2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用检测题（word版 有答案）

《第五章 一元函数的导数及其应用》检测题
一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列导数运算正确的是（　　）
A．(x－1)′＝ B．(lnx＋x)′＝ C．(cosx)′＝sinx D．＝
2.下列命题正确的是（　　）
A．＝
B．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f ′(x)＝cos(2x＋3)
C．设函数f(x)＝xlnx，若＝2，则＝e2
D．设函数f(x)的导函数为f ′(x)，且f(x)＝则f ′(2)＝
3.函数f(x)＝在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
4.已知函数f(x)＝在x＝1处取得极值，若f(x)的单调递减区间为(m，n)，n－m＝（　　）
A．5 B．4 C．－5 D．－4
5.已知f(x)是定义在R上的函数，若且f(1)＝1，则的解集为（　　）
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
6.已知函数f(x)＝ex，g(x)＝若f(m)＝g(n)成立，则n－m的最小值为（　　）
A． B．1 C．2－ln2 D．2＋ln2
二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
7.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．－3是f(x)的极小值点 B．－1是f(x)的极小值点
C．f(x)在区间(－∞，3)上单调递减 D．曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率小于零
8.函数f(x)＝在(－2，2)上不单调的一个充分不必要条件是（　　）
A．a∈[0，12] B．a∈(0，2) C．a∈(0，12) D．a∈(1，12)
9.已知函数f(x)＝则（　　）
A．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 B．函数f(x)在(e，＋∞)上单调递增
C．函数f(x)的最小值为1 D．若f(m)＝f(n)(m≠n），则m＋n＞2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＞ f ' (x)(其中f ' (x)为f(x)的导函数）且f(1)＝e，则不等式的解集是________．
11.已知函数f(x)＝ln(x＋1)，则过点(－1，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程是_________.
12.已知函数f(x)＝，若存在x∈[1，3]时，使能成立，则实数a的取值范围是______________．
四、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．
13.已知函数f(x)＝＝1是函数f(x)的一个极值点．
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）当x∈[－1，2]，求函数f(x)的最小值．
14.已知函数f(x)＝的图象在(1，f(1))处的切线经过点(2，4)，且f(x)的一个极值点为－1．
（1）求f(x)的极值；
（2）已知方程f(x)－m＝0在[－2，2]上恰有一个实数根，求m的取值范围．
15.已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R)
（1）求函数f(x)的单调区间
（2）已知函数f(x)在x＝1处取得极值，且x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－1恒成立，求b的取值范围．
16.已知函数f(x)＝
（1）若x＝1是f(x)的一个极值点，求a的值；
（2）讨论f(x)的单调区间；
（3）当a＞0时，求函数f(x)在[1，2]的最大值．
《第五章 一元函数的导数及其应用》检测题答案
一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列导数运算正确的是（　　）
A．(x－1)′＝ B．(lnx＋x)′＝ C．(cosx)′＝sinx D．＝
【答案】B
【解答】解：A，∵＝，∴A错误，
B，∵(lnx＋x)′＝∴B正确，
C，∵(cosx)′＝－sinx，∴C错误，
D，∵＝，∴D错误，
故选：B．
2.下列命题正确的是（　　）
A．＝
B．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f ′(x)＝cos(2x＋3)
C．设函数f(x)＝xlnx，若＝2，则＝e2
D．设函数f(x)的导函数为f ′(x)，且f(x)＝则f ′(2)＝
【答案】D
【解答】解：对于＝0，故A错误，
对于B，若f(x)＝sin(2x＋3)，则f ′(x)＝2cos(2x＋3)，故B错误，
对于C，f ′(x)＝lnx＋1，＝＝2，∴＝e，故C错误；
对于D，因为f(x)＝则f ′(x)＝
所以f ′(2)＝，解得f ′(2)＝故选项D正确，
故选：D．
3.函数f(x)＝在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解答】解：函数f(x)＝在区间[0，2]上的平均变化率等于＝＝2，
