人教新课标A版 必修二 第二章点、直线、平面之间的位置关系

人教新课标A版 必修二 第二章点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．（2020高一下·广东月考）下列几何图形中，可能不是平面图形的是（　　）
A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．四边形
【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示；平面的基本性质及推论
【解析】【解答】有定义易知梯形，菱形，平行四边形都是平面图形，
四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形.
故答案为：D.
【分析】由题意结合所给的选项确定可能不是平面图形的几何体即可.
2．（2020高一上·林芝期末）已知直线 平面 ，直线 ，则（　　）
A． B．
C． 异面 D． 相交而不垂直
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此 ，
故答案为：A
【分析】根据线面垂直的定义，即可得出结果.
3．（2020高一下·徐州期中）在正方体 中， 与 是（　　）
A．相交直线 B．平行直线
C．异面直线 D．相交且垂直的直线
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】由图形可知， 与 不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
故答案为：C.
【分析】根据异面直线的概念可判断出 与 是异面直线.
4．（2020·宝山模拟）已知 平面两两垂直，直线 满足： ，则直线 不可能满足以下哪种关系（　　）
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】设 ，且 与 均不重合
假设： ，由 可得： ，
又 ，可知 ，
又 ，可得：
因为 两两互相垂直，可知 与 相交，即 与 相交或异面
若 与 或 重合，同理可得 与 相交或异面
可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行
本题正确选项：
【分析】通过假设 ，可得 平行于 的交线，由此可得 与交线相交或异面，由此不可能存在 ，可得正确结果.
5．（2020·随县模拟）已知 ， 是空间内两条不同的直线， ， 是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】若 ， ，则 或 ，故A不正确，；
若 ， ， ，若 ，则 ，故B不正确，
若 ， ， 与 的关系是异面或平行，故C不正确，
若 ， ， ，又因为 ，所以 ，故D正确.
故选：D
【分析】A.若 ， ，则 或 .B.若 ， ， ，若 ，不成立，C.若 ， ， 与 的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断.
6．（2020·山西模拟）在长方体 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由题意可得 .因为 ，
所以 是异面直线 与 所成的角，记为 ，
故 .
故选： .
【分析】根据 确定 是异面直线 与 所成的角，利用余弦定理计算得到答案.
7．（2019高三上·吉林月考）如图，正方体 中， ， ， ， 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面 平行的是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】首先四个选项的直线都不在平面 内，由中点及正方体的性质知 ， ， ，∴直线 ， ， 都与平面 平行，剩下的只有 不与平面 平行．实际上过 作 的平行线，这条平行线在平面 内且与 相交（它们都在平面 内）．
故选：C．
【分析】根据线面平行的判定定理判断．
8．（2020·沈阳模拟）如图，在以下四个正方体中，使得直线 与平面 垂直的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】①因为 是正三角形，所以AB与AC的夹角为 ，又因为 ，所以AB与ED的夹角为 ，故错误；
②因为正方形对角线相互垂直，所以 ， ， 平面 ，故正确；
③由①知AB与CE的夹角为 ，故错误；
④因为 ，所以 平面 ，则 ，同理 ，又 ，所以 平面 ，故正确.
故答案为：B
【分析】①根据 是正三角形，利用异面直线所成的角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据AB与CE的夹角为 ，再由线面垂直的定义判断；④易知 平面 ，得到 ，同理 ，再利用线面垂直的判定定理判断.
9．（2020·大连模拟）三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设棱长为1， ， ，
由题意得： ， ，
，
又
即异面直线 与 所成角的余弦值为：
故答案为：
【分析】设 ， ， ，根据向量线性运算法则可表示出 和 ；分别求解出 和 ， ，根据向量夹角的求解方法求得 ，即可得所求角的余弦值.
10．（2020·新高考Ⅰ）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（　　）
A．20° B．40° C．50° D．90°
【答案】B
【知识点】平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】画出截面图如下图所示，
其中 是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知 ； 是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 ..
由于 ，所以 ，
由于 ，
所以 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为 .
