高中数学人教新课标A版 选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
2．（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
3．（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
4．（2020·天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为l．若C的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
5．（2020·新课标Ⅰ·文）设 是双曲线 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为：B
【分析】由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
6．（2020·新课标Ⅱ·理）设O为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；平均值不等式
【解析】【解答】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
C的焦距的最小值：
故答案为：B.
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得D，E两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为8，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案.
7．（2020高二下·丽水期末）已知F是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于 两点，且 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】如图设 分别为椭圆的左、右焦点，设直线 与椭圆相交于 ，连接 .
根据椭圆的对称性可得：四边形 为平行四边形.
由椭圆的定义有：
由余弦定理有：
即
所以
当且仅当 时取等号，又 的斜率存在，故 不可能在 轴上.
所以等号不能成立，即即 ，所以
故答案为：A
【分析】将 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.
8．（2020高二下·徐汇期末）如图，点A是曲线 上的任意一点， ， ，射线 交曲线 于 点， 垂直于直线 ，垂足为点C.则下列判断：① 为定值 ；② 为定值5.其中正确的说法是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
【答案】A
【知识点】抛物线的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】曲线 两边平方，
得 ，为双曲线 的 的部分，
， 恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，
知 ，又 ，∴ ，①正确；
曲线 即抛物线 ，其焦点为 ，准线方程为 ，
由抛物线定义，知 ，②正确；
故答案为：A.
【分析】曲线 的方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定 正好是双曲线的两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论①，利用抛物线的定义将 转化为到抛物线准线的距离，可以判定②正确.
9．（2019高二下·上海期末）设复数 是实系数方程 的根，又 为实数，则点 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】 ，
其虚部为 ，
又 为实数，所以 ，
复数 是实系数方程 的根，
也是实系数方程 的根，
所以 ，
所以 ，此时 ，
即点 的轨迹在抛物线 上.
故答案为：D.
【分析】由 为实数，求出 关系，实系数方程有虚数根， ，且两根互为共轭，由韦达定理，求出 与 关系，结合 关系，即可得出 的关系式，得出结论.
10．（2020高二下·浙江期末）已知点F是椭圆 的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆 相切于点Q，O为坐标原点，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设椭圆的下焦点为 ，圆 的圆心为A，线段 的中点为B，
因为 ，所以 ，即 ；
所以 ，由于 ，所以 ；
因为线段PF与圆 相切于点Q，
所以 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
根据椭圆定义可得 ，所以有 ，整理得 ，
所以离心率 .
故答案为：B.
【分析】根据 可得 ，结合圆的相切关系可得 ，然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率.
11．（2020高二下·杭州期末）以双曲线 的左顶点A为圆心作半径为a的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O及另一点B，且存在直线 使得B点和右焦点F关于此直线对称，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ，
由题意可得， ，
设点 到 的距离为 ，
则 ，
所以 ，整理得 ，
所以离心率 .
故答案为：B.
【分析】由题意可得，根据直线与圆的位置关系得点 到 的距离 ，得a，c的关系，再由离心率公式计算即可得到选项.
12．（2020·龙岩模拟）已知抛物线C1： 和圆C2：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C2上一点P作圆的切线MN交抛物线C，于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（ ）
A．4x-3y-22=0 B．4x-3y-16=0 C．2x-y-11+5=0 D．4x-3y-26=0
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；平面内中点坐标公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】画出曲线图像如下图：
由题意知，切线MN的斜率k存在且不为0，设点 ，
设直线MN的方程为： ，其中 ，则 ，
联立 ，可得 ，
则有， ， ，
根据中点坐标公式可得， ， ，
又直线MN与圆C2相切，则有 ，即 ①，
依题意，直线C2P与直线MN垂直，则 ，
整理得 ②，
将②代入①并整理得， ，
降次化简可得， ③，
令 ，
则 ，因为 ，
所以 ，即 在 单调递减，
则 在 上恒成立，即 在 无解，
从而③式的解只有一个， ，代入②式可得， ，
所以，直线MN的方程为： ，整理得，4x-3y-26=0.
故答案为：D.
【分析】设点 和直线MN的方程为： ，其中 ，则 ，联立 并结合韦达定理可得 ， ，利用直线MN与圆C2相切，则有 ，再根据直线C2P与直线MN垂直，则 ，消去n化简可得 ，降次整理可得 ，令 ，利用导数求出单调性可证明 在 无解，故可得 ，代入可求n，从而可求直线MN的方程.
