【精品解析】高中数学人教新课标A版 选修2-1 2.4抛物线

高中数学人教新课标A版 选修2-1 2.4抛物线
一、单选题
1．（2020高二下·北京期末）焦点在 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为焦点在 轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程可设为 ，
因为焦点到准线的距离为 ，所以
故答案为：D
【分析】根据焦点位置确定抛物线方程形式，再根据焦点到准线的距离确定结果.
2．（2020·九江模拟）抛物线y＝ax2上一点 到其准线的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】抛物线y＝ax2上一点 ，可得 ，解得 ；
即抛物线 ，即 ，所以抛物线的准线方程为y ．
所以抛物线 上一点 到其准线的距离为： ．
故答案为：B．
【分析】根据题设条件，代入抛物线的方程，求得a的值，得出抛物线方程和准线方程，即可求解．
3．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
4．（2020·平邑模拟）以抛物线 的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
圆与E的准线相切，则 ，故圆方程为： .
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的焦点和准线得到圆心和半径，进一步到圆的方程.
5．（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
6．（2020·北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 于Q，则线段 的垂直平分线（　　）．
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】如图所示：
．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点P.
故答案为：B.
【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段 的垂直平分线经过点P，即求解.
7．（2019高二下·上海期末）设复数 是实系数方程 的根，又 为实数，则点 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】 ，
其虚部为 ，
又 为实数，所以 ，
复数 是实系数方程 的根，
也是实系数方程 的根，
所以 ，
所以 ，此时 ，
即点 的轨迹在抛物线 上.
故答案为：D.
【分析】由 为实数，求出 关系，实系数方程有虚数根， ，且两根互为共轭，由韦达定理，求出 与 关系，结合 关系，即可得出 的关系式，得出结论.
8．（2020·沈阳模拟）已知圆 与抛物线 的准线 交于A，B两点，且 ，P为该抛物线上一点， 于点Q，点F为该抛物线的焦点.若 是等边三角形，则 的面积为（　　）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由 可得圆心 到 的距离为 ，即 ，即
所以抛物线的方程为
因为 是等边三角形，焦点 到准线 的距离为2
所以 的边长为4
所以
故答案为：A
【分析】首先由条件可得出 ，然后由 是等边三角形，焦点F到准线l的距离为2可得出 的边长为4，然后算出答案即可.
9．（2020·安徽模拟）已知抛物线 ，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点 （其中 在 轴上方）， 两点在抛物线的准线上的投影分别为 ，若 ， ，则 （　　）
A． B．2 C．3 D．4.
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意知， ， ，则 ，
由 轴，可知 ，则 ，
， ， ，
，则 ， ， ，
为等边三角形， 直线AB的倾斜角 ，且 ，
又因为 ，则 . .
故答案为：C.
【分析】由题意可知 ，由 ，可求出 ，由 可求出 ，由 可知 ，从而可知 ，
，进而可求 的值.
10．（2020·宜春模拟）已知抛物线C方程为 ，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为抛物线C方程为 ，所以其焦点为 ，所以可设直线l的方程为： ， ，（斜率不存在的直线显然不符合题意），
联立抛物线方程可得， ，所以 ，
又 ，所以抛物线在A处的切线方程为： ，即 ，令 ，可得点 的坐标为 ，同理可得，点 的坐标为 ，
所以
，当且仅当 时取等号，
即 的取值范围为 ．
故答案为：B．
【分析】设直线l的方程为： ， ，与抛物线联立求出 ，再利用导数的几何意义分别求出抛物线在A，B两点处的切线方程，得到 的坐标，即可得到 的表达式，然后根据基本不等式即可求出．
11．（2020·茂名模拟）已知 ， 及抛物线方程为 ，点 在抛物线上，则使得 为直角三角形的点 个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】当角 为直角时， .
设点 坐标为
点 在抛物线上
，即
则点 坐标为 .
同理，当角 为直角时，此时点 坐标为 .
当角 为直角时，此时点 的轨迹为以 为直径的圆除去与 轴的交点，
以 为直径的圆的圆心 ，半径为 ，则圆的方程为 .
