高中数学人教新课标A版 选修2-1 2.2椭圆

高中数学人教新课标A版 选修2-1 2.2椭圆
一、单选题
1．（2020高二下·徐汇期末）已知 是定点， .若动点M满足 ，则动点M的轨迹是（　　）
A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆
【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：对于在平面内，若动点M到 、 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点 、 的距离，则动点M的轨迹是以 ， 为端点的线段．
故答案为：B．
【分析】根据椭圆的定义即可得解；
2．（2020高二上·兰州期末）椭圆 的焦距是2，则m的值是（　　）
A．5 B．5或8 C．3或5 D．20
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为焦距是 ，所以 ，当焦点在 轴时， 解得： ，当焦点在 轴时， 解得： ，
故答案为：C．
【分析】 由已知椭圆 的焦距是2， 分两种情况讨论，当焦点在 轴时和当焦点在 轴时列式， 即可分别求出m的值.
3．（2020高二下·浙江期中）设集合 ， ，则方程 表示焦点位于x轴上的椭圆有（　　）
A．6个 B．8个 C．12个 D．16个
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆焦点在x轴上，
所以 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
一共有6个符合要求的椭圆，
故答案为：A
【分析】根据 ，对A中元素进行分析即可求解.
4．（2017高二下·孝感期中）对于椭圆 ，下面说法正确的是（　　）
A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．离心率为 D．焦距为1
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，椭圆的方程为： ，
其中a= =2，b= ，则c= =1，
则其长轴长为2a=4，短轴长2b=2 ，焦距2c=2；
其离心率e= = ，
故选：C．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，进而可得该椭圆的长轴长、短轴长、焦距、以及离心率；分析选项即可得答案．
5．（2020高二上·吉林期末）设 是椭圆 上的任意一点，若 是椭圆的两个焦点，则 等于（　　）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由题, .
故答案为：D
【分析】根据椭圆的定义求解即可.
6．（2020高一下·高安期中）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意椭圆 ： 的离心率为 得 ，
椭圆 的长轴长与焦距之和为6， ，
解得 ， ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为： ，
故答案为：D．
【分析】根据椭圆的离心率为 ，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质 ，列出关于a 、b 、c的方程组，求出a 、b，即可得结果.
7．（2020高二下·天津月考）若曲线 表示椭圆，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】 曲线 表示椭圆，
，
解得 ，且 ，
的取值范围是 或 ，
故答案为：D．
【分析】根据椭圆标准方程可得 ，解不等式组可得结果.
8．（2020·松江模拟）已知椭圆 分别过点 和点 ，则该椭圆的焦距为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆过点 和点
所以 ，且 ，
可得： ，
所以 ，所以焦距 ，
故答案为：C.
【分析】根据椭圆过点 和点 ，得到 ， 联立求解.
9．（2020高二下·虹口期末）设 分别是椭圆 ( )的左 右焦点，过 的直线 与椭圆E相交于A B两点，且 ，则 的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的定义得： ， ，
又 ， ，所以 ，
由椭圆 知 ，所以 .
故答案为：C
【分析】由椭圆的定义得： ， ，结合条件可得 ，即可得答案.
10．（2020·漳州模拟）已知 、 为椭圆 ： 的左、右焦点，过点 作斜率为 的直线 与 交于 、 两点，则 的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，
设点 、 ，由题意可知，直线 的方程为 ，即 ，
将直线 的方程与椭圆 的方程联立 ，消去 得 ，
，由韦达定理得 ， .
所以， 的面积为 .
故答案为：A.
【分析】设点 、 ，可得出直线 的方程为 ，与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，从而可得出 的面积为 ，代入计算即可.
11．（2020高二下·浙江期末）已知点F是椭圆 的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆 相切于点Q，O为坐标原点，且 ，则椭圆E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设椭圆的下焦点为 ，圆 的圆心为A，线段 的中点为B，
因为 ，所以 ，即 ；
所以 ，由于 ，所以 ；
因为线段PF与圆 相切于点Q，
所以 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
根据椭圆定义可得 ，所以有 ，整理得 ，
所以离心率 .
故答案为：B.
【分析】根据 可得 ，结合圆的相切关系可得 ，然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率.
