浙江省杭州市2021-2022学年高二下学期数学开学测试试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）
1．（2022高二下·杭州开学考）直线x－2y＋1＝0的一个方向向量是（ ）
A．(1，－2) B．(1，2) C．(2，－1) D．(2，1)
2．（2022高二下·杭州开学考）双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·杭州开学考）在等比数列{an}(an∈R)中，若a3a5a7a9a11＝243，则 的值为（ ）
A．9 B．1 C．2 D．3
4．（2022高二下·杭州开学考）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022高二下·杭州开学考）已知向量n＝(2，0，1)为平面a的法向量，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，2)到平面α的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·杭州开学考）已知AB是椭圆 一条弦，且弦AB与直线l：x＋2y－3＝0垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·杭州开学考）通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022高二下·杭州开学考）如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点（含边界），M是棱CC1的中点．若 ，则点P在侧面ADD1A1上运动路径的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
9．（2022高二下·杭州开学考）已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l的倾斜角一定大于30°
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
10．（2022高二下·杭州开学考）已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则有（ ）
A．公共弦AB所在的直线方程为x－y＝0
B．公共弦AB的长为
C．圆O2上到直线AB距离等于1的点有且只有2个
D．P为圆O上的一个动点，则P到直线AB距离的最大值为
11．（2022高二下·杭州开学考）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．a4＝2 B．{an}是周期数列
C．a2022＝2 D．S18＝21
12．（2022高二下·杭州开学考）知圆O的半径为1，点A是圆O所在平面上的任意一点，点B是圆O上的任意一点，线段AB的垂直平分线交半径OB所在的直线于点P．当点B在圆上运动时，则下列说法中正确的是（ ）
A．当点A与点O重合时，动点P的轨迹是一个圆
B．当点A在圆内且不同于点O时，动点P的轨迹是椭圆，且该椭圆的离心率e随着 的增大而增大
C．当点A在圆上且不同于点B时，动点P的轨迹不存在
D．当点A在圆外时，动点P的轨迹是双曲线，且该双曲线的离心率e随着 的增大而增大
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2022高二下·杭州开学考）已知双曲线 (a＞0，b＜0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 ．
14．（2020·新高考Ⅰ）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 = ．
15．（2022高二下·杭州开学考）在数列{an}中，Sn为它前n项和，已知a2＝1，a3＝6，且数列{an+n}是等比数列，则Sn＝ ．
16．（2022高二下·杭州开学考）如图，在四棱台 中， ， ，则 (x， y∈R)的最小值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（2022高二下·杭州开学考）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设 ， ， ．
（Ⅰ）用 ， ， 表示向量 ；
（Ⅱ）若 ，且满足 ▲ （从下列三个条件中任选一个，
填上序号：
① ；② ， ；
③ ， ）则可求出 的值；并求出 的大小．
18．（2022高二下·杭州开学考）设点O为坐标原点，曲线 上有两点P，Q满足关于直线 对称，又满足 ．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求直线PQ的方程．
19．（2022高二下·杭州开学考）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2a1Sn＝an2＋an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（2022高二下·杭州开学考）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点．
21．（2022高二下·杭州开学考）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝ ，四边形ACFE是矩形，且AE＝2， ．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值．
22．（2022高二下·杭州开学考）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点 ，且长轴长与短轴长的比是 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△PAB面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】解：在直线x－2y＋1＝0上取点A(-1，) 、 B(1，1)，
故直线 x－2y＋1＝0的一个方向向量为 .
故选：D.
【分析】根据直线的方向向量的定义，在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量.
2．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得，则离心率为.
故答案为：B
【分析】根据双曲线的几何性质直接求解即可.
3．【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵{an} 是 等比数列
∴a3a5a7a9a11＝=243
∴a7=3
∴
故答案为：D
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意，若α⊥β，b β，b⊥l且α∩β=l，根据面面垂直的性质定理，可得b⊥α，
又由a α，所以a⊥b ，即充分性成立；
反之：若a α且a//l，因为b⊥l，所以此时a⊥b，但平面α与平面β不一定垂直，
所以必要性不成立，
所以“α⊥β”是“a⊥b的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为A(-1，2，1) ， P(1，2，2)
所以 ，
因为平面 α 的法向量，
所以点 P(1，2，2) 到平面 α 的距离 .