二、多选题
13．（2020·新高考Ⅰ）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】A,C,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件；椭圆的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，A符合题意；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，C符合题意；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线， 时表示两条直线.
14．（2020·海南模拟）已知P是椭圆 上的动点，Q是圆 上的动点，则（ ）
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D． 的最小值为
【答案】B,C
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面内两点间距离公式的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意可得 ，则C的焦距为 ， .
设 ，
则 ，
所以圆D在C的内部，且 的最小值为 .
故选：BC.
【分析】根据椭圆的性质可得焦距和离心率，求出 的最小距离即可得到圆与椭圆的位置关系.
15．（2020·淄博模拟）已知动点 在双曲线 上，双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的离心率为
B． 的渐近线方程为
C．动点 到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点 在双曲线 的左支上时， 的最大值为
【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于双曲线 ， ， ， ，
所以，双曲线 的离心率为 ，渐近线方程为 ，A选项正确，B选项错误；
设点 的坐标为 ，则 ，双曲线 的两条渐近线方程分别为 和 ，则点 到两条渐近线的距离之积为 ，C选项正确；
当动点 在双曲线 的左支上时， ， ，
，
当且仅当 时，等号成立，所以， 的最大值为 ，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】根据双曲线 的方程求出 、 、 的值，可求得双曲线 的离心率和渐近线方程，可判断A、B选项的正误；设点 的坐标为 ，利用点到直线的距离公式结合双曲线 的方程可判断C选项的正误；利用双曲线的定义和基本不等式可判断D选项的正误.
16．（2020·海南模拟）已知抛物线 ： 的焦点 到准线的距离为2，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的准线方程为 B．线段 的长度最小为4
C． 的坐标可能为 D． 恒成立
【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；平面向量数量积的坐标表示；平面内两点间距离公式的应用；抛物线的简单性质
【解析】【解答】焦点 到准线的距离即为 ，所以抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，A项错误.
当 垂直于 轴时长度最小， 此时 ， ，所以 ，B项正确.
设 ， ，直线 的方程为 .联立 ，消去 可得 ，消去 可得 ，所以 ， ，当 时，可得 ，所以C正确，又 ， ，所以 ，所以D正确.
故选：BCD
【分析】根据抛物线的几何意义判定，联立直线与抛物线方程结合韦达定理计算即可得解.
三、填空题
17．（2020·新高考Ⅰ）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 = ．
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ，
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
18．（2019高二下·上海期末）已知点M( ，0)，椭圆 与直线y＝k(x＋ )交于点A，B，则△ABM的周长为 .
【答案】8
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】直线 过定点N（- ），由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：
AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．
△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，
故答案为：8．
【分析】直线 过定点N（- ），确定椭圆的几何量，再利用椭圆的定义，即可求△ABM的周长.
19．（2020·新课标Ⅰ·理）已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的几何性质
【解析】【解答】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ，化简可得， ，解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
【分析】根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
20．（2020高二下·衢州期末）已知椭圆 上有一点 ，F为右焦点，B为上顶点，O为坐标原点，且 ，则椭圆C的离心率为
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得直线 的方程为： ，即 ，
所以M到直线 的距离 ，
因为 ，
所以 ，
而 ，
因为 ，
所以 ，
整理可得： ，
整理可得 ，解得 ，
故答案为：
【分析】由题意可得直线 的方程，求出M到直线 的距离，且求出 的值，求出 的面积及 的面积，再由题意可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
四、解答题
21．（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
【答案】（1）解：因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，其中 .
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .
（2）解：由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分别为 ， ， ， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据题意求出 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限，运用代入法求出 点的纵坐标，根据 ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
22．（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，求 的面积．
【答案】（1）解：
， ，
根据离心率 ，
解得 或 (舍)，
C的方程为： ，
即
（2）解： 点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
， ， ，
又 ， ，
，
根据三角形全等条件“ ”，
可得： ，
，
，
，
设 点为 ，
可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，
解得： 或 ，
P点为 或 ，
①当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
， ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ；
②当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
， ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，
综上所述， 面积为： .
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）因为 ，可得 ， ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N，可得 ，可求得P点坐标，求出直线 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的面积.
23．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
24．（2020高二下·丽水期末）如图，直线l与抛物线 相交于 两点，与x轴交于点Q，且 ， 于点 .
