【精品解析】人教新课标A版· 必修一 1.3.2奇偶性

人教新课标A版· 必修一 1.3.2奇偶性
一、单选题
1．（2019高一上·昆明月考）下列函数是奇函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2019高一上·沈阳月考）若函数 是奇函数，则 =（　　）
A．2 B． C．3 D．4
3．（2020高二下·南宁期末）已知函数 （其中p，q为常数）满足 ，则 的值为（　　）
A．10 B．-10 C．-26 D．-18
4．（2019高一上·菏泽月考）已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 （　　）
A．-2 B．0 C．1 D．2
5．（2020高一下·南宁期中）定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．（2019高一上·张家港月考）定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则 的值为（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．（2019高三上·安徽月考）已知函数 是奇函数，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2020高三上·泸县期末）已知定义在 上的奇函数 ，满足 时， ，则 的值为（　　）
A．-15 B．-7 C．3 D．15
9．（2020·天津）函数 的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·新高考Ⅰ）若定义在R的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020·江西模拟）若函数 为奇函数，则 　 　.
12．（2020·江西模拟）已知函数 是定义域为R的偶函数，且 在 上单调递增，则不等式 的解集为　 　．
13．（2020高一下·易县期中）已知函数 在R上是奇函数，且当 时， ，则 时， 的解析式为　 　.
14．（2020高一下·海淀期中）设函数 是定义在 上的偶函数，记 ，且函数 在区间 上是增函数，则不等式 的解集为　 　
三、解答题
15．（2018高一上·滁州期中）已知函数 是定义在R上的偶函数，当 时， ．
（1）求 ；
（2）求 的解析式；
16．（2020高二下·大庆期末）已知 是定义在[-1，1]上的奇函数且 ，若a b∈[-1，1]，a+b≠0，有 成立.
（1）判断函数 在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.
（2）解不等式 .
（3）若对所有 ， 恒成立，求实数m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】A中,y=x是奇函数,B中,y=2x2-3是偶函数,C中,y= 是非奇非偶函数,D中, y=x2，x∈[0,1]是非奇非偶函数.
故答案为：A
【分析】利用函数奇偶性的定义分别判断各选项，即可得结果.
2．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数 是奇函数
所以 即
得
故答案为：
【分析】由函数 是奇函数，则 构造方程，解得 的值.
3．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】令 ，则 为奇函数.
，即 ， ，
.
故答案为：C
【分析】令 ，则 为奇函数.由 ，可求 .
4．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】因为 是奇函数，所以 ，故答案为：A.
【分析】利用奇函数的定义结合转化的方法，从而借助当 时的函数解析式 ， 从而求出函数值。
5．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：根据题意，函数 满足 ，则有 ，
又由 为定义在 上的奇函数，
则 ，
故答案为：C．
【分析】由 可得 ，结合函数的奇偶性可得 ，再由函数的解析式分析可得答案．
6．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】
定义在 上的偶函数 则
可得 的周期为 .
故答案为：C.
【分析】利用偶函数 满足 求出函数的周期,然后化简 ,通过函数的奇偶性求解即可.
7．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】 为奇函数
故选：
【分析】由奇函数定义可得 ，代入 可求得结果.
8．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为奇函数的定义域关于原点中心对称
则 ,解得
因为奇函数 当 时,
则
故答案为：A
【分析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得 的值.根据奇函数性质,即可求得 的值.
9．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当 时， ，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
10．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故答案为：D.
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
11．【答案】-2
【知识点】奇函数
【解析】【解答】由题意, 的定义域为 , ,
是奇函数,则 ,即对任意的 , 都成立,
故 ,整理得 ,解得 .
故答案为: .
【分析】由 是定义在 上的奇函数,可知对任意的 , 都成立,代入函数式可求得 的值.
12．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】 函数 是定义域为R的偶函数，
可转化为 ，
又 在 上单调递增，
，两边平方解得： ，
故 的解集为 ．
【分析】利用偶函数关于 轴对称，又由 在 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集．
13．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数 在R上是奇函数,
所以 ,
因为 时， ,
所以 时, , ,所以
所以 时， 的解析式为 .