故答案为：B
【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出晷针与点A处的水平面所成角.
11．（2020·赤峰模拟）如图，在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， .若 分别是棱 上的点，且 ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设 的中点为 ，建立空间直角坐标系如下图所示.
所以 ，所以 .所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线 与 所成角的余弦值.
12．（2020·海拉尔模拟）在棱长均相等的正三棱柱 中， 为 的中点， 在 上，且 ，则下述结论：① ；② ；③平面 平面 ：④异面直线 与 所成角为 其中正确命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：不妨设棱长为：2，对于①连结 ，则 ， 即 与 不垂直，又 ， ①不正确；
对于②，连结 ， ，在 中， ，而 ， 是 的中点，所以 ， ②正确；
对于③由②可知，在 中， ，连结 ，易知 ，而在 中， ， ，
即 ，又 ， 面 ， 平面 平面 ， ③正确；
以 为坐标原点，平面 上过 点垂直于 的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系；
， ， ， ， ， ；
， ；
异面直线 与 所成角为 ， ，故 ．④不正确．
故答案为： ．
【分析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F是 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线 与 所成角判断④的正误．
二、多选题
13．（2020·平邑模拟）如图，平面α∩平面β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D 直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是（　　）
A．若AB CD，则MN l
B．若M，N重合，则AC l
C．若AB与CD相交，且AC l，则BD可以与l相交
D．若AB与CD是异面直线，则MN不可能与l平行
【答案】B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：若 ，则 、 、 、 四点共面 ，当 时，
平面 、 、 两两相交有三条交线，分别为 、 、 ，则三条交线交于一点 ，
则 与平面 交于点 ， 与 不平行，故 错误；
若 ， 两点重合，则 ， 、 、 、 四点共面 ，
平面 、 、 两两相交有三条交线，分别为 、 、 ，
由 ，得 ，故 正确；
若 与 相交，确定平面 ，平面 、 、 两两相交有三条交线，分别为 、 、 ，
由 ，得 ，故 错误；
当 ， 是异面直线时，如图，连接 ，取 中点 ，连接 ， ．
则 ， ， ，则 ，假设 ，
， ， ，
又 ， 平面 ，同理可得，平面 ，则 ，与平面 平面 矛盾．
假设错误， 不可能与 平行，故 正确．
故答案为： ．
【分析】由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定A、B、C；用反证法证明D．
14．（2020·肥城模拟）在空间四边形 中， 分别是 上的点，当 平面 时，下面结论正确的是（　　）
A． 一定是各边的中点
B． 一定是 的中点
C． ，且
D．四边形 是平行四边形或梯形
【答案】C,D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：由 平面 ，所以由线面平行的性质定理，得 ， ，则 ，且 ，且 ，四边形 是平行四边形或梯形.
故答案为： .
【分析】根据线面平行的性质定理即可得解.
15．（2020高一下·宝应期中）如图所示，P为矩形 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 为 的中点，给出以下结论，其中正确的是（　　）
A． B． 平面
C． 平面 D． 平面
【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：由题意知， 是 的中位线， ，A符合题意；
平面 ， 平面 ， 平面 ，故 正确；
同理，可得 平面 ，故 正确；
与平面 和平面 都相交，故 不正确.
故答案为： .
【分析】根据线面平行的判定定理证明即可.
16．（2020·海南模拟）如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点，异面直 与 所成角的余弦值为 ，则（　　）
A． B．直线 与直线 共面
C． D．直线 与直线 异面
【答案】B,C
【知识点】异面直线及其所成的角；异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】连接EF， ， ，DF， ，根据长方体性质可得 ，
所以直线 与直线 共面.
根据长方体性质 ，所以异面直线 与 所成角为 .
设 ，则 ，
则 ， ， ，
由余弦定理，得 .
故选：BC
【分析】连接 ， ， ，DF，易得 ，在三角形 中，由余弦定理求解 ，即可得到 .
三、填空题
17．（2020高一上·黄陵期末）若直线 平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是　 　
【答案】垂直
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若直线 平面 ，则直线 垂直于平面 内的任意一条直线，
又直线 ，
所以 .