故选：B
【分析】利用点到面的距离的向量求法直接求解即可.
6．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：依题意，弦AB不过点O，而弦AB与直线l：x＋2y－3＝0垂直，
则设直线AB：y=2x+m(m≠0) ，
由 消去y得：40x2+36mx+9m2-36=0 ，
Δ=362m2-36×40(m2-4)=-144(m2-40)>0 ，即 ，且 m≠0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则 ，于是得弦AB中点 ，
所以直线OP的斜率是 .
故选：D
【分析】根据两直线垂直的充要条件，结合直线与椭圆的位置关系，利用中点坐标公式与直线的斜率公式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】二次函数的性质；数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】解：因为 a1＜a2＜a3＜a4＜a5 ，则a+1<4a+2<9a+3<16+4<25a+5 ，
故 ，
而 an＞an＋1对n≥8恒成立 ，故a<0且 ，
即 ，
故
故选：A.
【分析】根据题设条件判断出a<0，再结合二次函数的对称轴可得实数a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图1所示：N为DD1中点，连接MN ，NP ，易知MN⊥NP ，|MN|=1 ， ，
故|NP|=1，故P的轨迹为以N为圆心，半径为1的一段圆弧，如图2所示：
|EN|=2|D1N|=1，故 ，同理 ，故 ，
运动路径长度为 .
故选：C.
【分析】根据圆的定义，结合弧长公式求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】两条直线平行的判定；用斜率判定两直线平行；两条直线垂直的判定；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：A：当a=-1时，直线l的方程为x-y+1=0 ，可化为：y=x+1 ，所以该直线的斜率为1，
直线x+y=0的斜率为-1，因为(-1)×1=-1，所以这两条直线互相垂直，故A正确；
B：由直线l与直线x-y=0平行，可得 (a2＋a＋1) ×(-1)=(-1)×1，解得a=0或a=-1，故B错误；
C：直线l方程可化为：y= (a2＋a＋1)x-1 ，设直线l的倾斜角为θ，
所以tanθ=a2＋a＋1 ，故C正确；
D：当a=0时，直线l的方程为x-y+1=0，当x=0时，y=1 ；当y=0时，x=-1，
因为1≠-1，所以直线l在两坐标轴上的截距不相等，故D错误.
故选：AC
【分析】根据两直线平行、垂直的性质，结合倾斜角的定义、截距的定义逐一判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆O1： x2＋y2－2x＝0 的圆心为O1(1，0) ，半径为r1=1；
圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为为O2(-1，2) ，半径为；
对于A ：两圆相交且交于A，B两点，故AB所在直线方程为：(x2＋y2－2x)-(x2＋y2＋2x－4y)=0 ，
整理得：x-y=0 ，故A正确；
对于B：圆心O1(1，0)到直线AB：x-y=0的距离，故 ，故B错误；
对于C ：因为O2(-1，2) 到直线AB：x-y=0的距离 ，而 ，
则圆O2上到直线AB距离等于1的点有且只有2个，故C正确；
对于D ：因为圆心O1(1，0)到直线AB：x-y=0的距离，
故圆O1上的动点P到直线AB：x-y=0的最大值为 ，故D正确.
故选： ACD .
【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求解方法，弦长的计算公式，以及圆上一点到直线距离的最值，结合圆的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
11．【答案】B,C,D
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意，数列{an}满足 a1＝1， ，
当n=1时，a2=2a1=2；当n=2时，；当n=3时，a4=2a3=1；
当n=4时，；当n=5时，a6=2a5=2；当n=6时，；
归纳可得数列{an}构成以为周期的周期数列，所以A不正确，B正确；
又由a2022=a505×4+2=a2=2，所以C正确；
因为a1+a2+a3+a4，所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
【分析】根据题意，分别求得a1，a2，a3，a4，a5，得到数列{an}构成以为周期的周期数列，逐项判定，即可求解.