12．（2020高二下·浙江期末）过原点的一条直线与椭圆 交于A，B两点， 为椭圆右焦点，且AB长度等于焦距长，若 ，则该椭圆离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题可知，AB长度等于焦距长且直线AB过原点，
由椭圆的对称性可知，四边形 是矩形，
则 ，
又因为点A在椭圆上，则 ，
即 ，
因为 ，即 ，
则 ，
故
故答案为：B
【分析】由椭圆的对称性可知四边形 是矩形，用角 分别表示 ，利用椭圆的定义构建方程并表示离心率，再由三角函数求值域方式即可求得取值范围.
二、多选题
13．（2020·德州模拟）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为 ， ，下列结论正确的是（　　）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是 ，A符合题意；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B符合题意；
，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C不符合题意.
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D符合题意.
故答案为： ABD .
【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.
三、填空题
14．（2019高二下·上海期末）已知点M( ，0)，椭圆 与直线y＝k(x＋ )交于点A，B，则△ABM的周长为　 　.
【答案】8
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】直线 过定点N（- ），由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：
AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．
△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，
故答案为：8．
【分析】直线 过定点N（- ），确定椭圆的几何量，再利用椭圆的定义，即可求△ABM的周长.
15．（2020高二下·上海期末）如图，已知椭圆C的中心为原点O， 为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足 且 ，则椭圆C的标准方程为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意设椭圆的标准方程为 ，
因为 为椭圆C的左焦点，所以 ，
因为 ，所以 ，
设点P的坐标为 ，则 ，
解得 ，则 ，
所以点P的坐标为 ，
因为 为椭圆 上一点，
所以
因为 ，所以解得 ，
所以椭圆的标准方程为 ，
故答案为：
【分析】由已知可得 ，而由 ， ，可求出点P的坐标，再将点P的坐标代入椭圆方程中，再结合 ，可求出 的值.
16．（2020·芜湖模拟）直线 与椭圆 交于A B两点，F为椭圆的右焦点，若 ，则椭圆的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设点 ，椭圆如图所示：
直线 ， 即 ，
又 ， 为 中点，
， 点 即 ，
点 在椭圆上， ，
结合 化简可得 ，
由 可得 ，解得 或 （舍去），
.
故答案为： .
【分析】由题意转化条件为点 ，代入椭圆方程可得 ，化简后即可得解.
17．（2020·河南模拟）设 ， 是椭圆 的两个焦点，过 的直线 与椭圆C交于A，B两点，过 与 平行的直线 与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形 面积的最大值为　 　.
【答案】4
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：
，
四边形 为平行四边形
设直线 的方程 ，
，得
令
令
令 ，则
在 上为减函数， 在 上为增函数，
，即
四边形 面积的最大值为4
故答案为：4
【分析】四边形 为平行四边形 ，设直线 的方程 ， ，联立 ，
再用换元法求其最大值即可.
四、解答题
18．（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为： ，即 .
当y=0时，解得 ，所以a=4，
椭圆 过点M(2，3)，可得 ，
解得b2=12.
所以C的方程： .
（2）解：设与直线AM平行的直线方程为： ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
19．（2020·新高考Ⅰ）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【答案】（1）解：由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
（2）解：设点 .
因为AM⊥AN，∴ ，即 ,①
当直线MN的斜率存在时，设方程为 ,如图1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ,
②,
根据 ,代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ,
∵ 不在直线 上，∴ ，
∴ ，
于是MN的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线MN的斜率不存在时，可得 ,如图2.
代入 得 ,
结合 ,解得 ,
此时直线MN过点 ,
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足 为定值（AE长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 , 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
20．（2020高二下·徐汇期末）已知：椭圆 的焦距为2，且经过点 ，A B是椭圆上异于M的两个动点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若 ，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）解：因为椭圆 的焦距为2，且经过点
所以 解得
所以 ；
（2）解：设 ，
①直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立可得， ，
∴ (*)且 ，
∵ ，∴ ，
即 ，
化简得 ，
将(*)式代入，得 ， ，
∴ ，即 或 (舍，此时直线 过点 )
∴直线 的方程为 ，过定点 ；
②直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ， ，
可设 ，且 ，由 ，
即 ，解得 或 (舍)，
此时直线 的方程为 ，也过定点 ；
综上，直线 过定点 .
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）通过椭圆的焦距为2，求出c．结合椭圆经过点 ，列出方程组求解a，b，得到椭圆方程．（2）设 ， 、 ， ，①直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立可得， ，利用韦达定理推出m，k的关系式，利用向量的数量积推出 ，得到直线系，然后求解直线 经过的定点；②直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ， ， ， ，判断直线经过的定点即可．
21．（2020·天津）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为F，且 ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点．求直线 的方程．
【答案】解：（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ，
，
由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以，椭圆的方程为 ；
（Ⅱ） 直线 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，即 ，
，消去 ，可得 ，解得 或 .