（1）当 时，求m的值；
（2）当 时，求 与 的面积之积 的取值范围.
【答案】（1）解：当直线l与抛物线 相交于 两点时，斜率不为零，
设直线 方程为 ，其中
由 ，消去 得 ，
设 ， ，
则有 ， ，
，
，即 ，
，直线 为： ，点 ，
，
，即
而
解得 ；
（2）解：由（1）得 ， ，
，
，且 ，
所以直线 与直线 斜率均存在，
又 ，
，即 ，又由（1）
，
，
，
，
，
当 时， 去最大值 ，
当 时， 去最小值 ，
的取值范围为 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设直线 方程为 ，与抛物线联立， ， ，利用韦达定理，代入 ，可得 ，再根据 ，利用斜率乘积为-1，列方程求解即可；（2）由（1）可得 ，再根据 ，求出 ，结合（1）中的 消去n，通过三角形面积公式可得 ， ，相乘，转化为二次函数的最值求解即可.
25．（2020高二下·虹口期末）已知双曲线 ( )，直线l与 交于P Q两点.
（1）若点 是双曲线 的一个焦点，求 的渐近线方程；
（2）若点P的坐标为 ，直线 的斜率等于1，且 ，求双曲线 的渐近线方程.
【答案】（1）解：依题意 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以双曲线 的渐近线方程为
（2）解：依题意可得直线l的方程为： ，将其代入 并整理得：
，
因为直线l与 交于P Q两点，所以 ， ，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以双曲线的渐近线方程为 或 .
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） ， ,根据双曲线中 求出b，则可得渐近线方程；（2）联立直线与双曲线，利用韦达定理求出弦长与已知弦长相等，可解得b，则可得到渐近线方程.
26．（2020高二下·嘉兴期末）如图，已知抛物线C： 的焦点为F，设点 为抛物线上一点，过点A作抛物线C的切线交其准线于点E.
（1）求点E的坐标（用 表示）；
（2）直线 交抛物线C于点B（异于点A），直线 交抛物线C于 ，N两点（点N在E，F之间），连结 ， ，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最小值.
【答案】（1）解：由 求导， ，∴ .
∴点 处的切线方程为： ，准线方程： ，
代入切线方程得 ，∴点
（2）解：∵ ， ，∴ ： ，
联立 ，得 ，∴ ，易知 ： ，
联立 ，得 ，即 ，
∴ ， ，由上知 ，即 ，
∴ ，设 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时， 取到最小值
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得切线方程后即可求出 点坐标；
（2）写出直线 方程与抛物线方程联立求得 点坐标，同样写出 方程与抛物线方程联立解得 坐标，计算 为 的函数，令 换元后应用基本不等式即可求出最小值．
27．（2020高二下·上海期末）已知椭圆 ( )的焦距为2，椭圆 的左 右焦点分别为 ，过右焦点 作x轴的垂线交椭圆于A B两点， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过右焦点 作直线交椭圆于C D两点，若△ 的内切圆的面积为 ，求△ 的面积；
（3）已知 ， 为圆上一点(R在y轴右侧)，过R作圆的切线交椭圆 于M N两点，试问△ 的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：由椭圆焦距为2可得 ， ，
又过右焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点， ，
不妨设点 ，则 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）解：由题意△ 的周长 ，
又△ 的内切圆的面积为 ，所以△ 的内切圆的半径为 ，
所以△ 的面积 ；
（3）解：由题意 ，圆心为 ，半径为 ，
若 斜率不存在时，不妨设点 ，
此时△ 的周长 ；
当直线 斜率存在时，设 ， ，
则 即 ，
则 ，
同理， ，
由 消去y得 ， ，
则 ，
由直线 与 相切可得 ，即 ，
所以
，
因为 在 轴右侧，所以 ，
所以
，
所以△ 的周长
；
综上，△ 的周长为一定值，且周长 .