故答案为：垂直
【分析】根据直线与平面垂直的性质，直接判断，即可得出结果.
18．（2020高一下·扬州期中）下列说法中正确的有　 　个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面 和 ，若 ， ，且 ，则点A在直线 上.
【答案】2
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确；
由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确；
， ，且 ，则A在 上，满足平面的基本性质，所以④正确，
即正确的个数有2个，
故答案为：2.
【分析】对于①举出反例，正方体的一个顶点处的3条棱；根据两条平行线可以确定一个面可判断②；根据等角定理可判断③；直接根据公理可判断④.
19．（2020高一下·徐州期中）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为　 　.
【答案】60°
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则E（0，1，2），F（0，2，1），B1（2，2，2），D1（0，0，2），
（0，1，﹣1）， （﹣2，﹣2，0），
设异面直线EF与B1D1所成的角θ，
则cosθ ，
∴θ＝60°.
故答案为：60°.
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与B1D1所成的角.
20．（2020·西安模拟）如图，已知圆柱的轴截面 是正方形，C是圆柱下底面弧 的中点， 是圆柱上底面弧 的中点，那么异面直线 与 所成角的正切值为　 　.
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】取圆柱下底面弧 的另一中点 ，连接 ，
则因为C是圆柱下底面弧 的中点，
所以 ，
所以直线 与 所成角等于异面直线 与 所成角.
因为 是圆柱上底面弧 的中点，
所以 圆柱下底面，所以 .
因为圆柱的轴截面 是正方形，
所以 ，
所以直线 与 所成角的正切值为 .
所以异面直线 与 所成角的正切值为 .
故答案为: .
【分析】取圆柱下底面弧 的另一中点 ，连接 ,直线 与 所成角等于异面直线 与 所成角,利用圆柱的轴截面 是正方形, ,从而可得结论.
四、解答题
21．（2020高一下·永年期中）如图，已知四棱锥 ，底面四边形 为正方形， ，M，N分别是线段 、 的中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求异面直线MN与BC所成角的大小.
【答案】（1）证明：如图所示，连接 ，在 中， 分别是 的中点，
所以 是三角形 的中位线，所以 ，
又由 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：由（1）知 ，可得异面直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，即 是异面直线 与 所成角，
因为四边形 是正方形，所以 ，
即异面直线 与 所成的角为 .
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连接 ，在 中，证得 ，再结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知 ，把异面直线 与 所成的角转化为直线 与 所成的角，在正方形 中，即可求解.
22．（2020·新课标Ⅲ·文）如图，在长方体 中，点E，F分别在棱 ， 上，且 ， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
【答案】（1）解：因为长方体 ,所以 平面 ,
因为长方体 ,所以四边形 为正方形
因为 平面 ,因此 平面 ,
因为 平面 ,所以
（2）解：在 上取点M使得 ,连 ,
因为 ,所以
所以四边形 为平行四边形，
因为 所以四边形 为平行四边形，
因此 在平面 内
【知识点】平面的基本性质及推论；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得 ，根据长方体性质得 ,进而可证 平面 ,即得结果；（2）只需证明 即可，在 上取点M使得 ,再通过平行四边形性质进行证明即可.
23．（2020·江苏）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
【答案】（1）证明：由于 分别是 的中点，所以 .
由于 平面 , 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：由于 平面 ， 平面 ，所以 .
由于 ，所以 平面 ,
由于 平面 ，所以平面 平面 .
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）通过证明 ，来证得 平面 .（2）通过证明 平面 ，来证得平面 平面 .
