高中数学人教新课标A版 选修2-1 3.2立体几何中的向量方法
一、单选题
1．（2019高二上·慈溪期中）如图，在长方体 中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1和DM所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（2020高二下·济南月考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1= ，则AA1与平面AB1C1所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高二上·西安月考）已知两平面的法向量分别为 ， ，则两平面所成的二面角为（ ）
A． B．
C． 或 D．
4．（2020高一下·大庆期末）在四面体 中，已知棱 的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角 的平面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019高二上·汇川期中）正方体ABCD—A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（ ）
A．0° B．45° C．60 ° D．90°
6．（2020高一下·沭阳期中）如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
7．（2020高二下·杭州期末）如图，直三棱柱 的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱 上靠近 点的三分点，M是棱 上的动点，则二面角 的正切值不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019高二上·余姚期中）如图，三棱柱 满足棱长都相等且 平面 ，D是棱 的中点，E是棱 上的动点．设 ，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（ ）
A．先增大再减小 B．减小
C．增大 D．先减小再增大
9．（2019高二上·长春月考）如图，正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．（2019·浙江模拟）已知正四面体 中， 为 的中点，则过点 与侧面 和底面 所在平面都成 的平面共有（ ）（注：若二面角 的大小为 ，则平面 与平面 所成的角也为 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2018·浙江学考）如图，设矩形 ABCD 所在的平面与梯形 ACEF 所在平面交于 AC ，若 ，则下面二面角的平面角大小为定值的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020高二下·宁波期中）在三棱锥 中， ， ， P在平面 的射影O为 的中点，D是 上的动点，M，N是 的两个三等分点， （ ），记二面角 ， 的平面角分别为 ， .若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020高一下·通州期末）棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是 ．
14．（2020高二下·上海期末）将边长为1的正方形 沿对角线 折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角 的大小为 .
15．（2019高三上·杨浦期中）如图，在正方体 中，直线 与平面 所成的角等于 ．
16．（2019·浙江模拟）四棱锥 中， 平面ABCD， ， ，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角 的平面角大小为 ，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为 的两部分，则 = ．
三、解答题
17．（2020·江苏）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
18．（2020·南通模拟）如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ， .D是线段 的中点.
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）求二面角 的大小的余弦值.
19．（2020·吴中模拟）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，且 .
（1）求棱 与 所成的角的大小；
（2）在棱 上确定一点 ，使二面角 的平面角的余弦值为 .
20．（2020·南通模拟）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， .
（1）设 ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求 的值；
（2）若点D是 的中点，求二面角 的余弦值.
21．（2020·吴江模拟）如图， 在三棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ，E为 的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 的余弦值．
22．（2020高一下·苏州期末）如图所示，等边三角形 的边长为3，点 ， 分别是边 ， 上的点，满足 ， ．将 沿 折起到 的位置，使二面 为二面角，连接 ， ．
（1）求二面角 的余弦值；
（2）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为60°？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设 ，则 ， ，
，
因为 ，所以 ，即有 .
因为 ，所以 ，即异面直线 和 所成角为 .
故答案为：D.
【分析】建立空间直角坐标系，结合 ，求出 的坐标，利用向量夹角公式可求.
2．【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1 为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则A1（0，0， ），A（0，0，0），B1（0，2， ），C1（2，0， ）
则
设平面AB1C1的法向量为
则 ，令 可解得
所以
设AA1与平面AB1C1所成的角为 ，则AA1与平面AB1C1所成的角的正弦值为
因为
所以
故答案为：A
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据向量的数量积即可求得直线与平面的夹角．
3．【答案】C
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】∵两平面的法向量分别为
则两平面所成的二面角与 相等或互补
故 .
故两平面所成的二面角为45°或135°
故答案为：C．
【分析】根据已知中两个平面法向量的夹角，代入向量夹角公式，可以求出两个向量的夹角，进而根据两平面所成的二面角与 相等或互补，得到答案．
4．【答案】C
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】由已知可得AD⊥DC，
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，
则BE⊥CD，
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，
∵EF= （三角形ACD的中位线），BE= （正三角形BCD的高），BF= （等腰RT三角形ABC，F是斜边中点），
∴cos∠BEF= ，
故答案为：C．
【分析】由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，
则BE⊥CD，在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，再利用中位线的性质、正三角形的结构特征和等腰直角三角形的性质，结合余弦定理，从而求出二面角 的平面角的余弦值。
5．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方体 的棱长为 ，
由图可知 ， ， ， ，
所以 ，
所以
所以异面直线 与 所成的角为 。
故答案为：D。
【分析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，利用向量 ， 的数量积为0，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以
，因此 是二面角的平面角，
∠B′AC＝60°．所以 是等边三角形，因此 ，在 中
.