由f(x)＝得f '(x)＝2x，所以f '(m)＝2m，
因为f(x)＝在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，
所以2＝2m，解得m＝1．
故选：B．
4.已知函数f(x)＝在x＝1处取得极值，若f(x)的单调递减区间为(m，n)，n－m＝（　　）
A．5 B．4 C．－5 D．－4
【答案】B
【解答】解：函数f(x)＝可得f ′(x)＝
因为函数f(x)＝在x＝1处取得极值，
所以3＋6＋a＝0，解得a＝－9，
令解得x∈(－3，1)，则n－m＝4．
故选：B．
5.已知f(x)是定义在R上的函数，若且f(1)＝1，则的解集为（　　）
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
【答案】D
【解答】解：令F(x)＝又
则F′(x)＝∴F(x)在R上单调递减，
∵f(1)＝1，F(1)＝f(1)－1＝0，
∴可转化成可得：F(x)＞F(1)
根据F(x)在R上单调递减则x＜1，故解集为：(－∞，1)，
故选：D．
6.已知函数f(x)＝ex，g(x)＝若f(m)＝g(n)成立，则n－m的最小值为（　　）
A． B．1 C．2－ln2 D．2＋ln2
【答案】A
【解答】解：令f(m)＝g(n)＝t，即em＝＝t，解得m＝lnt，n＝．
设h(t)＝n－m＝则h′(t)＝＝．
由h′(t)＞0，得t＞1，由h′(t)＜0，得0＜t＜1．
∴h(t)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故＝h(1)＝．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
7.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．－3是f(x)的极小值点 B．－1是f(x)的极小值点
C．f(x)在区间(－∞，3)上单调递减 D．曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率小于零
【答案】ABC
【解答】解：由题意可知，当x＜－3或x＞3时f ' (x)＞0，则f(x)单调递增，
当－3＜x＜3时，f '(x)＜0，则f(x)单调递减，
所以函数f(x)在区间(－∞，－3)，(3，＋∞)上单调递增，在区间(－3，3)上单调递减，
则当x＝－3时，f(x)取得极大值，当x＝3时，f(x)取得极小值，
所以x＝－3是f(x)的极大值点，3是f(x)的极小值点，故选项A，B，C错误，
因为f '(x)＜0，则曲线y＝f(x)在x＝2处切线的斜率小于零，故选项D正确．
故选：ABC．
8.函数f(x)＝在(－2，2)上不单调的一个充分不必要条件是（　　）
A．a∈[0，12] B．a∈(0，2) C．a∈(0，12) D．a∈(1，12)
【答案】BD
【解答】解：f '(x)＝
当f '(x)＝或f '(x)＝恒成立时，f(x)为单调函数，故a≤0或a≥12，
或当f(x)在(－2，2)上不单调时，只需f '(0) f '(2)＜0，
即(－a)(12－a)＜0，解得0＜a＜12，
故f(x)在(－2，2)上不单调时，a的取值范围为(0，12)，
A为必要不充分条件，C为充要条件，B、D是充分不必要条件．故选：BD．
9.已知函数f(x)＝则（　　）
A．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 B．函数f(x)在(e，＋∞)上单调递增
C．函数f(x)的最小值为1 D．若f(m)＝f(n)(m≠n），则m＋n＞2
【答案】BCD
【解答】解：因为函数f(x)＝所以f '(x)＝
令f '(x)＝0，解得x＝1，
对于A，由于函数的定义域为(0，＋∞)，故选项A错误；
对于B，当x＞e时，f '(x)＞0，故f(x)在(e，＋∞)上单调递增，故选项B正确；
对于C，令f '(x)＞0，解得x＞1，令f '(x)＜0，解得x＜1，
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
故当x＝1时，函数f(x)有最小值f(1)＝1，故选项C正确；
对于D，不妨令0＜m＜n，由f(m)＝f(n)，可得＝
要证m＋n＞2，只需证明
令t＝即证明成立即可，
令g(t)＝则g′(t)＝＝
故当t＞1时，g′(t)＞0，所以g(t)在(1，＋∞)上单调递增，
所以g(t)＞g(1)＝0，故不等式成立，
所以若f(m)＝f(n)(m≠n），则m＋n＞2，故选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＞ f ' (x)(其中f ' (x)为f(x)的导函数）且f(1)＝e，则不等式的解集是________．
【答案】{x|x＜1}
【解答】解：由f(x)＞f ' (x)，得f ' (x)－f(x)＜0，
令g(x)＝，可得g′ (x)＝＝
∴g(x)＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
∵f(1)＝e，∴不等式
∴g(x)＞g(1)，得x＜1．
∴不等式的解集是{x|x＜1}．
故答案为：{x|x＜1}．
11.已知函数f(x)＝ln(x＋1)，则过点(－1，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程是_________.
【答案】x－ey＋1＝0
【解答】解：由f(x)＝ln(x＋1)得，f '(x)＝
设切点为则切线的斜率为k＝＝
故＝，解得＝e－1，故k＝
∴所求切线方程为y－0＝即x－ey＋1＝0.