将 代入 ，得 ，
所以，点 的坐标为 ，
因为P为线段 的中点，点 的坐标为 ，
所以点P的坐标为 ，
由 ，得点 的坐标为 ，
所以，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 .
所以，直线 的方程为 或 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助 ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 ，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据 ，求出直线 的斜率，从而得解.
22．（2020·北京）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .
（Ⅱ）设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：
，
故 .
从而 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 ，从而可得两线段长度的比值.
23．（2020高二下·上海期末）已知椭圆 ( )的焦距为2，椭圆 的左 右焦点分别为 ，过右焦点 作x轴的垂线交椭圆于A B两点， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过右焦点 作直线交椭圆于C D两点，若△ 的内切圆的面积为 ，求△ 的面积；
（3）已知 ， 为圆上一点(R在y轴右侧)，过R作圆的切线交椭圆 于M N两点，试问△ 的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：由椭圆焦距为2可得 ， ，
又过右焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点， ，
不妨设点 ，则 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）解：由题意△ 的周长 ，
又△ 的内切圆的面积为 ，所以△ 的内切圆的半径为 ，
所以△ 的面积 ；
（3）解：由题意 ，圆心为 ，半径为 ，
若 斜率不存在时，不妨设点 ，
此时△ 的周长 ；
当直线 斜率存在时，设 ， ，
则 即 ，
则 ，
同理， ，
由 消去y得 ， ，
则 ，
由直线 与 相切可得 ，即 ，
所以
，
因为 在 轴右侧，所以 ，
所以
，
所以△ 的周长
；
综上，△ 的周长为一定值，且周长 .
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得 ，再由点 即可求得 、 ，即可得解；（2）由题意结合椭圆的性质可得△ 的周长 ，再由 （ 为内切圆半径）即可得解；（3）按照 斜率是否存在讨论，当直线 斜率存在时，设 ， ，由两点之间距离公式、椭圆性质可得焦半径 、 ，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得 ，再由直线 与圆相切可得 ，代入运算即可得解.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-1 2.2椭圆
一、单选题
1．（2020高二下·徐汇期末）已知 是定点， .若动点M满足 ，则动点M的轨迹是（　　）
A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆
2．（2020高二上·兰州期末）椭圆 的焦距是2，则m的值是（　　）
A．5 B．5或8 C．3或5 D．20
3．（2020高二下·浙江期中）设集合 ， ，则方程 表示焦点位于x轴上的椭圆有（　　）
A．6个 B．8个 C．12个 D．16个
4．（2017高二下·孝感期中）对于椭圆 ，下面说法正确的是（　　）
A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．离心率为 D．焦距为1
5．（2020高二上·吉林期末）设 是椭圆 上的任意一点，若 是椭圆的两个焦点，则 等于（　　）
A． B． C．4 D．6
6．（2020高一下·高安期中）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为
A． B． C． D．
7．（2020高二下·天津月考）若曲线 表示椭圆，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 或
8．（2020·松江模拟）已知椭圆 分别过点 和点 ，则该椭圆的焦距为（　　）
A． B．2 C． D．
9．（2020高二下·虹口期末）设 分别是椭圆 ( )的左 右焦点，过 的直线 与椭圆E相交于A B两点，且 ，则 的长为（　　）
A． B．1 C． D．
10．（2020·漳州模拟）已知 、 为椭圆 ： 的左、右焦点，过点 作斜率为 的直线 与 交于 、 两点，则 的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2020高二下·浙江期末）已知点F是椭圆 的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆 相切于点Q，O为坐标原点，且 ，则椭圆E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
12．（2020高二下·浙江期末）过原点的一条直线与椭圆 交于A，B两点， 为椭圆右焦点，且AB长度等于焦距长，若 ，则该椭圆离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2020·德州模拟）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为 ， ，下列结论正确的是（　　）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
三、填空题
14．（2019高二下·上海期末）已知点M( ，0)，椭圆 与直线y＝k(x＋ )交于点A，B，则△ABM的周长为　 　.
15．（2020高二下·上海期末）如图，已知椭圆C的中心为原点O， 为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足 且 ，则椭圆C的标准方程为　 　.
16．（2020·芜湖模拟）直线 与椭圆 交于A B两点，F为椭圆的右焦点，若 ，则椭圆的离心率为　 　.