故答案为：C
【分析】根据折的过程中不变的角的大小、结合二面角的定义进行判断即可.
7．【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】取 的中点O，连接 ，根据等边三角形的性质可知 ，
根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ，设 .
则 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 .
平面 的一个法向量是 ，
所以 ，
所以 ，
所以二面角 的正切值为：
.
因为 ，所以 ，
结合二次函数的性质可知：
当 时， 有最小值为 ；
当 时， 有最大值为 ，
所以 ，
所以二面角 的正切值不可能是 .
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角 的余弦值，进而求得二面角 的正切值，得到正切值的最小值，由此判断出正确选项.
8．【答案】D
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】以 中点 为坐标原点， 分别为 轴，并垂直向上作 轴建立空间直角坐标系.
设所有棱长均为2，则 ， ， ，设平面BDE法向量 则 ，令 有 ，
故 .又平面ABC的法向量 ，故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角 的余弦值
，又 ，故 在 上单增， 上单减，即随着x增大先变大后变小，所一以 随着x增大先变小后变大.
故答案为：D.
【分析】可直接建立空间直角坐标系求解平面BDE与底面ABC所成锐二面角的余弦值 关于 的函数，再分析函数的单调性即可.
9．【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz．
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，0，0），P（0， ， ），
则 （2a，0，0）， （﹣a， ， ）， （a，a，0），
设平面PAC的一个法向量为 ，
则 ， ，
∴ ，可取 （0，1，1），
∴ ，
∴ ， ＞＝60°，
∴直线BC与平面PAC的夹角为90°﹣60°＝30°．
故答案为：A．
【分析】利用空间向量的方法结合正四棱锥的结构特征，再利用数量积求两向量夹角的方法结合直角三角形互余的性质，用已知条件求出直线BC与平面PAC的夹角。
10．【答案】D
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图所示：
在正四面体A BCD中，取BC的中点E，连结AE，DE，则∠AED就是二面角A BC D的平面角，在等腰三角形AED中，可求得cos∠AED=，
∴二面角A BC D的余弦为，二面角A BC D∈，
设过点P垂直于平面ABC的直线为m，过点P垂直于平面BCD的直线为n，则m与n所成角∈，
∴过点P可作4条直线同时与直线m，n成，即符合题意的平面有4个。
故答案为：D
【分析】结合题意运用中位线定理的性质，即可找到二面角的平面角，再由线面垂直的的性质定理结合角的取值范围，即可得出结论。
11．【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】在等腰梯形ACEF中，过F作FG⊥ AC于G ，作EH⊥AC于H ，连接BG ， DH，如图：
在梯形ACEF中，由AF=CE=EF ，可得AG=.
由三角形ABC为直角三角形，且AB=1 ， BC= ，可得∠BAC=60°
则BG=
∴∠AGB=90°，即BG⊥AC ，则AC⊥平面GFB ，
∴∠BFG为二面角B- EF-A的平面角，
同理可得∠DEH为二面角D-EF-C的平面角，
∵：AC⊥平面BGF ， AC⊥平面DHE ，则二面角B- EF-D的平面角为∠BFG+∠DEH .
∵△BGF与△DHE均为等腰三角形，
∴∠BFG=，∠DEH=
∵FG∥EH，GB∥HD，
∴∠BGF+∠DHE=180°
∴∠BFG+∠DEH=
∴二面角B-EF-D必为定值.
【分析】由所给数据，点B，D，E，F在以AC为轴的圆柱的侧面上，EF为母线，则不论EF在什么位置时，二面角B-EF-D必为定值.
12．【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】由题得平面 平面 ，
过点 分别作 ，垂足分别为 ，
则 平面 ， 平面 ，
过点 作 垂足分别为 ，连接 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以 为二面角 的平面角，即 ，
同理 为二面角 的平面角，即
设 ， .
所以 ，
.
因为 ，所以
因为 .
在 中， .
当 时，取 中点 ，连接 ，
所以
所以
所以 的最大值为 .
