人教新课标A版 必修二 1.3空间几何体的表面积与体积

人教新课标A版 必修二 1.3空间几何体的表面积与体积
一、单选题
1．（2019高一下·淮安期末）一个正四棱锥的底面边长为2，高为 ，则该正四棱锥的全面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由题得为 ，
所以该四棱锥的全面积为 .
故答案为：B
【分析】根据正四棱锥的几何特征，确定侧面三角形的斜高，即可得到四棱锥的全面积.
2．（2020高二下·闵行期中）已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意结合原图与直观图的面积比为 可知该四棱锥的底面积 ，
则该四棱锥的体积为 .
故答案为：D.
【分析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解.
3．（2020高一上·黄陵期末）如果两个球的体积之比为 ，那么两个球的半径之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为球的体积公式为 ，
又两个球的体积之比为 ，
所以两个球的半径之比为 .
故答案为：C
【分析】根据球的体积公式，结合题中数据，即可得出结果.
4．（2020·天津）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
5．（2019高一下·通榆月考）已知正方体外接球的体积是 π，那么正方体的棱长等于（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R，立方体的棱长为a
由球的体积公式得：
解得：R=2
又∵球的直径即为内接正方体的体对角线
∴
∴
故答案为：D
【分析】首先根据球的体积公式求出球的半径，球的直径就是正方体的体对角线，然后求出正方体的棱长即可。
6．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．π B．2π C．6π D．12π
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，则由l· =2πr，所以l=6r，S表=S底+S侧=πr2+πr·6r=14π，解得r2=2，所以S侧=6πr2=12π.
故答案为：D
【分析】由已知圆锥的侧面展开图的弧长为2πr列式，可得l=6r，利用S表=S底+S侧列式，解得r2=2，即可求出该圆锥的侧面积 .
7．（2020高一下·永年期中）已知高为3的棱柱 的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥 的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】 .
故答案为：D.
【分析】换顶点再根据三棱锥的体积公式求解即可.
8．（2020·安徽模拟）在四面体 中，棱 ，其余各条棱长均为2，则四面体 外接球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图，设E、F分别是 ， 的中点，
连接 、 、 、 ，
由四面体中，棱 ，其余各条棱长均为2，
所以 ， ，
由 、 分别是 ， 的中点，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .
问题转化为： 上是否存在一点 ，使得 即可.
设 ，则 ， ，
.于是 ，解得 .
.
于是四面体 外接球的表面积是 .
故答案为：A
【分析】设 、 分别是 ， 的中点，易得 ， ， ，问题转化为： 上是否存在一点 ，使得 即可，设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，进而求出外接球的半径 ，根据球的表面积公式即可求解.
9．（2019高一下·江门月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，
三棱柱的体积为：，
三棱锥的体积：，
故组合体的体积：.
故答案为：C
【分析】由已知中的三视图，得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，分别计算出柱体和锥体的体积，用三棱柱的体积减去三棱锥的体积可得到组合体的体积。
10．（2020·芜湖模拟）已知棱长为2的正方体 中，E为DC中点，F在线段 上运动，则三棱锥 的外接球的表面积最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】取 的中点 ，易知 为 的外心，取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
由正方体的性质可得 平面 ，
则三棱锥 的外接球球心 在直线 上，连接 ，
取 的中点 ，连接 、 ，
由中位线的性质可得 且 ，
所以 ，所以 平面 ， ，
若要使三棱锥 的外接球的表面积最小，则要使其半径即 最小，
易知当 即点 与 重合时， 最小，
设 ，由题意 ， ，
则 ， ，
由 可得 ，化简可得 ，
此时，三棱锥 的外接球的半径 满足 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积最小值 .
故答案为：C.
【分析】取 的中点 ，易知 为 的外心，取 的中点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，由正方体的性质可得三棱锥 的外接球球心O在直线 上，连接 ，取 的中点H，连接 、 ，易知当 即点 与 重合时， 即外接球半径最小，设 ，根据 求得 ，进而可求得外接球半径，即可得解.
11．（2020·山西模拟）在高为 的正三棱柱 中， 的边长为2， 为棱 的中点，若一只蚂蚁从点 沿表面爬向点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为（　　）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】如图1，
将矩形 翻折到与平面 共面的位置 ,
此时，爬行的最短距离为 ；
如图2，将 翻折到与平面 共面的位置 ，
易知 ， ，此时爬行的最短距离 ；
如图3，将矩形 翻折到与平面 共面的位置 ，
此时，爬行的最短距离 .