17．（2020·河南模拟）设 ， 是椭圆 的两个焦点，过 的直线 与椭圆C交于A，B两点，过 与 平行的直线 与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形 面积的最大值为　 　.
四、解答题
18．（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
19．（2020·新高考Ⅰ）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
20．（2020高二下·徐汇期末）已知：椭圆 的焦距为2，且经过点 ，A B是椭圆上异于M的两个动点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若 ，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标.
21．（2020·天津）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为F，且 ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点．求直线 的方程．
22．（2020·北京）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
23．（2020高二下·上海期末）已知椭圆 ( )的焦距为2，椭圆 的左 右焦点分别为 ，过右焦点 作x轴的垂线交椭圆于A B两点， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过右焦点 作直线交椭圆于C D两点，若△ 的内切圆的面积为 ，求△ 的面积；
（3）已知 ， 为圆上一点(R在y轴右侧)，过R作圆的切线交椭圆 于M N两点，试问△ 的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：对于在平面内，若动点M到 、 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点 、 的距离，则动点M的轨迹是以 ， 为端点的线段．
故答案为：B．
【分析】根据椭圆的定义即可得解；
2．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为焦距是 ，所以 ，当焦点在 轴时， 解得： ，当焦点在 轴时， 解得： ，
故答案为：C．
【分析】 由已知椭圆 的焦距是2， 分两种情况讨论，当焦点在 轴时和当焦点在 轴时列式， 即可分别求出m的值.
3．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆焦点在x轴上，
所以 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
一共有6个符合要求的椭圆，
故答案为：A
【分析】根据 ，对A中元素进行分析即可求解.
4．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，椭圆的方程为： ，
其中a= =2，b= ，则c= =1，
则其长轴长为2a=4，短轴长2b=2 ，焦距2c=2；
其离心率e= = ，
故选：C．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，进而可得该椭圆的长轴长、短轴长、焦距、以及离心率；分析选项即可得答案．
5．【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由题, .
故答案为：D
【分析】根据椭圆的定义求解即可.
6．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意椭圆 ： 的离心率为 得 ，
椭圆 的长轴长与焦距之和为6， ，
解得 ， ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为： ，
故答案为：D．
【分析】根据椭圆的离心率为 ，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质 ，列出关于a 、b 、c的方程组，求出a 、b，即可得结果.
7．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】 曲线 表示椭圆，
，
解得 ，且 ，
的取值范围是 或 ，
故答案为：D．
【分析】根据椭圆标准方程可得 ，解不等式组可得结果.
8．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆过点 和点
所以 ，且 ，
可得： ，
所以 ，所以焦距 ，
故答案为：C.
【分析】根据椭圆过点 和点 ，得到 ， 联立求解.
9．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的定义得： ， ，
又 ， ，所以 ，
由椭圆 知 ，所以 .
故答案为：C
【分析】由椭圆的定义得： ， ，结合条件可得 ，即可得答案.
10．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，
设点 、 ，由题意可知，直线 的方程为 ，即 ，
将直线 的方程与椭圆 的方程联立 ，消去 得 ，
，由韦达定理得 ， .
所以， 的面积为 .
故答案为：A.
【分析】设点 、 ，可得出直线 的方程为 ，与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，从而可得出 的面积为 ，代入计算即可.
11．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设椭圆的下焦点为 ，圆 的圆心为A，线段 的中点为B，
因为 ，所以 ，即 ；
所以 ，由于 ，所以 ；
因为线段PF与圆 相切于点Q，
所以 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
根据椭圆定义可得 ，所以有 ，整理得 ，
所以离心率 .
故答案为：B.
【分析】根据 可得 ，结合圆的相切关系可得 ，然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率.
12．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题可知，AB长度等于焦距长且直线AB过原点，
由椭圆的对称性可知，四边形 是矩形，
则 ，
又因为点A在椭圆上，则 ，
即 ，
因为 ，即 ，
则 ，
故
故答案为：B
【分析】由椭圆的对称性可知四边形 是矩形，用角 分别表示 ，利用椭圆的定义构建方程并表示离心率，再由三角函数求值域方式即可求得取值范围.
13．【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是 ，A符合题意；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B符合题意；
，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C不符合题意.
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D符合题意.
故答案为： ABD .
【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.
14．【答案】8
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】直线 过定点N（- ），由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：
AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．
△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，
故答案为：8．
【分析】直线 过定点N（- ），确定椭圆的几何量，再利用椭圆的定义，即可求△ABM的周长.