故答案为:
【分析】当 时, ,利用已知可求得 ,再根据奇函数的性质,可求得 .
14．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】根据题意 ，且 是定义在 上的偶函数，
则 ，则函数 为偶函数，
，
又由 为增函数且在区间 上是增函数，则 ，
解可得： 或 ，
即 的取值范围为 ，
故答案为 ；
【分析】根据题意，分析可得 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为 ，结合函数的奇偶性与单调性分析可得 ，解可得 的取值范围．
15．【答案】（1）解：根据题意，当 时， ．则 ， ， 又由函数为偶函数，则 ，则
（2）解：设 ，即 ，则 ， 又由函数为偶函数，则 ，则 求关于x的不等式 的解集． 解：根据题意，当 时， ，则 ， ， 且 在 上为减函数，则 ， 解可得： 或 ，即不等式 的解集为
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）本题主要考查函数奇偶性的性质，由函数为偶函数，可得，再由，即可得出结果；
（2）本题主要考查函数解析式的求法，由函数是偶函数，根据时，函数的解析式来求出时的解析式。
16．【答案】（1）解：任取 ，且 ，则 ，
又∵ 为奇函数，
∴ ，
由已知得 ， ，
∴ ，即 .
∴ 在 上单调递增
（2）解：∵ 在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
∴不等式的解集为
（3）解：因为 在[﹣1，1]上是增函数，
所以 ，即1是 的最大值．
若 对所有 恒成立，
则有 ，对 恒成立，
即 恒成立．
令 ，它的图象是一条线段，
那么 ，
解得：
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）要证明 在 上的单调性，应考虑定义，设出 上的两个变量，作差 并根据 对其变形，判断出它的符号，即得其单调性；（2）在（1）证明其单调性的基础上，结合其定义域和奇偶性，把不等式 转化为关于 的不等式组求解；（3）若对所有 ， 恒成立，则 ，对 恒成立，进而构造函数 ，可得： ，解得实数 的取值范围．
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一、单选题
1．（2019高一上·昆明月考）下列函数是奇函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】A中,y=x是奇函数,B中,y=2x2-3是偶函数,C中,y= 是非奇非偶函数,D中, y=x2，x∈[0,1]是非奇非偶函数.
故答案为：A
【分析】利用函数奇偶性的定义分别判断各选项，即可得结果.
2．（2019高一上·沈阳月考）若函数 是奇函数，则 =（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数 是奇函数
所以 即
得
故答案为：
【分析】由函数 是奇函数，则 构造方程，解得 的值.
3．（2020高二下·南宁期末）已知函数 （其中p，q为常数）满足 ，则 的值为（　　）
A．10 B．-10 C．-26 D．-18
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】令 ，则 为奇函数.
，即 ， ，
.
故答案为：C
【分析】令 ，则 为奇函数.由 ，可求 .
4．（2019高一上·菏泽月考）已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 （　　）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】因为 是奇函数，所以 ，故答案为：A.
【分析】利用奇函数的定义结合转化的方法，从而借助当 时的函数解析式 ， 从而求出函数值。
5．（2020高一下·南宁期中）定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：根据题意，函数 满足 ，则有 ，
又由 为定义在 上的奇函数，
则 ，
故答案为：C．
【分析】由 可得 ，结合函数的奇偶性可得 ，再由函数的解析式分析可得答案．
6．（2019高一上·张家港月考）定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则 的值为（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】
定义在 上的偶函数 则
可得 的周期为 .
故答案为：C.
【分析】利用偶函数 满足 求出函数的周期,然后化简 ,通过函数的奇偶性求解即可.
7．（2019高三上·安徽月考）已知函数 是奇函数，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】 为奇函数
故选：
【分析】由奇函数定义可得 ，代入 可求得结果.