则点 的轨迹为 （ ）与抛物线 的交点.
联立 ，即 ，解得 或 (舍)
将 代入 ，解得
此时点 坐标为 .
即使得 为直角三角形的点 个数为4个
故选：D
【分析】分情况讨论，当角 为直角时，此时点 坐标为 ，即 ，即点 坐标为 ，当角 为直角时，此时点 坐标为 ，即 ，即点 坐标为 ，当角 为直角时，此时点 的轨迹为以 为直径的圆除去与 轴的交点，与抛物线 的交点，联立 ，求解 或 (舍)即点 坐标为 ，即可.
12．（2019高三上·梅州月考）已知过抛物线 焦点F的直线与抛物线交于点A，B， ，抛物线的准线l与x轴交于点C， 于点M，则四边形AMCF的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】过 作 于 ，过 作 于
设 ， ，则 ，
，
故答案为：
【分析】根据直线与抛物线的位置关系，结合抛物线的定义及平面向量的共线，即可得到四边形AMCF的面积.
二、多选题
13．（2020·淄博模拟）已知抛物线 上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和 ，则 的值可以是（　　）
A．2 B．6 C．4 D．8
【答案】A,C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 的横坐标为 ，
由题意， ， ，
解得 或 .
故答案为：AC
【分析】由题意得 ， ，解方程即可得结果.
14．（2020·德州模拟）抛物线 的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点 下列结论正确的是（　　）
A．|PM| +|PF|的最小值为3
B．抛物线C上的动点到点 的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于 对称
D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2
【答案】A,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A．设 是抛物线的准线，过 作 于 ，则 ，当且仅当 三点共线时等号成立．所以 最小值是3，A符合题意；
B．设 是抛物线上任一点，即 ， ， 时， ，B不符合题意；
C．假设存在直线 ，使得A，B两点关于 对称，设 方程为 ，由 得 ，
所以 ， ，设 ，则 ， 中点为 ，则 ， ， 必在直线 上，
所以 ， ，这与直线 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C不符合题意；
D．设 ，由 即 ，得 ，则切线 方程为 ，
即 ，同理 方程是 ，
由 ，解得 ，由题意 在准线 上，
所以 ， ，
所以 ，
所以 时， 为最小值．D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断．
三、填空题
15．（2020高二下·虹口期末）抛物线 的焦点到准线的距离等于　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为抛物线方程是 ，
转化为标准方程得： ，
所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为 准线方程为： ，
所以焦点到准线的距离等于 .
故答案为：
【分析】先将抛物线方程 ，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可.
16．（2020·龙岩模拟）已知抛物线 的焦点为F，过抛物线E上一点P（在第一象限内）作y轴的垂线PQ，垂足为Q，若四边形OFPQ的周长为7，则点P的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：设 ，
因为四边形OFPQ的周长为7，
所以 ,
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以点P的坐标为 ，
故答案为：
【分析】设 ，由已知条件结合抛物线的定义可得 ，解出 ，可得点P的坐标.
17．（2020高二下·广州期末）已知抛物线C： 的焦点为F，点M(x0，2 )( )是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝ 交于E，G两点，若sin∠MFG＝ ，则抛物线C的方程是　 　.
【答案】y2=4x
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】如下图所示，作 ，垂足为N
由题意知点M(x0，2 )( )在抛物线 上，则 ①，
由抛物线的定义，可知 ，
因为 ，所以， ，
所以 ，解得 ②，
由①②解得 （舍去）或 ，
故抛物线 的方程为 ．
故答案为： .
【分析】根据点M在抛物线上和 ，列方程组可解得 和p，即可得出抛物线的方程.
