人教新课标A版 必修二 第一章空间几何体
一、单选题
1．（2020高一下·天津期中）下列命题中正确的有（ ）
①一个棱柱至少有5个平面；②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；④正方形的直观图是正方形；
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020高一下·广东月考）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）
A．0 B．9 C．快 D．乐
3．（2020·北京）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2020高一下·武汉期中）若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ）
A．1∶2 B．1∶ C．1∶ D． ∶2
5．（2020·天津）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·永年期中）已知高为3的棱柱 的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高一下·淄博期中）如图， 是水平放置的 的直观图， ， ，则 的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2020高一上·黄陵期末）如果两个球的体积之比为 ，那么两个球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·新课标Ⅱ·理）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A．E B．F C．G D．H
10．（2020高一下·宝坻月考）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 ，其中 ，若 ，当“阳马”即四棱锥 体积最大时，“堑堵”即三棱柱 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·芜湖模拟）已知棱长为2的正方体 中，E为DC中点，F在线段 上运动，则三棱锥 的外接球的表面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·安徽模拟）如图，棱长为l的正方体 中，P为线段 的中点， 分别为线段 和 棱 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
13．（2020高三上·青浦期末）已知正四棱柱底面边长为 ，体积为32，则此四棱柱的表面积为
14．（2020·秦淮模拟）已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 ，则该棱锥的体积为 .
15．（2020·新课标Ⅲ·理）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
16．（2020·吴江模拟）如图，正方体 的棱长为1，E为棱 上的点， 为AB的中点，则三棱锥 的体积为 .
三、解答题
17．（2020高一下·淄博期中）如图,正方形 的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.
18．（2018高二上·北京月考）已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 、 、 ，
（1）求这个长方体的对角线长。
（2）求这个长方体的的体积
19．（2018高二上·万州期中）如图所示，四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长均为4，求这个四棱锥的体积及表面积.
20．（2018高二上·万州月考）
（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为 ，面积为 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为 ，求该三棱柱的体积.
21．（2020高一下·广东月考）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为 ，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
（2）PC和NC的长．
22．（2019高一下·仙桃期末）从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体 的直观图中分离出来的．
（Ⅰ）求直观图中 的面积；
（Ⅱ) 如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：①因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故①正确；
②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，
射影侧面都是全等的等腰三角形，故②正确；
③不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点；
④正方形的直观图是平行四边形，所以④不正确；
正确的命题只有①②．
故答案为：B．
【分析】利用棱柱的定义判断①的正误；利用正棱锥的定义判断②；棱台的侧棱所在的直线必交于一点判断③的正误；正方形的直观图判断④的正误即可．
2．【答案】B
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为：
由直观图可得这个正方体的下面是9，
故答案为：B．
【分析】利用正方体的展开图和直观图的关系，再利用已知条件，从而求出这个正方体的下面的数字是9。
3．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，
则其表面积为： .
故答案为：D.
【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.
4．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝ r．∴S侧＝πrl＝ πr2，S底＝πr.
故答案为：C．
【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案
5．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
6．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】 .
故答案为：D.
【分析】换顶点再根据三棱锥的体积公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】由斜二测画法可知， 的实物图如下图所示：
可知 ， ，且 ，因此， 的面积为 .
故答案为：C.
【分析】作出 的实物图，即可计算出 的面积.
8．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为球的体积公式为 ，
又两个球的体积之比为 ，
所以两个球的半径之比为 .
故答案为：C
【分析】根据球的体积公式，结合题中数据，即可得出结果.
9．【答案】A
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图M点所在位置，
可知在侧视图中所对应的点为E
故答案为：A
【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.