综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.
故选：A.
【分析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A点出发，经过 再到达点D.第二种是从A点出发，经过 再到达点D.第三种是从A点出发，经过 ，最后到达点D.分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离.
12．（2020高一下·宝坻月考）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 ，其中 ，若 ，当“阳马”即四棱锥 体积最大时，“堑堵”即三棱柱 的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ， ，当且仅当 时，取等号．
∴ ．
故答案为：C．
【分析】由四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
二、填空题
13．（2020·秦淮模拟）已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 ，则该棱锥的体积为　 　 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由已知条件，得出正四棱锥侧面的高 ，从而得出正四棱锥的高为 ，再利用棱锥的体积公式，所以该正四棱锥的体积为 ，故答案为 .
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合已知条件，从而求出正四棱锥的高，再利用正四棱锥的体积公式，从而求出该正四棱锥的体积。
14．（2020高一下·天津期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为　 　.
【答案】2:3
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
∴ ， ，
∴ .
故答案为: 2：3 .
【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.
15．（2020·新课标Ⅲ·理）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　 　．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
16．（2020·吴江模拟）如图，正方体 的棱长为1，E为棱 上的点， 为AB的中点，则三棱锥 的体积为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】 。
【分析】利用正方体的结构特征结合三棱锥和正方体的位置关系，从而利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥 的体积。
三、解答题
17．（2018高二上·北京月考）已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 、 、 ，
（1）求这个长方体的对角线长。
（2）求这个长方体的的体积
【答案】（1）解：设此长方体的棱长分别为a，b，c，则 ，可得 ，解得 ，a= ，b=1
这个长方体的对角线长l= =
（2）解：由（1）可知：V=abc=
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）计算出abc，ab，bc，ac的值，即可得出a，b，c的大小，即可得出答案。（2）结合体积V=abc，即可得出答案。
18．（2019高一上·集宁月考）底面边长为2的正三棱锥 ,其表面展开图是三角形 ，如图，求△ 的各边长及此三棱锥的体积 .
【答案】解：由题意 中 ， ， ，所以 是 的中位线，因此 是正三角形，且边长为4．
即 ，三棱锥 是边长为2的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点 在底面 内的投影为 ，连接 ，并延长交 于
∴ 为 中点， 为 的重心， 底面
∴ ， ，
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】由于展开图是 ， 分别是所在边的中点，根据三角形的性质， 是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点 在底面上的射影是底面 的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．
19．（2018高二上·万州月考）
（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为 ，面积为 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为 ，求该三棱柱的体积.
【答案】（1）解：设圆锥的底面半径、母线长分别为 ，
则 ，解得
所以圆锥的高为 ，得表面积是 ，体积是
（2）解：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，
设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝ ，又易得AM＝ ，
由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，
所以该三棱柱的体积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）分别计算出母线和半径的长， 利用勾股定理，得出高，计算表面积和体积，即可得出答案。（2）结合勾股定理，构造三角形，计算高h，利用体积计算公式，即可得出答案。
20．（2019高二上·怀仁期中）如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥.求：
（1）三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥A′－BC′D的体积.
【答案】（1）解：∵ABCD A′B′C′D′是正方体，∴六个面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝ a，∴S三棱锥＝4× ×( a)2＝2 a2，S正方体＝6a2，∴ ＝
（2）解：显然，三棱锥A′ ABD、C′ BCD、D A′D′C′、B A′B′C′是完全一样的，
∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ABD＝a3－4× × a2×a＝ a3
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）三棱锥A′ BC′D为正四面体，表面积为四个正三角形面积，边长为正方体棱长 倍，根据三角形面积公式以及正方形面积公式求比值（2）三棱锥A′ BC′D的体积等于正方体体积减去4个小三棱锥体积.
21．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
【答案】解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，而V半球＝ × πr3＝ × π×43，V圆锥＝ Sh＝ πr2h = π×42×h，则有 π×42×h≥ × π×43，解得h≥8．
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝ ，所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【分析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，进而求出h应满足的范围.
22．（2019高一下·仙桃期末）从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体 的直观图中分离出来的．
（Ⅰ）求直观图中 的面积；
（Ⅱ) 如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？
【答案】解：（Ⅰ） ；
（Ⅱ）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于三棱锥 的体积，所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出相应的面积即可；
（2）根据所盛水的体积等于三棱锥的体积，求出三棱锥的体积即可.