24．（2020高一下·邹城期中）如图，四棱锥 中， 平面 分别为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面
【答案】（1）证明：设 交点为 ，连接 ，
又 ，
又 ，所以四边形 是菱形，则 是 中点，
又 为 中点， 是 中位线， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）证明：由（1）可知四边形 是菱形， ，又 平面 可得 ，
为 中点可得 ，又 ， 四边形 为平行四边形， ，
， ， 平面 ，又 平面 ，
平面 平面
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）设 交点为O，连接OF，则可根据OF是 中位线求证 ，进而得证；（2）由线段关系可证 ，又由 平面 可得 ，进而可得 ，再结合四边形 是菱形可得 ，即可求证；
25．（2020高一上·拉萨期末）在三棱锥 中， 和 是边长为 的等边三角形， ， 分别是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证: 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明： ，D分别为AB，PB的中点，
又 平面PAC， 平面PAC
平面
（2）证明：如图，连接OC
，O为AB中点， ，
，且 ．
同理， ，
又 ，
，得 ．
．
、 平面ABC， ，
平面
（3）解： 平面ABC， 为三棱锥 的高，
结合 ，得棱锥 的体积为
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理，得出 ，结合线面平行的判定定理，可得 平面PAC；（2）等腰 和等腰 中，证出 ，而 ，由勾股定理的逆定理，得 ，结合 ，可得 平面ABC；（3）由（2）易知PO是三棱锥 的高，算出等腰 的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥 的体积．
26．（2020·葫芦岛模拟）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的大小；
（3）点 在线段 上，且 ，点 在线段 上，若 平面 ，求 的值（用含 的代数式表示）.
【答案】（1）解：在三棱柱 中，由 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，交线为 .
又因为 ，所以 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以
又因为 ，所以 ，
又 ，所以 平面 .
（2）解：由（1）知 底面 ， ，如图建立空间直角坐标系 ，
由题意得 ， ， ， .
所以 ， .
所以 .
故异面直线 与 所成角的大小为 .
（3）解：易知平面 的一个法向量 ，
由 ，得 .
设 ，得 ，则
因为 平面 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据三棱柱 的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得 平面 ，得到 ，再利用线面垂直的判定定理，即可证得 平面 ；（2）由（1）得到 ，建立空间直角坐标系 ，求得向量 ，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由 ，得 ，设 ，得 ，求得向量 的坐标，结合 平面 ，利用 ，即可求解.
1 / 1人教新课标A版 必修二 第二章点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．（2020高一下·广东月考）下列几何图形中，可能不是平面图形的是（　　）
A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．四边形
2．（2020高一上·林芝期末）已知直线 平面 ，直线 ，则（　　）
A． B．
C． 异面 D． 相交而不垂直
3．（2020高一下·徐州期中）在正方体 中， 与 是（　　）
A．相交直线 B．平行直线
C．异面直线 D．相交且垂直的直线
4．（2020·宝山模拟）已知 平面两两垂直，直线 满足： ，则直线 不可能满足以下哪种关系（　　）
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
5．（2020·随县模拟）已知 ， 是空间内两条不同的直线， ， 是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
6．（2020·山西模拟）在长方体 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高三上·吉林月考）如图，正方体 中， ， ， ， 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面 平行的是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
8．（2020·沈阳模拟）如图，在以下四个正方体中，使得直线 与平面 垂直的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2020·大连模拟）三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020·新高考Ⅰ）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（　　）
A．20° B．40° C．50° D．90°
11．（2020·赤峰模拟）如图，在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， .若 分别是棱 上的点，且 ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
12．（2020·海拉尔模拟）在棱长均相等的正三棱柱 中， 为 的中点， 在 上，且 ，则下述结论：① ；② ；③平面 平面 ：④异面直线 与 所成角为 其中正确命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
13．（2020·平邑模拟）如图，平面α∩平面β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D 直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是（　　）
A．若AB CD，则MN l
B．若M，N重合，则AC l
C．若AB与CD相交，且AC l，则BD可以与l相交
D．若AB与CD是异面直线，则MN不可能与l平行
14．（2020·肥城模拟）在空间四边形 中， 分别是 上的点，当 平面 时，下面结论正确的是（　　）
A． 一定是各边的中点
B． 一定是 的中点
C． ，且
D．四边形 是平行四边形或梯形
15．（2020高一下·宝应期中）如图所示，P为矩形 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 为 的中点，给出以下结论，其中正确的是（　　）
A． B． 平面
C． 平面 D． 平面
16．（2020·海南模拟）如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点，异面直 与 所成角的余弦值为 ，则（　　）
A． B．直线 与直线 共面
C． D．直线 与直线 异面
三、填空题
17．（2020高一上·黄陵期末）若直线 平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是　 　
18．（2020高一下·扬州期中）下列说法中正确的有　 　个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面 和 ，若 ， ，且 ，则点A在直线 上.