故答案为：B
【分析】如图所示，过点 分别作 ，垂足分别为 ，过点 作 垂足分别为 ，连接 ，设 ， .先证明 ，再证明 即得解.
13．【答案】
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图，三棱锥 的棱长都相等，取 中点E，连结 、 ，
三棱锥 各棱长均相等，即 、 均为等边三角形，
， ，
是二面角 的平面角，
设棱长 ，则 ，
．
即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是 ．
故答案为： ．
【分析】取 中点E，连结 、 ，可得 是二面角的平面角，再由余弦定理求解．
14．【答案】
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】设翻折前 与 相交于点O，则 ， ，而翻折之后的图形如图所示，
为二面角 的平面角．
， ，
为等腰直角三角形，且 ，
二面角 的大小为 ．
故答案为： ．
【分析】设翻折前 与 相交于点O，则 ， ，作出翻折后的图形，由二面角的定义可知 即为所求，易证 为等腰直角三角形，故 ，从而得解．
15．【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】正方体 中，连接 交 于点M，连接 ，
由题可得： ， ，
所以直线 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角等于 ，
设正方体 的边长为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以
【分析】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可。
16．【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：
设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．
由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），
∴ =（﹣2，0，1）， =（﹣2，b，0）. =（2，0，0）．
设平面APD的法向量为 =（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为 =（x2，y2，z2）
则
即 ，
令y1=0得 =（0，1，0），令z2=2得 =（1， ，2）．
∴ ．
∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为 ，
∴cos＜ ＞= 即 解得b= ．
∴S△ADQ= ．
S梯形ABCD﹣S△ADQ= ．
∵S1＜S2，∴S1= ，S2= ．∴S1：S2=（3 ﹣4）：4．
故答案为（3 ﹣4）：4．
【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用坐标运算可得所求.
17．【答案】（1）解：连
以 为 轴建立空间直角坐标系，则
从而直线 与 所成角的余弦值为
（2）解：设平面 一个法向量为
令
设平面 一个法向量为
令
因此
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
18．【答案】（1）解：因为 ，设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，
所以平面 的法向量 ，而 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（2）解： ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，平面 的法向量 ，
所以 ，
二面角 的大小的余弦值 ．
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求面 的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值，也是线面角的正弦值（2）利用空间向量研究二面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求两个平面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角 的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.试题解析：因为在直三棱柱 中， ，所以分别以 、 、 所在的直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，则 ，因为 是 的中点，所以 .
19．【答案】（1）解：如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
.
，
故 与棱 所成的角是
（2）解： 为棱 中点，
设 ，则 .
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，
故
而平面 的法向量是 ，则 ，
解得 ，即 为棱 中点，其坐标为
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为 ，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．
20．【答案】（1）解：由 ， ， ，得 .
以 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ， ， ，设 ，则由 ，
得 ，而 ，根据 ，
解得， 或 ；
（2）解： ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得面 的一个法向量为 ，
而平面 的一个法向量为 ，并且 与二面角 相等，
所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以 、 、 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 的值.（2）求出平面 的法向量和面 的一个法向量，利用向量法能求出二面角 的余弦值.
21．【答案】（1）解：因为 平面 ， ，所以可以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
因为点 为线段 的中点，
所以 .
， ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（2）解：设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ， ，即 且 ，取 ，得 ， ，
所以 是平面 的一个法向量．
设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
即 且 ，取 ，得 ， ，
所以 是平面 的一个法向量．
所以 ．
由图可知二面角为钝角，所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . ， ，利用向量夹角公式即可得到结果；（2）求出平面 与平面 的法向量，代入公式即可得到结果
22．【答案】（1）解：因为 ，所以 ， ，
所以 是二面角 的平面角，
因为二面角 为直二面角，
所以 ，即 ．
如图，以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ，
因为 是边长为3的等边三角形，且 ， ，
所以 ， ， ，所以 ，
则各点的坐标为 ， ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
即 ， ，令 ，则 ， ，
所以 是平面 的一个法向量，
因为平面 的法向量 ，
所以 ，
由图形可知，二面角 的余弦值为 ．
（2）解：设 ，则点 坐标为 ，
所以 ．
因为直线 与平面 所成的角为60°，
所以 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 无解，
所以线段 上不存在 ，使直线 与平面 所成的角为60°．
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由二面角的定义得 ，建立如图所示的空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面 的法向量 ，推出平面 的法向量为 ，然后根据空间向量数量积的坐标运算可得解；（2）设 ，则点 坐标为 ，从而得 ，由 ，建立关于 的方程，结合 可得结果.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-1 3.2立体几何中的向量方法
一、单选题
1．（2019高二上·慈溪期中）如图，在长方体 中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1和DM所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设 ，则 ， ，
，
因为 ，所以 ，即有 .