10．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ， ，当且仅当 时，取等号．
∴ ．
故答案为：C．
【分析】由四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
11．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】取 的中点 ，易知 为 的外心，取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
由正方体的性质可得 平面 ，
则三棱锥 的外接球球心 在直线 上，连接 ，
取 的中点 ，连接 、 ，
由中位线的性质可得 且 ，
所以 ，所以 平面 ， ，
若要使三棱锥 的外接球的表面积最小，则要使其半径即 最小，
易知当 即点 与 重合时， 最小，
设 ，由题意 ， ，
则 ， ，
由 可得 ，化简可得 ，
此时，三棱锥 的外接球的半径 满足 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积最小值 .
故答案为：C.
【分析】取 的中点 ，易知 为 的外心，取 的中点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，由正方体的性质可得三棱锥 的外接球球心O在直线 上，连接 ，取 的中点H，连接 、 ，易知当 即点 与 重合时， 即外接球半径最小，设 ，根据 求得 ，进而可求得外接球半径，即可得解.
12．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】取 中点E，过M作 面 ，如图：
则 ，故 ，
而对固定的点M，当 时， 最小．
此时由 面 ，可知 为等腰直角三角形， ，
故 .
故答案为：D
【分析】取AC中点E，过M作 面 ，可得 为等腰直角三角形，由 ，可得 ，当 时， 最小，由 ，故 ，即可求解.
13．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设正四棱柱的高为 ，由底面边长为 ，体积为 ，
则 ，即 ；
所以此四棱柱的表面积为：
．
故答案为： ．
【分析】求出正四棱柱的高，再计算此四棱柱的表面积．
14．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由已知条件，得出正四棱锥侧面的高 ，从而得出正四棱锥的高为 ，再利用棱锥的体积公式，所以该正四棱锥的体积为 ，故答案为 .
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合已知条件，从而求出正四棱锥的高，再利用正四棱锥的体积公式，从而求出该正四棱锥的体积。
15．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
16．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】 。
【分析】利用正方体的结构特征结合三棱锥和正方体的位置关系，从而利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥 的体积。
17．【答案】解：如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上取 ;在y轴上取 ;在过点B的x轴的平行线上取 .
连接O,A,B,C各点,即得到原图形.易知,四边形OABC为平行四边形, ,
平行四边形OABC的周长为 ,面积 .
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【分析】根据直观图与原图像的边角关系建系画图即可.
18．【答案】（1）解：设此长方体的棱长分别为a，b，c，则 ，可得 ，解得 ，a= ，b=1
这个长方体的对角线长l= =
（2）解：由（1）可知：V=abc=
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）计算出abc，ab，bc，ac的值，即可得出a，b，c的大小，即可得出答案。（2）结合体积V=abc，即可得出答案。
19．【答案】解：连结 交于点 ,连结 ,
∵四棱锥 的底面为边长等于2的正方形，顶点 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长4，∴ ，∴
∴这个四棱锥的体积：
∴该四棱锥的表面积：
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】根据题意连结 交于点 ,连结 ，结合已知条件得出 ， ，根据四棱锥的体积公式以及表面积公式得出结果。
20．【答案】（1）解：设圆锥的底面半径、母线长分别为 ，
则 ，解得
所以圆锥的高为 ，得表面积是 ，体积是
（2）解：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，
设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝ ，又易得AM＝ ，
由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，
所以该三棱柱的体积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）分别计算出母线和半径的长， 利用勾股定理，得出高，计算表面积和体积，即可得出答案。（2）结合勾股定理，构造三角形，计算高h，利用体积计算公式，即可得出答案。
21．【答案】（1）解: 正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，
其对角线的长为 ．
（2）解:如图所示，
将平面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
设PC=x，则P1C=x．
在Rt△MAP1中，
在勾股定理得(3+x)2+22=29，
求得x=2．
∴PC=P1C=2．
∵ = ，
∴NC=
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【分析】（1）由题意结合展开图的特征求解其对角线长即可；（2）首先画出其展开图，然后结合展开图的几何特征即可求得PC和NC的长．
22．【答案】解：（Ⅰ） ；
（Ⅱ）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于三棱锥 的体积，所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出相应的面积即可；
（2）根据所盛水的体积等于三棱锥的体积，求出三棱锥的体积即可.