1 / 1人教新课标A版 必修二 1.3空间几何体的表面积与体积
一、单选题
1．（2019高一下·淮安期末）一个正四棱锥的底面边长为2，高为 ，则该正四棱锥的全面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
2．（2020高二下·闵行期中）已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高一上·黄陵期末）如果两个球的体积之比为 ，那么两个球的半径之比为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020·天津）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2019高一下·通榆月考）已知正方体外接球的体积是 π，那么正方体的棱长等于（　　）
A．2 B． C． D．
6．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．π B．2π C．6π D．12π
7．（2020高一下·永年期中）已知高为3的棱柱 的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥 的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020·安徽模拟）在四面体 中，棱 ，其余各条棱长均为2，则四面体 外接球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2019高一下·江门月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V=（　　）
A． B． C． D．
10．（2020·芜湖模拟）已知棱长为2的正方体 中，E为DC中点，F在线段 上运动，则三棱锥 的外接球的表面积最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2020·山西模拟）在高为 的正三棱柱 中， 的边长为2， 为棱 的中点，若一只蚂蚁从点 沿表面爬向点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为（　　）
A．3 B． C． D．2
12．（2020高一下·宝坻月考）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 ，其中 ，若 ，当“阳马”即四棱锥 体积最大时，“堑堵”即三棱柱 的表面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020·秦淮模拟）已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 ，则该棱锥的体积为　 　 .
14．（2020高一下·天津期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为　 　.
15．（2020·新课标Ⅲ·理）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　 　．
16．（2020·吴江模拟）如图，正方体 的棱长为1，E为棱 上的点， 为AB的中点，则三棱锥 的体积为　 　.
三、解答题
17．（2018高二上·北京月考）已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 、 、 ，
（1）求这个长方体的对角线长。
（2）求这个长方体的的体积
18．（2019高一上·集宁月考）底面边长为2的正三棱锥 ,其表面展开图是三角形 ，如图，求△ 的各边长及此三棱锥的体积 .
19．（2018高二上·万州月考）
（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为 ，面积为 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为 ，求该三棱柱的体积.
20．（2019高二上·怀仁期中）如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥.求：
（1）三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥A′－BC′D的体积.
21．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
22．（2019高一下·仙桃期末）从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体 的直观图中分离出来的．
（Ⅰ）求直观图中 的面积；
（Ⅱ) 如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由题得为 ，
所以该四棱锥的全面积为 .
故答案为：B
【分析】根据正四棱锥的几何特征，确定侧面三角形的斜高，即可得到四棱锥的全面积.
2．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意结合原图与直观图的面积比为 可知该四棱锥的底面积 ，
则该四棱锥的体积为 .
故答案为：D.
【分析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解.
3．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为球的体积公式为 ，
又两个球的体积之比为 ，
所以两个球的半径之比为 .
故答案为：C
【分析】根据球的体积公式，结合题中数据，即可得出结果.
4．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
5．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R，立方体的棱长为a
由球的体积公式得：
解得：R=2
又∵球的直径即为内接正方体的体对角线
∴
∴
故答案为：D
【分析】首先根据球的体积公式求出球的半径，球的直径就是正方体的体对角线，然后求出正方体的棱长即可。
6．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，则由l· =2πr，所以l=6r，S表=S底+S侧=πr2+πr·6r=14π，解得r2=2，所以S侧=6πr2=12π.
故答案为：D
【分析】由已知圆锥的侧面展开图的弧长为2πr列式，可得l=6r，利用S表=S底+S侧列式，解得r2=2，即可求出该圆锥的侧面积 .
7．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】 .
故答案为：D.
【分析】换顶点再根据三棱锥的体积公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图，设E、F分别是 ， 的中点，
连接 、 、 、 ，
由四面体中，棱 ，其余各条棱长均为2，
所以 ， ，
由 、 分别是 ， 的中点，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .
问题转化为： 上是否存在一点 ，使得 即可.
设 ，则 ， ，
.于是 ，解得 .
.
于是四面体 外接球的表面积是 .
故答案为：A
【分析】设 、 分别是 ， 的中点，易得 ， ， ，问题转化为： 上是否存在一点 ，使得 即可，设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，进而求出外接球的半径 ，根据球的表面积公式即可求解.
9．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，
三棱柱的体积为：，
三棱锥的体积：，
故组合体的体积：.