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得 ，再由点 即可求得 、 ，即可得解；（2）由题意结合椭圆的性质可得△ 的周长 ，再由 （ 为内切圆半径）即可得解；（3）按照 斜率是否存在讨论，当直线 斜率存在时，设 ， ，由两点之间距离公式、椭圆性质可得焦半径 、 ，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得 ，再由直线 与圆相切可得 ，代入运算即可得解.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
2．（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
3．（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（2020·天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为l．若C的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·新课标Ⅰ·文）设 是双曲线 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
6．（2020·新课标Ⅱ·理）设O为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．（2020高二下·丽水期末）已知F是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于 两点，且 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二下·徐汇期末）如图，点A是曲线 上的任意一点， ， ，射线 交曲线 于 点， 垂直于直线 ，垂足为点C.则下列判断：① 为定值 ；② 为定值5.其中正确的说法是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
9．（2019高二下·上海期末）设复数 是实系数方程 的根，又 为实数，则点 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．（2020高二下·浙江期末）已知点F是椭圆 的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆 相切于点Q，O为坐标原点，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020高二下·杭州期末）以双曲线 的左顶点A为圆心作半径为a的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O及另一点B，且存在直线 使得B点和右焦点F关于此直线对称，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
12．（2020·龙岩模拟）已知抛物线C1： 和圆C2：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C2上一点P作圆的切线MN交抛物线C，于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（ ）
A．4x-3y-22=0 B．4x-3y-16=0 C．2x-y-11+5=0 D．4x-3y-26=0
二、多选题
13．（2020·新高考Ⅰ）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
14．（2020·海南模拟）已知P是椭圆 上的动点，Q是圆 上的动点，则（ ）
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D． 的最小值为
15．（2020·淄博模拟）已知动点 在双曲线 上，双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的离心率为
B． 的渐近线方程为
C．动点 到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点 在双曲线 的左支上时， 的最大值为
16．（2020·海南模拟）已知抛物线 ： 的焦点 到准线的距离为2，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的准线方程为 B．线段 的长度最小为4
C． 的坐标可能为 D． 恒成立
三、填空题
17．（2020·新高考Ⅰ）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 = ．
18．（2019高二下·上海期末）已知点M( ，0)，椭圆 与直线y＝k(x＋ )交于点A，B，则△ABM的周长为 .
19．（2020·新课标Ⅰ·理）已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
20．（2020高二下·衢州期末）已知椭圆 上有一点 ，F为右焦点，B为上顶点，O为坐标原点，且 ，则椭圆C的离心率为
四、解答题
21．（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
22．（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，求 的面积．
23．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
24．（2020高二下·丽水期末）如图，直线l与抛物线 相交于 两点，与x轴交于点Q，且 ， 于点 .
（1）当 时，求m的值；
（2）当 时，求 与 的面积之积 的取值范围.
25．（2020高二下·虹口期末）已知双曲线 ( )，直线l与 交于P Q两点.
（1）若点 是双曲线 的一个焦点，求 的渐近线方程；
（2）若点P的坐标为 ，直线 的斜率等于1，且 ，求双曲线 的渐近线方程.
26．（2020高二下·嘉兴期末）如图，已知抛物线C： 的焦点为F，设点 为抛物线上一点，过点A作抛物线C的切线交其准线于点E.
（1）求点E的坐标（用 表示）；
（2）直线 交抛物线C于点B（异于点A），直线 交抛物线C于 ，N两点（点N在E，F之间），连结 ， ，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最小值.
27．（2020高二下·上海期末）已知椭圆 ( )的焦距为2，椭圆 的左 右焦点分别为 ，过右焦点 作x轴的垂线交椭圆于A B两点， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过右焦点 作直线交椭圆于C D两点，若△ 的内切圆的面积为 ，求△ 的面积；
（3）已知 ， 为圆上一点(R在y轴右侧)，过R作圆的切线交椭圆 于M N两点，试问△ 的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
3．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
5．【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为：B
【分析】由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
6．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；平均值不等式
【解析】【解答】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
C的焦距的最小值：
故答案为：B.
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得D，E两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为8，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案.
7．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】如图设 分别为椭圆的左、右焦点，设直线 与椭圆相交于 ，连接 .
根据椭圆的对称性可得：四边形 为平行四边形.
由椭圆的定义有：
由余弦定理有：
即
所以
当且仅当 时取等号，又 的斜率存在，故 不可能在 轴上.
所以等号不能成立，即即 ，所以
故答案为：A
【分析】将 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.
8．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】曲线 两边平方，
得 ，为双曲线 的 的部分，
， 恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，
知 ，又 ，∴ ，①正确；
曲线 即抛物线 ，其焦点为 ，准线方程为 ，
由抛物线定义，知 ，②正确；
故答案为：A.