18．（2020·奉贤模拟）在平面直角坐标系内有两点 ， ， ，点 在抛物线 上， 为抛物线的焦点，若 ，则 　 　
【答案】 ， ，
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为点 在抛物线 上，
所以 ，得 ，
因为抛物线 的焦点为 ，准线为
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 或
化简得 或 ，
解得 或 或 ，
因为 ，
所以 ， ， ，
故答案为： ， ，
【分析】由点 在抛物线 上，所以将点 坐标代入抛物线方程中，可得到 与 的关系，由 可得点 的坐标为 ，准线方程为 ，所以 ，
而 ，由 列方程可求出m的值
四、解答题
19．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程）求满足下列条件的抛物线的标准方程．
（1）过点 ；
（2）焦点 在直线 上．
【答案】（1）解：由于点 在第二象限，∴过 的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，则焦点在 轴上，设其方程为 ，将点 代入可得 ，
∴ .∴抛物线的方程为 .
若抛物线开口向上，则焦点在 轴上，设其方程为 ，将点 代入可得， ，
∴ ，∴抛物线的方程为 .
综上所述，抛物线的标准方程为 或
（2）解：①∵直线 与 轴的交点为 ，∴抛物线的焦点是 ，
∴ ，∴ ，
∴抛物线的标准方程是 .
②∵直线 与 轴的交点为 ，即抛物线的焦点是 ，
∴ ，∴ ，∴抛物线的标准方程是
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】注意分类讨论是关键；
（1）中点M的象限决定开口向左或向右，利用待定系数法代入点M直接得到两个标准方程；
（2）中直线与x、y轴各有一个交点，所以要注意有两种情况，利用待定系数法代入点M求出答案。
20．（2019高二上·北京月考）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点 ．
Ⅰ 求抛物线C的标准方程；
Ⅱ 经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．
【答案】解： Ⅰ 由题意设抛物线C的标准方程为 ，
又经过点 ，
则 ，
解得 ，
抛物线C的标准方程为 ；
Ⅱ 抛物线C的标准方程为 ，焦点 ，准线方程为 ；
过焦点且斜率为2的直线l方程为 ，
由 ，
消去y，整理得 ，
由根与系数的关系得 ，
线段AB的长为 ．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 Ⅰ 利用待定系数法求出p的值，写出抛物线C的标准方程； Ⅱ 写出抛物线C的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系求得 的值，结合抛物线定义再求线段AB的长．
21．（2020高二下·浙江期末）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P(4，m)到焦点F的距离为5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线 上存在两点G， H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最小值时点M的坐标．
【答案】（1）解：设抛物线 的标准方程为 ，焦点 ，
则 ，解得 ，
抛物线 的标准方程为
（2）解：设 .
则由 中点 在抛物线上，可得 ，
整理得 .
同理得 .
是方程 的两个实根，且 ，
， .
弦长 点 到 的距离 .
令 ，
.
在 上递增， 时面积最大时，此时点
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设抛物线 的标准方程为 ，焦点 .由抛物线的定义可求 ，即得抛物线C的标准方程；（2）设 .求出线段MG，MH的中点坐标，代入抛物线方程，可得 是方程 的两个实根，根据韦达定理求出 的取值范围. 求出 ，点 到 的距离 ，则 ，即求 取最大值时点M的坐标．
22．（2020高二下·湖州期末）如图，已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，点C是抛物线上一点，且满足 .
（1）若点A坐标是 ，求线段 中点M的坐标；
（2）求 面积的最小值及此时直线 的方程.
【答案】（1）解：设 ， ， ，则 ，由题意得 ，
直线 ： ，又 ，得 ，则 ，
又 ，得 ，
得 ，又 得 ，即
解得 ，即 ，
由 ，得 ， ，
故 ， ，线段 中点 的坐标为 .
（2）解：由（1）可知 ， ，
设直线 方程为 ，即
由 得 ，所以
点 到直线 的距离是
所以
而
等号成立当且 ，解得 .
此时 ， 或 ， .
因此 面积的最小值是16，
此时直线 的方程是 或 .
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设 ， ， ，则 ，由题意得 ，直线 ： ，与抛物线方程 联立，则可得 的值，再根据A，C均在抛物线上，代入并作差，可得 的中点坐标与 斜率的关系，再利用 ，求得线段 中点M的坐标.（2）将直线 的方程用 表示出来，并与抛物线方程 联立，再根据弦长公式求出 ，利用点到直线的距离公式，求出点B到直线 的距离为d，运用 ，结合均值不等式可求得 面积的最小值及此时直线 的方程.