19．（2020高一下·徐州期中）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为　 　.
20．（2020·西安模拟）如图，已知圆柱的轴截面 是正方形，C是圆柱下底面弧 的中点， 是圆柱上底面弧 的中点，那么异面直线 与 所成角的正切值为　 　.
四、解答题
21．（2020高一下·永年期中）如图，已知四棱锥 ，底面四边形 为正方形， ，M，N分别是线段 、 的中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求异面直线MN与BC所成角的大小.
22．（2020·新课标Ⅲ·文）如图，在长方体 中，点E，F分别在棱 ， 上，且 ， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
23．（2020·江苏）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
24．（2020高一下·邹城期中）如图，四棱锥 中， 平面 分别为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面
25．（2020高一上·拉萨期末）在三棱锥 中， 和 是边长为 的等边三角形， ， 分别是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证: 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
26．（2020·葫芦岛模拟）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的大小；
（3）点 在线段 上，且 ，点 在线段 上，若 平面 ，求 的值（用含 的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示；平面的基本性质及推论
【解析】【解答】有定义易知梯形，菱形，平行四边形都是平面图形，
四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形.
故答案为：D.
【分析】由题意结合所给的选项确定可能不是平面图形的几何体即可.
2．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此 ，
故答案为：A
【分析】根据线面垂直的定义，即可得出结果.
3．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】由图形可知， 与 不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
故答案为：C.
【分析】根据异面直线的概念可判断出 与 是异面直线.
4．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】设 ，且 与 均不重合
假设： ，由 可得： ，
又 ，可知 ，
又 ，可得：
因为 两两互相垂直，可知 与 相交，即 与 相交或异面
若 与 或 重合，同理可得 与 相交或异面
可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行
本题正确选项：
【分析】通过假设 ，可得 平行于 的交线，由此可得 与交线相交或异面，由此不可能存在 ，可得正确结果.
5．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】若 ， ，则 或 ，故A不正确，；
若 ， ， ，若 ，则 ，故B不正确，
若 ， ， 与 的关系是异面或平行，故C不正确，
若 ， ， ，又因为 ，所以 ，故D正确.
故选：D
【分析】A.若 ， ，则 或 .B.若 ， ， ，若 ，不成立，C.若 ， ， 与 的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断.
6．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由题意可得 .因为 ，
所以 是异面直线 与 所成的角，记为 ，
故 .
故选： .
【分析】根据 确定 是异面直线 与 所成的角，利用余弦定理计算得到答案.
7．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】首先四个选项的直线都不在平面 内，由中点及正方体的性质知 ， ， ，∴直线 ， ， 都与平面 平行，剩下的只有 不与平面 平行．实际上过 作 的平行线，这条平行线在平面 内且与 相交（它们都在平面 内）．
故选：C．
【分析】根据线面平行的判定定理判断．
8．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】①因为 是正三角形，所以AB与AC的夹角为 ，又因为 ，所以AB与ED的夹角为 ，故错误；
②因为正方形对角线相互垂直，所以 ， ， 平面 ，故正确；
③由①知AB与CE的夹角为 ，故错误；
④因为 ，所以 平面 ，则 ，同理 ，又 ，所以 平面 ，故正确.
故答案为：B
【分析】①根据 是正三角形，利用异面直线所成的角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据AB与CE的夹角为 ，再由线面垂直的定义判断；④易知 平面 ，得到 ，同理 ，再利用线面垂直的判定定理判断.