1 / 1人教新课标A版 必修二 第一章空间几何体
一、单选题
1．（2020高一下·天津期中）下列命题中正确的有（ ）
①一个棱柱至少有5个平面；②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；④正方形的直观图是正方形；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：①因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故①正确；
②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，
射影侧面都是全等的等腰三角形，故②正确；
③不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点；
④正方形的直观图是平行四边形，所以④不正确；
正确的命题只有①②．
故答案为：B．
【分析】利用棱柱的定义判断①的正误；利用正棱锥的定义判断②；棱台的侧棱所在的直线必交于一点判断③的正误；正方形的直观图判断④的正误即可．
2．（2020高一下·广东月考）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）
A．0 B．9 C．快 D．乐
【答案】B
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为：
由直观图可得这个正方体的下面是9，
故答案为：B．
【分析】利用正方体的展开图和直观图的关系，再利用已知条件，从而求出这个正方体的下面的数字是9。
3．（2020·北京）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，
则其表面积为： .
故答案为：D.
【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.
4．（2020高一下·武汉期中）若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ）
A．1∶2 B．1∶ C．1∶ D． ∶2
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝ r．∴S侧＝πrl＝ πr2，S底＝πr.
故答案为：C．
【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案
5．（2020·天津）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
6．（2020高一下·永年期中）已知高为3的棱柱 的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】 .
故答案为：D.
【分析】换顶点再根据三棱锥的体积公式求解即可.
7．（2020高一下·淄博期中）如图， 是水平放置的 的直观图， ， ，则 的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】由斜二测画法可知， 的实物图如下图所示：
可知 ， ，且 ，因此， 的面积为 .
故答案为：C.
【分析】作出 的实物图，即可计算出 的面积.
8．（2020高一上·黄陵期末）如果两个球的体积之比为 ，那么两个球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为球的体积公式为 ，
又两个球的体积之比为 ，
所以两个球的半径之比为 .
故答案为：C
【分析】根据球的体积公式，结合题中数据，即可得出结果.
9．（2020·新课标Ⅱ·理）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A．E B．F C．G D．H
【答案】A
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图M点所在位置，
可知在侧视图中所对应的点为E
故答案为：A
【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.
10．（2020高一下·宝坻月考）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 ，其中 ，若 ，当“阳马”即四棱锥 体积最大时，“堑堵”即三棱柱 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ， ，当且仅当 时，取等号．
∴ ．
故答案为：C．
【分析】由四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
11．（2020·芜湖模拟）已知棱长为2的正方体 中，E为DC中点，F在线段 上运动，则三棱锥 的外接球的表面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】取 的中点 ，易知 为 的外心，取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
由正方体的性质可得 平面 ，
则三棱锥 的外接球球心 在直线 上，连接 ，
取 的中点 ，连接 、 ，
由中位线的性质可得 且 ，
所以 ，所以 平面 ， ，
若要使三棱锥 的外接球的表面积最小，则要使其半径即 最小，
易知当 即点 与 重合时， 最小，
设 ，由题意 ， ，
则 ， ，
由 可得 ，化简可得 ，
此时，三棱锥 的外接球的半径 满足 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积最小值 .
故答案为：C.
【分析】取 的中点 ，易知 为 的外心，取 的中点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，由正方体的性质可得三棱锥 的外接球球心O在直线 上，连接 ，取 的中点H，连接 、 ，易知当 即点 与 重合时， 即外接球半径最小，设 ，根据 求得 ，进而可求得外接球半径，即可得解.
12．（2020·安徽模拟）如图，棱长为l的正方体 中，P为线段 的中点， 分别为线段 和 棱 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】取 中点E，过M作 面 ，如图：
则 ，故 ，
而对固定的点M，当 时， 最小．
此时由 面 ，可知 为等腰直角三角形， ，
故 .
故答案为：D
【分析】取AC中点E，过M作 面 ，可得 为等腰直角三角形，由 ，可得 ，当 时， 最小，由 ，故 ，即可求解.