23．（2020·芜湖模拟）在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线l与抛物线 交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为 ， 与抛物线C的准线始终相切.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求 的取值范围.
【答案】（1）证明：过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，
设抛物线焦点为F，
由题意知圆M的半径 ，
且 ，
即可得 ，所以A，B，F三点共线，即 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）由（1）知抛物线 ，设直线 ，点 ， ，
联立可得： ， ，
所以 ， ，
所以 ，
则 ， ，
故点N到直线AB距离
又
，
所以 ，
当 时， 取最小值为32.
故所求三角形 面积的取值范围 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，由题意转化条件得 ，即可得A，B，F三点共线，即可得解；（2）设直线 ，联立方程可得 、 、 ，利用弦长公式可得 ，利用点到直线的距离求得高，表示出三角形面积后即可得解.
24．（2020高二下·衢州期末）如图，抛物线 的焦点为F（1，0），E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记 ， 的面积分别为 ．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2） 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）求 的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线的焦点为 ，∴ ，
∴抛物线方程为
（2）解：由已知可得 ， ，
由于直线AB的斜率不可能为0，故可设 ，
联立 ，消去x并整理得： ，
设 ， ，则 ， ．
所以， ，
而 ，
所以 （定值）
（3）解：直线 ，可得 ，同理 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
令 则 ，
由对勾函数的性质知 在 上是增函数，在 上是增函数，所以 时， ，此时 ．
故 的最小值是5，此时直线 轴．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由焦点坐标得焦参数 后可得抛物线方程；（2）由于直线AB的斜率不可能为0，故可设 ，代入抛物线方程整理后得一元二次方程，设 ， ，则 ， ．由 计算 和 ，并计算 可得定值；（3）在（2）基础上，由 点坐标求出 点坐标，同理得 坐标，得 （仍然代入 ），这样 可用 表示，换元设 （ ），利用函数的单调性可得最小值．
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-1 2.4抛物线
一、单选题
1．（2020高二下·北京期末）焦点在 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020·九江模拟）抛物线y＝ax2上一点 到其准线的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
4．（2020·平邑模拟）以抛物线 的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
6．（2020·北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 于Q，则线段 的垂直平分线（　　）．
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线 D．垂直于直线
7．（2019高二下·上海期末）设复数 是实系数方程 的根，又 为实数，则点 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
8．（2020·沈阳模拟）已知圆 与抛物线 的准线 交于A，B两点，且 ，P为该抛物线上一点， 于点Q，点F为该抛物线的焦点.若 是等边三角形，则 的面积为（　　）
A． B．4 C． D．2
9．（2020·安徽模拟）已知抛物线 ，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点 （其中 在 轴上方）， 两点在抛物线的准线上的投影分别为 ，若 ， ，则 （　　）
A． B．2 C．3 D．4.
10．（2020·宜春模拟）已知抛物线C方程为 ，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
11．（2020·茂名模拟）已知 ， 及抛物线方程为 ，点 在抛物线上，则使得 为直角三角形的点 个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2019高三上·梅州月考）已知过抛物线 焦点F的直线与抛物线交于点A，B， ，抛物线的准线l与x轴交于点C， 于点M，则四边形AMCF的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2020·淄博模拟）已知抛物线 上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和 ，则 的值可以是（　　）
A．2 B．6 C．4 D．8
14．（2020·德州模拟）抛物线 的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点 下列结论正确的是（　　）
A．|PM| +|PF|的最小值为3
B．抛物线C上的动点到点 的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于 对称
D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2
三、填空题
15．（2020高二下·虹口期末）抛物线 的焦点到准线的距离等于　 　.
16．（2020·龙岩模拟）已知抛物线 的焦点为F，过抛物线E上一点P（在第一象限内）作y轴的垂线PQ，垂足为Q，若四边形OFPQ的周长为7，则点P的坐标为　 　.
17．（2020高二下·广州期末）已知抛物线C： 的焦点为F，点M(x0，2 )( )是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝ 交于E，G两点，若sin∠MFG＝ ，则抛物线C的方程是　 　.