因为 ，所以 ，即异面直线 和 所成角为 .
故答案为：D.
【分析】建立空间直角坐标系，结合 ，求出 的坐标，利用向量夹角公式可求.
2．（2020高二下·济南月考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1= ，则AA1与平面AB1C1所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1 为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则A1（0，0， ），A（0，0，0），B1（0，2， ），C1（2，0， ）
则
设平面AB1C1的法向量为
则 ，令 可解得
所以
设AA1与平面AB1C1所成的角为 ，则AA1与平面AB1C1所成的角的正弦值为
因为
所以
故答案为：A
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据向量的数量积即可求得直线与平面的夹角．
3．（2019高二上·西安月考）已知两平面的法向量分别为 ， ，则两平面所成的二面角为（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】∵两平面的法向量分别为
则两平面所成的二面角与 相等或互补
故 .
故两平面所成的二面角为45°或135°
故答案为：C．
【分析】根据已知中两个平面法向量的夹角，代入向量夹角公式，可以求出两个向量的夹角，进而根据两平面所成的二面角与 相等或互补，得到答案．
4．（2020高一下·大庆期末）在四面体 中，已知棱 的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角 的平面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】由已知可得AD⊥DC，
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，
则BE⊥CD，
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，
∵EF= （三角形ACD的中位线），BE= （正三角形BCD的高），BF= （等腰RT三角形ABC，F是斜边中点），
∴cos∠BEF= ，
故答案为：C．
【分析】由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，
则BE⊥CD，在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，再利用中位线的性质、正三角形的结构特征和等腰直角三角形的性质，结合余弦定理，从而求出二面角 的平面角的余弦值。
5．（2019高二上·汇川期中）正方体ABCD—A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（ ）
A．0° B．45° C．60 ° D．90°
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方体 的棱长为 ，
由图可知 ， ， ， ，
所以 ，
所以
所以异面直线 与 所成的角为 。
故答案为：D。
【分析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，利用向量 ， 的数量积为0，即可求解.
6．（2020高一下·沭阳期中）如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以
，因此 是二面角的平面角，
∠B′AC＝60°．所以 是等边三角形，因此 ，在 中
.
故答案为：C
【分析】根据折的过程中不变的角的大小、结合二面角的定义进行判断即可.
7．（2020高二下·杭州期末）如图，直三棱柱 的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱 上靠近 点的三分点，M是棱 上的动点，则二面角 的正切值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】取 的中点O，连接 ，根据等边三角形的性质可知 ，
根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ，设 .
则 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 .
平面 的一个法向量是 ，
所以 ，
所以 ，
所以二面角 的正切值为：
.
因为 ，所以 ，
结合二次函数的性质可知：
当 时， 有最小值为 ；
当 时， 有最大值为 ，
所以 ，
所以二面角 的正切值不可能是 .
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角 的余弦值，进而求得二面角 的正切值，得到正切值的最小值，由此判断出正确选项.
8．（2019高二上·余姚期中）如图，三棱柱 满足棱长都相等且 平面 ，D是棱 的中点，E是棱 上的动点．设 ，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（ ）
A．先增大再减小 B．减小
C．增大 D．先减小再增大
【答案】D
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】以 中点 为坐标原点， 分别为 轴，并垂直向上作 轴建立空间直角坐标系.
设所有棱长均为2，则 ， ， ，设平面BDE法向量 则 ，令 有 ，
故 .又平面ABC的法向量 ，故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角 的余弦值
，又 ，故 在 上单增， 上单减，即随着x增大先变大后变小，所一以 随着x增大先变小后变大.
故答案为：D.
【分析】可直接建立空间直角坐标系求解平面BDE与底面ABC所成锐二面角的余弦值 关于 的函数，再分析函数的单调性即可.
