：
，
（1）若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ；
（2）预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）.
20．（2020高一下·驻马店期末）这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期 和全国累计报告确诊病例数量 （单位：万人）之间的关系如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7
确诊病例数量 （万人） 1.4 1.7 2.0 2.4 2.8 3.1 3.5
参考数据如下表：
1.92 16.9 77.5 35.17
表中 ， ， .
参考公式：对于一组数据 ， ，…， 其回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：① ，② .
（1）根据表中的数据， 与 哪一个适宜作为确诊病例数量 关于日期 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程；（精确到0.01）
（3）预测2月16日全国累计报告确诊病例数.
21．（2020高二上·福建月考）为了解某地区某种农产品的年产量 (单位：吨)对价格 (单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：
x 2 3 4 5 6
y 8 6 5 4 2
已知x和 具有线性相关关系.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， .
（1）求 ， ；
（2）求y关于x的线性回归方程 ；
（3）若年产量为3.5吨，试预测该农产品的价格.
22．（2020高二下·宾县期末）某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式： ， .
（1）画出散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程.
（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？
23．（2020高二上·娄底开学考）《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.
参考公式： ，
（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间 （单位：小时）与年龄 （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
年龄 20 30 40 50
每周学习诗词的平均时间 3 3.5 3.5 4
由表中数据分析， 与 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.
24．（2020高二下·大庆期末）一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间 （分钟）和答对人数 的统计表格如下：
时间 （分钟） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
答对人数 98 70 52 36 30 20 15 11 5 5
1.99 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.7 0.7
时间 与答对人数 的散点图如图：
附： ， ， ， ， ，对于一组数据 ， ，……， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， .请根据表格数据回答下列问题：
（1）根据散点图判断， 与 ，哪个更适宣作为线性回归类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果，建立y与t的回归方程；（数据保留3位有效数字）
（3）根据（2）请估算要想记住 的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍.（参考数据： ， ）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由题意可得 ， ，
则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】先求出 ， ，再根据回归方程过样本中心，可求出参数 的值.
2．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】 ， ，则样本中心点为 ，
因为回归直线方程为 ，所以有 ，解之得 ，
所以 ，当 时， ，则相对应于点 的残差为 .
故答案为：D.
【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入回归方程中求得 的值，进而求出回归方程，取 求得 ，再由残差公式求得结果即可.
3．【答案】C
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】由图可知，图③中这些点大致分布在一条直线附近，具有线性相关关系；图④中这些点大致分布在一条类似二次曲线附近，具有相关关系；而图①②中这些点分布不均匀，比较分散，不具有相关关系．
故答案为：C．
【分析】根据图形中点的分布，即可判断 是否具有相关关系．
4．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】 ， ，
由回归直线 过样本中心点，
所以 ，
解得 .
故答案为：C
【分析】利用回归直线过样本中心点 即可求解.
5．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解： ，
，
样本点的中心为 ，
代入 ，得 ，即 ．
线性回归方程为 ．
取 ，得 ，则 ．
故答案为： B．
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得 ，得到线性回归方程，取 求得 值即可．
6．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】依题意 ， ，
将 代入 得 ，解得 .
故答案为：B
【分析】将样本中心点代入回归直线方程，解方程求得 的值.
7．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】设回归直线方程为 ，
由表格中的数据可得 ， ，
由最小二乘法公式可得 ，
，
因此，回归直线方程为 .
故答案为：B.
【分析】设回归直线方程为 ，求得 、 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出 和 的值，进而可求得回归直线方程.
8．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由已知表格得： ， ，
由于线性回归直线恒过样本中心点 ，所以有： ，解得： ，
所以线性回归方程 ，
由 得： 解得： ，
由于 ，
所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9。
故答案为：C.
【分析】利用已知的数据表求出x和y的平均数，从而求出样本中心点的坐标，再利用线性回归直线恒过样本中心点 ，从而求出的值，从而求出线性回归方程，再利用已知条件当维修费用y＞12时该设各必须报废，从而用线性回归方程，从而结合x的实际意义预报出该设备使用年限的最大值。
9．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由表中数据得： ，
因为样本中心点 在回归直线上，
所以 ，
所以
故答案为：C
【分析】根据样本中心点在回归直线上可得答案.
10．【答案】D
【知识点】散点图；线性回归方程
【解析】【解答】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故答案为：D.
【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
11．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】因为水位 的回归直线方程为 ，
A选项，第8日的水位是 ，将启动黄色预警，A不符合题意；
B选项，第10日的水位是 ，将启动橙色预警，B不符合题意；
C选项，第11日的水位是 ，将启动橙色预警，C不符合题意；
D选项，第12日的水位是 ，将启动红色预警，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据回归方程，逐项计算预测值，再由河流水位表，即可判定出结果.