【分析】曲线 的方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定 正好是双曲线的两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论①，利用抛物线的定义将 转化为到抛物线准线的距离，可以判定②正确.
9．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】 ，
其虚部为 ，
又 为实数，所以 ，
复数 是实系数方程 的根，
也是实系数方程 的根，
所以 ，
所以 ，此时 ，
即点 的轨迹在抛物线 上.
故答案为：D.
【分析】由 为实数，求出 关系，实系数方程有虚数根， ，且两根互为共轭，由韦达定理，求出 与 关系，结合 关系，即可得出 的关系式，得出结论.
10．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设椭圆的下焦点为 ，圆 的圆心为A，线段 的中点为B，
因为 ，所以 ，即 ；
所以 ，由于 ，所以 ；
因为线段PF与圆 相切于点Q，
所以 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
根据椭圆定义可得 ，所以有 ，整理得 ，
所以离心率 .
故答案为：B.
【分析】根据 可得 ，结合圆的相切关系可得 ，然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率.
11．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ，
由题意可得， ，
设点 到 的距离为 ，
则 ，
所以 ，整理得 ，
所以离心率 .
故答案为：B.
【分析】由题意可得，根据直线与圆的位置关系得点 到 的距离 ，得a，c的关系，再由离心率公式计算即可得到选项.
12．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；平面内中点坐标公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】画出曲线图像如下图：
由题意知，切线MN的斜率k存在且不为0，设点 ，
设直线MN的方程为： ，其中 ，则 ，
联立 ，可得 ，
则有， ， ，
根据中点坐标公式可得， ， ，
又直线MN与圆C2相切，则有 ，即 ①，
依题意，直线C2P与直线MN垂直，则 ，
整理得 ②，
将②代入①并整理得， ，
降次化简可得， ③，
令 ，
则 ，因为 ，
所以 ，即 在 单调递减，
则 在 上恒成立，即 在 无解，
从而③式的解只有一个， ，代入②式可得， ，
所以，直线MN的方程为： ，整理得，4x-3y-26=0.
故答案为：D.
【分析】设点 和直线MN的方程为： ，其中 ，则 ，联立 并结合韦达定理可得 ， ，利用直线MN与圆C2相切，则有 ，再根据直线C2P与直线MN垂直，则 ，消去n化简可得 ，降次整理可得 ，令 ，利用导数求出单调性可证明 在 无解，故可得 ，代入可求n，从而可求直线MN的方程.
13．【答案】A,C,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件；椭圆的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，A符合题意；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，C符合题意；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线， 时表示两条直线.
14．【答案】B,C
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面内两点间距离公式的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意可得 ，则C的焦距为 ， .
设 ，
则 ，
所以圆D在C的内部，且 的最小值为 .
故选：BC.
【分析】根据椭圆的性质可得焦距和离心率，求出 的最小距离即可得到圆与椭圆的位置关系.
15．【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于双曲线 ， ， ， ，
所以，双曲线 的离心率为 ，渐近线方程为 ，A选项正确，B选项错误；
设点 的坐标为 ，则 ，双曲线 的两条渐近线方程分别为 和 ，则点 到两条渐近线的距离之积为 ，C选项正确；
当动点 在双曲线 的左支上时， ， ，
，
当且仅当 时，等号成立，所以， 的最大值为 ，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】根据双曲线 的方程求出 、 、 的值，可求得双曲线 的离心率和渐近线方程，可判断A、B选项的正误；设点 的坐标为 ，利用点到直线的距离公式结合双曲线 的方程可判断C选项的正误；利用双曲线的定义和基本不等式可判断D选项的正误.
16．【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；平面向量数量积的坐标表示；平面内两点间距离公式的应用；抛物线的简单性质
【解析】【解答】焦点 到准线的距离即为 ，所以抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，A项错误.
当 垂直于 轴时长度最小， 此时 ， ，所以 ，B项正确.
设 ， ，直线 的方程为 .联立 ，消去 可得 ，消去 可得 ，所以 ， ，当 时，可得 ，所以C正确，又 ， ，所以 ，所以D正确.
故选：BCD
【分析】根据抛物线的几何意义判定，联立直线与抛物线方程结合韦达定理计算即可得解.
17．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ，
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
18．【答案】8
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】直线 过定点N（- ），由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：
AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．
△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，
故答案为：8．
【分析】直线 过定点N（- ），确定椭圆的几何量，再利用椭圆的定义，即可求△ABM的周长.