9．（2019高二上·长春月考）如图，正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz．
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，0，0），P（0， ， ），
则 （2a，0，0）， （﹣a， ， ）， （a，a，0），
设平面PAC的一个法向量为 ，
则 ， ，
∴ ，可取 （0，1，1），
∴ ，
∴ ， ＞＝60°，
∴直线BC与平面PAC的夹角为90°﹣60°＝30°．
故答案为：A．
【分析】利用空间向量的方法结合正四棱锥的结构特征，再利用数量积求两向量夹角的方法结合直角三角形互余的性质，用已知条件求出直线BC与平面PAC的夹角。
10．（2019·浙江模拟）已知正四面体 中， 为 的中点，则过点 与侧面 和底面 所在平面都成 的平面共有（ ）（注：若二面角 的大小为 ，则平面 与平面 所成的角也为 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图所示：
在正四面体A BCD中，取BC的中点E，连结AE，DE，则∠AED就是二面角A BC D的平面角，在等腰三角形AED中，可求得cos∠AED=，
∴二面角A BC D的余弦为，二面角A BC D∈，
设过点P垂直于平面ABC的直线为m，过点P垂直于平面BCD的直线为n，则m与n所成角∈，
∴过点P可作4条直线同时与直线m，n成，即符合题意的平面有4个。
故答案为：D
【分析】结合题意运用中位线定理的性质，即可找到二面角的平面角，再由线面垂直的的性质定理结合角的取值范围，即可得出结论。
11．（2018·浙江学考）如图，设矩形 ABCD 所在的平面与梯形 ACEF 所在平面交于 AC ，若 ，则下面二面角的平面角大小为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】在等腰梯形ACEF中，过F作FG⊥ AC于G ，作EH⊥AC于H ，连接BG ， DH，如图：
在梯形ACEF中，由AF=CE=EF ，可得AG=.
由三角形ABC为直角三角形，且AB=1 ， BC= ，可得∠BAC=60°
则BG=
∴∠AGB=90°，即BG⊥AC ，则AC⊥平面GFB ，
∴∠BFG为二面角B- EF-A的平面角，
同理可得∠DEH为二面角D-EF-C的平面角，
∵：AC⊥平面BGF ， AC⊥平面DHE ，则二面角B- EF-D的平面角为∠BFG+∠DEH .
∵△BGF与△DHE均为等腰三角形，
∴∠BFG=，∠DEH=
∵FG∥EH，GB∥HD，
∴∠BGF+∠DHE=180°
∴∠BFG+∠DEH=
∴二面角B-EF-D必为定值.
【分析】由所给数据，点B，D，E，F在以AC为轴的圆柱的侧面上，EF为母线，则不论EF在什么位置时，二面角B-EF-D必为定值.
12．（2020高二下·宁波期中）在三棱锥 中， ， ， P在平面 的射影O为 的中点，D是 上的动点，M，N是 的两个三等分点， （ ），记二面角 ， 的平面角分别为 ， .若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】由题得平面 平面 ，
过点 分别作 ，垂足分别为 ，
则 平面 ， 平面 ，
过点 作 垂足分别为 ，连接 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以 为二面角 的平面角，即 ，
同理 为二面角 的平面角，即
设 ， .
所以 ，
.
因为 ，所以
因为 .
在 中， .
当 时，取 中点 ，连接 ，
所以
所以
所以 的最大值为 .
故答案为：B
【分析】如图所示，过点 分别作 ，垂足分别为 ，过点 作 垂足分别为 ，连接 ，设 ， .先证明 ，再证明 即得解.
二、填空题
13．（2020高一下·通州期末）棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是 ．
【答案】
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图，三棱锥 的棱长都相等，取 中点E，连结 、 ，
三棱锥 各棱长均相等，即 、 均为等边三角形，
， ，
是二面角 的平面角，
设棱长 ，则 ，
．
即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是 ．
故答案为： ．
【分析】取 中点E，连结 、 ，可得 是二面角的平面角，再由余弦定理求解．
14．（2020高二下·上海期末）将边长为1的正方形 沿对角线 折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角 的大小为 .