18．（2020·奉贤模拟）在平面直角坐标系内有两点 ， ， ，点 在抛物线 上， 为抛物线的焦点，若 ，则 　 　
四、解答题
19．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程）求满足下列条件的抛物线的标准方程．
（1）过点 ；
（2）焦点 在直线 上．
20．（2019高二上·北京月考）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点 ．
Ⅰ 求抛物线C的标准方程；
Ⅱ 经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．
21．（2020高二下·浙江期末）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P(4，m)到焦点F的距离为5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线 上存在两点G， H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最小值时点M的坐标．
22．（2020高二下·湖州期末）如图，已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，点C是抛物线上一点，且满足 .
（1）若点A坐标是 ，求线段 中点M的坐标；
（2）求 面积的最小值及此时直线 的方程.
23．（2020·芜湖模拟）在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线l与抛物线 交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为 ， 与抛物线C的准线始终相切.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求 的取值范围.
24．（2020高二下·衢州期末）如图，抛物线 的焦点为F（1，0），E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记 ， 的面积分别为 ．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2） 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）求 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为焦点在 轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程可设为 ，
因为焦点到准线的距离为 ，所以
故答案为：D
【分析】根据焦点位置确定抛物线方程形式，再根据焦点到准线的距离确定结果.
2．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】抛物线y＝ax2上一点 ，可得 ，解得 ；
即抛物线 ，即 ，所以抛物线的准线方程为y ．
所以抛物线 上一点 到其准线的距离为： ．
故答案为：B．
【分析】根据题设条件，代入抛物线的方程，求得a的值，得出抛物线方程和准线方程，即可求解．
3．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
圆与E的准线相切，则 ，故圆方程为： .
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的焦点和准线得到圆心和半径，进一步到圆的方程.
5．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
6．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】如图所示：
．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点P.
故答案为：B.
【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段 的垂直平分线经过点P，即求解.
7．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】 ，
其虚部为 ，
又 为实数，所以 ，
复数 是实系数方程 的根，
也是实系数方程 的根，
所以 ，
所以 ，此时 ，
即点 的轨迹在抛物线 上.
故答案为：D.
【分析】由 为实数，求出 关系，实系数方程有虚数根， ，且两根互为共轭，由韦达定理，求出 与 关系，结合 关系，即可得出 的关系式，得出结论.
8．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由 可得圆心 到 的距离为 ，即 ，即
所以抛物线的方程为
因为 是等边三角形，焦点 到准线 的距离为2
所以 的边长为4
所以
故答案为：A
【分析】首先由条件可得出 ，然后由 是等边三角形，焦点F到准线l的距离为2可得出 的边长为4，然后算出答案即可.
9．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意知， ， ，则 ，
由 轴，可知 ，则 ，
， ， ，
，则 ， ， ，
为等边三角形， 直线AB的倾斜角 ，且 ，
又因为 ，则 . .
故答案为：C.
【分析】由题意可知 ，由 ，可求出 ，由 可求出 ，由 可知 ，从而可知 ，
，进而可求 的值.
10．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为抛物线C方程为 ，所以其焦点为 ，所以可设直线l的方程为： ， ，（斜率不存在的直线显然不符合题意），
联立抛物线方程可得， ，所以 ，
又 ，所以抛物线在A处的切线方程为： ，即 ，令 ，可得点 的坐标为 ，同理可得，点 的坐标为 ，
所以
，当且仅当 时取等号，
即 的取值范围为 ．
故答案为：B．
【分析】设直线l的方程为： ， ，与抛物线联立求出 ，再利用导数的几何意义分别求出抛物线在A，B两点处的切线方程，得到 的坐标，即可得到 的表达式，然后根据基本不等式即可求出．
11．【答案】D
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】当角 为直角时， .
设点 坐标为
点 在抛物线上
，即
则点 坐标为 .
同理，当角 为直角时，此时点 坐标为 .
当角 为直角时，此时点 的轨迹为以 为直径的圆除去与 轴的交点，
以 为直径的圆的圆心 ，半径为 ，则圆的方程为 .