19．【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的几何性质
【解析】【解答】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ，化简可得， ，解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
【分析】根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
20．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得直线 的方程为： ，即 ，
所以M到直线 的距离 ，
因为 ，
所以 ，
而 ，
因为 ，
所以 ，
整理可得： ，
整理可得 ，解得 ，
故答案为：
【分析】由题意可得直线 的方程，求出M到直线 的距离，且求出 的值，求出 的面积及 的面积，再由题意可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
21．【答案】（1）解：因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，其中 .
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .
（2）解：由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分别为 ， ， ， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据题意求出 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限，运用代入法求出 点的纵坐标，根据 ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
22．【答案】（1）解：
， ，
根据离心率 ，
解得 或 (舍)，
C的方程为： ，
即
（2）解： 点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
， ， ，
又 ， ，
，
根据三角形全等条件“ ”，
可得： ，
，
，
，
设 点为 ，
可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，
解得： 或 ，
P点为 或 ，
①当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
， ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ；
②当 点为 时，
故 ，
，
，
可得：Q点为 ，
画出图象，如图
， ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，
综上所述， 面积为： .
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）因为 ，可得 ， ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N，可得 ，可求得P点坐标，求出直线 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 的面积.
23．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
24．【答案】（1）解：当直线l与抛物线 相交于 两点时，斜率不为零，
设直线 方程为 ，其中
由 ，消去 得 ，
设 ， ，
则有 ， ，
，
，即 ，
，直线 为： ，点 ，
，
，即
而
解得 ；
（2）解：由（1）得 ， ，
，
，且 ，
所以直线 与直线 斜率均存在，
又 ，
，即 ，又由（1）
，
，
，
，
，
当 时， 去最大值 ，
当 时， 去最小值 ，
的取值范围为 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设直线 方程为 ，与抛物线联立， ， ，利用韦达定理，代入 ，可得 ，再根据 ，利用斜率乘积为-1，列方程求解即可；（2）由（1）可得 ，再根据 ，求出 ，结合（1）中的 消去n，通过三角形面积公式可得 ， ，相乘，转化为二次函数的最值求解即可.
25．【答案】（1）解：依题意 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以双曲线 的渐近线方程为
（2）解：依题意可得直线l的方程为： ，将其代入 并整理得：
，
因为直线l与 交于P Q两点，所以 ， ，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以双曲线的渐近线方程为 或 .
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） ， ,根据双曲线中 求出b，则可得渐近线方程；（2）联立直线与双曲线，利用韦达定理求出弦长与已知弦长相等，可解得b，则可得到渐近线方程.
26．【答案】（1）解：由 求导， ，∴ .
∴点 处的切线方程为： ，准线方程： ，
代入切线方程得 ，∴点
（2）解：∵ ， ，∴ ： ，
联立 ，得 ，∴ ，易知 ： ，
联立 ，得 ，即 ，
∴ ， ，由上知 ，即 ，
∴ ，设 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时， 取到最小值
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得切线方程后即可求出 点坐标；
（2）写出直线 方程与抛物线方程联立求得 点坐标，同样写出 方程与抛物线方程联立解得 坐标，计算 为 的函数，令 换元后应用基本不等式即可求出最小值．
27．【答案】（1）解：由椭圆焦距为2可得 ， ，
又过右焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点， ，
不妨设点 ，则 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）解：由题意△ 的周长 ，
又△ 的内切圆的面积为 ，所以△ 的内切圆的半径为 ，
所以△ 的面积 ；
（3）解：由题意 ，圆心为 ，半径为 ，
若 斜率不存在时，不妨设点 ，
此时△ 的周长 ；
当直线 斜率存在时，设 ， ，
则 即 ，
则 ，
同理， ，
由 消去y得 ， ，
则 ，
由直线 与 相切可得 ，即 ，
所以
，
因为 在 轴右侧，所以 ，
所以
，
所以△ 的周长
；
综上，△ 的周长为一定值，且周长 .
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得 ，再由点 即可求得 、 ，即可得解；（2）由题意结合椭圆的性质可得△ 的周长 ，再由 （ 为内切圆半径）即可得解；（3）按照 斜率是否存在讨论，当直线 斜率存在时，设 ， ，由两点之间距离公式、椭圆性质可得焦半径 、 ，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得 ，再由直线 与圆相切可得 ，代入运算即可得解.
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