故答案为：C
【分析】由已知中的三视图，得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，分别计算出柱体和锥体的体积，用三棱柱的体积减去三棱锥的体积可得到组合体的体积。
10．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】取 的中点 ，易知 为 的外心，取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
由正方体的性质可得 平面 ，
则三棱锥 的外接球球心 在直线 上，连接 ，
取 的中点 ，连接 、 ，
由中位线的性质可得 且 ，
所以 ，所以 平面 ， ，
若要使三棱锥 的外接球的表面积最小，则要使其半径即 最小，
易知当 即点 与 重合时， 最小，
设 ，由题意 ， ，
则 ， ，
由 可得 ，化简可得 ，
此时，三棱锥 的外接球的半径 满足 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积最小值 .
故答案为：C.
【分析】取 的中点 ，易知 为 的外心，取 的中点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，由正方体的性质可得三棱锥 的外接球球心O在直线 上，连接 ，取 的中点H，连接 、 ，易知当 即点 与 重合时， 即外接球半径最小，设 ，根据 求得 ，进而可求得外接球半径，即可得解.
11．【答案】A
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】如图1，
将矩形 翻折到与平面 共面的位置 ,
此时，爬行的最短距离为 ；
如图2，将 翻折到与平面 共面的位置 ，
易知 ， ，此时爬行的最短距离 ；
如图3，将矩形 翻折到与平面 共面的位置 ，
此时，爬行的最短距离 .
综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.
故选：A.
【分析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A点出发，经过 再到达点D.第二种是从A点出发，经过 再到达点D.第三种是从A点出发，经过 ，最后到达点D.分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离.
12．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ， ，当且仅当 时，取等号．
∴ ．
故答案为：C．
【分析】由四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
13．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由已知条件，得出正四棱锥侧面的高 ，从而得出正四棱锥的高为 ，再利用棱锥的体积公式，所以该正四棱锥的体积为 ，故答案为 .
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合已知条件，从而求出正四棱锥的高，再利用正四棱锥的体积公式，从而求出该正四棱锥的体积。
14．【答案】2:3
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
∴ ， ，
∴ .
故答案为: 2：3 .
【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.
15．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
16．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】 。
【分析】利用正方体的结构特征结合三棱锥和正方体的位置关系，从而利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥 的体积。
17．【答案】（1）解：设此长方体的棱长分别为a，b，c，则 ，可得 ，解得 ，a= ，b=1
这个长方体的对角线长l= =
（2）解：由（1）可知：V=abc=
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）计算出abc，ab，bc，ac的值，即可得出a，b，c的大小，即可得出答案。（2）结合体积V=abc，即可得出答案。
18．【答案】解：由题意 中 ， ， ，所以 是 的中位线，因此 是正三角形，且边长为4．
即 ，三棱锥 是边长为2的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点 在底面 内的投影为 ，连接 ，并延长交 于
∴ 为 中点， 为 的重心， 底面
∴ ， ，
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】由于展开图是 ， 分别是所在边的中点，根据三角形的性质， 是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点 在底面上的射影是底面 的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．
19．【答案】（1）解：设圆锥的底面半径、母线长分别为 ，
则 ，解得
所以圆锥的高为 ，得表面积是 ，体积是
（2）解：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，
设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝ ，又易得AM＝ ，
由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，
所以该三棱柱的体积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）分别计算出母线和半径的长， 利用勾股定理，得出高，计算表面积和体积，即可得出答案。（2）结合勾股定理，构造三角形，计算高h，利用体积计算公式，即可得出答案。
20．【答案】（1）解：∵ABCD A′B′C′D′是正方体，∴六个面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝ a，∴S三棱锥＝4× ×( a)2＝2 a2，S正方体＝6a2，∴ ＝
（2）解：显然，三棱锥A′ ABD、C′ BCD、D A′D′C′、B A′B′C′是完全一样的，
∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ABD＝a3－4× × a2×a＝ a3
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）三棱锥A′ BC′D为正四面体，表面积为四个正三角形面积，边长为正方体棱长 倍，根据三角形面积公式以及正方形面积公式求比值（2）三棱锥A′ BC′D的体积等于正方体体积减去4个小三棱锥体积.
21．【答案】解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，而V半球＝ × πr3＝ × π×43，V圆锥＝ Sh＝ πr2h = π×42×h，则有 π×42×h≥ × π×43，解得h≥8．
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝ ，所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【分析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，进而求出h应满足的范围.
22．【答案】解：（Ⅰ） ；
（Ⅱ）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于三棱锥 的体积，所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出相应的面积即可；
（2）根据所盛水的体积等于三棱锥的体积，求出三棱锥的体积即可.
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