【答案】
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】设翻折前 与 相交于点O，则 ， ，而翻折之后的图形如图所示，
为二面角 的平面角．
， ，
为等腰直角三角形，且 ，
二面角 的大小为 ．
故答案为： ．
【分析】设翻折前 与 相交于点O，则 ， ，作出翻折后的图形，由二面角的定义可知 即为所求，易证 为等腰直角三角形，故 ，从而得解．
15．（2019高三上·杨浦期中）如图，在正方体 中，直线 与平面 所成的角等于 ．
【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】正方体 中，连接 交 于点M，连接 ，
由题可得： ， ，
所以直线 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角等于 ，
设正方体 的边长为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以
【分析】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可。
16．（2019·浙江模拟）四棱锥 中， 平面ABCD， ， ，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角 的平面角大小为 ，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为 的两部分，则 = ．
【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：
设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．
由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），
∴ =（﹣2，0，1）， =（﹣2，b，0）. =（2，0，0）．
设平面APD的法向量为 =（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为 =（x2，y2，z2）
则
即 ，
令y1=0得 =（0，1，0），令z2=2得 =（1， ，2）．
∴ ．
∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为 ，
∴cos＜ ＞= 即 解得b= ．
∴S△ADQ= ．
S梯形ABCD﹣S△ADQ= ．
∵S1＜S2，∴S1= ，S2= ．∴S1：S2=（3 ﹣4）：4．
故答案为（3 ﹣4）：4．
【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用坐标运算可得所求.
三、解答题
17．（2020·江苏）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
【答案】（1）解：连
以 为 轴建立空间直角坐标系，则
从而直线 与 所成角的余弦值为
（2）解：设平面 一个法向量为
令
设平面 一个法向量为
令
因此
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
18．（2020·南通模拟）如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ， .D是线段 的中点.
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）求二面角 的大小的余弦值.
【答案】（1）解：因为 ，设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，
所以平面 的法向量 ，而 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（2）解： ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，平面 的法向量 ，
所以 ，
二面角 的大小的余弦值 ．
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求面 的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值，也是线面角的正弦值（2）利用空间向量研究二面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求两个平面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角 的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.试题解析：因为在直三棱柱 中， ，所以分别以 、 、 所在的直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，则 ，因为 是 的中点，所以 .
19．（2020·吴中模拟）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，且 .
（1）求棱 与 所成的角的大小；
（2）在棱 上确定一点 ，使二面角 的平面角的余弦值为 .
【答案】（1）解：如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
.
，
故 与棱 所成的角是
（2）解： 为棱 中点，
设 ，则 .
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，
故
而平面 的法向量是 ，则 ，
解得 ，即 为棱 中点，其坐标为
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为 ，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．
20．（2020·南通模拟）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， .
（1）设 ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求 的值；
（2）若点D是 的中点，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）解：由 ， ， ，得 .
以 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ， ， ，设 ，则由 ，
得 ，而 ，根据 ，
解得， 或 ；
（2）解： ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得面 的一个法向量为 ，
而平面 的一个法向量为 ，并且 与二面角 相等，
所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以 、 、 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 的值.（2）求出平面 的法向量和面 的一个法向量，利用向量法能求出二面角 的余弦值.
21．（2020·吴江模拟）如图， 在三棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ，E为 的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）解：因为 平面 ， ，所以可以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
因为点 为线段 的中点，
所以 .
， ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（2）解：设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ， ，即 且 ，取 ，得 ， ，
所以 是平面 的一个法向量．
设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
即 且 ，取 ，得 ， ，
所以 是平面 的一个法向量．
所以 ．
由图可知二面角为钝角，所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . ， ，利用向量夹角公式即可得到结果；（2）求出平面 与平面 的法向量，代入公式即可得到结果
22．（2020高一下·苏州期末）如图所示，等边三角形 的边长为3，点 ， 分别是边 ， 上的点，满足 ， ．将 沿 折起到 的位置，使二面 为二面角，连接 ， ．
（1）求二面角 的余弦值；
（2）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为60°？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为 ，所以 ， ，
所以 是二面角 的平面角，
因为二面角 为直二面角，
所以 ，即 ．
如图，以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ，
因为 是边长为3的等边三角形，且 ， ，
所以 ， ， ，所以 ，
则各点的坐标为 ， ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
即 ， ，令 ，则 ， ，
所以 是平面 的一个法向量，
因为平面 的法向量 ，
所以 ，
由图形可知，二面角 的余弦值为 ．
（2）解：设 ，则点 坐标为 ，
所以 ．
因为直线 与平面 所成的角为60°，
所以 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 无解，
所以线段 上不存在 ，使直线 与平面 所成的角为60°．
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由二面角的定义得 ，建立如图所示的空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面 的法向量 ，推出平面 的法向量为 ，然后根据空间向量数量积的坐标运算可得解；（2）设 ，则点 坐标为 ，从而得 ，由 ，建立关于 的方程，结合 可得结果.
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