12．【答案】A,B,D
【知识点】点与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，当A与O重合时，可得，根据圆的定义可得点M的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以A正确；
对于B，当点A为圆O内一定点时，点P为圆O上一动点，
线段AP的垂直平分线交半径OP于点M，
可得|MA|=|MP|，则|MA|+|MO|=|MP|+|MO|=|OP|=1 ，
即动点M到两定点O，A的距离之和为定值，
当O与A不重合时，根据椭圆的定义，可得点M的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，
其中2a=1，2c=|OA|，即，则离心率 ，
所以该椭圆的离心率e随着|OA|的增大而增大，所以B正确；
对于C，当点A为圆上一点时，此时点M的轨迹为圆心O，所以C不正确；
对于D，当点A为圆O外一定点时，点P为圆O上一动点，
线段AP的垂直平分线交半径OP于点M，
可得|MA|=|MP|，则|MA|-|MO|=|MP|-|MO|=|OP|=1，
即动点M到两定点O，A的距离之差为定值，
根据双曲线的定义知，点M的轨迹是以O，A为焦点， OA为实轴长的双曲线，
其中2a=1，2c=|OA|，即，则离心率 ，
所以该双曲线的离心率e随着|OA|的增大而增大，所以D正确.
故选：ABD.
【分析】根据题意，分点O与A重合、点A为圆O内一定点时且O与A不重合，点A为圆O上和点A为圆O外一定点，四种情况讨论，结合圆、椭圆、双曲线的定义和离心率的定义，逐项判定，即可求解.
13．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线 (a＞0，b＜0) 的离心率为2，
则 ，解得，
故双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
【分析】根据双曲线的几何性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ，
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
15．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：令bn=an+n，由题意得b2=a2+2=3，b3=a3+3=9
又数列{bn}是等比数列
设其公比为q，
则
则bn=3n-1=an+n
则an=-n+3n-1
则Sn=-(1+2+3+……+n)+(1+3+32+……+3n)
=
故答案为：
【分析】根据题意，利用等比数列的基本量求得an，利用分组求和法即可求得结果.
16．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：
如图，设 ，则E∈平面ABCD ，
故 ，
故 的最小值即为四棱台的高.
如下图，
过A'作A'G⊥AD，垂足为G，过 A'作A'H⊥AB，垂足为H，
过A'作A'O⊥ 平面ABCD ，垂足为O，连接OG，OH ，
则 ，
因为 ， A'O=A'O，故 ，
故OG=OH，而AO=AO，故 ，所以 ，
因为AH 平面ABCD，故A'O⊥AH ，而A'O∩A'H=A' ，
故AB⊥平面A'HO ，因HO 平面A'HO，故AB⊥HO，
故 ，故 即的最小值为 ，
故答案为： .
【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值.
17．【答案】解：(1)连接ON，因为N是棱BC的中点，所以，
因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，
所以；
(2)选①，
因为 ，
所以
所以 ；
选②， ， ；
因为 ，
所以
所以 ；
选③， ， ，
因为 ，
所以
所以 ；
【知识点】向量加减混合运算；平面向量的线性运算；平面向量数量积的性质
【解析】【分析】（1）连接ON，由可得答案；
（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选③，对两边平代入已知再开方可得答案.
18．【答案】解：（Ⅰ）曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圆心为(－1，3)，半径为3的圆.
因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
所以圆心(－1，3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1
（Ⅱ）因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)
则直线PQ的方程为y＝－x＋b. 将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，
Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得 .
x1＋x2＝b－4， ，
y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝ ，
因为 ＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
即 ，得b＝1.
故所求的直线方程为y＝－x＋1.
【知识点】平面向量的数量积运算；用斜率判定两直线垂直；与直线关于点、直线对称的直线方程；圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】(1)曲线上 上有两点P，Q满足关于直线 对称， 因为曲线是圆，可得直线过圆心，可求的值；
(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2) ， 直线PQ的方程为y＝－x＋b ，直线方程与圆的方程联立，结合韦达定理，以及 ＝0，可得关于b的方程，解方程，可求直线的方程.