8．（2020高三上·泸县期末）已知定义在 上的奇函数 ，满足 时， ，则 的值为（　　）
A．-15 B．-7 C．3 D．15
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为奇函数的定义域关于原点中心对称
则 ,解得
因为奇函数 当 时,
则
故答案为：A
【分析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得 的值.根据奇函数性质,即可求得 的值.
9．（2020·天津）函数 的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当 时， ，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
10．（2020·新高考Ⅰ）若定义在R的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故答案为：D.
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
二、填空题
11．（2020·江西模拟）若函数 为奇函数，则 　 　.
【答案】-2
【知识点】奇函数
【解析】【解答】由题意, 的定义域为 , ,
是奇函数,则 ,即对任意的 , 都成立,
故 ,整理得 ,解得 .
故答案为: .
【分析】由 是定义在 上的奇函数,可知对任意的 , 都成立,代入函数式可求得 的值.
12．（2020·江西模拟）已知函数 是定义域为R的偶函数，且 在 上单调递增，则不等式 的解集为　 　．
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】 函数 是定义域为R的偶函数，
可转化为 ，
又 在 上单调递增，
，两边平方解得： ，
故 的解集为 ．
【分析】利用偶函数关于 轴对称，又由 在 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集．
13．（2020高一下·易县期中）已知函数 在R上是奇函数，且当 时， ，则 时， 的解析式为　 　.
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数 在R上是奇函数,
所以 ,
因为 时， ,
所以 时, , ,所以
所以 时， 的解析式为 .
故答案为:
【分析】当 时, ,利用已知可求得 ,再根据奇函数的性质,可求得 .
14．（2020高一下·海淀期中）设函数 是定义在 上的偶函数，记 ，且函数 在区间 上是增函数，则不等式 的解集为　 　
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】根据题意 ，且 是定义在 上的偶函数，
则 ，则函数 为偶函数，
，
又由 为增函数且在区间 上是增函数，则 ，
解可得： 或 ，
即 的取值范围为 ，
故答案为 ；
【分析】根据题意，分析可得 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为 ，结合函数的奇偶性与单调性分析可得 ，解可得 的取值范围．
三、解答题
15．（2018高一上·滁州期中）已知函数 是定义在R上的偶函数，当 时， ．
（1）求 ；
（2）求 的解析式；
【答案】（1）解：根据题意，当 时， ．则 ， ， 又由函数为偶函数，则 ，则
（2）解：设 ，即 ，则 ， 又由函数为偶函数，则 ，则 求关于x的不等式 的解集． 解：根据题意，当 时， ，则 ， ， 且 在 上为减函数，则 ， 解可得： 或 ，即不等式 的解集为
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）本题主要考查函数奇偶性的性质，由函数为偶函数，可得，再由，即可得出结果；
（2）本题主要考查函数解析式的求法，由函数是偶函数，根据时，函数的解析式来求出时的解析式。
16．（2020高二下·大庆期末）已知 是定义在[-1，1]上的奇函数且 ，若a b∈[-1，1]，a+b≠0，有 成立.
（1）判断函数 在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.
（2）解不等式 .
（3）若对所有 ， 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：任取 ，且 ，则 ，
又∵ 为奇函数，
∴ ，
由已知得 ， ，
∴ ，即 .
∴ 在 上单调递增
（2）解：∵ 在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
∴不等式的解集为
（3）解：因为 在[﹣1，1]上是增函数，
所以 ，即1是 的最大值．
若 对所有 恒成立，
则有 ，对 恒成立，
即 恒成立．
令 ，它的图象是一条线段，
那么 ，
解得：
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）要证明 在 上的单调性，应考虑定义，设出 上的两个变量，作差 并根据 对其变形，判断出它的符号，即得其单调性；（2）在（1）证明其单调性的基础上，结合其定义域和奇偶性，把不等式 转化为关于 的不等式组求解；（3）若对所有 ， 恒成立，则 ，对 恒成立，进而构造函数 ，可得： ，解得实数 的取值范围．
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