9．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设棱长为1， ， ，
由题意得： ， ，
，
又
即异面直线 与 所成角的余弦值为：
故答案为：
【分析】设 ， ， ，根据向量线性运算法则可表示出 和 ；分别求解出 和 ， ，根据向量夹角的求解方法求得 ，即可得所求角的余弦值.
10．【答案】B
【知识点】平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】画出截面图如下图所示，
其中 是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知 ； 是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 ..
由于 ，所以 ，
由于 ，
所以 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为 .
故答案为：B
【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出晷针与点A处的水平面所成角.
11．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设 的中点为 ，建立空间直角坐标系如下图所示.
所以 ，所以 .所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线 与 所成角的余弦值.
12．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：不妨设棱长为：2，对于①连结 ，则 ， 即 与 不垂直，又 ， ①不正确；
对于②，连结 ， ，在 中， ，而 ， 是 的中点，所以 ， ②正确；
对于③由②可知，在 中， ，连结 ，易知 ，而在 中， ， ，
即 ，又 ， 面 ， 平面 平面 ， ③正确；
以 为坐标原点，平面 上过 点垂直于 的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系；
， ， ， ， ， ；
， ；
异面直线 与 所成角为 ， ，故 ．④不正确．
故答案为： ．
【分析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F是 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线 与 所成角判断④的正误．
13．【答案】B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：若 ，则 、 、 、 四点共面 ，当 时，
平面 、 、 两两相交有三条交线，分别为 、 、 ，则三条交线交于一点 ，
则 与平面 交于点 ， 与 不平行，故 错误；
若 ， 两点重合，则 ， 、 、 、 四点共面 ，
平面 、 、 两两相交有三条交线，分别为 、 、 ，
由 ，得 ，故 正确；
若 与 相交，确定平面 ，平面 、 、 两两相交有三条交线，分别为 、 、 ，
由 ，得 ，故 错误；
当 ， 是异面直线时，如图，连接 ，取 中点 ，连接 ， ．
则 ， ， ，则 ，假设 ，
， ， ，
又 ， 平面 ，同理可得，平面 ，则 ，与平面 平面 矛盾．
假设错误， 不可能与 平行，故 正确．
故答案为： ．
【分析】由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定A、B、C；用反证法证明D．
14．【答案】C,D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：由 平面 ，所以由线面平行的性质定理，得 ， ，则 ，且 ，且 ，四边形 是平行四边形或梯形.
故答案为： .
【分析】根据线面平行的性质定理即可得解.
15．【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：由题意知， 是 的中位线， ，A符合题意；
平面 ， 平面 ， 平面 ，故 正确；
同理，可得 平面 ，故 正确；
与平面 和平面 都相交，故 不正确.
故答案为： .
【分析】根据线面平行的判定定理证明即可.
16．【答案】B,C
【知识点】异面直线及其所成的角；异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】连接EF， ， ，DF， ，根据长方体性质可得 ，
所以直线 与直线 共面.
根据长方体性质 ，所以异面直线 与 所成角为 .
设 ，则 ，
则 ， ， ，
由余弦定理，得 .
故选：BC
【分析】连接 ， ， ，DF，易得 ，在三角形 中，由余弦定理求解 ，即可得到 .
17．【答案】垂直
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若直线 平面 ，则直线 垂直于平面 内的任意一条直线，
又直线 ，
所以 .
故答案为：垂直
【分析】根据直线与平面垂直的性质，直接判断，即可得出结果.
18．【答案】2
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确；
由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确；
， ，且 ，则A在 上，满足平面的基本性质，所以④正确，
即正确的个数有2个，
故答案为：2.
【分析】对于①举出反例，正方体的一个顶点处的3条棱；根据两条平行线可以确定一个面可判断②；根据等角定理可判断③；直接根据公理可判断④.
19．【答案】60°
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则E（0，1，2），F（0，2，1），B1（2，2，2），D1（0，0，2），
（0，1，﹣1）， （﹣2，﹣2，0），
设异面直线EF与B1D1所成的角θ，
则cosθ ，
∴θ＝60°.
故答案为：60°.
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与B1D1所成的角.