19．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，当n＝1时，2a12＝a12＋a1，又an＞0，∴a1＝1，
当n≥2时，由2Sn＝an2＋an得2Sn－1＝an－12＋an－1
两式相减得2an＝an2－an－12＋an－an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
又an＞0，∴an－an－1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
则 ，
两式相减得 ，
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由an与sn的关系，结合等差数列的定义得出数列{an}的通项公式；
（2）利用错位相减法得出数列{bn}的前n项和Tn．
20．【答案】解：（Ⅰ）由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得
所以抛物线C的方程为y2＝x，其焦点坐标为 ，准线方程为 ；
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为 ，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由 ，得 ．
则 ， ．
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，y1)．
直线ON的方程为 ，点B的坐标为 ．
因为
所以 ．
故A为线段BM的中点．
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为 ，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为 ，联立求得点B的坐标为 ，再证明 ．
21．【答案】证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB∥CD，
AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝120°，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，
∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，
∴AC⊥BC
又∵矩形ACFE中，CF＝AE＝2，
又有BF＝ ，CB＝2，
∴CB⊥CF
又∵AC∩CF＝C
∴BC⊥平面ACFE
（Ⅱ）以C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系：
， ， ， ，
所以 ， ，
设平面BEF的法向量为 ，
所以 即
令y＝1，则x＝0，z＝1，∴n＝(0，1，1)
故直线BD与平面BEF所成角的正弦值是 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）在梯形ABCD中，通过计算得出 AC⊥BC ，由勾股定理逆定理得CB⊥CF ，从而证得线面垂直；
（2）以C为坐标原点，以CA所在直线为轴，以CB所在直线， 以CF所在直线为z轴， 为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
22．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
由题意 ，解得a2＝4，b2＝2．
所以，椭圆C的方程为 ．故点P(1， )
（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，
则PB的直线方程为
由 得， ．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 ， 同理可得
则 .
所以直线AB的斜率 为定值．
（Ⅲ）设AB的直线方程为 ，
由 得 .
由 ， 得
此时 .
由椭圆的方程可得点P(1， )，根据点到直线的距离公式可得
到AB的距离为 ，
则
因为m2＝4使判别式大于零，所以当且仅当m＝±2时取等号，所以△PAB面积的最大值为 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）求得a，b，c即可得椭圆方程.
（2）设PB的斜率为k，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理用k表示A、B的坐标，从而可证斜率为定值.
（3）结合（2）可设直线AB的直线方程为 ，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式可求AB，利用距离公式和面积公式可得面积的表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.
1 / 1浙江省杭州市2021-2022学年高二下学期数学开学测试试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）
1．（2022高二下·杭州开学考）直线x－2y＋1＝0的一个方向向量是（ ）
A．(1，－2) B．(1，2) C．(2，－1) D．(2，1)
【答案】D
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】解：在直线x－2y＋1＝0上取点A(-1，) 、 B(1，1)，
故直线 x－2y＋1＝0的一个方向向量为 .
故选：D.
【分析】根据直线的方向向量的定义，在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量.
2．（2022高二下·杭州开学考）双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得，则离心率为.
故答案为：B
【分析】根据双曲线的几何性质直接求解即可.
3．（2022高二下·杭州开学考）在等比数列{an}(an∈R)中，若a3a5a7a9a11＝243，则 的值为（ ）
A．9 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵{an} 是 等比数列
∴a3a5a7a9a11＝=243
∴a7=3
∴
故答案为：D
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
4．（2022高二下·杭州开学考）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意，若α⊥β，b β，b⊥l且α∩β=l，根据面面垂直的性质定理，可得b⊥α，
又由a α，所以a⊥b ，即充分性成立；
反之：若a α且a//l，因为b⊥l，所以此时a⊥b，但平面α与平面β不一定垂直，
所以必要性不成立，
所以“α⊥β”是“a⊥b的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
5．（2022高二下·杭州开学考）已知向量n＝(2，0，1)为平面a的法向量，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，2)到平面α的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为A(-1，2，1) ， P(1，2，2)
所以 ，
因为平面 α 的法向量，
所以点 P(1，2，2) 到平面 α 的距离 .
故选：B
【分析】利用点到面的距离的向量求法直接求解即可.
6．（2022高二下·杭州开学考）已知AB是椭圆 一条弦，且弦AB与直线l：x＋2y－3＝0垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：依题意，弦AB不过点O，而弦AB与直线l：x＋2y－3＝0垂直，
则设直线AB：y=2x+m(m≠0) ，
由 消去y得：40x2+36mx+9m2-36=0 ，
Δ=362m2-36×40(m2-4)=-144(m2-40)>0 ，即 ，且 m≠0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则 ，于是得弦AB中点 ，
所以直线OP的斜率是 .