12.已知函数f(x)＝，若存在x∈[1，3]时，使能成立，则实数a的取值范围是______________．
【答案】(0，1)
【解答】解：(1) f '(x)＝．
令f '(x)＞0，则解得x＜1或x＞2．
令f '(x)＜0，则解得1＜x＜2，
∴当x∈(1，2)时，f '(x)＜0；x∈(2，3)时，f '(x)＞0，f(1)＝＝
所以f(x)在(1，2)上单调递减，f(x)在(2，3)上单调递增，而f(3)＞f(1)，
所以f(3)是f(x)在区间[1，3]上的最大值，
因为存在x∈[1，3]时，使能成立
则即成立，即解得0＜a＜1，
所以实数a的取值范围(0，1)．
四、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．
13.已知函数f(x)＝＝1是函数f(x)的一个极值点．
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）当x∈[－1，2]，求函数f(x)的最小值．
【答案】（1）f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(1，＋∞)．
（2）当x∈[－1，2]时，函数f(x)的最小值为－1．
【解答】解：f '(x)＝
因为x＝1是函数f(x)的一个极值点．
所以f '(1)＝0，即6－2a＝0，解得a＝3，
所以f(x)＝
（1） f '(x)＝＝6x(x－1)，
当x∈(－∞，0)时，f '(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(0，1)时，f '(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f '(x)＞0，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(1，＋∞)．
（2）当x变化时，f(x)，f '(x)的变化情况如下表：
x (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，2)
f '(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
f(－1)＝＝－1，f(0)＝4，
f(1)＝2－3＋4＝3，f(2)＝＝8，
所以当x∈[－1，2]时，函数f(x)的最小值为－1．
14.已知函数f(x)＝的图象在(1，f(1))处的切线经过点(2，4)，且f(x)的一个极值点为－1．
（1）求f(x)的极值；
（2）已知方程f(x)－m＝0在[－2，2]上恰有一个实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）f(x)的极大值为0，f(x)的极小值为．
（2）m的范围是[－3,)∪(0,9]．
【解答】解：（1）∵f '(x)＝∴f '(1)＝3＋2b＋c，
∴f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(b＋c)＝(3＋2b＋c)(x－1)．
∵该切线经过点(2，4)，∴4－(b＋c)＝(3＋2b＋c)(2－1)，即3b＋2c＝1①．
又∵f(x)的一个极值点为－1，∴f '(－1)＝3－2b＋c＝0②．
由①②可知b＝1，c＝－1，故f(x)＝．f '(x)＝
令f '(x)＝0，得x＝－1或x＝．
当x变化时，f '(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1
f '(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 0 单调递减 单调递增
故f(x)的极大值为0，f(x)的极小值为．
（2）∵方程f(x)－m＝0在[－2，2]上恰有一个实数根，
∴函数y＝f(x)的图象与直线y＝m在[－2，2]上恰有一个交点．
∵f(－2)＝－3，f(2)＝9，
结合函数f(x)的图象，可得m的范围是[－3,)∪(0,9]．
15.已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R)
（1）求函数f(x)的单调区间
（2）已知函数f(x)在x＝1处取得极值，且x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－1恒成立，求b的取值范围．
【答案】（1）当a≤0时，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的增区间为减区间为．
（2）．
【解答】解：（1）函数f(x)＝ax－lnx的导数为f ′(x)＝
当a≤0时，f ′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)递减；
当a＞0时，f ′(x)＞0可得, f ′(x)＜0 可得．
即有当a≤0时，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的增区间为减区间为．
（2）∵f ′(x)＝函数f(x)在x＝1处取得极值，
由f ′(1)＝0，∴a＝1，
∴
令g(x)＝则g′(x)＝＝
由g′(x)＞0得,x＞由g′(x)＜0得,0＜x＜
∴g(x)在（0，e2）上递减，在（e2，＋∞）上递增，
∴＝＝即．
16.已知函数f(x)＝
（1）若x＝1是f(x)的一个极值点，求a的值；
（2）讨论f(x)的单调区间；
（3）当a＞0时，求函数f(x)在[1，2]的最大值．
【答案】（1）a＝1．
（2）f(x) 在上单调递增，在上单调递减．
（3）当时，有最大值ln 2－6a＋4；当时，有最大值
当 a≥1 时，有最大值 2－2a．
【解答】解：（1）∵x＝1 是 f(x) 的一个极值点，
∴f '(1)＝＝0，
∴a＝1，经检验满足题意．
（2）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝＝
①a≤0时，f '(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若a＞0，则由f '(x)＝0得x＝
且当时，f '(x)＞0，当时，f '(x)＜0，
所以f(x)在上单调递增，在 上单调递减．
（3）由（2）知，f(x)在单调递增，在单调递减
①当时，即时f(x)在[1，2]单调递增，
∴当x＝2时f(x)有最大值f(x)＝ln2－4a＋(2－a)2＝ln2－6a＋4；
②当时，即
f(x)在单调递增，在单调递减，
所以当x＝时，f(x)有最大值＝＝．
③当时，即a≥1时，f(x)在[1，2]单调递减，
∴当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－a＋(2－a)＝2－2a．
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