则点 的轨迹为 （ ）与抛物线 的交点.
联立 ，即 ，解得 或 (舍)
将 代入 ，解得
此时点 坐标为 .
即使得 为直角三角形的点 个数为4个
故选：D
【分析】分情况讨论，当角 为直角时，此时点 坐标为 ，即 ，即点 坐标为 ，当角 为直角时，此时点 坐标为 ，即 ，即点 坐标为 ，当角 为直角时，此时点 的轨迹为以 为直径的圆除去与 轴的交点，与抛物线 的交点，联立 ，求解 或 (舍)即点 坐标为 ，即可.
12．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】过 作 于 ，过 作 于
设 ， ，则 ，
，
故答案为：
【分析】根据直线与抛物线的位置关系，结合抛物线的定义及平面向量的共线，即可得到四边形AMCF的面积.
13．【答案】A,C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 的横坐标为 ，
由题意， ， ，
解得 或 .
故答案为：AC
【分析】由题意得 ， ，解方程即可得结果.
14．【答案】A,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A．设 是抛物线的准线，过 作 于 ，则 ，当且仅当 三点共线时等号成立．所以 最小值是3，A符合题意；
B．设 是抛物线上任一点，即 ， ， 时， ，B不符合题意；
C．假设存在直线 ，使得A，B两点关于 对称，设 方程为 ，由 得 ，
所以 ， ，设 ，则 ， 中点为 ，则 ， ， 必在直线 上，
所以 ， ，这与直线 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C不符合题意；
D．设 ，由 即 ，得 ，则切线 方程为 ，
即 ，同理 方程是 ，
由 ，解得 ，由题意 在准线 上，
所以 ， ，
所以 ，
所以 时， 为最小值．D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断．
15．【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为抛物线方程是 ，
转化为标准方程得： ，
所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为 准线方程为： ，
所以焦点到准线的距离等于 .
故答案为：
【分析】先将抛物线方程 ，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可.
16．【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：设 ，
因为四边形OFPQ的周长为7，
所以 ,
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以点P的坐标为 ，
故答案为：
【分析】设 ，由已知条件结合抛物线的定义可得 ，解出 ，可得点P的坐标.
17．【答案】y2=4x
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】如下图所示，作 ，垂足为N
由题意知点M(x0，2 )( )在抛物线 上，则 ①，
由抛物线的定义，可知 ，
因为 ，所以， ，
所以 ，解得 ②，
由①②解得 （舍去）或 ，
故抛物线 的方程为 ．
故答案为： .
【分析】根据点M在抛物线上和 ，列方程组可解得 和p，即可得出抛物线的方程.
18．【答案】 ， ，
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为点 在抛物线 上，
所以 ，得 ，
因为抛物线 的焦点为 ，准线为
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 或
化简得 或 ，
解得 或 或 ，
因为 ，
所以 ， ， ，
故答案为： ， ，
【分析】由点 在抛物线 上，所以将点 坐标代入抛物线方程中，可得到 与 的关系，由 可得点 的坐标为 ，准线方程为 ，所以 ，
而 ，由 列方程可求出m的值
19．【答案】（1）解：由于点 在第二象限，∴过 的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，则焦点在 轴上，设其方程为 ，将点 代入可得 ，
∴ .∴抛物线的方程为 .
若抛物线开口向上，则焦点在 轴上，设其方程为 ，将点 代入可得， ，
∴ ，∴抛物线的方程为 .
综上所述，抛物线的标准方程为 或
（2）解：①∵直线 与 轴的交点为 ，∴抛物线的焦点是 ，
∴ ，∴ ，
∴抛物线的标准方程是 .