故选：D
【分析】根据两直线垂直的充要条件，结合直线与椭圆的位置关系，利用中点坐标公式与直线的斜率公式求解即可.
7．（2022高二下·杭州开学考）通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的性质；数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】解：因为 a1＜a2＜a3＜a4＜a5 ，则a+1<4a+2<9a+3<16+4<25a+5 ，
故 ，
而 an＞an＋1对n≥8恒成立 ，故a<0且 ，
即 ，
故
故选：A.
【分析】根据题设条件判断出a<0，再结合二次函数的对称轴可得实数a的取值范围.
8．（2022高二下·杭州开学考）如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点（含边界），M是棱CC1的中点．若 ，则点P在侧面ADD1A1上运动路径的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图1所示：N为DD1中点，连接MN ，NP ，易知MN⊥NP ，|MN|=1 ， ，
故|NP|=1，故P的轨迹为以N为圆心，半径为1的一段圆弧，如图2所示：
|EN|=2|D1N|=1，故 ，同理 ，故 ，
运动路径长度为 .
故选：C.
【分析】根据圆的定义，结合弧长公式求解即可.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
9．（2022高二下·杭州开学考）已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l的倾斜角一定大于30°
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
【答案】A,C
【知识点】两条直线平行的判定；用斜率判定两直线平行；两条直线垂直的判定；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：A：当a=-1时，直线l的方程为x-y+1=0 ，可化为：y=x+1 ，所以该直线的斜率为1，
直线x+y=0的斜率为-1，因为(-1)×1=-1，所以这两条直线互相垂直，故A正确；
B：由直线l与直线x-y=0平行，可得 (a2＋a＋1) ×(-1)=(-1)×1，解得a=0或a=-1，故B错误；
C：直线l方程可化为：y= (a2＋a＋1)x-1 ，设直线l的倾斜角为θ，
所以tanθ=a2＋a＋1 ，故C正确；
D：当a=0时，直线l的方程为x-y+1=0，当x=0时，y=1 ；当y=0时，x=-1，
因为1≠-1，所以直线l在两坐标轴上的截距不相等，故D错误.
故选：AC
【分析】根据两直线平行、垂直的性质，结合倾斜角的定义、截距的定义逐一判断即可.
10．（2022高二下·杭州开学考）已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则有（ ）
A．公共弦AB所在的直线方程为x－y＝0
B．公共弦AB的长为
C．圆O2上到直线AB距离等于1的点有且只有2个
D．P为圆O上的一个动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆O1： x2＋y2－2x＝0 的圆心为O1(1，0) ，半径为r1=1；
圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为为O2(-1，2) ，半径为；
对于A ：两圆相交且交于A，B两点，故AB所在直线方程为：(x2＋y2－2x)-(x2＋y2＋2x－4y)=0 ，
整理得：x-y=0 ，故A正确；
对于B：圆心O1(1，0)到直线AB：x-y=0的距离，故 ，故B错误；
对于C ：因为O2(-1，2) 到直线AB：x-y=0的距离 ，而 ，
则圆O2上到直线AB距离等于1的点有且只有2个，故C正确；
对于D ：因为圆心O1(1，0)到直线AB：x-y=0的距离，
故圆O1上的动点P到直线AB：x-y=0的最大值为 ，故D正确.
故选： ACD .
【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求解方法，弦长的计算公式，以及圆上一点到直线距离的最值，结合圆的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
11．（2022高二下·杭州开学考）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．a4＝2 B．{an}是周期数列
C．a2022＝2 D．S18＝21
【答案】B,C,D
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意，数列{an}满足 a1＝1， ，
当n=1时，a2=2a1=2；当n=2时，；当n=3时，a4=2a3=1；
当n=4时，；当n=5时，a6=2a5=2；当n=6时，；
归纳可得数列{an}构成以为周期的周期数列，所以A不正确，B正确；
又由a2022=a505×4+2=a2=2，所以C正确；
因为a1+a2+a3+a4，所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
【分析】根据题意，分别求得a1，a2，a3，a4，a5，得到数列{an}构成以为周期的周期数列，逐项判定，即可求解.