二、填空题
13．（2020高三上·青浦期末）已知正四棱柱底面边长为 ，体积为32，则此四棱柱的表面积为
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设正四棱柱的高为 ，由底面边长为 ，体积为 ，
则 ，即 ；
所以此四棱柱的表面积为：
．
故答案为： ．
【分析】求出正四棱柱的高，再计算此四棱柱的表面积．
14．（2020·秦淮模拟）已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 ，则该棱锥的体积为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由已知条件，得出正四棱锥侧面的高 ，从而得出正四棱锥的高为 ，再利用棱锥的体积公式，所以该正四棱锥的体积为 ，故答案为 .
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合已知条件，从而求出正四棱锥的高，再利用正四棱锥的体积公式，从而求出该正四棱锥的体积。
15．（2020·新课标Ⅲ·理）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
16．（2020·吴江模拟）如图，正方体 的棱长为1，E为棱 上的点， 为AB的中点，则三棱锥 的体积为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】 。
【分析】利用正方体的结构特征结合三棱锥和正方体的位置关系，从而利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥 的体积。
三、解答题
17．（2020高一下·淄博期中）如图,正方形 的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.
【答案】解：如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上取 ;在y轴上取 ;在过点B的x轴的平行线上取 .
连接O,A,B,C各点,即得到原图形.易知,四边形OABC为平行四边形, ,
平行四边形OABC的周长为 ,面积 .
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【分析】根据直观图与原图像的边角关系建系画图即可.
18．（2018高二上·北京月考）已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 、 、 ，
（1）求这个长方体的对角线长。
（2）求这个长方体的的体积
【答案】（1）解：设此长方体的棱长分别为a，b，c，则 ，可得 ，解得 ，a= ，b=1
这个长方体的对角线长l= =
（2）解：由（1）可知：V=abc=
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）计算出abc，ab，bc，ac的值，即可得出a，b，c的大小，即可得出答案。（2）结合体积V=abc，即可得出答案。
19．（2018高二上·万州期中）如图所示，四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长均为4，求这个四棱锥的体积及表面积.
【答案】解：连结 交于点 ,连结 ,
∵四棱锥 的底面为边长等于2的正方形，顶点 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长4，∴ ，∴
∴这个四棱锥的体积：
∴该四棱锥的表面积：
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】根据题意连结 交于点 ,连结 ，结合已知条件得出 ， ，根据四棱锥的体积公式以及表面积公式得出结果。
20．（2018高二上·万州月考）
（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为 ，面积为 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为 ，求该三棱柱的体积.
【答案】（1）解：设圆锥的底面半径、母线长分别为 ，
则 ，解得
所以圆锥的高为 ，得表面积是 ，体积是
（2）解：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，
设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝ ，又易得AM＝ ，
由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，
所以该三棱柱的体积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）分别计算出母线和半径的长， 利用勾股定理，得出高，计算表面积和体积，即可得出答案。（2）结合勾股定理，构造三角形，计算高h，利用体积计算公式，即可得出答案。
21．（2020高一下·广东月考）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为 ，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
（2）PC和NC的长．
【答案】（1）解: 正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，
其对角线的长为 ．
（2）解:如图所示，
将平面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
设PC=x，则P1C=x．
在Rt△MAP1中，
在勾股定理得(3+x)2+22=29，
求得x=2．
∴PC=P1C=2．
∵ = ，
∴NC=
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【分析】（1）由题意结合展开图的特征求解其对角线长即可；（2）首先画出其展开图，然后结合展开图的几何特征即可求得PC和NC的长．
22．（2019高一下·仙桃期末）从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体 的直观图中分离出来的．
（Ⅰ）求直观图中 的面积；
（Ⅱ) 如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？
【答案】解：（Ⅰ） ；
（Ⅱ）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于三棱锥 的体积，所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出相应的面积即可；
（2）根据所盛水的体积等于三棱锥的体积，求出三棱锥的体积即可.
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