15．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意设椭圆的标准方程为 ，
因为 为椭圆C的左焦点，所以 ，
因为 ，所以 ，
设点P的坐标为 ，则 ，
解得 ，则 ，
所以点P的坐标为 ，
因为 为椭圆 上一点，
所以
因为 ，所以解得 ，
所以椭圆的标准方程为 ，
故答案为：
【分析】由已知可得 ，而由 ， ，可求出点P的坐标，再将点P的坐标代入椭圆方程中，再结合 ，可求出 的值.
16．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设点 ，椭圆如图所示：
直线 ， 即 ，
又 ， 为 中点，
， 点 即 ，
点 在椭圆上， ，
结合 化简可得 ，
由 可得 ，解得 或 （舍去），
.
故答案为： .
【分析】由题意转化条件为点 ，代入椭圆方程可得 ，化简后即可得解.
17．【答案】4
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：
，
四边形 为平行四边形
设直线 的方程 ，
，得
令
令
令 ，则
在 上为减函数， 在 上为增函数，
，即
四边形 面积的最大值为4
故答案为：4
【分析】四边形 为平行四边形 ，设直线 的方程 ， ，联立 ，
再用换元法求其最大值即可.
18．【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为： ，即 .
当y=0时，解得 ，所以a=4，
椭圆 过点M(2，3)，可得 ，
解得b2=12.
所以C的方程： .
（2）解：设与直线AM平行的直线方程为： ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
19．【答案】（1）解：由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
（2）解：设点 .
因为AM⊥AN，∴ ，即 ,①
当直线MN的斜率存在时，设方程为 ,如图1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ,
②,
根据 ,代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ,
∵ 不在直线 上，∴ ，
∴ ，
于是MN的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线MN的斜率不存在时，可得 ,如图2.
代入 得 ,
结合 ,解得 ,
此时直线MN过点 ,
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足 为定值（AE长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 , 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
20．【答案】（1）解：因为椭圆 的焦距为2，且经过点
所以 解得
所以 ；
（2）解：设 ，
①直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立可得， ，
∴ (*)且 ，
∵ ，∴ ，
即 ，
化简得 ，
将(*)式代入，得 ， ，
∴ ，即 或 (舍，此时直线 过点 )
∴直线 的方程为 ，过定点 ；
②直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ， ，
可设 ，且 ，由 ，
即 ，解得 或 (舍)，
此时直线 的方程为 ，也过定点 ；
综上，直线 过定点 .
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）通过椭圆的焦距为2，求出c．结合椭圆经过点 ，列出方程组求解a，b，得到椭圆方程．（2）设 ， 、 ， ，①直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立可得， ，利用韦达定理推出m，k的关系式，利用向量的数量积推出 ，得到直线系，然后求解直线 经过的定点；②直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ， ， ， ，判断直线经过的定点即可．
21．【答案】解：（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ，
，
由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以，椭圆的方程为 ；
（Ⅱ） 直线 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，即 ，
，消去 ，可得 ，解得 或 .
将 代入 ，得 ，
所以，点 的坐标为 ，
因为P为线段 的中点，点 的坐标为 ，
所以点P的坐标为 ，
由 ，得点 的坐标为 ，
所以，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 .
所以，直线 的方程为 或 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助 ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 ，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据 ，求出直线 的斜率，从而得解.
22．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .
（Ⅱ）设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：
，
故 .
从而 .
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 ，从而可得两线段长度的比值.
23．【答案】（1）解：由椭圆焦距为2可得 ， ，
又过右焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点， ，
不妨设点 ，则 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）解：由题意△ 的周长 ，
又△ 的内切圆的面积为 ，所以△ 的内切圆的半径为 ，
所以△ 的面积 ；
（3）解：由题意 ，圆心为 ，半径为 ，
若 斜率不存在时，不妨设点 ，
此时△ 的周长 ；
当直线 斜率存在时，设 ， ，
则 即 ，
则 ，
同理， ，
由 消去y得 ， ，
则 ，
由直线 与 相切可得 ，即 ，
所以
，
因为 在 轴右侧，所以 ，
所以
，
所以△ 的周长
；
综上，△ 的周长为一定值，且周长 .
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得 ，再由点 即可求得 、 ，即可得解；（2）由题意结合椭圆的性质可得△ 的周长 ，再由 （ 为内切圆半径）即可得解；（3）按照 斜率是否存在讨论，当直线 斜率存在时，设 ， ，由两点之间距离公式、椭圆性质可得焦半径 、 ，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得 ，再由直线 与圆相切可得 ，代入运算即可得解.
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