12．（2022高二下·杭州开学考）知圆O的半径为1，点A是圆O所在平面上的任意一点，点B是圆O上的任意一点，线段AB的垂直平分线交半径OB所在的直线于点P．当点B在圆上运动时，则下列说法中正确的是（ ）
A．当点A与点O重合时，动点P的轨迹是一个圆
B．当点A在圆内且不同于点O时，动点P的轨迹是椭圆，且该椭圆的离心率e随着 的增大而增大
C．当点A在圆上且不同于点B时，动点P的轨迹不存在
D．当点A在圆外时，动点P的轨迹是双曲线，且该双曲线的离心率e随着 的增大而增大
【答案】A,B,D
【知识点】点与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，当A与O重合时，可得，根据圆的定义可得点M的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以A正确；
对于B，当点A为圆O内一定点时，点P为圆O上一动点，
线段AP的垂直平分线交半径OP于点M，
可得|MA|=|MP|，则|MA|+|MO|=|MP|+|MO|=|OP|=1 ，
即动点M到两定点O，A的距离之和为定值，
当O与A不重合时，根据椭圆的定义，可得点M的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，
其中2a=1，2c=|OA|，即，则离心率 ，
所以该椭圆的离心率e随着|OA|的增大而增大，所以B正确；
对于C，当点A为圆上一点时，此时点M的轨迹为圆心O，所以C不正确；
对于D，当点A为圆O外一定点时，点P为圆O上一动点，
线段AP的垂直平分线交半径OP于点M，
可得|MA|=|MP|，则|MA|-|MO|=|MP|-|MO|=|OP|=1，
即动点M到两定点O，A的距离之差为定值，
根据双曲线的定义知，点M的轨迹是以O，A为焦点， OA为实轴长的双曲线，
其中2a=1，2c=|OA|，即，则离心率 ，
所以该双曲线的离心率e随着|OA|的增大而增大，所以D正确.
故选：ABD.
【分析】根据题意，分点O与A重合、点A为圆O内一定点时且O与A不重合，点A为圆O上和点A为圆O外一定点，四种情况讨论，结合圆、椭圆、双曲线的定义和离心率的定义，逐项判定，即可求解.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2022高二下·杭州开学考）已知双曲线 (a＞0，b＜0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线 (a＞0，b＜0) 的离心率为2，
则 ，解得，
故双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
【分析】根据双曲线的几何性质求解即可.
14．（2020·新高考Ⅰ）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 = ．
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ，
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
15．（2022高二下·杭州开学考）在数列{an}中，Sn为它前n项和，已知a2＝1，a3＝6，且数列{an+n}是等比数列，则Sn＝ ．
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：令bn=an+n，由题意得b2=a2+2=3，b3=a3+3=9
又数列{bn}是等比数列
设其公比为q，
则
则bn=3n-1=an+n
则an=-n+3n-1
则Sn=-(1+2+3+……+n)+(1+3+32+……+3n)
=
故答案为：
【分析】根据题意，利用等比数列的基本量求得an，利用分组求和法即可求得结果.
16．（2022高二下·杭州开学考）如图，在四棱台 中， ， ，则 (x， y∈R)的最小值是 ．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：
如图，设 ，则E∈平面ABCD ，
故 ，
故 的最小值即为四棱台的高.
如下图，
过A'作A'G⊥AD，垂足为G，过 A'作A'H⊥AB，垂足为H，
过A'作A'O⊥ 平面ABCD ，垂足为O，连接OG，OH ，
则 ，
因为 ， A'O=A'O，故 ，
故OG=OH，而AO=AO，故 ，所以 ，
因为AH 平面ABCD，故A'O⊥AH ，而A'O∩A'H=A' ，
故AB⊥平面A'HO ，因HO 平面A'HO，故AB⊥HO，
故 ，故 即的最小值为 ，
故答案为： .
【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（2022高二下·杭州开学考）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设 ， ， ．
（Ⅰ）用 ， ， 表示向量 ；
（Ⅱ）若 ，且满足 ▲ （从下列三个条件中任选一个，
填上序号：
① ；② ， ；
③ ， ）则可求出 的值；并求出 的大小．
【答案】解：(1)连接ON，因为N是棱BC的中点，所以，
因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，
所以；
(2)选①，
因为 ，
所以
所以 ；
选②， ， ；
因为 ，
所以
所以 ；
选③， ， ，
因为 ，
所以
所以 ；
【知识点】向量加减混合运算；平面向量的线性运算；平面向量数量积的性质
【解析】【分析】（1）连接ON，由可得答案；
（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选③，对两边平代入已知再开方可得答案.