②∵直线 与 轴的交点为 ，即抛物线的焦点是 ，
∴ ，∴ ，∴抛物线的标准方程是
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】注意分类讨论是关键；
（1）中点M的象限决定开口向左或向右，利用待定系数法代入点M直接得到两个标准方程；
（2）中直线与x、y轴各有一个交点，所以要注意有两种情况，利用待定系数法代入点M求出答案。
20．【答案】解： Ⅰ 由题意设抛物线C的标准方程为 ，
又经过点 ，
则 ，
解得 ，
抛物线C的标准方程为 ；
Ⅱ 抛物线C的标准方程为 ，焦点 ，准线方程为 ；
过焦点且斜率为2的直线l方程为 ，
由 ，
消去y，整理得 ，
由根与系数的关系得 ，
线段AB的长为 ．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 Ⅰ 利用待定系数法求出p的值，写出抛物线C的标准方程； Ⅱ 写出抛物线C的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系求得 的值，结合抛物线定义再求线段AB的长．
21．【答案】（1）解：设抛物线 的标准方程为 ，焦点 ，
则 ，解得 ，
抛物线 的标准方程为
（2）解：设 .
则由 中点 在抛物线上，可得 ，
整理得 .
同理得 .
是方程 的两个实根，且 ，
， .
弦长 点 到 的距离 .
令 ，
.
在 上递增， 时面积最大时，此时点
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设抛物线 的标准方程为 ，焦点 .由抛物线的定义可求 ，即得抛物线C的标准方程；（2）设 .求出线段MG，MH的中点坐标，代入抛物线方程，可得 是方程 的两个实根，根据韦达定理求出 的取值范围. 求出 ，点 到 的距离 ，则 ，即求 取最大值时点M的坐标．
22．【答案】（1）解：设 ， ， ，则 ，由题意得 ，
直线 ： ，又 ，得 ，则 ，
又 ，得 ，
得 ，又 得 ，即
解得 ，即 ，
由 ，得 ， ，
故 ， ，线段 中点 的坐标为 .
（2）解：由（1）可知 ， ，
设直线 方程为 ，即
由 得 ，所以
点 到直线 的距离是
所以
而
等号成立当且 ，解得 .
此时 ， 或 ， .
因此 面积的最小值是16，
此时直线 的方程是 或 .
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设 ， ， ，则 ，由题意得 ，直线 ： ，与抛物线方程 联立，则可得 的值，再根据A，C均在抛物线上，代入并作差，可得 的中点坐标与 斜率的关系，再利用 ，求得线段 中点M的坐标.（2）将直线 的方程用 表示出来，并与抛物线方程 联立，再根据弦长公式求出 ，利用点到直线的距离公式，求出点B到直线 的距离为d，运用 ，结合均值不等式可求得 面积的最小值及此时直线 的方程.
23．【答案】（1）证明：过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，
设抛物线焦点为F，
由题意知圆M的半径 ，
且 ，
即可得 ，所以A，B，F三点共线，即 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）由（1）知抛物线 ，设直线 ，点 ， ，
联立可得： ， ，
所以 ， ，
所以 ，
则 ， ，
故点N到直线AB距离
又
，
所以 ，
当 时， 取最小值为32.
故所求三角形 面积的取值范围 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，由题意转化条件得 ，即可得A，B，F三点共线，即可得解；（2）设直线 ，联立方程可得 、 、 ，利用弦长公式可得 ，利用点到直线的距离求得高，表示出三角形面积后即可得解.
24．【答案】（1）解：∵抛物线的焦点为 ，∴ ，
∴抛物线方程为
（2）解：由已知可得 ， ，
由于直线AB的斜率不可能为0，故可设 ，
联立 ，消去x并整理得： ，
设 ， ，则 ， ．
所以， ，
而 ，
所以 （定值）
（3）解：直线 ，可得 ，同理 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
令 则 ，
由对勾函数的性质知 在 上是增函数，在 上是增函数，所以 时， ，此时 ．
故 的最小值是5，此时直线 轴．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由焦点坐标得焦参数 后可得抛物线方程；（2）由于直线AB的斜率不可能为0，故可设 ，代入抛物线方程整理后得一元二次方程，设 ， ，则 ， ．由 计算 和 ，并计算 可得定值；（3）在（2）基础上，由 点坐标求出 点坐标，同理得 坐标，得 （仍然代入 ），这样 可用 表示，换元设 （ ），利用函数的单调性可得最小值．
1 / 1