20．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】取圆柱下底面弧 的另一中点 ，连接 ，
则因为C是圆柱下底面弧 的中点，
所以 ，
所以直线 与 所成角等于异面直线 与 所成角.
因为 是圆柱上底面弧 的中点，
所以 圆柱下底面，所以 .
因为圆柱的轴截面 是正方形，
所以 ，
所以直线 与 所成角的正切值为 .
所以异面直线 与 所成角的正切值为 .
故答案为: .
【分析】取圆柱下底面弧 的另一中点 ，连接 ,直线 与 所成角等于异面直线 与 所成角,利用圆柱的轴截面 是正方形, ,从而可得结论.
21．【答案】（1）证明：如图所示，连接 ，在 中， 分别是 的中点，
所以 是三角形 的中位线，所以 ，
又由 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：由（1）知 ，可得异面直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，即 是异面直线 与 所成角，
因为四边形 是正方形，所以 ，
即异面直线 与 所成的角为 .
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连接 ，在 中，证得 ，再结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知 ，把异面直线 与 所成的角转化为直线 与 所成的角，在正方形 中，即可求解.
22．【答案】（1）解：因为长方体 ,所以 平面 ,
因为长方体 ,所以四边形 为正方形
因为 平面 ,因此 平面 ,
因为 平面 ,所以
（2）解：在 上取点M使得 ,连 ,
因为 ,所以
所以四边形 为平行四边形，
因为 所以四边形 为平行四边形，
因此 在平面 内
【知识点】平面的基本性质及推论；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得 ，根据长方体性质得 ,进而可证 平面 ,即得结果；（2）只需证明 即可，在 上取点M使得 ,再通过平行四边形性质进行证明即可.
23．【答案】（1）证明：由于 分别是 的中点，所以 .
由于 平面 , 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：由于 平面 ， 平面 ，所以 .
由于 ，所以 平面 ,
由于 平面 ，所以平面 平面 .
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）通过证明 ，来证得 平面 .（2）通过证明 平面 ，来证得平面 平面 .
24．【答案】（1）证明：设 交点为 ，连接 ，
又 ，
又 ，所以四边形 是菱形，则 是 中点，
又 为 中点， 是 中位线， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）证明：由（1）可知四边形 是菱形， ，又 平面 可得 ，
为 中点可得 ，又 ， 四边形 为平行四边形， ，
， ， 平面 ，又 平面 ，
平面 平面
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）设 交点为O，连接OF，则可根据OF是 中位线求证 ，进而得证；（2）由线段关系可证 ，又由 平面 可得 ，进而可得 ，再结合四边形 是菱形可得 ，即可求证；
25．【答案】（1）证明： ，D分别为AB，PB的中点，
又 平面PAC， 平面PAC
平面
（2）证明：如图，连接OC
，O为AB中点， ，
，且 ．
同理， ，
又 ，
，得 ．
．
、 平面ABC， ，
平面
（3）解： 平面ABC， 为三棱锥 的高，
结合 ，得棱锥 的体积为
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理，得出 ，结合线面平行的判定定理，可得 平面PAC；（2）等腰 和等腰 中，证出 ，而 ，由勾股定理的逆定理，得 ，结合 ，可得 平面ABC；（3）由（2）易知PO是三棱锥 的高，算出等腰 的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥 的体积．
26．【答案】（1）解：在三棱柱 中，由 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，交线为 .
又因为 ，所以 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以
又因为 ，所以 ，
又 ，所以 平面 .
（2）解：由（1）知 底面 ， ，如图建立空间直角坐标系 ，
由题意得 ， ， ， .
所以 ， .
所以 .
故异面直线 与 所成角的大小为 .
（3）解：易知平面 的一个法向量 ，
由 ，得 .
设 ，得 ，则
因为 平面 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据三棱柱 的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得 平面 ，得到 ，再利用线面垂直的判定定理，即可证得 平面 ；（2）由（1）得到 ，建立空间直角坐标系 ，求得向量 ，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由 ，得 ，设 ，得 ，求得向量 的坐标，结合 平面 ，利用 ，即可求解.
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