18．（2022高二下·杭州开学考）设点O为坐标原点，曲线 上有两点P，Q满足关于直线 对称，又满足 ．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求直线PQ的方程．
【答案】解：（Ⅰ）曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圆心为(－1，3)，半径为3的圆.
因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
所以圆心(－1，3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1
（Ⅱ）因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)
则直线PQ的方程为y＝－x＋b. 将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，
Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得 .
x1＋x2＝b－4， ，
y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝ ，
因为 ＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
即 ，得b＝1.
故所求的直线方程为y＝－x＋1.
【知识点】平面向量的数量积运算；用斜率判定两直线垂直；与直线关于点、直线对称的直线方程；圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】(1)曲线上 上有两点P，Q满足关于直线 对称， 因为曲线是圆，可得直线过圆心，可求的值；
(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2) ， 直线PQ的方程为y＝－x＋b ，直线方程与圆的方程联立，结合韦达定理，以及 ＝0，可得关于b的方程，解方程，可求直线的方程.
19．（2022高二下·杭州开学考）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2a1Sn＝an2＋an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】解：（Ⅰ）由题意得，当n＝1时，2a12＝a12＋a1，又an＞0，∴a1＝1，
当n≥2时，由2Sn＝an2＋an得2Sn－1＝an－12＋an－1
两式相减得2an＝an2－an－12＋an－an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
又an＞0，∴an－an－1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
则 ，
两式相减得 ，
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由an与sn的关系，结合等差数列的定义得出数列{an}的通项公式；
（2）利用错位相减法得出数列{bn}的前n项和Tn．
20．（2022高二下·杭州开学考）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点．
【答案】解：（Ⅰ）由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得
所以抛物线C的方程为y2＝x，其焦点坐标为 ，准线方程为 ；
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为 ，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由 ，得 ．
则 ， ．
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，y1)．
直线ON的方程为 ，点B的坐标为 ．
因为
所以 ．
故A为线段BM的中点．
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为 ，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为 ，联立求得点B的坐标为 ，再证明 ．
21．（2022高二下·杭州开学考）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝ ，四边形ACFE是矩形，且AE＝2， ．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值．
【答案】证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB∥CD，
AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝120°，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，
∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，
∴AC⊥BC
又∵矩形ACFE中，CF＝AE＝2，
又有BF＝ ，CB＝2，
∴CB⊥CF
又∵AC∩CF＝C
∴BC⊥平面ACFE
（Ⅱ）以C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系：
， ， ， ，
所以 ， ，
设平面BEF的法向量为 ，
所以 即
令y＝1，则x＝0，z＝1，∴n＝(0，1，1)
故直线BD与平面BEF所成角的正弦值是 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）在梯形ABCD中，通过计算得出 AC⊥BC ，由勾股定理逆定理得CB⊥CF ，从而证得线面垂直；
（2）以C为坐标原点，以CA所在直线为轴，以CB所在直线， 以CF所在直线为z轴， 为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
22．（2022高二下·杭州开学考）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点 ，且长轴长与短轴长的比是 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△PAB面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
由题意 ，解得a2＝4，b2＝2．
所以，椭圆C的方程为 ．故点P(1， )
（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，
则PB的直线方程为
由 得， ．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 ， 同理可得
则 .
所以直线AB的斜率 为定值．
（Ⅲ）设AB的直线方程为 ，
由 得 .
由 ， 得
此时 .
由椭圆的方程可得点P(1， )，根据点到直线的距离公式可得
到AB的距离为 ，
则
因为m2＝4使判别式大于零，所以当且仅当m＝±2时取等号，所以△PAB面积的最大值为 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）求得a，b，c即可得椭圆方程.
（2）设PB的斜率为k，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理用k表示A、B的坐标，从而可证斜率为定值.
（3）结合（2）可设直线AB的直线方程为 ，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式可求AB，利用距离公式和面积公式可得面积的表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.
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