12．【答案】B
【知识点】变量相关关系；回归分析
【解析】【解答】解：回归直线一定经过样本点的中心 ，故 对；
若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的值越接近于1或 ， 错；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故 对；
在线性回归模型中，相关指数 越接近于1，说明回归的效果越好，故 对，
故答案为：B．
【分析】根据回归直线方程及回归分析的相关知识判断即可；
13．【答案】A,B,D
【知识点】线性相关
【解析】【解答】若所有样本点都在直线 上，且直线斜率为负数，则 ，A、B选项均错误；
若 越大，则变量 与 的线性相关性越强，C选项正确，D选项错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据相关系数与变量 与 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误.
14．【答案】A,B,C,D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】对A，因为 ，故有99%的把握认为变量 具有线性相关关系，A符合题意.
对B，价格平均 ，销售量 .
故回归直线恒过定点 .B符合题意.
对C，因为回归直线恒过定点 ，故 .C符合题意.
对D，当 时， .D符合题意.
综上，ABCD均正确.
故答案为：ABCD
【分析】对A，根据 判断即可；对BC，根据回归直线方程经过样本中心点求解即可.对D； 求出 ，再代入 求解即可.
15．【答案】3
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解： ， ，
又回归直线必过样本点的中心 ，
所以 ，所以 ．
故答案为：3.
【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．
16．【答案】1.7
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】由于 ，代入 ，于是得到 ，故答案为1.7.
【分析】直接代入 即得答案.
17．【答案】(5,4)
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由题得 .
所以样本中心点为 .
所以线性回归方程 必过点（5,4）.
故答案为
【分析】求出样本中心点即得解.
18．【答案】①③④
【知识点】变量相关关系；线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】①线性回归直线方程 恒过样本中心 ，所以正确.
②用相关指数 可以刻画回归的效果，值越大说明模型的拟合效果越好，所以错误.
③随机误差是引起预报值 和真实值 之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；所以正确.
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数 等于相关系数 的平方，所以正确.
故答案为：①③④.
【分析】由线性回归直线恒过样本中心可判断①，由相关指数的值的大小与拟合效果的关系可判断②，由随机误差和方差的关系可判断③，由相关指数和相关系数的关系可判断④.
19．【答案】（1）解：根据表中的数据，可得
，解得 ，
则 ，
，
又由 ，故所求回归直线方程为
（2）解：将 代入 中，求得 ，
故预测最后一天参加该活动的人数34.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）由 计算出参数 的值，再计算出 ， ， ，根据公式计算可得；（2）将 代入（1）的方程计算可得.
20．【答案】（1）解：根据表中的数据：
适宜作为确诊病例数量 关于日期 的回归方程类型；
（2）解：由已知数据得： ， ，
∴ ，
，
所以， 关于 的回归方程为： ；
（3）解：把 代入回归方程得： ，
所以预测2月16日全国累计报告确诊病例数为6.6万人.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）直接由表格中的数据可知 适宜作为确诊病例数量 关于日期 的回归方程类型；（2）由表格中的数据求得 与 的值，则 关于 的线性回归方程可求；（3）在（2）中求得的线性回归方程中，取 求得 值即可．
21．【答案】（1）解： ，
（2）解：因为 ，所以 ，
所以线性回归方程为：
（3）解：当 时， ，
故农产品的价格为 千元 吨.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表中数据计算出 ， ；（2）利用公式计算出 的值，则线性回归方程可求；（3）利用（2）中的线性回归方程预测农产品价格.
22．【答案】（1）解：根据表格中的数据，得到点 ，
画在坐标系中，得到散点图：
.
（2）解：由表格中的数据，可得 ，
，
则 ，
于是所求的线性回归方程是
（3）解：当 时， （百万元），
即广告费支出为一千万元，预测销售额大约为 百万元
【知识点】散点图；最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图.（2）先求出 的平均数，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程.（3）将 代入回归直线方程求出y的值，即可得到广告费支出一千万元时的销售额的估计值.
23．【答案】（1）解：设污损的数字为 ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得
，
，即 ，
（2）解： ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
时， .
答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）由题，列出不等式 ，解得x的取值范围，即可得到本题答案；（2）由 ， ，求得线性回归方程，然后令 ，即可得到本题答案.
24．【答案】（1）解：由图象可知， 更适宜作为线性回归类型
（2）解：设 ，根据最小二乘法得
， ，
所以 ，
因此
（3）解：由题意知 ，即 ，解得
，即至多19.05分钟，就需要重新复习一遍
【知识点】散点图；最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】(1)根据图象可得答案；(2)先求得 的线性回归方程，再将对数式化为指数式可得y与t的回归方程；(3)解不等式 可得答案.
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